CC BY
25
Г.В. Горр , А.А. Илюхин
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА
Аннотация. В статье рассматривается задача о редукции уравнений движения тяжелого гиростата с неподвижной точкой. Поскольку в проблемах понижения порядка уравнений важное значение имеют особые решения - решения, на которых зависимы первые интегралы. В первой части работы излагаются результаты об особых решениях. Во второй части рассматривается новая форма уравнений движения тяжелого гиростата. Указана роль новой переменной, при нулевом значении которой возникают особые решения.
Ключевые слова: редукции уравнений движения тяжелого гиростата, особые решения.
G. V. Gorr, A. A.Ilyukhin EQUATIONS OF MOTION OF A HEAVY GYROSTAT
Abstract. The report deals with the problem of reduction of the equations of motion of a heavy gyrostat with a fixed point. Since the problems of decreasing the order of equations are important special solutions-solutions, which depend on the first integrals, in the first part of the report presents the results of the special solutions. In the second part of the report a new form of the equations of motion of heavy gyrostat is considered. The role of a new variable, a value of zero where there is a particular solution.
Key words: reduction equations of motion of a heavy gyrostat, special solutions.
Введение
Проблема редукции уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, рассматривалась многими учеными. Преобразование уравнений Эйлера-Пуассона условно можно характеризовать с помощью нескольких подходов. В первом подходе (В. Гесс[1], П.А. Шифф[2], П. Штекель[3]) редукция основана на использовании первых интегралов. В. Гесс, найдя компоненты вектора вертикали из первых интегралов, динамическое уравнение преобразовал к уравнению, которое содержит только компоненты кинетического момента. При этом уравнение Пуассона не принималось во внимание. Сосредоточив основное внимание на особых решениях в предложенном им преобразовании, В. Гесс нашел новый случай интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона. Редуцированные уравнения П.А. Шиффа [2] только обозначениями отличаются от уравнений В. Гесса, а решение, которое он предлагает, не является полным, так как для него не получены зависимости компонент вектора угловой скорости от времени (на это обстоятельство обратил внимание Гамель [4]). П. Штекель [3], исследуя вопросы эквивалентности редуцированных уравнений, формулирует ряд теорем, в частности, он утверждает, что при постоянных значениях инвариантов Гес-са компоненты кинетического момента тоже постоянны. В докладе показано, что данное утверждение в общем случае не верно. Исчерпывающую оценку работ П.А. Шиффа и П. Штекеля дал Гамель, который показал, что исследования указанных авторов не полные. Полное доказательство этого факта дано в статье [5], в которой показано, что возникающие в процессе редукции уравнений движения тяжелого твердого тела особые решения играют важную роль, так как для этих решений уравнения Пуассона опускать нельзя. Однако, в научной литературе появляются статьи [6,7], в которых данный факт игнорируется. Дискуссия по поводу результатов этих статей [8,9] показывает, что актуальность проблемы исследования особых решений уравнений динамики твердого тела не снижается. Данное обстоятельство особенно важно в задаче о редукции уравнений движения гиростата с неподвижной точкой к системе меньшего порядка. В работе поставлена задача о понижении порядка уравнений движения тяжелого гиростата. Особенность в получении системы меньшего порядка состоит в применении специальной вспомогательной переменной, которая характеризует смешанное произведение векторов: вектора вертикали, вектора момента количества движения и вектора центра тяжести гиростата. Следует отметить, что при нулевом значении этой переменной возникают особые решения, которые полностью изучены в работе [10]. Поэтому приведенные в статье уравнения являются общими уравнениями движения гиростата. Для наглядности новой формы рассмотрен случай, когда центр масс лежит на главной оси эллипсоида инерции.
Основной результат
Рассмотрим уравнения движения тяжелого гиростата с неподвижной точкой [10]
i = (я — X) X CJ? — S X V, г
= VXM, (1]
которые имеют первые интегралы
В (1) и (2) х — момент количества движения, v - вектор вертикали, s - вектор, характеризующий центр тяжести, с - гирационный тензор.
В [5] показано, что при условии
уравнение Пуассона из (1) нельзя заменить первыми интегралами (2) (к и Е - постоянные). Отметим, что условие (3) эквивалентно условию х — }. = const [10]. Для преобразования уравнений (1), (2) введем новую переменную
где W = С. Разложим вектор г в базисе е. О* +- A). е х (я — ).}
На основании второго и третьего соотношения системы (2) равенства (4) для вектора (5) получим
где и, д V - инварианты Гесса [10]. Формула (6) позволяет выразить вектор V через вектор кинетического момента и переменную IV. Подставим вектор (6) в уравнение (1)
Найдем производную от функции W. В силу (1) запишем:
Итак, система (1) редуцирована к системе (7), (8), которая в скалярном виде имеет четвертый порядок. В отличие от уравнений класса Гесса, эта система не имеет особенностей в виде радикала от инвариантов Гесса. В силу (г — рг) = .е х (ж -Ь =0, начальные значения вектора * должны удовлетворять
Уравнения (7), (8) допускают интеграл
Отличительным свойством уравнений (7), (8) является линейность правых частей от вспомогательной функции VI/. При £р — р~ .'■ = С система (7), (8) имеет единственное решение задачи Коши.
