CC BY
60
ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ
ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ
А. Т. Лялькина, доцент кафедры математики и теоретической
механики МГУ им. Н.П. Огарева,
Т.Н. Нестерова, ассистент кафедры информатики и вычислительной
техники МГУ им. Н.П. Огарева
Для математического образования характерны две традиции. Первая связана с тем, что человек должен уметь пользоваться известными алгоритмами, вторая ориентирована на то, чтобы научить человека
Однако школьный курс математики нацелен преимущественно на решение большого количества стандартных задач, решаемых по определенным алгоритмам. Достичь сформулированных выше целей
думать. Российская традиция всегда осно- математического образования с помощью вывелась на развитии интеллекта. Одна из таких задач невозможно. По мнению изве-
целей математического образования на современном этапе - не дать угаснуть этой
замечательной традиции.
Респонденты профессора В.М. Тихомирова из США, Канады, некоторых европейских стран при выборе вариантов ответа на вопрос «В чем состоит цель математи-
стного американского методиста и математика Д. Пойа, если преподаватель математики заполнит отведенное ему учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности. Поэто-
зрения, ориентация в окружающем мире, “физкультура” мозга?» предпочтение отда-
ческого образования: подготовка в вуз, под- му целесообразно включать как в школь-
готовка к будущей профессии, интеллекту- ный курс математики, так и, в особенно-
альное развитие, формирование мировоз- сти, на факультативные занятия нестан-
дартные задачи. Мы в течение многих лет разрабатываем системы таких задач вали «подготовке к будущей профессии». для 7 - 11-х классов. Ниже приведены
В России и странах бывшего Совет- некоторые материалы по решению не-
ского Союза первое место, причем с большим отрывом, всегда занимало интеллектуальное развитие (Тихомиров В. О некоторых проблемах математического образования // Вестн. высш. образования. 2000.
№ 7. С. 21 - 26). Аналогичные результаты были получены нами и при проведении опроса среди студентов математического и строительного факультетов Мордовского
стандартных уравнении и неравенств, которые, как правило, не могут быть непосредственно решены по известному алгоритму. Возникает необходимость поиска решения, что способствует развитию творческого мышления, порождает радость открытия - этот важнейший эмоциональный фактор развивающего обучения, поддерживает интерес учащихся к
государственного университета им. Н.П. Ога- поиску решения задач.
рева: 70 % респондентов на первое место поставили интеллектуальное развитие и «физкультуру» мозга. Кроме того, к предложенным в анкете целям математического образования многие студенты-матема-
Нестандартные задачи требуют определенной сообразительности, свободного владения различными разделами математики, высокой логической культуры, а помимо этого - и психологической подготов-
тики добавили «умение нестандартно мыс- ленности. Нередко бывает, что задача, по
лить и находить другие, лучшие варианты разрешения проблем».
существу совсем несложная, но сформулированная несколько необычно, вызывает
© А.Т. Лялькина, Т.Н. Нестерова, 2001
№ 3, 2001!
непреодолимые трудности. А ее решение требует всего несколько слов.
Приведем примерное распределение занятий факультативного курса «Нестандартные уравнения и неравенства» и фрагменты некоторых факультативов.
1-е занятие. Доклады учащихся по теме «Роль и место уравнений и неравенств».
На первом занятии важно проверить степень подготовленности учащихся к ре-
шению уравнении и неравенств, вспомнить базовые понятия по данной теме. Для этого мы используем устные упражнения.
Упражнение 1. Из приведенных ниже утверждений выберите неверные
а) Неравенства /(*)>£(*) и f{x)—g{x)> 0 равносильны.
б) Неравенства /!*)>£(*) и
f{x)+a>g{x)+
а равносильны для лю-
бого числа а.
в) Неравенства /(*)>
cф(x)>ag{x) равносильны для любого
числа а.
/(*) кМ
г) Неравенства а >а и /(*)> ¿К*) равносильны для любого фиксированного числа из промежутка (1; + со).
