CC BY
33
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 129-134 Механика
УДК 531.01
Уравнения равновесия элемента сплошной среды при условии кратности промежуточного главного напряжения
Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Условие кратности главных напряжений накладывает ограничения на компоненты тензора напряжения. Из шести компонент тензора напряжения на плоскостях кратности главных напряжений независимыми остаются только четыре. С учетом этого обстоятельства выписаны уравнения равновесия элемента сплошной среды.
Ключевые слова: тензор напряжения, главные максимальные напряжения, кратность главных напряжений, условия совместности компонент тензора напряжений, уравнения равновесия.
1. Полуплоскости кратности главных напряжений
Деформируемое твердое тело отнесем к прямоугольной декартовой системе координат Хг (г — 1,2,3). Напряженное состояние в точке можно характеризовать тензором напряжения а^ или ранжированными напряжениями аГ, и ортом их направлений. Условия ранжирования
имеют вид аГ ^ аГ ^ аГ. Растягивающие напряжения считаем положительными.
Компоненты тензора напряжения а^ связаны с ранжированными напряжениями соотношениями
3
аИ = ^ аГ, (1-1)
3=1
где т^- — направляющие косинусы ранжированных главных напряжений. Направляющие косинусы т3^ являются функциями трех углов, определяющих ориентацию главных напряжений относительно лабораторной системы координат Хг. Девять направляющих косинусов связаны шестью уравнениями ортогональности
ТгкТ]к — или Тгк Тк] — ,
(1.2)
где Ьіу — символ Кронекера.
Введем векторное пространство главных напряжений Оі. Примем правую систему координат. Если в векторном пространстве О провести ось, равноудаленную от направлений главных напряжений, то эта ось будет называться гидростатической осью. Через начало координат перпендикулярно гидростатической оси проходит девиаторная плоскость оі + о 2 + оз = 0.
Если через гидростатическую ось и направления главных напряжений провести три плоскости, то они разобьют векторное пространство главных напряжений на шесть равных сегментов. Эти плоскости называются плоскостями кратности главных напряжений. Следы от пересечения плоскостей кратности с девиаторной плоскостью разбивают ее на шесть секторов. Линия, разделяющая каждый из секторов на две равные части, называется линией сдвига.
Для ранжированных напряжений справедливы зависимости [1]
о3
(1.3)
где а1 — 1 /3, а2 — 2^<г/3, а3 — 1 + /3.
В соотношениях (1.3) фигурируют инварианты тензора напряжений: а — а^ /3 — гидростатическое давление; ттах — (а[ — а3 )/2 —
максимальное касательное напряжение; — (2а£ — а\ — ад)/(а[ — а£) — параметр Лоде [2, 3].
Параметр Лоде изменяется в диапазоне —1 ^ ^ 1. На плоскостях
кратности главных напряжений, то есть при крайних значениях — ^1, ранжированные напряжения вычисляются по формулам: при — —1
при — 1
О 2
Оз
7* __ ■Е
О3 — О 3 Ттах-
(1.4)
(1.5)
Подставляя (1.4) и (1.5) в (1.1), получим соотношения для компонент тензора напряжения на полуплоскостях кратности соотношения:
а11 — а + 2$з(1/3 3т8 1)тmax, а 1 2 — 2^зТз 1тs2тmax,
О22 — О + 2$«(1/3 г52)ттахі О23 — 2^«г«2г«3Ттах)
(1.6)
О33 — О + 2$«(1/3 Г53)ттахі О31 — 2^«г«3г«1Ттах)
где 53 — ^1, при значении в — 1 — $1 — —1, а при значении в — 3 — £3 — — 1. Индекс в совпадает с номером максимального или минимального ранжированного напряжения. Здесь и далее по в не суммировать. Направляющие косинусы связаны зависимостями
Учитывая (1.6) и (1.7), устанавливаем, что на полуплоскостях кратности из шести компонент тензора напряжения независимыми будут только четыре.
В соотношениях (1.6) фигурируют направляющие косинусы только максимального ранжированного напряжения а^ или минимального главного ранжированного напряжения а^. Напряженное состояние на полуплоскостях кратности — —1 определяется двумя инвариантными функциями а, т и двумя углами, задающими направление максимального ранжированного напряжения а\ относительно лабораторной системы координат. А на полуплоскостях кратности — 1 соотношения для компонент тензора напряжения также определяется двумя инвариантными функциями а, т и двумя углами, задающими направление минимального главного ранжированного напряжения а^ относительно лабораторной системы координат.
