Уравнение вихря $2D$-гидродинамики, стационарное кинетическое уравнение Власова и развитая турбулентность Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.517.4

Уравнение вихря 2Л-гидродинамики, стационарное кинетическое уравнение Власова и развитая турбулентность*

В. В. Козлов

Российская академия наук 119901, Москва, Ленинский проспект, 14 E-mail: kozlov@pran.ru

Получено 1 ноября 2006 г.

Обсуждается круг вопросов, связанных с описанием развитой двумерной турбулентности, когда происходит стабилизация средних значений величин, характеризующих нестационарный поток. Более точно, рассматривается задача о слабом пределе распределения вихрей при плоском нестационарном течении идеальной жидкости, когда время стремится к бесконечности. Обсуждается связь уравнения вихря с известным кинетическим уравнением Власова.

Ключевые слова: уравнение вихря, интенсивность вихря, уравнение Власова.

Valery V. Kozlov

Vorticity equation of 2D-hydrodynamics, Vlasov steady-state kinetic equation

and developed turbulence

The issues discussed in this paper relate to the description of developed two-dimensional turbulence, when the mean values of characteristics of steady flow stabilize. More exactly, the problem of a weak limit of vortex distribution in twodimensional flow of an ideal fluid at time tending to infinity is considered. Relations between the vorticity equation and the well-known Vlasov equation are discussed.

Keywords: vortex motion equation, vorticity, Vlasov equation.

Mathematical Subject Classifications: 76Fxx, 76F70

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ^БРБ (05-01-02942). ______________________НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2006, Т. 2, №4, с. 425-434

1. Уравнение вихря как уравнение Лиувилля

Рассмотрим плоскопараллельное течение идеальной однородной жидкости в потенциальном силовом поле. Пусть х, у — декартовы координаты в плоскости течения, и, V — компоненты скорости частиц жидкости (они зависят от х, у и времени £). Уравнения движения можно представить в виде уравнений Ламба

ди _ <9/ ди , _ <9/

т+ши-~^

где и = дv/дx — ди/ду — вихрь, а ] — функция Бернулли.

Из этих уравнений с учетом несжимаемости однородной жидкости (ди/дх + дv/дy = 0) легко выводится уравнение, описывающее изменение вихря:

§ + ё*‘+|’' = °- <'••>

Таким образом, вихрь и является первым интегралом дифференциальных уравнений

Х = и (х,у,£), у = V (х,у,£), (1.2)

описывающих движение частиц жидкости. Отсюда вытекает, в частности, классическая теорема Гельмгольца — Томсона о вмороженности вихрей в плоскопараллельный поток идеальной жидкости.

Уравнение (1.1) имеет вид статистического уравнения Лиувилля для неавтономной системы (1.2), поток которой сохраняет стандартную меру йхйу. Ввиду условия несжимаемости, уравнения (1.2) имеют гамильтонову форму

дф дф и = ~~ду’ Ь=дх’

где ф (х, у, £) — функция тока. Таким образом, уравнение вихря — это уравнение Лиувилля гамильтоновой системы, которая, вообще говоря, неавтономная.

Укажем одно из следствий. Пусть О — измеримая функция одной переменной. Тогда интеграл

СО

Л0 (и (х-у-Г)) ЛхЛу

—о

не зависит от времени £ (в предположении, что этот интеграл сходится). Другими словами, он будет интегральным инвариантом системы дифференциальных уравнений (1.2). В частности, моменты всех порядков константы и информационная энтропия

|и| 1п |и| йхйу

также константа.

2. Уравнение вихря как уравнение Власова

Чтобы дальнейшее было более понятным, напомним сперва о кинетических уравнениях Власова, которые описывают эволюцию плотности континуума взаимодействующих частиц. Пусть р (х, V, Ь) — плотность этого распределения, где х — координаты, а V — скорость частиц. Уравнение Власова (или уравнение самосогласованного поля) имеет вид

%+{&') + (§>')=“• (2Л1

р = JJ к(х,у)р (у, V, і) ПуПь

— функционал от функции распределения р; это суммарная сила, действующая на частицу. Здесь К (х,у) — потенциал парного взаимодействия. Обычно К зависит от расстояния |х — у|. Поскольку К не содержит явно времени, то уравнение (2.1) будет стационарным уравнением Власова: вся нестационарность определяется зависимостью функции распределения р от времени 1 Уравнение вихря (1.1) можно представить в виде

дш _ дш_^Ф_ , дш_^Ф_ _ 0 (2 2)

<9£ дх ду ду дх ’

где

СО

Ф= // К (х,у; х',у') ш (х',у',і) йх1 йу'

— О

К = ^-\п^(х-х')2 + (у-у')2 (2.3)

— функция тока,

X

2тг

— ядро линейного оператора — «парный потенциал взаимодействия». Функция К совпадает с гамильтонианом, описывающим движение частиц жидкости в поле вихря с единичной интенсивностью.

