CC BY
44
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
УДК 330.101.54
А.Л. Сараев* УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ, МОДЕРНИЗИРУЮЩЕГО ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В статье предложена математическая модель логистической динамики экономического развития предприятия, находящегося в условиях модернизации технологий производства. Изменения во времени производственных факторов предприятия описываются дифференциальными уравнениями кумулятивной динамики, адекватно отражающими важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства.
Выпуск продукции предприятия задается многофакторной производственной функцией Кобба-Дугласа. Рассмотрены случаи однократной модернизации производства и периодической смены производственных технологий на предприятии.
Ключевые слова: предприятие, технологии, факторы производства, производственная функция логистической динамики, ресурсы.
В самом общем случае используемые в процессе производства ресурсы, определяющие выпуск предприятием продукции, удобно представлять в виде п -мерного вектора пространства Яп объемов факторов производства [1-4]
О = (а, <2г,..., <2п) •
Компоненты этого вектора Qi могут представлять основной капитал (производственные фонды), привлекаемые в производство трудовые ресурсы, используемые в производстве материалы, технологии различного рода инновации, элементы маркетинга и т. д.
Сами компоненты вектора объемов факторов производства О изменяются во времени и представляют собой некоторые функции Q і = Q і ( ). Эти кумулятивные величины способны накапливаться, образуя определенные фонды, объемы которых определяют скорости их роста или убывания во времени. Переменная времени / предполагается непрерывной, единицей ее измерения служит один год, функции Qi = Qi () предполагаются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми.
Каждый компонент вектора объемов факторов производства О, = О, (/) органичен сверху и снизу своими предельными значениями
Q1D £ Qi О)£ О? , О' = 1..» )
поэтому изменения во времени компонентов вектора конфигурации используемых ресурсов целесообразно описывать дифференциальными уравнениями вида [5]
= X, (, )■<£,(/ )- QD ) х
х(о? - О,(!)),(,= 1..» ) (1)
Уравнения (1) описывают так называемые логистические кривые, для которых характерно монотонное возрастание от нижней границы до верхней границы. Вид функции удельной скорости
роста фактора производства X (/) определяет длительность периодов смены технологий производства, его цикличность и, как следствие, форму соответствующей логистической кривой.
* © Сараев А.Л., 2014
Сараев Александр Леонидович (alex.saraev@gmail.com), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
В качестве начальных условий для уравнений (1) целесообразно выбирать такие значения компонентов вектора Qj, которые соответствуют уровню производственного фактора Q|M в момент времени смены технологии Производства І = їі .
Qt\,=t- = Q, (і)= Q
M
(2)
Уравнения с разделяющимися переменными (1) могут быть записаны в виде
----------d-°-L-----------= Я t (t) • d t ,
(Q, - Q,d ) • (q ,s - Q,)
или
f
QD - Qf
і
і
Л
yQ, - Qd Q, - Qt = Я- (t )• d t
•dQ, = (3)
Интегрируя соотношения (3), находим
■>D
Qi - Qi = C. e AQf T, (t)
Qf - Qi
(4)
Qi
Q D
- Q M
Jq_
- Q” )+ (Q
e a Q і-T, (t )
-) Qe
■D )•
-—і— х
A Q . • Л
(б)
Здесь А° - , Т,0 )=| 1, °с )-<Лт
Подставляя уравнения (4) в начальные условия (2), вычисляем произвольную константу интегрирования ОМ - QD
С=оГо?
Уравнения (4) принимают вид
О, - о!" = - О? .е А Огт, О) (5)
О,3 - О, О,8 -
Решая уравнения (5) относительно фактора производства О,, получаем
Рассмотрим различные формы логистической кривой для фактора производства Q, определяемые видом функции удельной скорости роста
X(t) •
Если эта скорость является постоянной величиной (Я j = const ), то стандартный график логистической кривой на рис. 1 имеет точку перегиба в момент времени t = tj • Расчетные значения
qd = 1 ; qm = 2 ; qs = з; Х = 1 ; ti = 3.
Если существующие технологии производства к моменту времени t = tj исчерпывают себя, превращаются в тормоз развития предприятия, то функция скорость роста Xi (t) уменьшается к этому моменту времени до нуля. Изменение технологической политики производства, его модернизация и замена старых производственных технологий на новые после момента времени приводят к возрастанию функции скорости роста Я (t ). В таком случае соответствующие логистические кривые для фактора производства будут иметь в момент времени не только точку перегиба, но и точку так называемого минимакса.
На практике такой одноразовый прорыв роста фактора производства Q, удобно описывать с помощью функции скорости роста Яг- (t ) в виде параболы четной степени
Я,, (t) = Xl ■(, - t )2 " <7>
для которой величина
t
T,(t )=jя (t)-dt
принимает вид
(8)
2 р +1 " *■'
Для квадратной параболы, соответствующей значению p = 1 и при расчетных значениях
О? = 1; ОМ = 2; = 3; 1М = 0,1г, = з,
график логистической кривой изображен на рис. 2. Для биквадратной параболы, соответствующей значению p = 2, и тех же расчетных значениях график логистической кривой изображен на рис. 3.
f
S
+
Q
х
1
о L
о
З
Рис. 1
Сравнение логистических кривых на рис. 2 и рис. 3 показывает, что параметр p характеризует длительность периода смены технологий производства предприятия. Чем больше значение параметра p, тем длиннее период модернизации, и наоборот. Очевидно, что обычная логистическая кривая, изображенная на рис. 1, соответствует значению p = 0.
