CC BY
72
УДК 629.113 Г. И. Мамити
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНОЙ МАШИНЫ
UDC 629.113 G. I. Mamiti
EQUATIONS OF STRAIGHT LINE MOTION OF WHEELED VEHICLES
Аннотация
Предложены новые расчетные силовые схемы и уравнения движения колесной машины, в основу которых положено приведение всех действующих сил и моментов к центру пятна контакта колеса с дорогой.
Ключевые слова:
уравнение, прямолинейное движение, колесная машина, дорога, колесо, силовая схема, сила, момент, центр, пятно контакта.
Abstract
New design force diagrams and equations of motion of a wheeled vehicle are proposed, which are based on the reduction of all acting forces and moments to the center of contact patch between the wheel and the road. Key words:
equation, linear motion, wheeled vehicle, road, wheel, force diagram, force, moment, center, contact
patch.
Общепринятая силовая расчетная схема колесной машины при разгоне на подъеме для случая, когда радиус г колеса меньше высоты h центра масс, высоты hw центра парусности, высоты hх расположения буксирного крюка, т. е. г < h, hw, hх, представлена на рис. 1, где угол а можно связать с превышением На и заложением Ва как г = На / Ва = = 1§а. При этом уравнение движения запишем в виде [1]
Р - ш]Ъ - уО - Pw - Рх = 0. (1)
Для этого же случая (г < h, hw, hх) в [2-6] для решения различных задач получено и использовано новое уравнение движения колесной машины
P = mjb - yG -
P(hw - r)
P(hx - r)
- Pk = 0,
(2)
где Р - сила тяги при равномерном движении, Р = Меф/г; Ме - эффективный момент двигателя; г, п - передаточное число и коэффициент полезного действия трансмиссии; г - радиус колеса; ш/5 - приведенная сила инерции;
ш - масса; ] - ускорение машины; 5 - коэффициент учета вращающихся масс, 5 = (Ъ - г)/г + (1мцг2 + Л)/шг; Лм - момент инерции маховика двигателя; З - момент инерции всех колес машины; О - сила тяжести машины, О = шg; g - ускорение свободного паде-
| Мамити Г. И., 2017
r
ния; у - коэффициент сопротивления дороги, у = f cosa + [(h - r) / r] sina; f - коэффициент сопротивления качению; а - угол подъема; Pw - сила сопротивления воздуха; Рх - сила сопротивления прицепа; Pk - сумма сил, приложенных к корпусу машины, приведенных к оси ведущих колес, Pk = Pw + Pj + + Pa + Px; Pj - сила инерции поступательно движущихся масс машины, Pj = mj; Pa - сила сопротивления подъему, Pa = G sina.
Составим новую расчетную силовую схему [6] колесной машины (рис. 2),
освободив ось ведущих колес от дополнительных связей, приведя к оси ведущих колес по теореме Вариньона все действующие на машину силы Z, Рw, Р/, Ра, Рх и образуемые ими моменты М/ = Z • а, где а - смещение вперед, по ходу движения, равнодействующей Z нормальных реакций дороги от вертикального диаметра колеса; Mw = Pw(hw - г); М} = Р(Ъ - г); Ма = Ра(Ъ - г); Мх = Рх(кх - г), а также тяговый момент М и инерционный момент МЕ сопротивления ускоренному вращению колес машины.
Рис. 2. Новая расчетная схема колесной машины: а - расчетная схема, в которой все силы и моменты, действующие на колесную машину, приведены к оси ведущих колес и их контакту с дорогой; б, в - эквивалентные расчетные схемы
Новая силовая схема (см. рис. 2) позволяет безошибочно вывести уравнение движения автомобиля (2) проецированием суммы продольных сил Рк, действующих на ось ведущих колес, на плоскость контакта колес с дорогой и нахождением реакций опорной поверхности от действующих моментов М/, М*,, М, Ма, Мх, М, Мг путем деления на радиус г.
Согласно рис. 2,
Р - Рк - Ртм 0,
где Ртм - реакция опорной поверхности от воздействия действующих моментов, Ртм = (Мг + М/ + Mw + Ма + М/ + Мх)/г.
Подставив в это уравнение значения составляющих, получим уравнение движения колесной машины (2).
Одним преимуществом уравнения (2) по сравнению с общепринятым (1) является учет высот h, hw, hх приложения сил (точнее - точек), другим - возможность выявления роли радиуса г ведущих колес при изучении силового взаимодействия машины и прицепа.
Недостаток уравнения (2) в том виде, в котором оно записано, заключается в налагаемом на него ограничении - оно применимо только в случае, когда г < h, hw, hх.