Исключая направляющие косинусы из зависимостей (1.6), можно установить ряд соотношений между компонентами тензора напряжения:
222 Тз1 + Тз2 + Тз3 — 1
(1.7)
(а11 — а — 2£зттах/3)(а22 — а — 2£зттах/3) — а^
(а 22 — а — 2£зттах/3)(а 33 — а — 2£зттах/3) — а23, (1-8)
(а33 а 2£зттах/3)(а11 а 2£зттах/3) — a31,
или
(а11 — а — 2£зттах/3)а23 — а12а13,
(а22 — а — 2£зттах/3)а13 — a12a23,
(1.9)
(а33 — а — 2£зттах/3)а12 — a31a23,
или
(а11 — а + ^Ттах/3)2 + а22 + а^ — 1,
(а 22 — а — $зТтах/2)2 + а22 + а23 — 1
(1.10)
(а33 — а — $«ттах/2)2 + а23 + а23 — 1
или
/ а11 — а22 V 2
л Ч 2
—0«ттах — ^ 1а33 — а — 3 л«ттах
а22 — а33 2
2
+ а23 —
_л Ч( _ _ 2 л
л«ттах 2 I а11 а 3 л«ттах
(1.11)
/ а33 — ац
I 2
+ а23 —
_л _ _2л
ттах 2 I а22 а 3 ттах
Если провести вспомогательные преобразования, то из зависимостей (1.6) можно получить
2а11 — а22 — а33 — — 2Лв ттах(3т21 — 1),
2а33 — ац — а22 — — 2Л5 тах (3т3з — 1),
2а22 — а33 — а11 — — 2Л« ттах(3т22 — 1),
(1.12)
2 I 2 л 2 2 (л 2 \
а12 + а 1 3 — 4ттахтз1(1 — ^
а21 + а23 — 4ттахт23(1 — т23)
2 Т2
тах
а23 + а22 — 4тmaxт32(1 — т22)
2 Т2
тах
или
2ац — ац — а33 — — 258т (3т31 — 1),
2ац — а33 — аи — — 2Л5т (3^ — 1),
(1.13)
или
2а33 — аи — ац — 3Л5т (3т3з — 1),
2,2 п 2 2 м 2 \
а12 + а 1 3 — 9 ттахтз1(1 — Тsl),
а23 + а12 — 9ттахтз2(1 — Т^2)
(1.14)
2
2
2
2
2
а21 + а23 — 9тInaxт33(1 — т23).
Далее, если из (1.12), (1.13) и (1.14) исключить ттах, то можно получить
(2аи — а22 — а33)2 — (3т^ — 1)2
а22 + а21 _ т21(1 — т^)’
(2а22 — а33 — а11)2 — (3т32 — 1)2 (1 15)
"23 + а23 ^ т12(1 — Т1^)’ ^ ;
(2а33 — аи — а22)2 — (3т^ — 1)2
а21 + а22 т23(1 — т23) ’
Соотношения (1.15) интересны тем, что в правых частях уравнений фигурируют функции только от одного из направляющих косинусов.
Приведенные здесь соотношения (1.8)—(1.15) относятся к теории напряжений, никоим образом не связаны с механическими моделями сплошных сред, вытекают из условий совместности напряжений на полуплоскостях кратности промежуточного ранжированного напряжения
2. Уравнения равновесия
Для элемента сплошной среды справедливы уравнения равновесия
да^/дху — 0. (2.1)
Подставляя (1.6) в уравнения равновесия (2.1), получим уравнения равновесия элемента сплошной среды для случая, когда его напряженное состояние соответствует плоскостям кратности
ё + 2^1^ (1/3 — Т‘ *'>) — 2{<тт,^ ^ п„ + п,„ — 0. (2.2)
На каждой из полуплоскостей кратности промежуточного ранжированного напряжения имеем три уравнения (2.2), к которым необходимо присоединить условие ортогональности (1.7).
Таким образом, уравнения равновесия (2.2) и присоединенные уравнения (1.7) для каждой полуплоскости кратности содержат по четыре параметра, которые подлежат определению.
Уравнения типа (1.6) и (2.2) были получены ранее Д.Д. Ивлевым, исходя из предположения, что модель линейно упруго деформируемого тела соответствует ребру равносторонней шестигранной призмы [4].
а2
Список литературы
1. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 605 с.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. М.;Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.
3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов //
Теория пластичности: сб. пер. М.: ИЛ, 1948. С. 168-205.
4. Ивлев Д.Д. О математическом описании поведения изотропного тела при
помощи кусочно линейного потенциала // ПММ. 1961. Т. 25. № 5. С. 897-905.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
The equations of balance of an element of the continuous environment under condition of frequency rate of an intermediate main stress
Y.Y. Kuznetsov, N.M. Mattchenko
Abstract. The condition of frequency rate of the main stress imposes restrictions on components тензора stress. From six component тензора stress on planes of frequency rate of the main stress independent remain only four. In view of this circumstance the equations of balance of an element of the continuous environment are written out.
Keywords: tensor stress, the main maximal stress, frequency rate of the main stress, consistency relation a component тензора stress, the equation of balance.
Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Mattchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 29.03.2013