Сравнивая (2.1) и (2.2), мы видим, что (2.2) является стационарным уравнением «типа Власова».

Уравнение Власова (как и уравнение Лиувилля) есть статистическое уравнение. Пусть Н*-о ^ 0 и выполнено условие нормировки:

JJ шйр = 1,

где (1р = 1х1у — инвариантная «мера Лиувилля». Тогда в каждый момент времени ш ^ 0,

СО

JJ ш (х, у, Ь) йр = 1

—О

Рі (В) = JJ ш (х, у, Ь) йр = сопя^

Ш I а* (О)

В последней формуле Б — измеримая область плоскости Ж2 = {х, у}, д* — поток системы (1.2), а (Б) — вероятность нахождения частицы жидкости в области Б. Таким образом, мы имеем распределение вероятностей на плоскости, которое согласовано с течением жидкости. Подчеркнем, что время в уравнении (2.2) входит лишь через зависимость вихря от 1

и

3. Слабая сходимость

Вихрь ш как функция как правило, осциллирует и, конечно, не имеет обычного предела при неограниченном возрастании времени. С точки зрения анализа статистических свойств течения было бы полезным изучить слабую сходимость шъ = ш (х, у, £). Напомним, что ш (х, у, £) слабо сходится к из (ж, у), если для любой пробной функции (р (ж, у)

СО СО

^Ит JJ из (ж, у, £) (р (ж, у) с1хс1у = JJ изрйхйу. (3.1)

— О —О

Если ш £ Ь\, то в качестве пробных функций естественно рассматривать все ограниченные измеримые функции.

Для решений более простого уравнения Лиувилля для квазиоднородной автономной гамильтоновой системы существование слабого предела доказано в работах [1, 2].

В силу ряда причин (изложенных, в частности, в п. 6) в определении (3.1) обычную сходимость по времени целесообразно заменить более сильной сходимостью по Чезаро:

1

После такой замены решения уравнения Лиувилля слабо сходятся уже в самом общем случае (единственно надо, конечно, предположить, что все решения уравнений Гамильтона продолжаются на всю временную ось). Это — хорошо известный результат эргодической теории, эквивалентный теореме фон Неймана.

По-видимому, справедлива следующая

Гипотеза. Для почти всех начальных распределений вихря ш0(х, у) существует слабый предел из.

Это предположение следует еще уточнить: надо ввести подходящее функциональное пространство для начальных данных ш0 и определить в этом пространстве меру. Напомним, что (в отличие от трехмерного случая) плоскопараллельные течения идеальной жидкости регулярны при всех значениях времени. Этот результат восходит к работам Гельдера и Волибнера 1933 г.

Если щ слабо сходится к интегрируемой функции из, то нестационарное течение идеальной жидкости стремится «в среднем» к стационарному течению с вихрем из. Его поле скоростей находится по известным формулам

! /у (у-у')Ц(Х',у') м (32)

(х - хХУ + (у - у')

-Г ^ 1 [[ (ж-ж')й(ж ',у') , ,

ъ{х,У) = 7Г- ,--- =<1х<1у. (3.3)

П \/(* - х’)2 + (!, - I/)2

Поле скоростей (п, у) следует отличать от «среднего поля», введенного в работах [3, 4]. Было бы интересным сравнить оба подхода.

На траекториях (линиях тока) стационарной системы

ж = п(ж ,у), у = ь(х,у)

0

постоянна функция тока

К (ж, у, ж', у') ш (ж', у') йх'йу', (3.4)

где К дается формулой (2.3). Для разрывных измеримых функций ш функция (3.4) может быть лишь непрерывной. Но тогда ее линии уровня могут быть устроены весьма сложно (см., например, обзорную работу [5], где, в частности, обсуждаются геометрические свойства линий уровня случайно выбранной функции на плоскости).