/О) ё(х)
д) Неравенства а >а
и
/(*) > &(*) равносильны для любого фик-
промежутка примеры для
с суждений. Ответ: в), д). Упражнение
дующие
а) х3 < 1 и * 1;
б) уіх
в)
1 <Х И X — 1 < X
1 >х и х — \ > X
х — х — \ .
Г) ~3----------------® и
X 1 ■+■ X + 1
х6 -х2 -2х-1 > о;
Д)
X
х-\
X + X + 1
>0 и
6 2 X -X
2х -1 > 0.
Ответ: а) да, б), в), г), д) нет.
2 - 3-е занятия. Использование ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
Иногда знание области допустимых значений уравнения или неравенства позволяет доказать* что уравнение или неравенство не имеет решений, а иногда это знание позволяет получить решение непосредственной подстановкой чисел из области допустимых значений.
Пример 1. Решите уравнение:
соэх
соэх
-\-ctgx.
Решение: ОДЗ этого уравнения состо-и ит из всех х, одновременно удовлетворяю-
щих условиям
соэх
>0,
СОБХ
> 0, х Ф 7т, х є 2 ,
п
т.е. ОДЗ есть X = +лк, . Подстав-
V
ляя эти значения х в исходное уравнение,
получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает,* что все
71
х- —|- к є. 2, являются его решения
2
О
МИ.
Ответ: х
п
2
+ як, к&2
/ т Пример 2. Решите неравенство:
л/х + 7+^49
4~і
Решение: ОДЗ неравенства есть все х из промежутка —1<х<49• Разобьем это
множество на два промежутка: -7 < х < 0
и
0<х<49
і«,
ля х из промежутка
7 < х < 0 имеем
j ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ \
л/х + 7 > 0, л/49 - х > V49 = л/7.
Следовательно, на этом промежутке
(х + -)2 +4 2
3
л/х + 7 + V49
X
> л/7
и исходное нера-
, К- 3
(х- )" +
2 4
(1)
венство не имеет решении.
Пусть х принадлежит промежутку
О < х < 49 • Тогда л/х + 7 > 4Ї
и
Очевидно, что для любых действительных х имеем g(x) = (х + ~)2 + 4 ^ 4
2
л/49 — х > 0 • Следовательно,
л/хТ7 + V49
х >
л/7
/(х)
3
О
для таких х и на этом промежутке неравенство также не имеет решений.
Ответ: Решений нет.
4 - 5-е занятия. Использование ограниченности функций при решении уравнений и неравенств.
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности функции сверху
4
или снизу на некотором множестве часто играет определяющую роль. Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства
fix) > A, g(x)<A,
где А - некоторое число, то на множестве М уравнение /(х) = g(x) и неравенство
/(х) < g(x) решений не имеют.
Заметим, что если роль числа А игра-
V+3
2 4
<4
Следовательно, уравнение (1) равно-
сильно системе уравнении:
(х + -)2+4 = 4, 2
1. ч 3
(х-—) + — -4. 2 4
Эта система уравнений решений не имеет, поэтому исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: Решений нет.
Пример 4. Решите неравенство:
2
х
2 + х
<3V
(2)
Решение: ОДЗ неравенства (2) есть все
ет нуль, то в этом случае говорят о сохра- действительные х, кроме х
2. Разобь-
нении знака функций /(х), g(x) на мно- ем ОДЗ на три множества - оо < х < -2.
жестве М.
Если при решении уравнения f^x) — g{x) удается показать, что для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства /(х)<А и
£(х) > А , то на множестве М уравнение равносильно системе уравнений
/(х) = А, g(x) = А .
Пример 3. Решите уравнение:
-2<х<0, 0<х< +оо и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. Пусть - оо < х < -2 • Для каждого из
этих х
имеем g{x) - -------< О
2 + х
а
4х +4х + 17
12
/М = 3'>0.
Следовательно, все эти х являются решениями уравнения.
Пусть — 2 < х < 0. Для каждого из этих
х имеем
х
X +1
Решение: Перепишем уравнение в виде
2х
g(x) = l-—->1,
2 + х
а / (х) = 3х < 1. Следовательно, ни одно из
этих х не является решением исходного неравенства.
