CC BY
61одном продукте, вся упомянутая дополнительная информация оказывается избыточной, поскольку все определяется лишь материальными балансами. При отступлении от четкого разделения дополнительная информация позволяет более точно рассчитать составы выходных потоков системы. Так, в случае расчета многоколонных ректификационных установок, структура которых известна, следует использовать последовательный расчет каждой двухпродуктовой колонны в установке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Голицын Г.А., Левич А.П. // Философские науки. 2004. № 1. C. 105-136;
Golitsin G,A., Levich A.P. // Phylosofskie nauki. 2004. N 1. P. 105-136 (in Russian).
2. Jaynes E.T. // I. Phys. Rev. 1957. V. 106. N 4. P. 620-630.
3. Джейнс Э.Т. // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1982. Т. 70. № 9. С. 33-51; Jaynes E.T. // Proc. of the IEEE. 1982. V. 70. N 9. P. 33-51 (in Russian).
4. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука. 1978. 248 с.
Vilson A.G. Entropy methods of modeling complex systems. London. Pion Ltd. 1970. 248 p. (in Russian).
5. Майков В.П. Процессы и аппараты химической техники. Системно-информационный подход. Сб. М.: МИХМ. 1977. С. 7-69;
Maiykov V.P. Processes and apparatuses of chemical tech-niks. M.: MIKHM. 1977. P. 7-69 (in Russian).
6. Фриден Б.Р. // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1985. Т. 73. № 12. С. 78-87; Frieden B.R. // Proc. of the IEEE. 1985. V. 73. N 12. P. 1764-1770 (in Russian).
7. Балунов А.И., Майков В.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2003. Т. 46. Вып. 9. С. 54-67;
Balunov A.I., Maiykov V.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim.Tekhnol. 2003. V. 46. N 9. P. 54-67 (in Russian).
8. Майков В.П., Мухамадеев И.Г., Караваев Н.М. // Доклады. АН СССР. 1977. T. 232. № 3. С. 667-670; Maiykov V.P., Mukhamadeev I.G., Karavaev N.M. // Doklady AN USSR. 1977. V. 232. N 3. P. 667-670 (in Rassian).
9. Трайбус М. Термостатика и термодинамика. М.: Энергия. 1970. 504 с.;
Tribus M. Thermostatics and Thermodynamics. M.: Ener-giya. 1970. 504 p. (in Russian).
Кафедра кибернетики
УДК 532+533
А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ И НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ
(Институт проблем механики им. Ю.А. Ишлинского РАН, Московский государственный машиностроительный университет) e-mail: av1958@list.ru, polyanin@ipmnet.ru
Рассмотрены уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации, которые дают конечную скорость распространения возмущений. Для потока тепла используется модель Каттанео - Вернотте. Приведено точное решение дифференциально-разностного уравнения теплопроводности для одномерной задачи Стокса без начальных условий с произвольным периодическим граничным условием. Сформулированы постановки начально-краевых задач о распространении тепла с конечным временем релаксации. Получены некоторые точные решения линейного и нелинейного диф-ференциально-разностногоуравнения теплопроводности.
Ключевые слова: модель Каттанео - Вернотте, время релаксации, дифференциально-разностное уравнение теплопроводности, точные решения, краевые задачи, точные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений
ВВЕДЕНИЕ
Уравнение теплопроводности параболического типа. Классическая модель теплопроводности основана на законе Фурье
д = -ЛУГ, (1)
где д - поток тепла, Т - температура, X - коэффициент теплопроводности, V - оператор градиента.
В простейшем случае при отсутствии источников тепла закон сохранения энергии имеет вид:
рср = -ё!у д, (2)
где ^ - время, р - плотность, ср - удельная теплоемкость тела (среды).
Подставив (1) в (2), получим классическое уравнение теплопроводности [1-11]:
^ = аАТ, А Т = Ц + • (3)
д г д х2 д у2 д г2
где х, у, г - декартовы координаты, а = Х/(рср) -коэффициент температуропроводности, А - оператор Лапласа.
Уравнение теплопроводности (3) является уравнением параболического типа и обладает физически парадоксальным свойством - бесконечной скоростью распространения возмущений, что свидетельствует об ограниченной области применимости классического уравнения теплопроводности (1). Указанное обстоятельство привело к необходимости разработки моделей теплопроводности, которые приводят к конечной скорости распространения возмущений.