Ф (х,у) =

4. Сингулярные меры и точечные вихри

Найдем решение уравнения вихря (2.2) в виде суммы 5-функций Дирака:

П

ш (х, у,г) = £ к35 (х - Xs (г)) 5 (у - Уs (г)). (4.1)

в=1

Слагаемое с номером в можно интерпретировать как точечный вихрь интенсивности к3 в точке с координатами х3, у3. Обобщенная функция (4.1) представляет собой плотность сингулярной меры.

Покажем, что если (4.1) удовлетворяет уравнению (2.2), то функции х3 (і) и у3 (і) удовлетворяют дифференциальным уравнениям, описывающим динамику п взаимодействующих точечных вихрей. Действительно, подставляя выражение (4.1) в уравнение (2.2), используя тождество

х~г (і)) = 5'х и стандартные свойства 5-функции, получаем

^ к3 [5' (х - х3) 5 (у - у3) х3 + 5 (х - х3) 5' (у - у3) у3]

^2^5'(х-х з)б(у-уз)-^ х і)2 + (у- уіУ

(4.2)

+ ^2^5(х-х і) 5'(у - уз)^-^щ\п^{х- х і)2 + (у- Уіу

Воспользуемся теперь следующим простым фактом: если

^ А5 (х, у) 5 (х - х3) 5 (у - у3) + (х, у) 5 (х - х3) 5 (у - у3) = 0, (4.3)

то в точке х = хз, у = уз коэффициенты Аз и ц,з обращаются в нуль. Для доказательства умно-

жим (4.3) на пробную функцию <р (х, у) и проинтегрируем по плоскости Ж2 = {х, у}. Тогда

^^ д ^^ д

2_^ [А^ (ж> Уз) V (ж> Уз)] + 2^о^Ь1з {х3, у) V (х3, у)} = о.

Подставляя <р = (х - х\)... (х - хп), получим

^ ~дх (ж “ жі) • • • (ж “ ж«) + ^2\з[(х - х2) ■ ■ ■ (х - хп) + ...

д.

+ (ж - Х\)... (ж - хп-і)\ + ^2 (ж ~ Х\)... (ж - хп) = 0. _ НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2006, Т. 2, №4, с. 425-434______

о

Положим теперь х = хв. Тогда

Д(ж5 - Хг) А3 (х3,Уз) = 0.

в=г

Следовательно, Ав =0 в точке (хв, ув). Аналогично доказывается, что р,3 = 0.

Используя это вспомогательное утверждение и отбрасывая неопределенное слагаемое с «самодействием», из (4.2) получаем дифференциальные уравнения

м8х8 = %,— > Х-зУв = — (1 ^ ^ п), (4.4)

дув дхз

где ______________________

Я = ^ Е ***3 111 \/(Жг-^')2+(Уг-%')2-

г=3

Это — дифференциальные уравнения Кирхгофа, описывающие динамику п точечных вихрей на плоскости.

5. Пространственная статистика точечных вихрей

Легко проверить, что гамильтонова система (4.4) является однородной системой степени однородности -1. Действительно, они инвариантна при подстановке

г ^ г/А, х3 ^ хв/А, ув ^ Ув/А (1 ^ 5 ^ п),

где А — произвольный положительный вещественный параметр. При такой подстановке гамильтониан изменяется на некоторую аддитивную константу. Следовательно, согласно [1 ], плотность инвариантной меры, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, имеет слабый предел.

Более точно это означает следующее. Пусть

ро (х1,■ ■ ■ , хп, у1,■■■, уп)

— начальная плотность распределения вихрей (по Гиббсу) в 2п-мерном фазовом пространстве, которая является функцией из Ь1. Пусть р1 (х,у) — ее значение в текущий момент времени г и р — ограниченная измеримая функция от переменных х1, ■ ■ ■ ,хп,у1, ■ ■ ■, уп; ясно, что р1 € Ь1 при всех г. Тогда при г ^

J ... J рг{х, у) р (ж, у) (ГхлГу -► J ... J р(х, у) 1р(х, у) (Гх(Гу,

причем р £ Ь\ и

j ... j рсГхсГу = j ... j росГхсГу = 1. (5.1)

Слабый предел р представляет плотность распределения вихрей в предельном стационарном состоянии.

