Уравнения и их системы как математические модели прикладных задач с химическим содержанием в школьном курсе математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел IV. Математическое образование

А.В. Бодрова

УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ С ХИМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. Рассмотрены математические модели, используемые при решении таких типов прикладных задач по химии, как задачи на растворы, смеси, сплавы и задачи, при решении которых используются уравнения химических реакций.

Ключевые слова: математическое моделирование, прикладные задачи, межпредметные связи.

A.V. Bodrova

EQUATIONS AND SYSTEMS OF EQUATIONS AS MATHEMATICAL MODELS OF APPLIED CHEMISTRY'S TASKS IN SCHOOL'S MATHEMATICS

Annotation. The article describes mathematical models used for solving such types of applied chemistry's tasks as tasks in solutions, mixtures, alloys, chemical equations of the processes. Key words: math modeling, applications, intersubject communication.

Математика и химия настолько тесно связаны, что одного без другого существовать не может. Не усвоив базовые математические знания, не научившись использовать математическую логику, ученики не смогут решать даже самые простые школьные задачи по химии.

Чтобы в полной мере установить межпредметную связь математики и химии и раскрыть естественнонаучную картину мира важно при решении прикладных задач обращать внимание не только на математическую часть решения, но и на химическую (рисунок 1).

Рисунок 1. Схема решения задачи [3].

Вещества и их превращения рассматриваются как с качественной, так и количественной стороны. Поэтому и в решении задачи следует выделить две части: химическую и математическую. Таким образом, единство качественной и количественной стороны химических явлений является методологической основой решения любой расчетной задачи по химии.

То есть, сначала ученики должны научиться извлекать информацию из химической формулы вещества. Научным обоснованием решения задач по формулам служит представление о постоянстве состава веществ молекулярного строения. На основе этого рассчитывают массовые доли в соединении (определяют состав вещества). При расчетах состава вещества учащимся необходимо вспомнить определение массовой доли элемента в веществе. Основой решения задач по уравнению реакции являются знания закона сохранения массы вещества, а также химических свойств основных классов соединений, типов реакций.

Авторы работы [4] отмечают, что при реализации межпредметной связи математики и химии обучение математике не может быть подменено изучением химии на уроках математики, но обучение математике можно усовершенствовать, используя примеры из химии. То есть обучение математике должно происходить на основе целенаправленной систематической связи с химией через примеры и упражнения, содержание которых прямо или косвенно имеет отношение к химии. При этом возникает вопрос: «Каким должно быть содержание примеров и задач из курса химии, чтобы это, с одной стороны, вписывалось в обучение математике, а с другой стороны, - было направлено на реализацию межпредметной связи математики и химии?» Тут требуется специальный дидактический материал, который отсутствует в действующих учебных пособиях по математике.

Использование межпредметных связей математики и химии выполняет следующие функции [4,8]: способствует более глубокому и осмысленному усвоению программного материала; позволяет закрепить знания, умения и навыки; создать положительный эмоциональный фон обучения математике; повышает заинтересованность в изучении как математики, так и химии; развивает мышление; способствует развитию значимых качеств личности; осуществляет интеграцию учебных дисциплин, показывая применение одних и тех же законов в различных научных отраслях; выстраивает единую научную картину мира и тем самым вносит вклад в формирование научного мировоззрения.

Таким образом, в школьный курс математики очень полезно включать прикладные задачи с химическим содержанием.

Что же представляет собой химическая задача? В учебных пособиях [3] по методике химии приводится классификация на две группы: расчетные (количественные) задачи и качественные.

Именно количественные задачи и можно решить, используя методы математического моделирования.

В работе[3] авторы разделяют расчетные задачи условно на три группы:

1. Задачи, решаемые с использованием химической формулы или на вывод формулы.

2. Задачи, связанные с растворами веществ, сплавами, смесями.

3. Задачи, для решения которых используют уравнения химических реакций.

В каждую из этих групп авторы [3] включили различные виды задач, но для решения всех этих задач достаточно знать нужную формулу. Как только формула найдена, задача решается или в одно действие, или с помощью уравнения.