Пусть 0 < х < +оо • Для каждого из этих
2х
химеем 8(х) = 1 ~ ~----------<1, а
2 + х
/(х) = 3Х > 1 • Следовательно, все эти х являются решениями неравенства.
Ответ: -оо < х <-2, 0<х<+оо-
6-е занятие. Семинарское занятие на тему «Прикладные аспекты уравнений и неравенств».
Рекомендуемая литература: Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства. М., 1964.144с.;Шкарин А.Б., ФедяновА.М., Сандлер Б.Г. Алгебраические задачи в технике. М., 1962. 116 с.
7-е занятие. Использование монотонности при решении уравнений и неравенств.
Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях. Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую (убывающую), а в другой постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Во-вторых, тогда, ког-1а одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая -убывающую. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки, а уравнение не может иметь более одного действительного корня.
Пример 5. Решите уравнение:
Х[х-2 +>/2х-5 = 2.
Решение: Запишем уравнение в виде
Х1х-2 = 2 - \12х-5.
Подбором убеждаемся, что х = 3 — корень данного уравнения. Поскольку функция у = 2- л/2х-5 монотонно убывающая, а функция у = \1 х-2 монотонно возрастающая, то других корней нет.
Ответ: х = 3..
Пример 6. Решите неравенство:
Решение: ОДЗ неравенства есть все х
из промежутка - л/2 < х < л/2 . Все х из
промежутка — >/2 < х < О являются решениями исходного неравенства, так как для каждого такого х имеем, что функция
д*) = х2 неотрицательна, а функция
Л
g(x) — х' + х -1 отрицательна.
Рассмотрим исходное неравенство на
промежутке (0; л/2] • Поскольку функция
g(x) непрерывна и строго возрастает на
этом промежутке, функция /(х) непрерывна и строго убывает на этом промежутке,
то уравнение f(x) = g(x) имеет единственный корень на этом промежутке. Легко
видеть, что таким корнем является х = 1. Для каждого х из промежутка (0; 1)
имеем, что /(х) = 8л/2-х2 >1, а
£(х) = X3 + х -1 < 1 • Поэтому все X из этого промежутка являются решениями исходного неравенства. Для каждого х из про-
межутка (1; л/2] имеем, что
Дх) = л/2^хГ < Ь а
£(х) = х3 + х -1 > 1 Поэтому такие х не
удовлетворяют данному неравенству.
Итак, решениями исходного неравенства являются все х из промежутка
[-л/2; 1)
Ответ: — 42 < х < 1.
I 1 |
8 - 9-е занятия. Использование суперпозиции функций при решении уравнений и неравенств.
Пример 7. Решите уравнение:
(х2 + Зх - 6)2 + 3(х2 + Зх - 6) - 6 = х.
I
I ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
Решение: Обозначим ^
Дх) = х2 + Зх - 6, тогда исходное уравнение можно переписать в виде ^
/■(/(х)) = X. Теперь очевидно, что если ^
2х + 3х + 4х < 3,
СОЗХ = 1 + X
8
х0 - корень уравнения /(х)
X , то X
о
и
4)
3х+4
х-2х --
7,
8,
корень уравнения /(/(х)) = х. Корнями
уравнения
х2 + 3х-6
5)
+
7з
Л
+
являются
2-л/з
2х
X
1
1-77,
но, и исходное уравнение имеет эти корни. Переписав уравнение в виде
х* + 6х3 - 28х + 12 = 0
Л ^
и разделив многочлен х +6х -28х + 12
на многочлен (х~х\)(х~х2). получим, что последнее уравнение можно записать в виде
(х2 + 2х - 6)(х2 + 4х - 2) = 0
Следовательно, корнями уравнения наряду с х,, х2 являются также корни уравнения
7)
4со82х-соз4х = 16х + 3,
8)л/4х +1 - л/б
X
л/ 5 — 2х + л/х + 2 — 2,
9)
10)
П)
3л/4х + 4+^4х + 12 =4,
2001
х
4х2 + 2 У
4х2 + 2^
х-2,
12)
6 + |б +... + (б
+ х
х + 4х — 2 = (Ь т.е. числа
13)
+
УІ9
+ х = х,
X
•2-Тб,
X
2 + л/б
14)
х3+1 = 23л/2
х — 1,
Ответ:
х
і
1
л/7, х.