Строго говоря, равенство (5.1) заведомо справедливо, если интенсивности точечных вихрей имеют один знак. Действительно, уравнения Гамильтона (4.4) допускают интеграл момента

I = ^ к(х2 + у2 ")■

Следовательно, инвариантные области

{(x,y) е R2 : Cl ^ I ^ С2 }

имеют конечную меру и поэтому равенство (5.1) вытекает из теоремы Биркгофа — Хинчина.

Кстати сказать, если все ks > 0 (< 0), то вихри не только не уходят в бесконечность, но и никогда не сталкиваются. Для доказательства заметим, что интеграл энергии можно представить в виде

J = ]^[ Т*-*3 = с = const,

i=j

где r3j — расстояние между вихрями с номерами i и j. Так как в начальный момент времени r3j = 0, то с > 0. С другой стороны, к3к* > 0. Следовательно,если расстояние между парой вихрей стремится к нулю, то обязательно найдутся вихри, отстоящие друг от друга на очень большом расстоянии. Но это противоречит интегралу момента I = const.

В общем случае, когда интенсивности вихрей имеют разные знаки, можно лишь утверждать, что неотрицательный интеграл слева в (5.1) не превосходит единицы. Рассмотрим поучительный пример пары вихрей с интенсивностями к и —к. Хорошо известно, что в этом случае вихри движутся поступательно с постоянной скоростью, которая ортогональна соединяющему их отрезку. Следовательно, р = 0.

В известной теории Онзагера предполагается (не вполне обоснованно по аналогии с классической статистической механикой), что р представляет плотность канонического распределения Максвелла—Гиббса с гамильтонианом H.

Отметим, что (информационная) энтропия

St = — J ... J pt ln ptdn xdny

не меняется со временем, однако

Soo = - J ... J plnpdnxdny >St = So.

В общем случае, конечно, S> S0.

Пусть D — измеримая ограниченная область плоскости R2 = {x, y}. Как подсчитать среднюю долю вихрей (и их среднюю суммарную интенсивность), которые находятся в этой области? Зафиксируем целое s, 1 ^ s ^ п. Введем следующие области в 2п-мерном фазовом пространстве системы точечных вихрей:

Di,..,s = {(x,y) е R2n: (xi,yi) е D,..., (xs,ys) е D,

(Xs+1,ys+l) е D,..., (xn, Уп) е D} ,

Оп-8+1,...,п = {(х,у) € М2п: (х1 ,у1) € &,■■■, (хп-з,уп-з) € Б,

(хп-8 + 1 1 уп-8 + 1 ) € ■ ■ ■ 1 (хп 1 уп) € О} ■

Их смысл состоит в следующем: область Б содержит ровно в точечных вихрей тогда и только

тогда, когда состояние системы в 2п-мерном фазовом пространстве находится в объединении

областей Б1,..,81 ■ ■ ■, Оп-8+1..,п. Пусть р8 — характеристическая функция их объединения.

Вероятность того, что в область Б в момент времени г попали ровно 5 вихрей, равна

Рз (£) = J р1<р8<Гх<Гу.

Ж2п

Согласно сказанному выше, существует

Ит р8(Ь) = рр3(Гх(Гу = р3. t^±ж J

ж2п

Средняя доля (математическое ожидание) вихрей в области Б в состоянии статистического равновесия равна

Рг + 2р2 + ... + прп.

Аналогично подсчитывается средняя интенсивность.

6. Временная статистика точечных вихрей

К обсуждаемому кругу вопросов можно подойти с несколько иной стороны. Для определенности высказываний рассмотрим случай, когда в начальный момент времени завихренность идеальной жидкости ш положительна. В этом случае после тривиальной нормировки ш можно рассматривать как плотность инвариантной меры на плоскости. Заменим меру шйхйу сингулярной мерой с плотностью (4.1). Поскольку предполагается, что ш > 0, то коэффициенты кз (интенсивности точечных вихрей) также положительны.

Хорошо известно, что любую меру в слабом смысле (т. е. в смысле слабой сходимости) сколь угодно точно можно приблизить мерой с плотностью вида (4.1). Конечно, при увеличении точности приближения количество точечных вихрей неограниченно увеличивается.