Однако уравнение движения колесной машины (2) имеет возможное ограничение. Ведь если точка приложения силы к корпусу машины находится на высоте hх ниже радиуса колеса (г > hх), то реакция опорной поверхности станет положительной. Тогда сумма отрицательных реакций, вызываемых действующими моментами, определится как
Ртм = (Мг + М/ + Mw + + Ма + М/ - Мх)/г.
Этот недостаток легко устраняется. Для этого в уравнении (2) достаточно плечи приложения сил Pw, Р/, Ра, Рх относительно оси ведущих колес записать в виде (И - г), если г < h, или
(r - h), если r > h. Тогда уравнение (2) примет универсальный вид, независимый от разностей (h - r) или (r - h):
P = mj Ъ - у G --Pwhw / r - Pxhx / r = 0; (3)
5 = h / r + (J Мц12 + Jk)/mr2; у = f cos a + (h sin a)/ r.
Проверим правильность полученных результатов. Для этого изменим основную систему и составим выражения моментов от действующих сил относительно центра пятна контакта ведущего колеса с дорогой:
Mf = G-a; Mw = Pw ■ hw; Mj = Pj - h; M a= Pa- h;
Mx = Px - hx.
Приведя продольные силы Pk = Pw + Pj + Pa + Px К плоскости контакта колес с опорной поверхностью и сложив с реакциями дороги от действующих моментов M/r; Mf/r; Pwh/r; Pjh/r; Pah/r; Pxhx/r, вновь получим уравнение (3).
Как видно из изложенного, одни и те же уравнения движения колесной машины получены из двух разных расчетных схем (см. рис. 1 и 2). То, что уравнения (2) и (3) верны, исчерпывающе доказано методом изменения основной системы.
Для доказательства теоретических выводов и разработанных расчетных схем проведем физический эксперимент. С этой целью возьмем две катушки (рис. 3) с внутренней (а) и внешней (г) намоткой ниток и потянем их с силой Рх (сопротивление прицепа).
Из рис. 3, б видно, что момент Мх вызовет в контакте колеса с дорогой касательную реакцию Ртх (рис. 3, в), кото-
рая будет меньше величины Рх, и первая катушка (г > Нх Ф 0) покатится в сторону большей силы Рх.
Вторая катушка (г > Нх = 0) не по-
катится, т. к. моментМх (рис. 3, д) вызовет реакцию Ртх, равную Рх, и действующие в контакте силы (рис. 3, е) уравновесятся.
г)
1—^ ; Щ *
Ртх—Рх
Рис. 3. Катушки с намоткой ниток и эквивалентные им расчетные схемы: а - катушка с внутренней
намоткой ниток; б - расчетная схема, эквивалентная катушке с внутренней намоткой ниток при г > Их > 0; в - то же при г > Их = 0; г - катушка с наружной намоткой ниток; д - расчетная схема, эквивалентная катушке с наружной намоткой ниток при г > Их > 0; е - то же при г > Их = 0
Приведем примеры использования уравнений (2) и (3).
Основной задачей тягового расчета любой высокоскоростной колесной машины является определение мощности сопротивлений движению и, тем самым, требуемой мощности двигателя колесной машины.
Полученные уравнения (2) и (3) позволяют решить указанную задачу и таким образом найти требуемую мощность двигателя автомобиля для достижения максимальной скорости Ушах на горизонтальном участке дороги:
^ = [(/О + РМ,К / г)Ушах]г. (4)
Так как Рw = кГУ 2шах, то для определения мощности двигателя автомобиля по формуле (4) необходимо знать величину коэффициента обтекаемости к, рас-
считать площадь фронтального сечения Г и высоту центра парусности hw. Разработанные методики определения Г и hw и пример их расчета приведены в [5].
В качестве второго примера использования нового уравнения движения (2) рассмотрим динамическое преодоление автомобилем невысокого порога (см. рис. 3) высотой [6]
¿шах = (г - г0)/2,
где г0 - радиус обода колеса.
Движущая сила при этом будет создаваться как двигателем автомобиля, так и приведенной силой инерции 5т/, учитывающей поступательно движущиеся и вращающиеся массы автомобиля.
Воспользуемся способом приведения сил, приложенных к корпусу авто-
мобиля, к контакту колес с опорной щие на полноприводный автомобиль
поверхностью [2] при составлении урав- (рис. 4), к оси О передних колес и к
нения движения колесной машины и грани А порога (рис. 5). сведем все силы и моменты, действую-
I
Рис. 4. Силы, действующие на полноприводный автомобиль при динамическом преодолении невысокого порога
Рис. 5. Силы, действующие на передние колеса полноприводного автомобиля при динамическом преодолении порога высотой Итях
Составим сумму проекций, действующих на передние колеса полноприводного автомобиля сил, на направление реакции Я:
Я -^соэа-[(фх -/х)С2 + + Ъш/ ]бш а = 0.