К задачам на растворы авторы работы [3] относят: 1) вычисления с использованием понятия «растворимость» вещества; 2) задачи с применением понятия «массовая доля растворенного вещества в растворе»; 3) задачи с использованием понятия «молярная концентрация» 4) расчеты с использованием понятия «молярная концентрация эквивалента»; 5) задачи на перерасчет одного вида концентрации в другой.

В отличие от задач на массовую долю в задачах на растворы необходимо знать определение растворимости (максимальная масса вещества, которая может раствориться в 100 г растворителя^]). Используя значение растворимости соли можно посчитать массовую долю и задача сведется к задачам на массовую долю. Точно так же к задачам на массовую долю сводятся и остальные виды задач на растворы.

В задачах, решаемых с помощью химических реакций, требуется больший объем химических знаний, чем при решении задач на растворы. Необходимо знать химические свойства веществ, упомянутых в условии задачи. Исходя из этих свойств и закона сохранения массы составляется химическая реакция и расставляются коэффициенты. И уже по составленному уравнению реакции по пропорции проводятся все расчеты.

Почти все прикладные задачи с химическим содержанием можно решить с помощью математических моделей. Что же такое математические модели?

Понятия модели и моделирования наиболее распространены в сфере обучения, научных исследованиях, конструкторских работах, в серийном производстве. В каждой из этих областей моделирование имеет свои особенности. В работе [1]авторы выделяют два основных значения термина «модель»:

- модель как аналог реального объекта;

- модель как образец будущего изделия.

В прикладной математике, химии модель какой-либо системы - другая система, служащая описанием исходной системы на языке данной науки. Согласно работе [8], математической моделью называют приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Основным процессом, лежащим в основе построения модели, является процесс абстрагирования, а модель понимается как результат абстрагирования - абстракция. При этом исследователь выделяет свойства и характеристики объекта, наиболее существенные с точки зрения исследования и отвлекается от остальных свойств исследуемого объекта.

Моделирование помогает разрешить проблему в разных ситуациях, определяемых возможностями применения моделей.

В первую очередь модели используются в тех случаях, когда исходный объект-оригинал недоступен для изучения. Например, когда объект необозрим из-за его размеров (строение атома), или когда непосредственные эксперименты над объектом невозможны из-за его физических или химических свойств.

Кроме того, модели применяются тогда, когда эксперимент над дорогостоящими и уникальными техническими объектами экономически нерентабелен и нецелесообразен, или когда существует необходимость объяснения какого-либо явления, но при этом отсутствует соответствующая теория.

Создание модели предполагает знание ее структуры. В работе [7] модель состоит из двух компонентов: интерпретационного (интерфейсного) компонента и модельно-содержательного, который включает: носитель модели, систему характеристик и систему отношений (таблица 1).

Таблица 1.

Структура модели_

Интерпретационный компонент Содержательный компонент

Носитель Система характеристик Система отношений

Описание обозначений, определения и способы нахождения значений величин и других характеристик и другие описания правил интерпретации Множество элементов, из которых состоит исследуемый объект (с точки зрения системы целей исследования) Множество функций, область определения которых включается в носитель модели Множество отношений на объединении носителя модели и множестве характеристик модели

Содержательный компонент математической модели представляет собой математический объект (один ил несколько). Интерпретационный компонент математической модели - объект, устанавливающий связи ее содержательного компонента с объектом-оригиналом. Добавляя к одному и том уже математическому объекту различные интерпретационные компоненты, можно получать математические модели различных веществ и процессов.

Математическое моделирование как вид деятельности включает следующие этапы [7]:

Первый этап - этап построения математической модели. На этом этапе происходит разделение свойств объекта на существенные и несущественные с точки зрения поставленной цели (требования); выделение существенных свойств, их обобщение; абстрагирование от несущественных для рассматриваемой ситуации свойств. Построение математической модели как многоуровневой абстракции может сопровождаться построением одной или нескольких вспомогательных моделей. Этот этап является самым сложным из всех этапов математического моделирования, поскольку требует не только владения математическим языком, но и применения знаний из химии.

