CC BY
14
УДК 517.9:532.5:539.3
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Е. С. СЕРЕБРЯННИКОВА
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СО СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
Рассматриваются задачи о колебаниях вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. Предполагается, что пластины опираются на вязкоупругие основания и сжаты продольными усилиями. Задачи решаются в линейной постановке, соответствующей малым отклонениям пластин от прямолинейного положения и малым возмущениям однородного потока газа, направление которого параллельно пластинам.
Предложен метод приведения связанной системы интегро-дифференциалъных уравнений аэроупругости (содержащей как функции деформаций пластин, так и потенциал скорости газа) к замкнутой системе уравнений только для деформаций пластин, основанный на применении операционного исчисления (преобразований Лапласа по двум переменным).
Ключевые слова: вязкоупругая пластина, сверхзвуковой поток газа.
1. Основные уравнения. Движение газа описывается уравнением для потенциала скорости
<р(х,у,1)
<р11+2<рх1+<рхх = м;2(<рхх+<Руу). (1.1)
Давление р(х,у,1) в линейной постановке определяется через потенциал скорости по формуле
р = 1 - эгМ*2 (<р( + (рх). (1.2)
В (1.1), (1.2) х,у - координаты, / - время, М*
- число Маха в однородном потоке, ае - коэффициент Пуассона. Уравнения (1.1), (1.2) записаны в безразмерных переменных
<р(х,у,!) = ^-<р(х,у,7), р= Р
V*/ р*
ч 1 /~ ~
(Х,у) = -(х,у), г = у'’
где V*,/?* - скорость и давление в однородном
потоке; / -характерный размер; переменные без волны - безразмерные, с волной - размерные (физические).
Прогибы пластин и>;-(х,7) удовлетворяют уравнениям
д1
/
дх а дх
\
(О
о
/
г
о
\
х; д-\»1 + Л/—Г +
дх2
/
\
/
+ /,(0 + + „(О _д\
дх4д1
дх2дГ
= А/р
(1.3)
У = У1
В уравнении (1.3) все переменные - размерные, при этом: А 1р- перепад давления, вычисляемый в линейном приближении на прямой
у = у; , положение которой совпадает с положением недеформированной пластины, Я^(/,г) -
ядра релаксации материала пластин и их оснований.
2. Задача о движении газа в канале с деформируемыми стенками. Математическая постановка задачи имеет вид
Щ<Р) = <Ри + 1(Рх1 + <Рхх ~ М*~2 [фхх + <Руу ):= 0.
х>0, у] <У<У2, (2-1)
<р(0,уа) = (рх(0,у,0 = 0, )’\<У<У2, (2-2)
ч дм>-\(хл) дп>л(хА) л
<Ру(х,У1,Г) = —— + —1Г-----------------, Х>0, (2.3)
* дх
5 П. А. Вельмисов, Е. С. Серебрянникова, 2006
. ди>9(х,0 диъ(х,0 л
(Ру(х,У2’0 = —\х > О, (2.4) ' дг дх
<р(х, у,0) = (р{ (х, у,0) = 0, X > 0,
У\ <У<У2> (2-5)
и>1 (х,0) = м>2 (х,0) = 0, х>0, (2.6)
(0,0 = х'2 (0,0 = 0, (2.7)
[(д + я)"’ -м;2рг}р(р,у,ч) =
= м:2<р>у(р,у,ч)
Здесь р, д - параметры преобразований по переменным х, / соответственно; (р(р,у,ц) ~ двойное изображение функции ср{х,у,().
Общее решение уравнения (2.10) имеет вид
-\ + хМ*(<р1+<рх)у=у]\р*+Ро, <р(р,у,{) = а(р,д)ехр ^(д + р)2 -М*1 р1 М*;
х>0, (2.8)
12(И'2)= }-хМ}(<р, +(рх)у=у1 ]р,-р0,
х>0. (2.9)
В (2.8), (2.9) /?о - давление, действующее на
стенки канала извне.