Тогда
Я = а + [(фх -/х +
+ Ъщ/^т а. (5)
Далее составим сумму моментов относительно точки А кромки препятствия:
Mx -Gj (r- A)sinа + [(фх - fx)G2 +
+ 8mj](r - A) cos а + 8mj(h - r) = 0. (6)
Максимальное значение суммы моментов M1 + 8mj(h - r) не может
быть больше фАR( r - A) :
M1 + 8mj (h -r) <фА R( r -A), (7)
где Mi - момент, подведенный от двигателя к передним колесам автомобиля.
Подставив в уравнение (6) выражения (7) и (5), получим
фA (r - A) {G1 C0S а + [(фx - fx ) G2 +
+ 8mj J sin а} = G1 (r -A) sin а--[(фх - fx) +5mj](r -A) cos а. (8)
Разделив выражение (7) на (r - A) cosa, получим
ф А {Gj + [(ф х - fx )G2 +
+ 8 mj]tga = G1tgа +
+ (ф x - fx )G2 -8mj,
откуда определим замедление автомобиля при преодолении порога:
j = {[G1 (tga - ф A ) /(1 + ф x tga)] -
- (фx - fx )G2}/ 8m. (9)
Рассмотрим треугольник АОС (см. рис. 5), в котором
r-A
тогда угол a определяется как
r - h
а = arceos-
r -A
Функциональная зависимость (9) позволяет оценить возможность преодоления невысокого порога без неприятных ощущений для людей и возможность недопущения поломок подвески.
Расчетную схему, приведенную на рис. 5, можно использовать и для неполноприводных автомобилей. Если автомобиль заднеприводный, в нем будет отсутствовать момент М1, подводимый от двигателя, а если пе-реднеприводный - будет отсутствовать толкающая сила (фх - /х)О2,
вместо которой останется сила сопротивления качению (-/ХО2).
Проинтегрировав выражение (9) по времени, можно рассчитать безопасную начальную скорость для преодоления порога определенной высоты.
Выводы
Изложенное, в том числе пример расчета, свидетельствует о том, что для вывода уравнения движения колесной машины следует привести, согласно теореме Вариньона, продольные, параллельные опорной поверхности составляющие всех действующих на корпус машины сил к основным системам, за центры моментов которых следует принять ось вращения ведущих колес или центр пятна контакта ведущих колес с опорной поверхностью.
Уравнения (2) и (3) верны, т. к. прошли исчерпывающую аналитическую проверку методом изменения основной системы. Разработанные расчетные схемы экспериментально подтверждены на физических моделях.
Использование уравнений (2) и (3) при проектировании колесных машин будет способствовать совершенствованию последних.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мамити, Г. И. Теория движения двухосной колесной машины. Ч. 1. Механика эластичного колеса. Тяговая и тормозная динамика. Тяговый расчет. Моделирование процесса торможения. Топливная экономичность, маневренность, проходимость и плавность хода : учебник для вузов / Г. И. Мамити. -Владикавказ : Горский госагроуниверситет, 2012. - 216 с.
2. Мамити, Г. И. Приведение сил и моментов, действующих на колесную машину, к контакту колеса с опорной поверхностью / Г. И. Мамити // Изв. ФГБОУ ВПО «Горский ГАУ». - 2013. - Т. 50, ч. 4. -С. 155-158.
3. Мамити, Г. И. Новое уравнение движения колесной машины / Г. И. Мамити // Тракторы и сельхозмашины. - 2014. - № 6. - С. 15-18.
4. Mamiti, G. I. New Equations of Motion of Vehicles / G. I. Mamiti // Russian Engineering Research. -2015. - Vol. 35, № 7. - Р. 493-495.
5. Мамити, Г. И. Новое уравнение движения, тяговый расчет, определение площади фронтального сечения и высоты центра парусности автомобиля / Г. И. Мамити // Автомобильная промышленность. -2015. - № 10. - С. 16-18.
6. Мамити, Г. И. Использование нового уравнения движения для расчета параметров колесной машины / Г. И. Мамити, А. Е. Гагкуев, В. Б. Тедеев // Изв. ФГБОУ ВПО «Горский ГАУ». - 2016. - Т. 53, ч. 4. - С. 203-209.
Статья сдана в редакцию 30 декабря 2016 года
Герас Ильич Мамити, д-р техн. наук, проф., Горский государственный аграрный университет. E-mail: avtofak.ggau@yandex.ru.
Geras Ilich Mamiti, DSc (Engineering), Prof., Gorski State Agrarian University. E-mail: avtofak.ggau@yandex.ru.