Второй этап - этап работы с математической моделью. Он включает два подэтапа: 1) обоснование того факта, что построенный математический объект является моделью соответствующего объекта реальной действительности. Здесь осуществляется рефлексия связей между моделью и объектом (это особенно важно в том случае, если модель возникла не логическим, а интуитивным путем), проверка построенного математического объекта на соответствие критериям модели: построена в соответствии с поставленной целью; в ней выделены все существенные для цели исследования свойства объекта; замещает реальный объект. 2) Выведение различных следствий из построенной модели, ее решение математическими средствами.

Третий этап - этап интерпретации. На этом этапе осуществляется перевод результатов исследования с математического языка на язык исходной ситуации.

Четвертый этап - этап дополнительной работы с моделью (моделями: словесной, математической). На этом этапе осуществляется: а) уточнение (в случае необходимости) сконструированных моделей; б) их экспериментальная апробация; в) конструирование или выбор для данного математического объекта других объектов, содержательным компонентом математических моделей которых он является; г) решение математической модели разными способами; д) конструирование

для данного объекта других математических моделей; е) дополнительная работа с существенными и несущественными для цели построения математической модели свойствами объекта-оригинала и другое.

Для осуществления процесса моделирования необходимо уметь:

- распознавать возможности применения в конкретной ситуации метода математического моделирования;

- реализовывать все его этапы, рационально выбирая на каждом из них средства моделирования, способы их реализации, порядок действий;

- контролировать т корректировать весь процесс выполнения.

В деятельности математического моделирования осуществляются следующие переходы: реальная ситуация (реальный объект) - вспомогательная (содержательная, концептуальная или формальная) модель - решающая математическая модель - вспомогательная (содержательная, концептуальная или формальная) модель - реальная ситуация (реальный объект).

Ниже приведены этапы составления математической модели для задачи из пособия по химии, рекомендованного Министерством общего и профессионального образования в качестве учебного пособия для поступающих в вузы. Такие задачи решаются с применением понятия «массовая доля растворенного вещества в растворе» и являются основными в первой группе задач.

2.1.1. «Какова будет массовая доля азотной кислоты в растворе, если к 40 мл 96%-ного раствора ЫКОз (плотность 1,5 г/мл) прилить 30 мл 48%-ного раствора ЫК03 (плотность 1,3 г/мл)?» [5]

Существенные для решения свойства: массовые доли растворенных веществ; объемы растворов и плотности растворов необходимы для расчета массы растворов (р =

Несущественные для решения свойства: название и формула кислоты, физические и химические свойства кислоты, зависимость массы, плотности кислоты от температуры.

Вспомогательная модель задачи (с учетом закона сохранения масс) приведена в таблице 2.

Таблица 2.

Вспомогательная модель задачи 2.1.1._

Масса раствора кислоты, г Массовая доля кислоты, доли Масса кислоты, г

Раствор 1 404,5 0,96 = 40-1,5-0,96

+ + +

Раствор 2 30-1,3 0,48 = 30-1,3-0,48

= = =

Раствор 3 40-1,5+30-1,3 х = (404,5+304,3)х

Решающая алгебраическая модель задачи:

Интерпретационный компонент:

404,5 - масса раствора 1, г;

30-1,3 - масса раствора 2, г;

40-1,5+30-1,3 - масса раствора 3, г;

0,96 - массовая доля кислоты в растворе 1, доли;

0,48 - массовая доля кислоты в растворе 2, доли;

40-1,5-0,96 - масса кислоты в растворе 1, г;

30-1,3-0,48 - масса кислоты в растворе 2, г;

х - массовая доля кислоты в растворе 3, доли;

(40-1,5+30-1,3)х - масса кислоты в растворе 3, г.

Содержательный компонент:

40-1,5Ю,96+30-1,3Ю,48=(40-1,5+30-1,3)х

х - ?

