УРАВНЕНИЕ ЛЬЕНАРА КАК МЕТОД РАСЧЕТА РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УРАВНЕНИЕ ЛЬЕНАРА КАК МЕТОД РАСЧЕТА РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Макарова Мария Валентиновна

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

LIENAR'S EQUATION AS A METHOD OF CALCULATING ELECTRONIC CIRCUITS

Makarova Mariya Valentinovna

Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

Построены приближенные решения уравнения Льенара в форме высокочастотного колебания с переменной огибающей и фазой. Аналогом этого уравнения в радиоэлектронике является схема автогенератора, содержащего туннельный диод с кубической аппроксимацией вольт-амперной характеристики.

Built approximate solutions of the Lienar equation in the form of high-frequency oscillation with variable envelope and phase. An analogue of this equation in radio electronics is the circuit of an auto generator containing a tunnel diode with a cubic approximation of volt-amperical characteristics.

Ключевые слова: электрическая цепь, автогенератор, аппроксимация, дифференциальное уравнение, высокочастотное колебание.

Keywords: electrical circuit, auto generator, approximation, differential equation, high-frequency oscillation.

В теории электрических цепей схемы, содержащие нелинейные элементы, часто описываются дифференциальным уравнением типа Льенара с квадратичным трением и с кубическим характером восстанавливающей силы. Известны некоторые приложения частных случаев этого уравнения.

Так уравнение Ван-дер-Поля описывает режим работы лампового генератора. Уравнение Дюффинга отвечает пассивной синхронизации мод в лазере с быстро релаксирующим поглотителем [1].

Рассмотрим схему одноконтурного автогенератора с активным двухполюсником - туннельным диодом, характеризующимся кубической аппроксимацией вольт - амперной характеристики на падающем ее участке в окрестности рабочей точки V=V0 :

^о+Ц) = 1о + DlU + D2U2 + DзU3, (1)

где D1, D2, D3 - постоянные аппроксимации. Эти коэффициенты зависимости тока диода I от напряжения V имеют следующий смысл:

О =(-) О =1(—) О = ±(—)

1 \йу)у=у0' 2 2иуУу=у0' 3 ЛйУЧу=у0'

Коэффициент D1 представляет собой крутизну характеристики в некоторой точке V=V0; D2 и D3 -первую и вторую производную от крутизны и, естественно, они зависят от положения рабочей точки на характеристике. Варьируя сопротивление потерь Я и напряжение источника Е, можно добиться различного расположения прямой

1 Е

1 = -тт^ + тт. д д

пересекающей вольт - амперную характеристику на падающем участке кривой или в одной точке при V = У02, или в двух точках в случае касания, либо в трех точках V = У01, V = У02, V = У03. Прежде всего интерес представляет локальная устойчивость состояния схемы при выборе точки равновесия на падающем участке с координатами V=Vо, 1о=1^о). Замена V(t)=Vо+U(t) (где Ц(/) - вспомогательная функция , / - время) переносит начало координат в эту точку, для окрестности которой и записано разложение в ряд Тейлора (1).

Для написания нелинейного дифференциального уравнения, отвечающего схеме, воспользуемся символическим методом, т. е. будем применять оператор дифференцирования р=ё1&. При этом символические сопротивления элементов схемы: индуктивности Ь и емкости С запишутся в виде: Яь = рЬ, ЯС = 1/рС при активном сопротивлении Я.

Учтём также, что оператору p2 соответствует двукратное дифференцирование по времени p2 = cPldt2. В этих обозначениях для символического сопротивления параллельного колебательного контура схемы располагаем выражением [2]:

Z(p) = R+pL—. (2)

p2LC+pRC+l V '

Тогда на основании закона Кирхгофа для цепи (рис.1) имеем символическое уравнение баланса напряжений

Z(p) I + V = E. (3)

Подставляя (2) в (3), получаем (p2LC+pCR+1)(E-V) = (R+pL)I.

Переходя от символической записи к дифференциальному уравнению, имеем

d2 d(E — V) dl

LCdi2(E-V) + CR d- + (E-V) = IR+Ld-t

Поскольку э.д.с. источника E постоянна, а производная от тока диода по времени равна

— = D-t — + 2D2U — + 3D3 U2 —, (4)

dt 1 dt 2 dt 3 dt v '

дифференциальное уравнение преобразуется к следующему:

dll+iR + Bi + IEiu + 3Eiu2)dl + R£Hlu + R*U2 + = E--X°zEi. (5)

d 2 L C C C d L C L C L C L C

Обозначим (6)

= R+D± =Di =Di h =RDi + i . =RDi h — RD3 E — V0 — Ri0

a L C , a2 C , a C , 1 LC , 2 LC , 3 LC , LC .

