Уравнения динамики асинхронной машины, инвариантные к скорости вращения системы координат Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

Создана оптико-электронная система диагностики бронхо-лёгочных заболеваний, характеризующихся динамическими изменениями просвета дыхательных путей, позволяющая:

• регистрировать колебания небольших сегментов исследуемого органа с высокой степенью чувствительности;

• реализовать высокую степень помехозащищённости, т. к. источник и приемник зонда в опти ческом устройстве развязаны электрически;

• визуализировать работу диагностируемого органа в реальном времени;

• применять биологически неактивное ИК излучение для диагностики заболевания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гюнтер С.В., Вотяков В.Ф., Телепушкина О.В. Зонды, применяемые для функциональной диагностики органов желудочнокишечного тракта // Современные техника и технологии: Матер. XV Междунар. научно-практ. конф. - г. Томск, 4-8 мая 2009. - Томск, 2009. - Т. 1. - С. 586-588.

2. Петровский Б.В., Перельман М.И., Королева Н.С. Трахеобронхиальная хирургия. - М.: Медицина, 1988. - 278 с.

3. Способ исследования моторной функции органов желудочнокишечного тракта и устройство для его осуществления: пат. 2307583 Рос. Федерация. Заявл. 29.03.06; опубл. 10.10.07.

4. Гюнтер С.В., Дамбаев Г.Ц., Вотяков В.Ф. Оптико-электронная регистрация функциональных нарушений полых трубчатых органов с использованием инфракрасного излучения // Имплантаты с памятью формы. - 2008. - № 2. - С. 26-32.

Поступила 23.06.2011 г.

УДК 62-83:621.313.333

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ К СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

А.А. Федоренко, Э.Н. Лазовский, М.А. Печатнов

Политехнический институт Сибирского федерального университета, г. Красноярск E-mail: lazovski@bk.ru

Приведены два варианта математических моделей асинхронной машины, инвариантных к скорости вращения координатной системы. Показаны особенности программного обеспечения таких моделей, обусловленные наличием операций деления, идана их сравнительная оценка с моделями в декартовых координатах. Отмечена возможность использования в качестве переменных состояния асинхронной машины модулей результирующих векторов трехфазных переменных и их фазовых сдвигов относительно друг друга для разработки новых структур автоматизированных асинхронных электроприводов.

Ключевые слова:

Асинхронная машина, результирующий вектор, математическая модель, полярные координаты. Key words:

Asynchronous machine, resultant of vectors, mathematical model, polar coordinates.

Фрагменты уравнений асинхронной машины, в которых векторные переменные представлены их полярными координатами, находят все большее применение как при проектировании систем автоматического управления асинхронными электроприводами, так и при анализе их динамических и установившихся режимов [1, 2]. В работе [3] приведены шесть вариантов записи таких уравнений, описывающих процессы в ненасыщенной асинхронной машине с короткозамкнутым ротором при общепринятых допущениях [4]. Однако, уравнения в полярных координатах изучены мало, а их свойства изучены недостаточно. Это ограничивает применение таких уравнений в инженерной практике.

Цель настоящей работы восполнить указанный пробел в области математического моделирования установившихся и переходных процессов в асинхронных электрических машинах.

Как отмечено в [4], наибольшее распространение получили дифференциальные уравнения, в которых связь электромагнитного момента Мэ двигателя с_результирующим вектором напряжения статора и, выражена через промежуточные векторные переменные, ток статора 4 и потокосцепление ротора —г (система г,-—}, или потокосцепление статора — и потокосцепление ротора —г (система —}.

Для указанных сочетаний векторных переменных эти уравнения в полярных координатах имеют вид: _

Модель в переменных г,-

V, ■ С0 - 6 ) = Г ^ Тэ ^ + І ) +

+Кггрю / , 8Іп(0. -в¥г) - г С08(6 -%, X

— Ю -

Сі гзТзі,

Кггрт/г -в¥г) К//г -в¥ )

кТі,

1

і, С0*(в, -в/г) = *, Т КгТ

ТггМ

Т С/г ,

Т„— + /г

Сі

КМ ^п(в -6/ )

Сі /г

гСю

J-------= Мз - Мг,

Сі

Мэ = 3Кг2рі/г ^п(в/, -0/,г ).

Модель в переменных

(1}

и ■ С0§(ви. -6/

'5 Т Г ґ С/,

г Сі

-^Т-/, -в/, )>

Св,

Сі

*. = КЛ /г 8іп(в/ -в/ )-Юк + и-¿іпв -в/ ),

/, сов(в/, -в/ ) = -1-К.

С/г

-Уг

с/

Сі

:Кіг_ Ь. — / г

8іп(в/ . -в/ ) -Юк + 2рЮ>

тСю ,.

= М - МС ,

йі

М3 = 2// 8іп(в/, -в/г).