Этап работы с математической моделью: 40-1,5-0,96 + 30-1,3-0,48 = (404,5 + 30-1,3) х 57,6+18,72 = 99х 76,32 = 99х х = 0,77

Этап интерпретации:

Массовая доля азотной кислоты в полученном растворе 77%. Ответ: 77%. Этап дополнительной работы с моделью:

Общий вид содержательного компонента решающей математической модели задачи: а-Ь +с-ё = (а +с) х; х- ?

Задача на растворывходит в структуру типовых экзаменационных вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня(задача 11):

2.1.2. «Смешав 25-процентный и 95-процентный растворы кислоты и добавив 20 кг чистой воды, получили 40-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 50-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 25-процентного раствора использовали для получения смеси?» [2]

Существенные для решения свойства: масса растворов, массовые доли растворенных веществ. В отличие от предыдущей задачи уже даны массы растворов, никаких дополнительных формул из химии использовать не требуется.

Несущественные для решения свойства: в условии задачи уже не упоминаются несущественные свойства, нет названия кислоты, нет ее химических и физических свойств. Вспомогательная модель 1 задачи приведена в таблице 3.

Таблица 3.

Вспомогательная модель 1 задачи 2.1.2._

Масса раствора, кг Массовая доля кислоты в раствора, доля Масса кислоты, кг

Раствор 1 х 0,25 = 0,25х

+ +

Раствор 2 у 0,95 = 0,95у

+ +

Раствор 3 20 0 = 0

= =

Раствор 4 х+у+20 0,40 = 0,40(х+у+20)

Вспомогательная модель2 задачи приведена в таблице 4.

Таблица 4.

_Вспомогательная модель 2 задачи 2.1.2._

Масса раствора, кг Массовая доля кислоты в раствора, доля Масса кислоты, кг

Раствор 1 х 0,25 = 0,25х

+ +

Раствор 2 у 0,95 = 0,95у

+ +

Раствор 5 20 0,30 = 20-0,30

= =

Раствор 6 х+у+20 0,50 = 0,50(х+у+20)

Решающая алгебраическая модели задачи (содержательный компонент): Г0,25х + 0,95у = 0,4(х + у + 20) (0,25х + 0,95у + 6 = 0,5 (х + у + 20)

х - ?

Этап работы с математической моделью:

(0,25х + 0,95у = 0,4(х + у + 20) (0,25х + 0,95у + 6 = 0,5 (х + у + 20) Г0,25х + 0,95у = 0,4(х + у + 20) [6 = 0,1 (х + у + 20)

(0,25х + 0,95у = 0,4(х + у + 20) (х = 40 — у

(у = 20 (х = 20

Этап интерпретации: для получения смеси использовали 20 кг 25-процентного раствора кислоты. Ответ: 20 кг.

В общем виде содержательный компонент решающей математической модели:

( ах + Ьу = с(х + у + d) (ах + Ьу + f = с(х + у + d) Аналогичным образом можно получить математические модели в задачах на смеси и сплавы:

2.1.3. «При нормальных условиях 12 л газовой смеси, состоящей из аммиака и оксида углерода (IV), имеют массу 18г. Сколько литров каждого из газов содержит смесь?» [5]

Из курса химии необходимо знать химические формулы аммиака (КИ3) и оксида углерода (С02) для расчета молярной массы веществ (М(МИ3) = 17 и М(С02) = 44). Используя формулу V = и зная величину молярного объема газов (22,4 л) можно посчитать объем газов. Содержательный компонент задачи:

гх + у = 18 | х • 22,4 х • 22,4

+ —т~. = 12

V 17 44

х, у - ?

В общем виде содержательный компонент решающей математической модели:

( х + у = а (Ьх + су = d

Данная математическая модель будет моделью и для следующей задачи:

2.1.4. «Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй - 45% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 24 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была больше массы второго» [2].

Школьники знают из курса химии, что никель - металл, входит в состав данного сплава. При моделировании получиться следующий содержательный компонент математической модели:

(х + у = 24

(0,15х + 0,45у = 0,2 • 24

(х-у) - ?