Условия (2.3) означают, отсутствие возмущений на входе в канал, законы движения стенок
которого определяются функциями х^(х,/),
м^2(х,0- Условия непротекания этих стенок
имеют вид (2.3), (2.4).
Применяя преобразования Лапласа по переменным х, / к уравнению (2.1) и используя при этом условия (2.2), (2.5), получим
Удовлетворяя условиям (2.12), находим
/ ч Р + Я
а(р,д) =
\
\
У
+
+ Р(Р,я)ехрГ- М+у^д + р)2 -М* 2р2
\
\
у
(2.11)
где а(р.д), Р(р,д) - произвольные функции. Граничные условия (2.3), (2.4) принимают вид
¥,ХРгУ1>я) = (р+чУй'Ар><1)>
¥у (р< У2> Ч) = (р + 9)™ 2 (Р’ Ч). (2-12)
где ^](р,д), й’2{р,д) - двойные изображения функций Н’Дх,0, ^2(х,Г).
/
2 М . 5 к у~М *(у2 ->’[)'
Ще~'Гм^
V
Р(р,ч) =
р + д
2М*лГ-‘гйк/ М,(У2 ~}'\)
/
ще^М'у'
\
(2.13)
В (2.13) и далее введено обозначение ^[~ = 1 + р)2~М
-2 „2 * Р
Найдем изображение выражения ((р{ +<рх)- Согласно (2.2), (2.5) имеем
(<Р, +<РХ) = (Р + Ч)<Р (Р’У,<])= +^
М.у[~Бк[^~М.{у2-у,))
ч>2ск[[М*(у-у]))-’^]сь{^~.М,(у-у2)\ (2.14)
Из (2.14) находим
(р+ч)
^' <Рх ^ М./"Ц/м, (у2 - у,))
м>2сиЦ~.М.(у2 -у,))-к,],
(2.15)
(
91 + <РХ )у=у. =
(.р + чГ
М.^зк{^М*(у2 ~>']))
и-2 - и'1сй(л/_М* 0>2 - У] ))]■
(2.16)
\<Р, +<Р
Дли симметричных относительно ОСИ X течений у, = , М>, - -н»2 = —, тогда
и, =-М,=„ = 4-Гм-У})-ЯРЧ)-(2Л7)
Заметим, что в этом случае <рг(х,0,0 = 0, а(р,д) = Р{р,д), а колебания пластин будут асинхронными (при этом уравнения (2.8), (2.9) совпадают).
В случае синхронных колебаний пластин М>! = VI>2 = w, тогда
(* + L, =
__ (р + чУ ch[f.М.(у2 -у,))-1
М./~sh[fМ.(у2-у,))
\v(p,q) = (2.18)
th
(
fM.
Уз - У/
\
w(p,q)
_(р + ч)2 м./■
Если /?0 = р*, то с учётом (2.18) уравнения
(2.8), (2.9) совпадают.
Следующий шаг в решении задачи состоит в отыскании оригиналов для изображений (2.15), (2.16), (2.17), (2.18). Подставив их в (2.8), (2.9), будем иметь два уравнения для определения
двух неизвестных функций М'1 (х, /) , М>2 (х, О.
3. Задача внешнего обтекания пластины.
В случае, когда имеет место внешнее одностороннее обтекание пластины неограниченным потоком, движущимся в полуплоскости у > У2 ,
условие непротекания (2.3) и уравнение (2.8) следует отбросить, но добавить при этом условия ограниченности решения при у —» оо
{(Р( + (Рх) Фх ^ 0 при у —> со . (3.1)
Тогда в (2.11) следует положить а(р,д) = 0. а условие (2.12) определяет функцию /?(/?,#)
Р(Р*Ч) = —^т=м!(р,д)еМ*У2'Г,
w2-w.