Гиперболические уравнения теплопроводности и диффузии. Закон Фурье (1) можно «подправить» с помощью дифференциальной модели Каттанео - Вернотте [12-15]:
д = -АУТ-3, 4 д г
(4)
где п - время релаксации (запаздывания). Модель (4) отличается от закона Фурье (1) наличием дополнительного нестационарного члена, пропорционального п , и при п = 0 переходит в (1).
Использование модели (4) с учетом (2) приводит к уравнению теплопроводности гиперболического типа
д Т дТ
т—— л--= аА Т,
дд г
(5)
которое дает конечную скорость распространения возмущений и широко используется для решения тепловых задач [16-31]. В математической физике уравнения вида (5) называются телеграфными уравнениями (32).
Замечание 1. Аналогичная модель и гиперболическое уравнение диффузии с релаксацией получаются из (4), (5) заменой температуры Т на концентрацию С и коэффициента температуропроводности а на коэффициент диффузии Б.
Оценки теплового времени релаксации. Время релаксации п является характеристикой неравновесности процесса теплопроводности и учитывает инерционность теплового потока. Для металлов, сверхпроводников и полупроводников теоретические оценки теплового времени релаксации дают т ~ 10"° - 10"ь ' с [33-36]. Столь малые значения п нужно учитывать при анализе высокоинтенсивных нестационарных процессов, время протекания которых сопоставимо с временем релаксации, например, при обработке материалов с
использованием сверхкоротких лазерных импульсов и высокоскоростных электронных устройств [36-38]. К подобным процессам относятся также процессы нагревания при трении с высокой скоростью, локального нагрева при динамическом распространении трещины в околозвуковом режиме и т.п. [30-40].
Для материалов и сред с неоднородной внутренней структурой (капиллярно"пористые тела, пасты, суспензии, порошки, жидко"газовые многофазные среды, шламы, биологические субстанции, пищевые продукты, древесина и др.) время релаксации может быть значительно больше [6, 30, 41-43]. Например, в [44, 45] оценки теплового времени релаксации мясных продуктов и некоторых сыпучих сред дали значения п порядка десяти и более секунд.
Тепловая и диффузионная скорости распространения возмущений. Диффузионное время релаксации. Для простых систем, таких как смеси идеальных газов, характерное время диффузионной релаксации по, т.е. время установления локально равновесных значений концентрации диффундирующего компонента, совпадает с характерным временем тепловой релаксации пТ (здесь для наглядности поставлен индекс «Т»), т. е. временем установления локально равновесных значений температуры. Однако в системах с более сложной структурой, в частности в расплавах металлов [46, 47], по>>пТ. В таких системах сначала устанавливается тепловое равновесие и лишь затем диффузионное. Каждой из этих стадий установления локального равновесия соответствует своя характерная скорость (которая определяется исходя из гиперболического уравнения теплопроводности (5): диффузионная скорость Уо = (Б/ по)1/2 и скорость тепловой волны УТ = (а/\ пТ)12. Для однородных газообразных и жидких сред приближенно можно считать, что скорость тепловой волны УТ примерно равна скорости звука. Для расплавов металлов Уо ~ 1-10 м/с и УТ ~ 103-104 м/с, т. е. Уо << УТ.
Скорость распространения теплоты в воздухе примерно равна скорости звука УТ « 330 м/с . При распространении массы при диффузии в ка-пиллярно"пористых телах она меньше, чем УТ примерно в 10-10' раз и ее необходимо учитывать в уравнениях массопереноса [6].
Для диффузии в полимерах время релаксации составляет несколько секунд [48].
Приведенные примеры показывают, что тепловое и диффузионное времена релаксации могут варьироваться в очень широких пределах и должны учитываться при решении многих задач тепло" и массопереноса.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНАЯ МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ РЕЛАКСАЦИИ
Дифференциально-разностная модель теплопроводности. Для обоснования модели Кат-танео - Вернотте (4) наиболее часто используют дифференциально-разностное соотношение [12, 14, 47, 49]:
(6)
д =-жг.
1к+г
дТ_ ~дх
где Д+т = Т(г, X + п).