Заключение
Скалярный пример уравнений (7), (8). Пусть е = 7 = (1,0,0), Л = (Л, 0,0). а = сИ :!§(□]_, о.,в3]. Введем новые переменные
х^Оч] = ЯС*1)(1 - г (*!>) . хЦ^) = Д^ХуОч)), (9]
где х- - компоненты вектора л, _у0:■■- вспомогательная переменная. Тогда из (7), (8) имеем
д'СО
¿¡IV о^}
= -2(*:-л)-:-— - -......, (ю)
^-a^RCx^y^Jd-yO-J-n
{Ж-ОКпз -QiDCjcj -l]yOfL]- (a- - 2£!!>!_- о-Л] - 2k.s
(Og - OjiflCXj)
-Сч-^Ь^-зЮНП)
иг'Оч) =
--, , , ,__: i-s(l - vL:) - (xL + Л) [Cog - a. )y CO +■ O.] [Jc - Of! +■ DvJ
- o-^iCiJv'yCiJCl - y(x_l )) "
+■ Л^Жо, - Q;3y(xi.3- azh\_
- - (*I - - ))}, (12)
где
= — [(fl)x\ - 2Я) + J?(iL)(Co, - o-]yCx1)+ oj,)].
(13)
Зависимость x ft) определяется из уравнения = (в, — Q-Di-Xg.
Итак, система (10)-(14) является системой четвертого порядка, к которой редуцированы уравнения (1). В статье приведен пример решения данной системы. Очевидно, что аналога данной системы в динамике твердого тела нет.
Приложения. Указанные выше особые решения допускают выгодную интерпретацию с точки зрения родственной задачи [10] .Эти решения описывают деформации винтовых амортизационных пружин в цилиндрических направляющих, при которых пружина остается лежащей на поверхности круговога цилиндра. Конструктивная реализация условий на параметры определяемые в особом решении позволяет резко уменьшает взаимодействие пружины и направляющей, увеличивая изнокостойкость.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hess W. Uber die Euler'schen Bewegungsgleichungen und uber eine neue partikulare Losung des Problems der Bewegung eines starren schweren Korpers um einen festen Punkt // Math. Ann. - 1890. - B. 37, H. 2. - P. 153-181.
2. Шифф П.А. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела, имеющего неповижную точку // Матем. Сборник кружка любителей мат. наук. - 1903. - Т. 24, №2 - С. 169-177.
3. Stackel P. Die reduzierten Differentialgleichungen der Bewegung des schweren unsymmetricschen Kreisels // Math. Ann. - 1890. - B. 37, H. 2. - S. 399-431.
4. Hamel G. Uber den allgemeinen schweren Kreisel // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. -1947. - S. 5-6.
5. Горр Г.В., Илюхин А.А., Харламова Е.И. Об особых решениях одной формы уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. - 1974. - Вып. 6. - С. 3-9.
6. Ershkov S. New exact solution of Euler's equations (rigid body dynamics) in the case of rotation over the fi xed point // Arch. Appl. Mech. - 2014. - Vol. 84, No. 3. - P. 385-389.
7. Ershkov S. On the invariant motion of rigid body rotation over the fixed point, via Euler's angels // Arch. Appl. Mech. - 2016. - Vol. 86, No. 11. - P. 1797-1804.
8. Sanduleanu S. Comment on "New exact solution of Euler's equations (rigid body dynamics) in the case of rotation over the fixed point". /S. Sanduleanu, A. Petrov. // Arch. Appl. Mech. - 2017. - Vol. 87, No. 1. - P. 41-43.
9. Gorr G.V., Amer T.S. Comments on two papers by Ershkov: Archive of Applied Mechanics, 84 (2014) and 86 (2016) // Журнал теоретической и прикладной механики. - .№1(59). - 2017. - С. 16-18.
10. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наукова думка, 1979. - 216 с.
С.А. Донских, В.Н. Сёмин
РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННОГО ИНТЕРАКТИВНОГО СПРАВОЧНИКА ПО МЕХАНИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Аннотация. В современном мире объём информации неуклонно растёт, регулирование громадных потоков данных, необходимых в процессе образования, невозможно эффективно осуществлять без привлечения компьютерных технологий, например, интерактивных электронных справочников. Быстрый доступ к отдельным элементам знаний является одной из существенных проблем в выборе способа решения задач по механике. Предоставление оперативных и достоверных сведений, постоянно обновляемых в режиме реального времени, является одним из главных достоинств компьютерных справочников.Компьютерный справочник по курсу механики может оказать помощь преподавателю и обучающемуся в процессе решения задач, подготовки к экзамену, контрольной работе или тестированию и содействовать систематизации и обобщению знаний обучающихся.
Ключевые слова:Механика, интерактивный электронный справочник.
S.A. Donskih, V.N. Syomin
THE DEVELOPMENT OF INTERACTIVE ELECTRONIC REFERENCE BOOK ON MECHANICS FOR HIGH SCHOOL STUDENTS
Abstract. In today's world, the volume of information is growing steadily, the regulation of huge data flows required in the process of education, it is impossible to effectively implement without the involvement of computer technology, for example, interactive electronic directories. Quick access to individual elements of knowledge is one of the significant problems in choosing a way to solve problems in mechanics. Providing operational and reliable information, constantly updated in real time, is one of the main advantages of computer directories.A computer guide to the mechanics course can help the teacher and student in the process of solving problems, preparing for the exam, test work or testing and contribute to the systematization and generalization of students ' knowledge.
Key words:Mechanics, interactive electronic guide.
Актуальность выполненной нами работы заключается в следующем:
- применяя специальные программы, преподаватель имеет возможность самостоятельно составлять электронные справочные пособия с последующим использованием их на своих занятиях,
- применение электронных справочников помогает обучающемуся структурировать учебную информацию, получаемую на различных этапах образовательной деятельности,