Тогда (5) перепишется в виде

d^+(a1+2a2U + 3a3U2)d^ + b1U + b2U2+b3U3 = d. (7)

Обратим внимание на размерности коэффициентов уравнения, учитывая, что входящие в схему элементы имеют следующие размерности:

[Л] = В/А, [¿] = Вс/А, [С] = Ас/В, [Л] = А/В, [Д>] = А/В2, [Л] = А/В3, где A - ампер, B - вольт, с - секунда. Тогда:

[а] = с-1, [ж] = В^с-1, [аз] = В-2с-!, [Ь] = с-2, [&] = В^с-2, [&] = В-2с-2, [о] = Вс-2, и, следовательно, размерности каждого слагаемого в уравнении (7) будут Вс-2.

Прежде, чем приступить к отысканию решения нелинейного дифференциального уравнения (7), рассмотрим поведение эквивалентного сопротивления контура 2(р) из (2) при изменении частоты т, к которой переходим при замене р = 1т [2].

Я + шЪ = 1 - ш2ЬС + шСЯ

Для его модуля имеем формулу

IZ(v)l =

N

R2 + m2L2

(1 — m2lc)2+m2c2r2'

которую перепишем в виде

IZ(<o)l=RQ

l + Q2((o/ш0)2

Q2(1 — (v/u0y)2 + (u/u0y

где Q = jL/C/R = m0L/R - добротность контура; ш0 = l/^LC - частота колебательного контура. Максимальное значение модуля эквивалентного сопротивления IZ(m)I достигается при частоте

Ыд2+2-1

ш = —о*—.

и поскольку добротность Q обычно много больше единицы, то, следовательно, из (8) ш ^ ш0. Отнормируем модуль эквивалентного сопротивления №(ш)1 к его максимальному значению на частоте ш0, т.е. будем рассматривать величину

K((ú) = I 2(ш)\ - 1 1+()2(ш/шо)2 .9ч

( ) h(Mo)1 JT+Q2 ^ <12(1-(ш/шо)2)2 + (ш/шо)2' ( )

При ш = 2ш0 К(ш) достигает значения, равного 2/(3Q), а при ш = 3w0 - значения, равного 3/(8Q). Будем искать решение уравнения (7) в виде гармонического колебания с частотой ш0, фазой ф и неизвестной огибающей A(t):

U(t) = A(t) cos(m0t+y). (10)

Перед подстановкой (10) в (7) предварительно найдем dU/dt, UdU/dt, U2 dU/dt:

= Á cos(m0í + ф) — ш0А sin(M0t + ф), U^ = Y + Ycos2(^ot + ф) —^Y~sin2(M0t + <p), (11)

U2— = 3^-^COS(M0t + ф) 3 (M0t + ф) — SÍn(M0t + ф) — 3 (to0t + ф).

dt 4 4 4 4

Подставляя полученные выражения (11) в (7), имеем:

(3a3ÁA2/4 + b3A3/4) cos 3 (u0t + <p) — (3/4)ща3А3 sin 3 (u0t + <p) + + (a2ÁA + b2A2/2~) cos 2 (ш0Ь + ф) — ш0а2А2 sin 2 (<¿0t + ф) + + (/' — ш2А + aTÁ + 9a3A2Á/4 + bTA + 3b3A3/4) cos( u0t + <p) — — (2ш0А + а1ш0А + 3a3u0A3/4)sin(u0t + <p) + a2AÁ + b2A2/2 — d = 0. (12)

Слагаемые в (12) с удвоенной и утроенной частотой ш0 отбрасываются вследствие избирательных свойств колебательного контура, настроенного на частоту ш0 и его высокой добротности Q ~ 400, при этом в соответствии с (9) относительное значение модуля эквивалентного сопротивления на удвоенной частоте достигает величины 0,002, а на утроенной - величины 0,001 по сравнению с его значением на частоте щ. Поскольку (12) должно выполняться при любом значении времени, то, следовательно, надо потребовать, чтобы

A" + a1Á + 9a3A2Á/4+(Ь1 —ш^)А + 3Ь3А3/4= 0, (13)

А + а1А/2 + 3а3А3/8 = 0, (14)

а2АА + Ъ2А2/2 — d = 0. (15)

Продифференцируем (14) по времени

_ —'¿1^/2 — 9U3¿

и подставим его в (13), тогда (13) перепишется в виде

a1Á/2 + 9a3A2Á/8 + (b1 — ш%)А + 3b3A3/4 = 0. (16)

Из (15) выразим величину

ЛЛ = d — Ф2/2)А2

А = —a1Á/2 — 9а3А2А/8

а

и подставим ее в (16), тогда приходим к уравнению

А + (9a3d | 2(Ь1-ш2) V

\4aia2

ai

)A — (2aa3bi — 3Jbi)A3 = o.

