CC BY
118УДК 519.863 Математика
Петухова Н. А., бакалавр кафедры прикладной математики, специальность
«Математическое и информационное обеспечение в экономической деятельности», ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», Пермь, e-mail: natalja.petuhowa@vandex. ru
УРАВНЕНИЯ ЛОТКИ - ВОЛЬТЕРРЫ В ЭКОНОМИКЕ
Аннотация. На базе известной математической модели Лотки - Вольтерры, которая описывает конкуренцию биологических видов, выводится система уравнений для двух конкурирующих экономических агентов.
Ключевые слова: Модель Лотки - Вольтерры, модель «хищник - жертва», конкуренция, динамическая модель.
Abstract. Based on known mathematical models of Lotka - Volterra, which describes the competition of species, derived system of equations for two competing economic agents.
Keywords: Lotka-Volterra model, "predator - prey" model, competition, dynamic model.
Введение
За долгое время изучения конкурирующих биологических популяций оказалось, что элементарные процессы борьбы за существование подчиняются определенным в своей мере количественным законам. По своей сути модель Лотки-Вольтерры (она же модель «хищник - жертва») есть математическое описание дарвиновской теории - принципа борьбы за существование. Этот принцип легко можно использовать и в современной экономике [1].
Динамическая модель предприятия.
Пусть фирма, обладает основными фондами K(t), привлекает рабочую силу L(t), использует природные ресурсы (сырье, вода, энергия, земля и т.д.) R(t) и получает объем товара х(t), который выражается в текущих ценах. Для задач со сложной структурой R(t) - это оборотный капитал, K(t) - основной капитал.
Обозначим производственную функцию фирмы как ç и получим первое математическое выражение: \(t) = ç(K(t),L(t),R(t)). Функция ç со всеми своими
первыми производными являются строго положительными. Здесь и в дальнейшем t обозначает непрерывное время. Тогда скорость изменения любой переменной обозначаема либо dx/dt.
Для того чтобы расширить производство, руководству фирмы необходимо расширить и основные фонды, при этом использовать больше трудовых и природных ресурсов. Примем как простейший вариант исследования, что основные фонды на свое поддержание требуют амортизационных отчислений, пропорциональных объему основных фондов, а на развитие инвестиций -1(t). Далее, будем предполагать, что используемые ресурсы пропорциональны основным фондам, включенным в производство: L(t ) = lK (t ), R(t ) = rK (t ), и фирма тратит прибыль только на развитие: I(t) = x - lK - rK. Добавляя к этим предположениям требование линейности производственной функции ç, получим уравнение, описывающее изменения основных фондов:
К(1:) = ^-р + (рк+{(рь-\)1 + {(рк-\)г^К(1:\ здесь р - коэффициент износа основных
фондов, çK=dç/dK, çL = dç/dL, çR=dç/dR. Это уравнение приводит к экспоненциальному росту основных фондов, если s = -fi+çK+(çL-\) l + (ç-l) r > 0. Соответственно и выход продукции будет расти/убывать экспоненциально: x (t) = x (0)- exp (st) [2].
Таким образом, модель: x(t) = s-x(t) с постоянным коэффициентом роста s характеризует динамику одного предприятия при отсутствии каких-либо экономических ограничений (в идеале). Но на практике, как выясняется ограничения всегда существуют. Например, такие как:
• рост производства, приводящий к насыщению рынка и снижению спроса;
• моральное старение товаров или услуг;
• привлечение рабочей силы в связи с расширением производства (однако когда рынок труда ограничен, расширение достигает верхнего предела);
• природные ресурсы всегда будут ограниченными либо по объему, либо по цене, когда спрос на ресурсы растет (это же касается и труда).
Для того, чтобы перейти к модели Лотки - Вольтерры, достаточно в последнем уравнении коэффициент S представить, как убывающую линейную функцию растущего значения x(t) (линейную, так как это простейшая убывающая функция): s = S - yx(t), с постоянными S, у.