Пример задачи на растворимость:

2.1.5. «Сколько граммов нитрата серебра выпадает в осадок из 10 г раствора, насыщенного при 80оС, при охлаждении его до 20оС? Растворимость ЛдК03 составляет 635 г при 80оС и 228 г при 20оС» [5].

Существенные свойства для решения задачи: масса раствора, растворимость соли при разных температурах.

Несущественные свойства: наименование соли, ее химические и физические свойства, химическая формула.

Вспомогательная модель задачи приведена в таблице 5.

Таблица 5.

Вспомогательная модель задачи 2.1.5.

Растворимость, г Массовая доля соли, доли Масса раствора, г Масса соли, г

80оС 635 635 10 = 635 1 п .

635 +100 "" 635 + 100

-

20оС 228 228 10-х = 228 (Л П -5Л

228 +100 (10 х) 228 + 100

=

Масса соли, выпавшей в осадок, г х

Содержательный компонент математической модели: 10 - (10— = х

Таким образом, решающая математическая модель будет представлять собой уравнение или систему уравнений при решении задач на химические вещества (формулы), растворы сплавы и смеси.

Далее в статье рассмотрены задачи второго типа. Уравнения химических реакций используются в большинстве школьных задач по химии и являются наиболее сложными в курсе химии. Школьники учатся решать задачи с использованием химической формулы, задачи на растворы и только потом переходят к задачам с уравнениями химических реакций. Ниже приведены этапы составления и структура такой модели для задачи из пособия по химии, рекомендованного Министерством общего и профессионального образования в качестве учебного пособия для поступающих в вузы.

2.2.1. «После растворения хлора в воде из раствора выделилось 11,2 л кислорода (н.у.). Найти массу гидроксида кальция, необходимого для нейтрализации оставшегося раствора» [5].

При решении такого типа задач необходимо сначала проанализировать условие задачи и понять, какие химические реакции протекают. В данном случае хлор взаимодействует с водой и образуется соляная кислота, которая взаимодействует с гидроксидом кальция (реакция нейтрализации). Уравнения реакций:

2С12 + 2Ы20 = 4ЫС1 + 02 2ЫС1 + Са(0Ы)2 = СаС12 + 2Ы20

По этим расчетам уравнениям ведутся дальнейшие расчеты. Для этого под уравнением записывают теоретическое количество вещества (массу, объем), рассчитанный из коэффициентов, над уравнением то, что дано в условии. х моль 11,2 л 2С12 + 2Ы20 = 4ЫС1 + 02 4 моль 22,4 л

х 112

Содержательный компонент решающей алгебраической модели: - = +21- , х-? Этап работы с математической моделью: х = -Т"-2 ; х = 2.

Этап интерпретации: при растворении хлора в воде образовалось 2 моля соляной кислоты. В общем виде содержательный компонент алгебраической модели: ~ = / Такая математическая модель будет верной для любого уравнения химической реакции. По второму уравнению: 2 моль у г

2ЫС1 + Са(0Ы)2 = СаС12 + 2Ы20 2 моль 74 г

Молярная масса гидроксида кальция рассчитывается из таблицы Менделеева (М = 17-2 + 40 = 74 г/моль).

Содержательный компонент решающей алгебраической модели: 2 = — ; у - ?

2-74

Этап работы с математической моделью: у = —— ; у = 74.

Этап интерпретации: для нейтрализации раствора потребуется 74 г гидроксида кальция. Ответ: 74 г.

Часто в одной и той же задачи приходится и использовать понятие «массовой доли растворенного вещества в растворе», и составлять уравнение химической реакции. Пример такой задачи:

2.2.2. «Какой объем оксида серы (IV) (н.у.) выделится при нагревании 100 мл 98%-ного раствора серной кислоты (плотность 1,84 г/мл) с избытком железа?» [5]

После анализа условия задачи ученик должен получить следующее уравнение реакции: 184Ю,98г хл

2Ы2Б04 + Ге = ГеБ04 + Б02 + 2Ы20 2-98 г 22,4 л

„ „ 184-0,98 х 0

Содержательный компонент решающей математической модели:-= — ; х - .'