Пусть снова Б — измеримая область конечной меры на плоскости Ж2 = {х, у} и р — ее характеристическая функция. Суммарная интенсивность вихревого движения в области Б в момент времени г равна

к и = Ц ш <х, у, о Ыу = Ц ш (х, у, V р (Х, у) Ыу =

О ж2

= ^ Кз 8 (х - хз (г)) 5 (у - уз (г)) р (х, у) йхйу = (6.1)

5 = 1

2

п

= ^2КзР(хз (г) ,уз (г)).

з=1

Конечно, в обычном смысле функция к (г) не имеет предела при г ^ ±го. Однако в более сильном смысле по Чезаро она сходится согласно классической теореме Биркгофа—Хинчина:

Т п

Ит \ >{-(£) (Й = У^ КзЦ>з1 (6-2)

Т ^-Ж ' J

0 з=1

где

Т

1

ч>з= Ит \ 1р(х3(г),уз(г))сИ.

Т^Ж 1 J

О

Средние р8 существуют для почти всех (по мере Лебега) начальных положений системы точечных вихрей на плоскости.

Формулы (6.1) и (6.2) справедливы и для любой непрерывной функции р с компактным носителем. При этом следует иметь в виду, что, согласно предположению кз > 0, система точечных вихрей все время движется в ограниченной части плоскости (см. п. 5). Таким образом, формула (6.2) определяет линейный функционал

р^ Ар = ^2 ™*Рз

на пространстве непрерывных функций (с компактным носителем), причем этот функционал положительный: если р ^ 0, то, очевидно, Ар ^ 0. Более того, функционал А нормированный: если р = 1, то Ар = 1. Это — простое следствие формул (6.1)—(6.2) и предположения о норми-рованности начального распределения вихрей.

Правда, в этом рассуждении имеется одна существенная трудность. Дело в том, что фигурирующее в индивидуальной эргодической теореме исключительное множество нулевой меры зависит от усредняемой функции. Это ставит под сомнение возможность корректного определения функционала А для почти всех начальных данных системы (4.4). Однако, как вытекает из одной теоремы Крылова — Боголюбова [6], при усреднении непрерывных функций это исключительное множество можно сделать зависящим от самой динамической системы.

Следовательно, по теореме Рисса—Радона, функционал А есть интеграл по некоторой мере р на плоскости:

Ар = JJ рйр.

2

Ввиду свойства нормированности, р (Ж2) = 1.

Таким образом, при г ^ течение идеальной жидкости (аппроксимированное системой точечных вихрей) почти наверное сходится по Чезаро к некоторому стационарному «течению» на плоскости, вихрь которого есть некоторая стационарная мера в Ж2. Это стационарное течение в типичной ситуации дает представление о развитой стационарной 2Б-турбулентности. В формулах (3.2) для среднего поля скоростей вместо шйхйу следует, конечно, взять йр.

Наверное, стоит добавить, что мера йр, очевидно, абсолютно непрерывна относительно меры йи = йхйу. Значит, по теореме Радона — Никодима, существует ее плотность ш = йр/йи, которая будет интегрируемой по Лебегу функцией на плоскости. Поскольку отношения

________У — у'_______ ________х — х'_______

^(х - х/)2 + (у - у')2’ л/(ж - ж')2 + (у - у')2

— существенно ограниченные функции, то формулы (3.2) корректно определяют предельное «среднее» поле (п, V).

Список литературы

[1] Козлов В. В., Трещев Д. В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем // Теорет. и матем. физика, 2003. — Т. 134. — № 3. — С. 388—400.

[2] Козлов В. В., Трещев Д. В. Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамильтоновых систем // Теорет. и матем. физика, 2003. — Т. 136. — № 3. — С. 493—506.

[3] Montgomery D., Joyce G. Statistical mechanics of negative temperature states // Phys. Fluids. — 1974. — V. 17 — P 1139-1145.

[4] Robert R., Sommeria J. Statistical equilibrium states for two-dimensional flows // J. Fluid Mech. — 1991. — V. 229. — P 291-310.

[5] Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. V. 64. P 961-1043.

[6] Kryloff N., Bogoliouboff N. La th’eorie generale de la mesure dans son application a l’etude des syst'emes dynamiques de la mecanique non lineaire // Ann. of Math. 1937. V. 38. P 65-113.