(2}

Следует отметить, что под знаком производных вторых и четвертых уравнений систем уравнений (1) и (2) в качестве переменных состояния фигурируют аргументы результирующих векторов, зависящие от положения и скорости вращения полярной оси системы координат. Аргументом тригонометрических функций являются не зависящие от положения и скорости вращения полярной оси разности аргументов этих векторов, которые необходимо вычислять дополнительно. Кроме того, если скорость вращения координатной системы не будет синхронизирована со скоростью вращения результирующих векторов, переменные вШ,, в,,, в¥,, в¥г будут неограниченно возрастать (в том числе и при юк=0). Это необходимо учитывать как при проведении исследований с использованием таких моделей, так и при построении систем управления этими переменными.

Более удобны математические модели асинхронной машины, в которых в качестве переменных состояния используются сигналы:

Уи,к =ви,-в,,;

О = в -в ,

Гу/Гг /, /г ’

(3}

характеризующие взаимное угловое расположение соответствующих векторов относительно друг друга.

Для получения таких моделей дополнительно к системам уравнений (1) и (2) введем в рассмотрение следующее уравнение:

Св„

Сі

- = ю„ - Ю

(4}

Здесь Ц5, і5, /5, / - модули результирующих векторов напряжения, тока, потокосцепления статора и потокосцепления ротора; ви, в,,, въ, в¥г - аргументы соответствующих векторов (углы между соответствующими векторами и полярной осью}; юк, ю - угловые скорости вращения полярной оси и ротора электрической машины; Мэ, Мс - электромагнитный момент двигателя и момент статического сопротивления; ^ - число пар полюсов обмотки статора; / - суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя; Ьт, Ь,, Ь„ г,, гг - параметры цепей асинхронной машины, приведенные к обмотке статора; Ьэ=(Ь,-Ьт}+К(Ь_Ьт} - эквивалентная индуктивность рассеяния фазы двигателя; г=г+К?гг - эквивалентное активное сопротивление фазы двигателя; Ь'=(1—КК)Ь&,

Ь'=(1-КК}Ь _ индуктивности рассеяния статора

и ротора; Тз = —, Тг = — - электромагнитные по-

Гэ Гг

стоянные времени главной цепи двигателя и цепи ротора; К, = —, Кг = —— коэффициенты связи

—г

статора и ротора.

где (оШ1 - скорость вращения результирующего вектора напряжения статора относительно оси неподвижной в пространстве. Напомним, что в этом случае соШ1 есть частота питающего двигатель трехфазного напряжения.

Вычтя из уравнения (4) вторые уравнения систем уравнений (1) и (2), а из вторых уравнений -четвертые и, произведя в полученных выражениях замену переменных с учетом (3), можем представить математические модели асинхронной машины в следующем виде:

Модель в переменных 1-;

и, С08(Ри.І. ) = 1 +

К

+Кг^РЮ /г Ыф/ ) - -Г /г С0«(0 , / г )>

--Ю„ -Сі гзТзі, и

КГ2РЮ /г С05(0>г) - К /г єіп(0, /г)

гэТэ К ТгШ '

і, С08(0> ) =—1— ГТ,^^- + / '],

1 і/г КгТ \ г Сі )

С%/ = Кгггі *іП((Р / ) Сі г

--Юи - грю,

тСю ,,

^ = М> - М >

Сі

3

М = 2 Кг2рЬ /г ^0/ ). Модель в переменных

\

(5}

и, ) = 7-

С/,

———+/ г Сі

Кл , л

- /г С08(0, / г );

С?и,/,, К г, /г и,

~СГ — / 51П(%/ ) + ^ - - ^и//, ),

— С/

+/г

г Сі

Сі

Кг /, .

8т(р ) -Юи + грЮ,

— /г

СЮ

J— = М - м„ ,

Сі

3 К г

Мэ = //г 8іп(?//г ).

(6}

Математические модели (5}, (6} инвариантны к скорости вращения системы координат, а переменные Юи, и,,г,, /, /„ , ограничены по ве-

личине и в установившемся режиме имеют постоянные значения.

Математические модели асинхронной машины для любой другой комбинации результирующих векторов можно получить аналогичным образом.

Обратим внимание, что переменные %д(%Л} е_сть фазовый сдвиг между вектором напряжения и и вектором тока статора (вектором потокосце-пления ротора}. Производная от ? ,(%Л} по времени - это скорость изменения фазового сдвига, или, другими словами, абсолютное скольжение результирующего вектора тока статора (вектора пото-косцепления ротора} относительно результирующего вектора напряжения.

С учетом изложенного, уравнениям (5} и (6} соответствуют структурные схемы асинхронной машины, рис. 1 и 2.

Однако, при моделировании возникают трудности обеспечения работоспособности таких моделей, обусловленные наличием режима деления на ноль. Эти трудности легко устраняются введением пренебрежимо малых начальных значений модулей векторных переменных.