(3.2)
{Pi + Фх
w(p,q).( 3.3)
Для изображения (<р{ + срх) имеем
(р ± ч± а
у=у2 М*у1~
В случае двустороннего обтекания пластины неограниченным потоком получим
(р+(р,у, д) = -^±йщр9ч)е~М' ), (3.4)
М*^1
Г(Р,У,Ч) = (3.5)
Ad*
Индекс «+» соответствует потоку над пластиной
(У>У2\ индекс «-»-под пластиной {у<}'2) •
Решения (3.4), (3.5) удовлетворяют условиям ограниченности при у —> ±оо . Уравнение, описы-
вающее динамику пластины, имеет вид
L(w) = -аеМ* р*
щ + <рх ]- \<р1 + <р+
• (3.6)
У=У 2
Изображение выражения в квадратных скобках в правой части уравнения (3.6) имеет вид
+ 4>х )
2(p + q)~ ^
У=У 2
w(p,q). (3.7)
4. Задача о колебаниях пластины в канале.
Пусть уравнения недеформируемых стенок канала имеют вид у = у\ < 0 , у = у2 > 0, а деформируемая пластина в невозмущённом состоянии занимает положение ^ = 0. Тогда математическая постановка задачи имеет вид
ЛГ(^) = 0, х > 0, уе(у\,0),
N{#2) = о, х> 0, уе(0,у2),
<Рк(Р>у>О = <Ркх(Р>У>0 = 0, уе(у\,у2),
* = ■1,2,
Фку(х*Ук>1)= О’ *>0> * = и,
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
/ Л ч dw ди>
^(,д0=-+-
х > О,
к = 1,2,
(4.5)
<рк(х,>-,0) = <ph(х,у,0) = 0, х > О,
У€(я>У2)> к = \2,
w(x,0) = 0, х > 0,
w(0,O = 0,
(4.6)
(4.7)
(4.8)
L(w) = -хМ? P*[(ip\, +<P\x)-{<P2t + <Plx)]y=0’
х > 0.
(4.9)
Согласно (2.11), (4.4) имеем
/
<Р\ (Piy^) = a\(P,q)
М*у +e2j~М+у2 М+у
\
(Р2(Р^У^) = а2(Р^{е^М*У'е 2^М*У2
к '
+ е
-/м
\
\
*у
/
(4.10)
(4.11)
*
Удовлетворяя условию (4.5), которое, с учетом (4.7), (4.8), принимает вид (2.12), находим
У
- Р + Я Ч>\ =
/~м* 1 _62уГм*у\
еуГм*у .е~2лГМ*У2 +е-^ГМ'У
ч\р,ц)
(4.12)
7п - Р + С1
(Р2 ~
■Гм-
-24 М
м>(р,д)
(4.13)
Согласно (4.12), (4.13) имеем
/м.
Если У\ —> -00 , у2 —> +00, то получим формулы (3.4), (3.5), (3.7), соответствующие задаче об обтекании деформируемой пластины неограниченным потоком газа. Если у2 —» со, то формулы (4.12)-(4.14) дают решение задачи об обтекании (полуограниченным потоком газа) деформируемой пластины, расположенной вблизи неде-
формируемой плоскости У = У\.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, В. Б. Колмановский, Ю. А. Решетников // Дифференциальные уравнения,-1994.-Т. 30.-Вып. 11.-С. 1966-1981.
2. Вельмисов, П. А. К вопросу устойчивости в некоторых задачах сверхзвукового и трансзвуко-
Ъп + «О- (<Рг, + <Ри )],.« = + ч\<Р, - V1)>.,»=
= ^ -[сг/г(7~М.у2)-с1к{^~М.у^(р.д)
(4.14)
вого обтекания / П. А. Вельмисов, П. К. Маценко // Аэродинамика : Межвузовский научный сборник. -Саратов: Саратовский государственный университет. - 1993.-Вып. 13 (16).-С. 35-39.
Вельмисов Пётр Александрович. доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи по аэродинамике, аэрогидроупругости, математическому моделированию.
Серебрянникова Екатерина Сергеевна, ассистент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Имеет статьи по аэрогидроупругости, математическому моделированию.
з