J \8aia2 2aiJ

(17)

В силу введенных обозначений (6) Ь± — щ = щЯБ^ Введем три новые величины а, в, у на основании

(6):

= 1Г (мГ (E — Vo — R^o) + 2RD-) с размерностью [a]=c"-

Р = ~ (ЗОЬ2 — b3) с размерностью [р] = В 2с

(18)

у = ^ с размерностью [у] = В. В этих обозначениях перепишем уравнение (17)

А + аА - /ЗА3 = 0,

которое является уравнением с разделяющимися переменными

dA

А(А2-у2)

= pdt.

Разложим дробь 1/(А(А2 — у2)) на сумму простейших дробей

l

l l l l ■ + ■

ll

A(A2—y2) 2y2A — y 2y2A + y у2 A

Проинтегрируем (19) в интервале изменения времени от нуля до (

1

2y2

■In

A( ) —

A(0) — y

l

+ 2?ln

A( ) + y

A(0)+y

l

— In

y2

A( )

A(0)

= pt,

откуда при A(t) < y

n

y2 — A2(t)

y2 — A2(0)

2 In

A( )

A(0)

= 2y2pt.

На основании (18) последнее выражение запишем в виде

n

[y2 — A2(t)]A2(0)

[y2 — A2(0)]A2(t) откуда получаем выражение для огибающей

= 2a t,

A( ) =

yA(0)

V A2(0) + [y2-A2(0)]e2at'

(19)

(20)

Интересно отметить, что квадрат огибающей соответствует типичному ходу логистической кривой [3] с точкой перегиба при

l

t = —In

2 a

A2(0)

y2 — A2(0)

в которой ее значение достигает величины у2/2. Естественно, что поведение этой кривой будет существенно зависеть от величины и знака эффективного затухания а, связанного со всеми коэффициентами уравнения (7), а также от параметра насыщения у.

Заметим, что при в схеме возможна генерация только при нахождении рабочей точки на падающем участке вольт - амперной характеристики (1) туннельного диода. Предельное значение напряжения генерации найдем из системы:

fa +2a?U + 3a3U2 = 0,

12 2

b U2 + b3 U3 = 0.

a

Из второго уравнения системы (21) следует, что

U2(b2+b3U) = 0.

Так как U Ф 0, то U = иген = -b2/b3. Подставляя найденное значение U в первое уравнение, получаем условие генерации:

а^З — 2a2b2b3 + 3a3b2¡; = 0.

Заметим, что иген можно выразить через коэффициенты аппроксимации (1) вольт - амперной характеристики. Действительно, следуя (6):

b2 = m2RD2, ЬЗ = M0RD3, a0 = Jb!= 1/4ТС,

получаем иген = - D2/D3.

Если считать, что в начальный момент времени (d U / d t)lt=0 = 0, то на основании (11) имеем условие для нахождения фазы колебания ф: .<4(0) cos р — A(0)w0 sin р = 0, откуда р = arctgw-1 А0).

А(0)

Предположим теперь, что фаза в (10) зависит от времени t, т. е. будем искать решение уравнения (7) в виде

U(t) = A(t)cos[(ú0t + p(t)]. (22)

После подстановки (22) в (7), пренебрегая слагаемыми с удвоенной и утроенной частотой ю0, согласно изложенному и применённому ранее, при i^=const способу, получаем условия, аналогичные (13) - (15):

A + —A((ú0 + р)2 + a1A + (9/4)a3A2A/4 + b1A + (3/4)b3A3 = 0, (23)

2 А(ш0 + р) + Ap + a1A((ú0 + () + (3/4)a3A3((ú0 + р) = 0, (24)

a2AA + (l/2)b2A2 — d = 0. (25)

Пусть A(t) - медленно изменяющаяся функция времени. Это означает, что ее относительное изменение ДА за период колебаний Т0=2^/ю0 много меньше единицы: ДА/А<<1. Естественно, что абсолютное изменение ДА за этот период можно представить A A = (dA/dt)T0, откуда

dA _AA _AA A

dt = T0 = ~'T

и, так как ДА/А<<1, то

dA A A(ú0 dt T0 2n

или (dA/dt)<<Aa)0. Аналогично: (d2A/dt2) << u0(dA/dt).

Производная dp/dt = р характеризует отклонение частоты m(í) = (ш0 + р) от несущей частоты ю0 и, чтобы колебание с частотой m(t) было бы очень близким к синусоидальному необходимо, чтобы изменение этой частоты за один период T0 было бы малым по сравнению с частотой m(t) в фиксированный момент времени t, т.е. условие медленности изменения фазы ф(Г) сводится к условию

1 I d íd<p\ \ _ _ _ . .. _ _ w(t) „ „ w(t)w0 _ _ wit . _ _ .. _ _

<< 1 или p<<ir<< ^ <<W0, Р<<*0, р<<щр.