= аКТ =
(7)
Здесь левая часть уравнения (6) вычисляется при X + п, где п - время релаксации, а правая часть вычисляется, как обычно, при X (нет сдвига по времени).
При п = 0 дифференциально-разностное соотношение (6) переходит в закон Фурье (1). Если формально разложить левую часть (6) в ряд по п и удержать два главных члена разложения, то получим дифференциальную модель Каттанео -Вернотте (4) (это стандартное рассуждение, используемое в цитируемой выше литературе, как будет показано ниже, не всегда оправдано).
Физический смысл (6) заключается в том, что процесс теплопереноса в локально-неравновесных средах обладает инерционными свойствами: система реагирует на тепловое воздействие (или тепловой поток откликается на изменение градиента температуры) не в тот же момент времени X, как в классическом локально-равновесном случае, а на время релаксации п позже.
В модели (4) и гиперболическом уравнении (5) члены пропорциональные п при дают значительный вклад (по сравнению с законом Фурье) только при малых временах X ~ п . При X ~ п, однако, нельзя использовать разложение (6) в ряд по п и, следовательно, нельзя вывести модель (4), исходя из (6). Очевидно также, что при конечных значениях п модели (4) и (6) существенно отличаются.
В данной работе модель (6) использована без каких-либо упрощений для получения и анализа дифференциально-разностного уравнения теплопроводности, а также для формулировки и решения некоторых тепловых (диффузионных) задач с конечным временем релаксации.
Дифференциально-разностное уравнение теплопроводности. В модель Каттанео -Вернотте (4) был введен дополнительно член по отношению к закону Фурье (1), чтобы обеспечить запаздывание (релаксацию) процесса. Запаздывание в этой модели введено неявно с помощью линейного дифференциального соотношения первого порядка для потока.
Модель (6) приводит к дифференциально-разностному уравнению теплопроводности с конечным временем релаксации
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Укажем некоторые частные точные решения одномерного дифференциально-разностного уравнения теплопроводности
д _ . . д2
— Т (х, X + г) = а —- Т (х, X) •
(8)
д X 4 ' ' д х2 1о. Решения с разделяющимися переменными:
Т = [А С°ъ{кх) + В ът{кх)\е-я', ак2 = Ле~Лг (Л > 0); (9) Т = [Ас°$(кх) + В8т(кх)\е^', ак2 = -Ле~Лг (Л > 0) ,(10) где А, В, X - произвольные постоянные.
Решение (9) является периодическим по пространственной переменной х и затухающим при t ^ да. При 0 < Л <да и п > 0 диапазон изменения параметра к является ограниченным:
0 < к < [(Л/а)в~Лг ]1/2.
Решения (9) и (10) являются частными случаями решения
Т = ф( х)^(х), где функции ^(х) и у(Х) удовлетворяют линейным уравнениям с постоянными коэффициентами
Фхх - СФ = 0
I (X + г) - ас щ(Х) = 0, первое из которых является дифференциальным, а второе - дифференциально-разностным, с - постоянная. Заменой X = X + г второе уравнение сводится к дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом [50].
20. Решение, периодическое по времени X: Т = е~ух [ А ^(ю Х-Р х) + В зт(® Х-р х)\ + С,
/ \1/2 / ч!2 , , (11)
У 2а ) У 2а ) [1 + зт (гю)\1/2
где А, В, С, ш - произвольные постоянные. Решение (11) является затухающим при
при выполнении условий С = 0 и гю< 1 п. 3о. Решения полиномиального типа:
Т = Ах + В, Т = А(х2 + 2аХ) + В, Т = А(х3 + бах) + В,
Т = А[х4 + 12а(Х - п)х2 + 12а2(Х - 2п)2] + В, Т = А[х5 + 20а(х - п)х3 + 60а (X - 2п)2х] + В,
2п , -П (2п)(2п - 1)---(2П - 2к + Г)а кц_кт^кх 2п-2к ,
Т = х2п +Х
к=1
к!
Т = х2и+1 л У (2п + 1)(2п)-(2п- 2к + 2У(г -кт)кх2"-2кл1, к=1 к! где Л, В - произвольные постоянные, и - целое положительное число. Первые три решения не зависят от времени релаксации п.