2*98 22,4

„ 22,4-184-0,98

Этап работы с математической моделью: х = -2^-; х = 20,6 л.

Этап интерпретации: при нагревании раствора кислоты выделится 20,6 л оксида серы. Ответ: 20,6 л.

В данной задаче в условии указано, что железа в избытке, то есть его точно хватит для проведения всей реакции. Но иногда дано количество или масса вещества и ученику самому требуется рассчитать, что в избытке, что в недостатке, и по какому веществу вести расчет. Тип таких задач так и называется «на избыток и недостаток». Ниже приведен пример подобной задачи.

2.2.3. «Через раствор, содержащий 5 г едкого натра, пропустили 6,5 л сероводорода (н.у.). Какая образовалась соль и в каком количестве?» [5]

Едкий натр будет реагировать с сероводородом:

5г 6,5л

2NaOH + H2S = Na2S + 2H2O 80г 22,4л

80 < поэтому NaOH в недостатке, дальнейшие расчеты ведутся по нему:

5г хг

2NaOH + H2S = Na2S + 2H2O 80г 78 г

5 х

Содержательный компонент решающей математической модели: — = —; х - ? Этап работы с математической моделью: х = 'о8 ; х = 4,9 г.

Этап интерпретации: образовалось 4,9 г сульфида натрия. Ответ: сульфид натрия, 4,9 г. Ниже пример более сложной задачи на смеси, решаемой с помощью уравнений химических реакций.

2.2.4.К раствору смеси бромида и йодида калия добавляют бромную воду. Масса остатка, полученного при упаривании и прокаливании, на b г меньше массы исходной смеси солей. Полученный остаток вновь растворяют в воде, и через раствор пропускают хлор. Масса полученного после упаривания и прокаливания вещества на b г меньше массы вещества, полученного в первом опыте. Определите массовые доли солей в исходной смеси [5].

Самое сложное в данной задаче - прочитать ее и понять, о чем идет речь, и какие химические процессы происходят: х моль х моль 2KI + Br2 = 2KBr + I2 2 моль 2 моль (х+у) моль(х+у) моль 2KBr + Cl2 = 2KCl + Br2 2 моль 2 моль

В исходной смеси х моль KI и y моль KBr. После первой реакции весь KI превратиться в KBr. При упаривании и прокаливании вода и йод улетучиваются. Остаток представляет собой KBr в количестве (x+y) моль. Разница масс исходной смеси и остатка: b = (166х +119у) - 119(х+у); b = 47x.

После второй реакции весь KBr превратиться в KCl, а вода и бром улетучатся при упаривании и прокаливании. Полученное вещество представляет собой KCl в количестве (х+у) моль. Разница масс KBr и KCl:

b = 119(x+y) - 74,5(х+у); b = 44,5(х+у).

По условию, разницы масс в обоих опытах равны: 47х = 44,5(х+у); х = 17,8у.

Масса исходной смеси: 166^17,8у + 119у = 3074у. Массовая доля KI:166'17,8y = 0,9613 = 96,13%

3074у

Массовая доля KBr: 100%-96,13% = 3,87% Ответ в задаче: 96,13% KI, 3,87% KBr.

Решающая математическая модель при решении задач с использованием уравнений химических реакций также будет представлять собой уравнение или систему уравнений. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

У межпредметных связей математики и химией большие потенциальные возможности, основанные на математических моделях, используемых при решении прикладных задач с химическим содержанием. Задача учителя - использовать эти связи при изучении математики и химии, а задача методистов - вооружить учителя необходимыми дидактическими материалами.

Математические модели, представляющие собой уравнения и системы уравнений, могут быть применены в прикладных задачах по химии на растворы, смеси и сплавы (вычисление массовой доли растворенного вещества в растворе или массы растворенного вещества по массовой доле растворенного вещества в растворе) и прикладных задач, решаемых с помощью уравнений химических реакций.