Тогда, первая фирма имеет производственную функцию x = p(Kx,Lx, Rx) а вторая - y = у(Ку, L, R), где p и у - однородные линейные функции своих
аргументов. Возьмем в предположение, что каждая фирма тратит прибыль только на инвестиции. Затраты на трудовые ресурсы и оборотный капитал пропорциональны соответствующим привлекаемым основным фондам. Коэффициенты пропорциональности вследствие предположения об ограниченности ресурсов (на общем рынке труда и сырья) будем считать линейными убывающими функциями Kx, Ky . Следовательно, изменения основных фондов обеих фирм складываются из износа и инвестиций:
<(0 = ~РЛ* + А -К,
Ky(t) = -PyKy + w{Ky,Ly,Ry)-Ly-Ry. Подставляя линейные выражения в качестве коэффициентов для труда и
сырья: Lx =(/0х-luKx-l2xKy)Kx,...,Ry = {r,y-rlyKx-r2yKy)Ky, получаем систему уравнений относительно Kx, Ky :
^(0 = [~РХ + Рк + (<Рь - О L + (%"!) г0х ~
-(pJlx + PRrix ) Kx - (pJlx + PRr2x ) Ky ] Kx,
ку (0 = [-R + ¥k + -1) i0y+{¥r -1) ¡
{-(Vl11 y + ¥Rriy ) Kx - (Vl¡2y + УRr2y ) Ky ] Ky •
Для удобства переобозначим коэффициенты:
si = -PX + Pk + (Pl -1)lox + (Pr -1)r0x,
Til =Pl11x +PRrix , У12 =PLl2x +PRr2x ,
S2 =-Py +УК +(^L - 1) l0 y + (Wr - 1) Г0 y ,
У21 = VLl1y + Wy , У22 =VLl2y +^Rr2y •
¡ro y
(1)
И тогда уравнение Лотки - Вольтерры в экономическом аспекте будет выглядеть следующим образом:
кх(0 = [£1-упкх-упку]кх
К^=[52-г21Кх-Г22Ку]КУ Величины(рК,(рь,(рк , у/кхарактеризуют производственные функции обеих фирм, следовательно, можно считать их заданными.
По нашему предположению о производственных функциях эти величины положительны. Коэффициенты в и у должны быть идентифицированы по
информации об объемах основных фондов Кх, Ку . Остались только коэффициенты
I и г, но их двенадцать на шесть приведенных выше уравнений. Поэтому при идентификации необходимо уделять этому особое внимание.
Ограниченность общих ресурсов приводит к тому, что с возрастанием Кх, Ку
коэффициенты возобновления капитала стремятся к нулю, а затем становятся отрицательными. Это говорит о том, что фонды начинают убывать. Область в плоскости переменных Кх, Ку, когда основные фонды еще не выбывают из производства, аналитически выражается неравенствами:
1о* - КК* -12ХКУ > 0,
г0у - г1у*к* - Гуку > 0 '
При достаточно малых Кх, Ку эти неравенства выполняются. Увеличение
какого-нибудь из них приводит к уменьшению коэффициента пропорциональности между стоимостью ресурсов и привлекаемых основных фондов на единицу продукции.
Так, например, если первое из указанных выше неравенств перестает
выполняться при некоторых значениях Кх, Ку, то это значит, что первая из фирм
получает продукцию вообще без привлечения рабочей силы, что требуется исключить. Такие особенности модели более подробно необходимо обсуждать в каждом конкретном случае.
В зависимости от ситуации, систему уравнений (2) можно при необходимости дополнить временным лагом. Так как временной лаг позволяет модели быть более адекватной реальным данным. Такое действие характерно для фирм с достаточно большим производственным циклом. Численно идентифицировать такую систему можно любым удобным способом [3].
Заключение
В настоящее время моделирование разных экономических явлений, в частности конкурентных процессов имеет важное практическое применение для краткосрочного или среднесрочного прогнозирования промышленных предприятий и экономики страны, вообще говоря. Рассмотренная в статье модель конкурентных отношений Лотки - Вольтерры тому доказательство. С ее помощью можно описать поведение двух экономических агентов на одних из важнейших экономических рынков страны, а также, спланировать краткосрочный, но весьма точный прогноз, что говорит о практической значимости этой модели выбранной модели. Хотя данная модель чаще встречается в биологии, на примере хорошо показано, что модель можно использовать и в экономической сфере.
Библиографический список
1. Прасолов А.В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в экономике и инженерии: учеб. пособие - СПб.: Издательство «Лань», 2010. - 192 с.
2. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики, № 25. - М.: Наука, 1972, с. 101 - 106.
3. Прасолов, А. В, Математические модели динамики в экономике: учеб. пособие-СПб.: Изд-во Университета Экономики и Финансов, 2000. - 270 с.