Приведенные выше частные точные решения могут быть использованы для решения некоторых начально"краевых задач для дифференци-ально"разностного уравнения теплопроводности (8). В силу линейности уравнения (8) частные решения можно складывать (умножив предварительно на любые константы).
Замечание 2. Линейное дифференциально-разностное уравнение теплопроводности с источником
д
д
— Т (х, г + т) = аТ (х, г) + кТ (х, г + т)
д г д х
заменой
Т(х,о=Л(х,о
сводится к более простому уравнению без источника вида (8):
—и( х, г + т) = ае д г
-кт
д2
дх2
и( х, г).
Точные решения задач с граничными условиями вида (13) полезно использовать в качестве теста для численных решений дифференциально-разностного уравнения теплопроводности.
Задача Стокса с периодическим граничным условием. Рассмотрим задачу Стокса без начальных условий, которая описывается одномерным дифференциально-разностным уравнением теплопроводности (8) и периодическими граничными условиями специального вида Т = Т0 со8(ю г) при х = 0, Т ^ 0 при х ^ го. (14)
Решение задачи (8), (14) является частным случаем решения (11) и дается формулами
Т = Т0е~У соБ(юг -рх),
(15)
12
[1 + зт(гю)]
12
У =
ю
12
соз(гю) (16
2а ) [1 + зт(тю)]
1/2'
где
Р = )
Решение (15), (16) при п = 0 переходит в решение аналогичной задачи без начальных условий для классического параболического уравнения теплопроводности, которое дается формулой (15), где
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Постановки начально-краевых задач.
Граничные условия для уравнения (7) ставятся точно так же как и для обычного параболического уравнения теплопроводности (3) [1-9].
Поскольку в правую часть уравнения (7) время входит с запаздыванием (по отношению к левой части), то начальное условие задается так:
Т = / (г) при 0 < г <т, (12) где Дг) - некоторая заданная непрерывная функция. При п = 0 условие (12) переходит в обычное начальное условие для параболического уравнения теплопроводности.
Начальное условие (12) означает, что в рассматриваемой модели теплопроводности температура начинает изменяться только на временах больших времени релаксации.
Замечание 3. Уравнение с частными производными с запаздывающим аргументом (7) можно рассматривать также с начальным условием общего вида
Т = /(г, г) при 0 < г <т, (13) где Дг, ^ - некоторая заданная непрерывная функция, определенная на промежутке 0 < ^ < т. При п = 0 условие (13) переходит в обычное начальное условие для параболического уравнения теплопроводности.
Р-=У = [ Юа ]
12
(1')
Решение аналогичной задачи без начальных условий для гиперболического уравнения теплопроводности (5) для дифференциальной модели Каттанео - Вернотте (4) описывается формулой (15), где
1/2
1/2
Р = |Ю] [тю + (1 + т2ю2)12
1/2
У = Ю Ю (1 + т2ю2)1/2 р.
(18)
Сравнение формул (15-17) показывает, что при шп << 1 декремент затухания у для дифференциально-разностной модели меньше, чем для классической модели (которая описывается параболическим уравнением), а коэффициент сдвига в для дифференциально-разностной модели больше, чем для классической модели.
Два главных члена разложения формул (16) и (18) в ряд по малым п (при шп << 1) совпадают. При малых п > 0 и больших частотах ю >> т1 коэффициенты (18) имеют следующие асимптотики:
а 2л/ ат
(19)
т.е. при больших частотах декремент затухания у не зависит от частоты ш, что качественно отличается от соответствующего решения для параболи-
2
ческого уравнения теплопроводности (17). Оба определяющих параметра в (19) существенным образом зависят от коэффициента возмущения т. При больших значениях комплекса пш решения (15), (16) и (18) отличаются качественно - декремент затухания у для дифференциально-разностной модели существенно зависит от частоты ш [и не стремится к постоянной величине как модели Каттанео - Вернотте, см. асимптотики (19)].
Задача об установлении температуры в плоском канале. Рассмотрим теперь сумму постоянного решения и решений вида (9):
T = T0 + ±Лп exp(-АО sin 1, N < ', (20) И=1 ^ l ) жу/ ат
где An - произвольные постоянные (которые могут
зависеть от времени релаксации т), а константы Xn
являются положительными решениями трансцендентного уравнения
Хп ехр(-Хпт) = а(жп / Г)2. (21)
Формула (20), (21) дает решение модельной одномерной задачи для дифференциально-разностного уравнения (8) об установлении температуры в плоском канале 0 < х < I, на стенках которого поддерживается постоянная температура Т = Т0 при х = 0, Т = Т0 при х = 1, (22)
при выборе специального начального условия вида (13) (это условие дается формулой (20) при 0 < Г < г).