У учащихся в процессе решения задач воспитывается трудолюбие, любознательность, целеустремленность, развивается чувство ответственности, упорство и настойчивость в достижении поставленной цели. В процессе решения задач реализуют межпредметные связи, показывающие единство природы и позволяющие развивать мировоззрение учащихся.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие/ под ред. П.В. Трусова - М.: Университетская книга, Логос,

2007 - 440с.

2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. И.В. Ященко. -

М.:Издательство «Национальное образование», 2017 - 256с. - (ЕГЭ. ФИПИ - школе).

3. Ерыгин Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по химии: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по биол. и хим.

спец. - М.: Просвещение, 1989 - 176 с.

4. Келбакиани В.Н. Межпредметные связи в естественно-математической и педагогической подготовке учителей. - Тбили-

си, 1987.

5. Кузьменко Н.Е., Еремин В.В., Попков В. А. Начала химии. Современный курс для поступающих в вузы. Т.1: учебное

пособие / 11-е изд., стереотип. - М.: Издательство «Экзамен», 2006. - 383с.

6. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. школы / Сост. М.М. Лиман.

- М.: Просвещение, 1981 - 80 с.

7. Мельников Ю.В. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических

моделей. - Екатеринбург, 2004.- 384 с.

8. Подходова Н.С., Ложкина Е.М. Введение в моделирование. Математические модели в естествознании (биология, химия,

экология): Учебное пособие. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. - 177с.

А.П. Булатова

ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ НАГЛЯДНО-КОНСТРУКТИВНОГО ПОДХОДА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. Стереометрические задачи отличаются широким многообразием подходов и методов их решения, характеризуются разнообразием приложений к практической деятельности. В настоящей работе рассматривается наглядно-конструктивный подход к изучению стереометрического материала, при котором процесс обучения основан на использовании опорных геометрических конструкций, т.е. строится на наглядной основе.

Ключевые слова: стереометрическая задача, обучение решению задач, опорная геометрическая конструкция.

A.P. Bulatova

PECULIARITIES OF IMPLEMENTATION OF THE VISIBLE-CONSTRUCTIVE APPROACH WHILE SOLVING STEREOMETRIC PROBLEMS

Annotation. Stereometric problems are characterized by a wide variety of approaches and methods for their solution, characterized by a variety of applications in practical activities. In the present work, a visual-constructive approach to the study of stereometric material is considered, in which the learning process is based on the use of supporting geometric constructions, i.e. is built on a visual basis.

Key words: stereometric problem, problem solving training, support geometric construction.

Одним из современных направлений модернизации процесса обучения геометрии в общеобразовательной школе является совершенствование методики ее преподавания [1-5]. В настоящее время в арсенале педагогов-предметников имеется огромный комплекс задач на комбинации геометрических фигур, разработаны разнообразные приемы обучения их решению. Однако, как показывают результаты государственной аттестации по математике (в частности, результаты ЕГЭ), умение учащихся решать геометрические задачи пока продолжает оставаться на невысоком уровне. Это вызвано чрезмерной формализацией курса геометрии и элементарным отсутствием времени и средств обучения, что влияет на потерю интереса школьников к изучению дисциплины, затрудняют понимание геометрического материала и развитие пространственного мышления. Поэтому, несмотря на наличие и значимость имеющихся результатов, с одной стороны, и появление разнообразных методических возможностей в обучении геометрии, с другой, - в теории и практике обучения школьников решению геометрических задач имеются методические проблемы, требующие своего оперативного решения.

Для качественных изменений процесса обучения геометрии автор, следуя Г.П. Сенникову [6], предлагает использовать наглядно-конструктивный подход и в данной работе обращается к некоторым методическим особенностям его реализации.

Наглядно-конструктивный подход к изучению геометрии подразумевает обучение с использованием опорных геометрических конструкций (ОГК).

Под опорной геометрической конструкцией принято понимать модель, которая создается учащимися самостоятельно под руководством учителя в ходе решения задач и в дальнейшем используется для изучения теоретического и задачного материала.