1 + л/7, (х3+2Х-2)3+2х3+3х-6
0.
х
•2-л/б,
X
2 + л/б
При проведении этих занятий мы использовали материалы работ И.И. Чучае-ва, С.И. Мещеряковой, Е.Г. Смольяновой и
12 - 14-е занятия. Классические неравенства и их применение к решению уравнений.
Рекомендуемая литература по теме «Доказательство классических нера-
М.Ю. Табачковой (см. например: Матема- венств»: Шлейфер В. Об одной схеме дотика в школе. 1997. № 6; Интеграция об-
разования. 1999. № 2).
10-е занятие. Использование графиков при решении уравнений и неравенств.
Здесь мы особенно широко использовали графики при решении уравнений и неравенств с параметрами, которые, как правило, вызывают большие затруднения у учащихся.
11-е занятие. Итоговое повторение на тему «Функциональный подход к решению уравнений и неравенств».
Упражнение 3. Раскройте идею решения следующих уравнений и неравенств:
казательства неравенств // Математика в школе. 1984. № 6. С. 58 - 60.
Учащимся предлагается самостоятельно составить уравнения по данной теме.
15 - 16-е занятия. Различные нетрадиционные методы решения уравнений и неравенств.
17 - 18-е занятия. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями и неравенствами.
Пример 8. Выразите свободный член
кубического уравнения
х3 + ах2 + Ьх + с = 0
этого уравнения образуют арифметическую нение, получим
прогрессию.
Решение: Поскольку корни х,, х2, х3
уравнения образуют арифметическую про-грессию, то удобно их обозначить
так: х, = к - сі, х
к, х
этих
обозначений
- к + с! В силу
находим
х, + х2 + х3 = Зк , а на основании формулы
Виета имеем х, + х2 + х3 = -а
Из двух предыдущих равенств следу-
ет, что
к
а
— - но так как х7 3
к , то
X-
а
3
а
(-т)3+а(-“)2+Ь(---) + с = О
3
3
3
откуда с
9аЬ - 2а
27
Ответ: с
9 аЬ - 2 а 27
19-е занятие. Итоговое повторение. Зачет.
Подчеркнем, что экспериментальное апробирование всех разработанных материалов проводилось нами в трех типах школ (естественно-техническом лицее, малой школьной академии и в математических классах школы № 32 г. Саранска).
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ МАТЬАВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Ю.Л. Макаров, преподаватель кафедры математики и теоретической
механики МГУ им. Н.П. Огарева
Сопротивление материалов как одна из важнейших дисциплин играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей и входит в программу обучения студентов вузов большинства технических факультетов.
На основных принципах сопротивления
тение твердых навыков в решении задач и проведении исследований. При этом очень важна визуализация их результатов, что не всегда осуществимо вручную, и требуется развитие методов исследования напряжен-но-деформированного состояния материалов.
Исследование напряженно-деформиро-
материалов базируются такие дисциплины, ванного состояния материалов с помощью
как строительная механика, строительные конструкции, теория машин и механизмов, детали машин. В различных курсах по машиностроительным, механическим, строи-
методов теории упругости предусматривает решение необходимого количества урав-
нении механики, с помощью которых могут быть определены тензоры напряжений, тельным, приборостроительным и другим перемещений и деформаций. Этими урав-специальностям также широко используют- нениями являются:
ся важнейшие положения сопротивления
материалов.
Главной задачей дисциплины является
а) дифференциальные уравнения равновесия (Новье), устанавливающие общие условия равновесия внутренних усилий в эле-
исследование напряженно-деформирован- ментах;
ного состояния элементов на различных б) статические условия на поверхнос-
стадиях нагружения внешней нагрузкой, ти тела (граничные условия), используемые Хорошее усвоение студентами курса сопро- для определения постоянных интегрирования, появляющихся при интегрировании уравнений (а);
тивления материалов предполагает не толь-глубокое изучение теории,но и приобре-
© Ю.А. Макаров, 2001
81