Точное решение (20), (21) может быть использовано для тестирования численных методов
Таблица
Точные решения нелинейного уравнения Tt\t+T=[f(T)Tx]x+g(t)\t+T Table. Exact solutions to the non-linear equation Tt\t+T=[f(T)TxJx+g(t)\t+T
№ Функция f(T) Функция g(T) Вид решения
1 любая любая T = \y( z), z = Cx + C2t
2 aT 0 T = (x + C)2 >(t)
3 aT bT T = (x + C)2 >(t)
4 aT bT T = Cxebt + C2ebt + C2(a/b)e2b(t-T), T = -1 (a/b)(x + C)2 + y(t) , 6 T = Cx + aC^t + C2
5 aT + b cT + d T = Wi(t) x + ^)(0, T = W2(t) x 2 + Wi(t) x + Wo(t)
6 aT + b cT2 + dT + s T = A + Cekx+lt, A, k, X - определяются из алгебраической системы
7 aT1'2 b + cT1/2 T = [p(x)t + P2( x)]2
8 aT1'2 b + cT1/2 + dT Г (i ^ I2 T = p (x) expl — dt I + p2 (x)
9 aT1 0 2aC2t + C2 C2 - 2aC2t = sh2(Cx + C У = ch2(Cx + C )' 2aC?t + C? T =-r—1- cos2(C1 x + C3)
10 aee 0 1 9 1 T = -ln(Qx2 + C2 x + C3) + - w{t)
11 T ae b T = In\Cxx + C2| + bt + c , T = p(x) + y(t), ^(t) * bt
12 eT aeT + b T = ln[Cx cos(kx) + C2 sin(kx)] + bt + C3, aebr = к2 > 0; T = ln[C ch(kx) + C2 sh(kx)] + bt + C3, aebr = -к2 < 0
решения дифференциально-разностных уравнений теплопроводности и диффузии и приближенного решения задачи об установлении температуры в плоском канале с произвольным начальным условием
Т = / (х) при 0 < г <т. (23)
В частности, при п << 1 приближенное решение задачи об установлении температуры в плоском канале с нулевыми граничными условиями (22) (при Т0 = 0) и начальным условием (23) дается формулой
N
T = £ A exp[-A„ (t -r)]sin7 An = 2 J f (x) sin f—1 dx,
T< t;
(24)
^ l J
(25)
При n = 0 уравнение (25) переходит в обычное нелинейное дифференциальное уравнение теплопроводности, большой список точных решений которого для различных функций fT) и g(T) дан в [51]. При f(T = const нелинейное уравнение (25) приведено в работе [49].
В таблице указаны некоторые точные решения или структура точных решений одномерного нелинейного дифференциально-разностного уравнения теплопроводности вида (25), где функции ^(х), ф„(х) описываются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (системами уравнений), функции ^(z), ^(t)$, iy„(t) - нелинейными обыкновенными дифференциально-разностными уравнениями (системами уравнений), C, C1, C2, C3 - произвольные постоянные.
Отметим, что в решениях 2 и 10 из таблицы функции y(t) описываются нелинейными обыкновенными дифференциально-разностными уравнениями
Y , 2(n + 2) п+
W (t +т) =---ay (t)
n
W (t +т) = 2aC2eW(')
(решение 2), (решение 10),
где Ап - коэффициенты разложения функции Дх), входящей в начальное условие (23), в ряд Фурье по синусам, а Хп - корни уравнения (21). Формула (24) точно удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению (8) и граничным условиям (22) при Т0 = 0, и при достаточно большом N хорошо согласуется с начальным условием (23).
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ИХ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Помимо линейного уравнения (7) значительный интерес представляет также нелинейное дифференциально-разностное уравнение теплопроводности (диффузии) с источником
дТ = ам/(Т )ут ] + я (Т )| г+т • д г л т
для решения которых можно использовать метод последовательного интегрирования [50].