Согласно этих схем в пакете прикладных математических программ МаИаЬ выполнены исследования всевозможных режимов работы большого количества асинхронных машин серии 4А. Исследовались процессы в двигателях различных мощностей, номинальных параметров, чисел пар полюсов и т. д. Исследования выполнялись в сравнении с результатами, полученными на моделях в декартовых координатах.

В качестве примера на рис. 3 приведены графики изменения переменных состояния асинхронной машины 4А132М4У3 при прямом пуске на номинальные параметры сети.

Проведенные исследования свидетельствуют о том, что при использовании ур. (5}, (6} и структурных схем, рис. 1, 2, можно вычислять электромаг-

Л&„ і

СОБ -1

¡6*

— біп

I— СОБ

і

гэ(Тэя+1)

кЯг-и

Ш

КгТ

Тя + 1

Г?

3 Кггр 4(ти 1 ю

2 3_р

Кггр

К,

№

К,

г э э

1

гэТэ

да

4-І и І ФіцУ,

Рис. 1. Структурная схема асинхронной машины в переменных —s~—{

р

К

г

1

я

я

и

5

Г

=> X

X

X

005

о,

і

+

+

г Ґ ’ Л і з , — 3 + 1 гз V 3

1

| ^ ( ' ^ ^з + 1 Гг

Ъ,

К,

8ІП)

ч

Ги

м

м,

- 1

+ &

К 3ГГ

Ч>"

->>

с> —э« +

Г1

%\0.

008

81П

008

81П

1

і

і

5

і

1

Рис. 2. Структурная схема асинхронной машины в переменных ———г

нитный момент и скорость вращения вала ротора асинхронной машины с той же точностью, что и при использовании уравнения в декартовых координатах (рис. 3, г и б).

График рис. 3, а, характеризует мгновенные амплитудные значения фазных токов статорной обмотки, а график рис. 3, д - мгновенные значения амплитуды пространственной волны потокосце-пления с роторной обмоткой.

Кривая рис. 3, в иллюстрирует фазовые сдвиги между фазными напряжениями и токами обмотки статора, которые в установившемся режиме не превышают значения п/2. Фазовые сдвиги между векторами тока статора и потокосцепления ротора (рис. 3, е) могут превышать несколько оборотов и характеризуются соотношением ^;л=2пК+Л^;л. Здесь К - целое число, значение которого обусловлено типом и параметрами двигателя, а так же алгоритмом формирования его динамических режимов; Лщ^г - угловое смещение меньшее одного оборота.

Представленные уравнения и структурные схемы дают новый набор переменных состояния асинхронной машины (модули и фазовые сдвиги результирующих векторов), которые могут служить основой для создания новых, конкурентно способных, относительно существующих, структур систем автоматического управления асинхронными электроприводами.

При выполнении исследований с помощью разработанных моделей не нужна информация об угловом положении и скорости вращения системы координат.

Выводы

1. Рассмотрены математические модели асинхронной машины, что позволило воспроизводить её установившиеся и динамические процессы с той же точностью, что и модели в декартовых координатах.

2. Использование в качестве переменных состояния асинхронной машины фазовых сдвигов результирующих векторов относительно друг друга позволило получить математические модели, в которых все переменные ограничены по величине и в установившемся режиме имеют постоянные значения независимо от скорости вращения координатной системы.

3. Работоспособность представленных математических моделей при организации вычислительного процесса в цифровой форме обеспечивается введением пренебрежимо малых начальных значений модулей векторных переменных.

4. Выполненные с помощью предлагаемых моделей исследования свидетельствуют о том, что векторные и круговые диаграммы, используемые для анализа установившихся режимов асинхронной машины, характеризуют угловое положение некоторых векторных переменных с точностью кратной 2пК, где К -целое число.

5. Предложенные математические модели позволяют без дополнительных вычислений получать амплитудные значения векторных переменных, их угловое положение относительно друг друга, мгновенные значения соъу и т. д.

д) е)

Рис. 3. Графики изменения переменных состояния асинхронной машины 4А132М4У3 при прямом пуске

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шрейнер Р.Т., Дмитриенко Ю .А. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами. - Кишинев: Шти-инца, 1982. - 224 с.

2. Panasjuk A.I., Panasjuk V.I., Jakubovich L.O. Differential equations of asynchronmachine // Intern. Wiss. Kolloq. Techn. Hochsch. - Ilmenau, 1977. - Bd. 1. - S. 111-114.

3. Карагодин М.С., Федоренко А.А. Уравнения асинхронной машины в полярной системе координат // В кн.: Оптимизация

режимов работы систем электроприводов / под ред. В.А. Трояна. - Красноярск: Изд-во КПИ, 1982. - 166 с.

4. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654 с.

Поступила 20.12.2011 г.