Если смена технологий производства предприятия происходит периодически, то логистическая кривая будет иметь несколько точек минимакса. В этом случае удельную скорость роста фактора производства удобно описывать косинусоидой вида
м
Ґ
1 + соэ
І -
р ■
к
00
для которой величина Т (ї ) принимает вид
м
І - І
м
Іі
к
+ —• Р
р
І - І і к
\Л
(9)
Здесь параметр k описывает периодичность точек минимакса логистической кривой. На рис. 4 и рис. 5 представлены графики логистических кривых для значения параметра k = 1 и k = 2 соответственно.
Расчетные значения Q г° = 1 ; QM = 2 ; Q1S = 3 ; = 0,5 ; І, = 4 .
Выпуск продукции производства всей отрасли V обеспечивается некоторой многофакторной производственной функцией, в качестве которой здесь производственная функция Кобба-Дугласа [6-9]
V=р п Qa, і=1
(10)
Здесь степенные показатели производственной функции а представляют собой эластичности выпуска по соответствующему ресурсу, р — стоимость продукции произведенной на единичные объемы ресурсов.
І
х
V
Рис. 3. Параметр р = 2
Рис. 4. Параметр к = 1
Рис. 5. Параметр к = 2
Применим теперь полученные формулы для расчета текущей динамики экономических показателей отрасли машиностроения и прогнозирования оценки эффективности работы отрасли в целом. Ограничимся здесь случаем двухфакторной производственной функции п = 2.
В качестве производственных факторов выберем величины общего объема капитальных, материальных и финансовых вложений в машиностроение О и численность персонала отрасли Ь. Тогда формулы (6) принимают вид
DL = LS - LD
TL(t) = jXL(t)-dt •
fL
Формула (9) в случае n = 2 записывается в виде
V = P-Qa -L
b
(12)
Q =
L =
QD-(qs -QM)+ QS -(qm -QD)-eAq Tq(t)
QI QM
)+(qm -QD) - eAQ-Tq(t) ld -(ls - lM )+ls - (lM - ld ) - eAL ■Tl(t)
(ls - LM
)+(lm -lD) -
d\ al -Tl(t)
(11)
Здесь AQ = QS - QD
Tq (t)= j X(t)-dt-
fQ
На рис. 6. из ображены логистические кривые, построенные по формулам (10), (11) для расчетных значений
О? = 2; = 4. О3 = 6. = 0,05;
Ь? = 1 ; ЬМ = 2; Ь8 = 3; 1Ь = 0,1; р = 1;
Р = 2; а = 0,25; Ь = 0,25; ^ = 2; гЬ = 5.
Численный анализ формул (11), (12) показывает, что логистическая кривая для производственной функции (12) в общем случае имеет несколько точек перегиба, соответствующих точкам перегиба логистических кривых каждого фактора про-
t
Библиографический список
1. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Континуальная теория производственного процесса и производительности факторов производства промышленных предприятий // Вестник СамГУ. 2012. № 7 (98). С. 196-203.
2. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К теории структурной модернизации производственных предприятий // Вестник СамГУ. 2012. № 10 (101). С. 160-169.
3. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К оценке прибыли и затрат предприятий, модернизирующих структуру производства // Вестник СамГУ. 2013. № 1 (102). С. 186-196.
4. К теории оптимального распределения факторов производства, производственных и трансакционных издержек / А.В. Мантуленко [и др.] // Вестник СамГУ. 2013. № 7(108). С. 177-126.
5. Нижегородцев P.M. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования // Моделирование экономической динамики: риск, оптимизация, прогнозирование. М., 1997. С. 34-51.
6. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: учебник. М.: Инфра-М., 2013. 844 с.
7. Грачева М.В., Фадеева Л.Н., Черемных Ю.Н. Моделирование экономических процессов: учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
8. Обобщение модели Бюльмана-Штрауба для оценки убыточности динамического портфеля рисков / Е.В. Михайлова [и др.] // Вестник СамГУ. 2011. № 10 (91). С. 117-128.
9. Бородинова И.А., Сараев Л.А. Стохастическая транспортная задача // Вестник СамГУ. 2010. № 81. С. 16-23.
A.L. Saraev* EQUATIONS OF DYNAMICS OF ECONOMIC DEVELOPMENT OF AN ENTERPRISE THAT UPGRADE PRODUCTION TECHNOLOGY
In the article a mathematical model of logistic dynamics of economic development of an enterprise that is located in conditions of modernization of production technologies is suggested. Changes in time of production factors of an enterprise are described by differential equations of cumulative dynamics that adequately reflect the most important macroeconomic aspects of the process of reproduction. Engineering output of an enterprise is given by multifactor production Cobb - Douglas function. Cases of single production modernization and periodic change of production technology on an enterprise are viewed.
Key words: enterprise, technologies, factors of production, production function, logistic dynamics, resources.
* Saraev Alexander Leonidovich (alex.saraev@gmail.com), the Dept. of Mathematics and Business-Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