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
a - коэффициент температуропроводности;
C - концентрация;
cp - удельная теплоемкость;
D - коэффициент диффузии;
q - поток тепла;
T - температура;
t - время;
VT - скорость тепловой волны; х, y, z - декартовы координаты; А - оператор Лапласа; X - коэффициент теплопроводности; р - плотность; n - время релаксации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука. 1964. 488 с.;
Carslow H.C., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. New York. Pergamon Press. 1959.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа. 1967. 600 с.;
Lykov A.V. Theory of Heat Conduction. M.: Vysshaya Shkola. 1967. 600 p. (in Russian).
3. Аксельруд Г.А., Молчанов А.Д. Растворение твердых веществ. М.: Химия. 1977. 269 с.;
Akselrud G.A., Molchanov A.D. Dissolution of Solid Substances. M.: Khimiya. 1977. 269 p. (in Russian).
4. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Химия. 1974. 688 с.;
Bird R.V., Stewart W.E., Lightfoot E.N. Transport Phenomena. New York. Wiley. 1965 (in Russian).
5. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат. 1979. 416 с.;
Kutateladze S.S. Foundations of the Theory of Heat Transfer. M.: Atomizdat. 1979. 416 p. (in Russian).
6. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия. 1978. 480 с.;
Lykov A.V. Handbook of Heat and Mass Transfer. M.: Energiya. 1978. 480 p. (in Russian).
7. Плановский А.Н., Николаев П.И. Процессы и аппараты химической и нефтехимической технологии. М.: Химия. 1987. 496 с.;
Planovskiy A.N., Nikolaev P.I. Processes and Apparatus of Chemical and Oil-chemical Technology. M.: Khimiya. 1987. 496 p. (in Russian).
8. Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin V.A, Kazenin
D.A. Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering. London: Taylor & Francis. 2002. 387 p.
9. Полянин А.Д. // Теор. осн. хим. технол. 2000. Т. 34. № 6. С. 563-574.;
Polyanin A.D. // Theor. Osnovy. Khim. Tekhol. 2000. V. 34. N 6. P. 563-574. (in Russian).
10. Полянин А.Д., Ерохин Л.Ю. // Теор. осн. хим. технол. 1990. Т. 24. № 1. С. 12-19.;
0
Polyanin A.D., Erokhin L.Yu. // Theor. Osnovy. Khim. Tekhol. 1990. V. 24. N 1. P. 12-19. (in Russian).
11. Полянин А.Д., Вязьмин А.В. // Теор. осн. хим. технол. 1995. Т. 29. № 2. С. 141-153;
Polyanin A.D., Vyazmin A.V. // Theor. Osnovy. Khim. Tekhol. 1995. V. 29. N 2. P. 141-153. (in Russian).
12. Cattaneo C. // Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena. 1948. V. 3. P. 3-21.
13. Cattaneo C. // Comptes Rendus. 1958. V. 247. P.431-433.
14. Vernotte P. // Comptes Rendus. 1958. V. 246. P. 3154-3155.
15. Vernotte P. // Comptes Rendus. 1961. V. 252. P. 2190-2191.
16. Baumeister K.J., Hamill T.D. // J. Heat Transfer. 1969. V. 91. P. 542-548.
17. Taitel Y. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. V. 15. P. 369371.
18. Joseph D. D., Preziosi L. // Rev. Modern Phys. 1989. V. 61. P. 41-73.
19. Joseph D. D., Preziosi L. // Rev. Modern Phys. 1990. V. 62. P. 375-391.
20. Kar A., Chan C.L., Mazumder J. // Int. J. Heat Transfer. 1992. V. 114. P. 14-20.
21. Ozisik M. N., Tzou D.Y. // J. Heat Transfer. 1994. V. 116. P. 526-535.
22. Bai C., Lavine A.S. // J. Heat Transfer. 1995. V. 117. P. 256-263.
23. Jou D., Casas-Väzquez J., Lebon G. Extended Irreversible Thermodynamics. 2nd ed. Berlin: Springer. 1996. 201 p.
24. Barletta A., Zanchini E. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40. P. 1007-1016.
25. Tzou D.Y. Macro- to Microscale Heat Transfer. Washington: Taylor & Francis. 1997.
26. Kronberg A.E., Benneker A.H., Westerterp K.R. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V. 41. P. 127-137.
27. Wang L. // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2000. V. 43. P. 365-373.
28. Lewandowska M., Malinowski L. // Int. Comm. Heat and Mass Transfer. 2006. V. 33. P. 61-69.
29. Terentyev A., Skryl Yu. // arXiv: cond-mat/0507333v1. 2005.
30. Таганов И.Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Л.: Химия. 1979. 208 с.;
Taganov I.N. Modeling Processes of Mass and Energy Transfer. L: Khimiya. 1979. 208 p. (in Russian).