С учетом сделанных замечаний, преобразуя (23) - (25), получаем уравнения для нахождения A(t)

A + ccA — jA3 = 0, (26)

где a = (1/^0)((9a3d)/(4a2) — 4ш2 + ai + bi); j = (9a3b2)/(8a2) — (ЗЬз)/4; j = Js/j. Решением уравнения (26) является функция

A(t)=■ fA(0)

А2(0) + (у2-А2(0))е2Ш

Выпишем уравнение для нахождения фазы ф(^) из (24)

ф = -4^-2а1-3а3А2. (27)

Проинтегрируем (27) в пределах изменения времени от нуля до t. Применяя формулу, ¡^=(тХ-1НТтХ)) получаем 9(t) = nt+J + nt), где V = Q а3у2 - 2ai;J = -((Ъ/2)а3у2/а + 4)lny; W(t) = ((3/2)a3y2/ci - 2) 1п(А2(0) + (у2 - A2(0))e2Ut).

Напряжение на выходе контура Цвых(0 на основании (3) Цвых(0 = IZ(p) = E - V(t) или при переходе к функции U(t), для которой и строится решение уравнения Льенара, ивых(0 = E - V0 - U(t). Поскольку в момент включения источника при t = 0 выходное напряжение равно нулю, то, следовательно, U(0) = E -Vo и тем самым начальное значение амплитуды4(0), например при нулевой фазе, 4(0) = E- V0.

Время установления стационарных колебаний

1 (1-д2)А2(0) t„ = ——ln-

4 2а q2(y2-A2(0)У где параметр q, характеризующий долю достижения уровня насыщения у, определяется из (20) как

д = у.

Таким образом, на примере автогенератора на туннельном диоде показано построение приближенного решения уравнения Льенара в форме высокочастотного колебания с переменной огибающей и переменной фазой, отражающих влияние всех коэффициентов.

Список литературы:

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986.

2. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. - М.: Наука 1984.

3. Тайбин Б.З. Методы обнаружения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации. СПбГУ, 1994.

НОВОЕ РЕШЕНИЕ КАПЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЯДРА

Якубовский Евгений Георгиевич

пенсионер

NEW SOLUTION TO THE DROPLET KERNEL MODEL

Yakubovski Evgeniy Georgievich

pensioner

Возрождена капельная модель ядра, для которой получено точное решение для несжимаемой жидкости с помощью гидродинамического потенциального решения, полученного из уравнения Шредингера. При этом для несжимаемой жидкости имеется формулы для давления или потенциала. Имеется основная часть гидродинамического потенциала, которая получается заменой модуля обратного разности векторов, на разность модулей значений векторов. Основная часть потенциала выражается конечной формулой с особенностями. Получается формула для интеграла, содержащего модуль разности точного значения векторов минус основная часть потенциала. Эта разность определяет непрерывную поправку с учтенными особенностями. Основная часть потенциала на границе ядра получилась бесконечно большой с мнимой частью, запирающий частицы в ядре. При этом действительная часть основного потенциала при уменьшении радиуса уменьшается, становится отрицательной, и определяет связанное состояние. При половине радиуса ядра имеется линейный член по радиусу. В нуле радиуса имеется бесконечный отрицательный потенциал с мнимой частью. Получено выражение для кванта излученной энергии. Отмечу, что присоединенная масса, в связи с вращательным режимом ядра не использовалась. Предложен алгоритм вычисления спектра ядра, причем каждому состоянию действия ядра sn соответствует n вычисленных частот, определяемая по n углов в конфигурационном пространстве. Основное пространство n+1 мерное, и каждой размерности пространства соответствует своя энергия. Но без специальных средств потенциал ядра стремится к бесконечности. Нужно ввести мнимую степень шероховатости углов, в выражениях, содержащих особенности, тогда бесконечности исчезают.

The droplet model of the nucleus is revived, for which an exact solution for an incompressible fluid is obtained using the hydrodynamic potential solution obtained from the Schrodinger equation. Moreover, for an incompressible fluid, there are formulas for the pressure or potential. There is the main part of the hydrodynamic potential, which is obtained by replacing the modulus of the inverse difference of vectors by the difference in moduli of the values of the vectors. The bulk of the potential is expressed in a finite formula with singularities. A formula is obtained for the integral containing the modulus of the difference between the exact values of the vectors minus the main part of the potential. This difference defines a continuous correction with the features taken into