31. Шашков А.Г., Бубнов В.А., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности: системно-структурный подход. М.: Едиториал УРСС. 2004. 296 с.;
Sashkov A.G., Bubnov V.A., Yanovskiy S.Yu. Wave Phenomena of Heat Conduction: Structure and System Approach. M.: Editorial URSS. 2004. 296 p. (in Russian).
32. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. 2002. 785 p.
33. Galovic S., Kotoski D. // J. Appl. Phys. 2003. V. 93. N 5. P. 3063-3070.
34. Vedavarz A., Kumar S., Moallemi M.K. // ASME J. Heat Transfer. 1994. V. 116. N 1. P. 221-224.
35. Ozisik M.N., Tzou D.Y. // ASME J. Heat Transfer. 1994. V. 116. N 3. P. 526-535.
36. Ordóñez-Miranda J., Alvarado-Gil J.J. // Int. J. Therm. Sci. 2009. V. 48. P. 2053-2062.
37. Antaki P.J. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40. N 13. P. 3247-3250.
38. Roetzel W., Putra N., SaritDas K. // Int. J. Therm. Sci. 2003. V. 42. N 6. P. 541-552.
39. Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Д.Ж. Расширенная необратимая термодинамика. М.-Ижевск: РХД. 2006. 528 с.;
Zhou D., Kasas-Beskes X., Lebon D.Zh. Extended Irreversible Thermodynamics. Moscow - Izhevsk. RKhD. 2006. 528 p. (in Russian).
40. Кудинов В.А., Кудинов И.В. // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5 (21). С. 159-169.; Kudinov V.A., Kudinov I.V. // Vestnik Samarskogo Gosu-darstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Phisico-Mathematicheskie nauki. 2010. N 5 (21). P. 159-169. (in Russian).
41. Бражников А.М., Карпычев В.А., Лыкова А.В. //
Инж.-физ. журн. 1975. T. 28. № 4. C. 677-680.; Brazhnikov A.V., Karpychev V.A., Lykova A.V. // Ingen. Phyz. Zhurn. 1975. V. 28. P. 677-680 (in Russian).
42. Demirel Y. Nonequilibrium Thermodynamics, Second Edition: Transport and Rate Processes in Physical, Chemical and Biological Systems. 2 Edition. Elsevier Science. 2007. 730 p.
43. Damsen R. A., Al-Odat M. Q., Al-Azab T. A., Shannak B. A., Aa-Hussien F. M. // J. Indian Inst. Sci. 2006. V. 86. P. 695-703.
44. Kaminski W. // ASME J. Heat Transfer. 1990. V. 112. N 3. P. 555-560.
45. Mitra K., Kumar S., Vedavarz A., Moallemi M.K. //
ASME J. Heat Transfer. 1995. V. 117. N 3. P. 568-573.
46. Соболев С.Л. // ЖТФ. 1998. Т. 68. № 3. С. 42-52; Sobolev S.L. // Zhurnal Tekhnicheskoiy Phyziki. 1998. V. 68. N 3. P. 42-52. (in Russian).
47. Соболев С.Л. // Успехи физ. наук. 1991. Т. 161. № 3. С. 5-29;
Sobolev S.L. // Uspekhi Phizicheskikh Nauk. 1991. V. 161. N 3. P. 5-29. (in Russian).
48. Kalospiros N. S., Edwards B.J., Beris A.N. // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. V. 36. P. 1191-1200.
49. Fort J., Méndez V. // Rep. Prog. Phys. 2002. V. 65. P. 895954.
50. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 с.;
Bellman R., Kuk K Differential-difference equations. M.: Mir. 1967. 548 p. (in Russian).
51. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Second Edition. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2012. 1912 p.
Кафедра процессов и аппаратов химической технологии, кафедра физической химии
