Уравнение флотации при облагораживании макулатурной массы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бумага и картон

УДК 676.1.038.2

УРАВНЕНИЕ ФЛОТАЦИИ ПРИ ОБЛАГОРАЖИВАНИИ МАКУЛАТУРНОЙ МАССЫ

© М.А. Агеев

Уральский государственный лесотехнический университет, Сибирский тракт, 37, Екатеринбург, 620100 (Россия), e-mail: m-ageev@yandex.ru

В статье на основании экспериментально полученных результатов по флотации типографской краски из макулатурной суспензии рассмотрен механизм процесса флотации, описанный математической моделью.

Ключевые слова: флотация, макулатура, суспензия, математическая модель, типографская краска.

Введение

Одной из основных тенденций развития производства бумаги является увеличение использования в ее композиции макулатурного волокна. Ускоренными темпами совершенствуется одна из самых перспективных технологий переработки макулатуры - ее облагораживание и его основной процесс - флотация.

Очистка макулатурной суспензии от загрязнений, и в первую очередь от типографской краски, осуществляется во флотационных камерах путем пропускания (барботирования) пузырьков воздуха через суспензию, в которой содержатся частицы типографской краски, среднестатистические размеры которых составляют от 5 до 20 мкм [1]. Такие частички безынерционны, т.е. их кинетическая энергия соизмерима с тепловой, и поэтому они равномерно распределяются по всему объему флотационной камеры.

При флотации принципиально возможен перенос всех частиц дисперсной фазы на поверхность всплывающих пузырьков, если обеспечивается, во-первых, гетерокоагуляция, во-вторых, транспорт частиц на поверхность и, в-третьих, достаточно большой расход воздуха и достаточно развитая поверхность раздела вода - воздух. Приняв в качестве допущения, что все эти условия выполняются, опишем представленный ниже эксперимент математической моделью.

Экспериментальная часть

Флотационному облагораживанию подвергали макулатуру марки МС-8В (отходы производства и потребления газет и газетной бумаги). Подготовку макулатурной массы к флотации проводили по методике, описанной в [2].

В ходе процесса флотации из флотационной камеры отбирали пробы суспензии макулатурной массы из заданных слоев 0,2, 0,4, 06, 0,8, 1,0 м и анализировали на содержание в них количества частиц типографской краски. Эксперимент повторяли в процессе барботажа пузырьков пять раз в течение 30 мин через равные промежутки времени.

Результаты экспериментов представлены на рисунках 1 и 2 (сплошные линии).

Обсуждение результатов

Движение пузырьков по флотационной камере происходило равномерно по всему сечению, скорость пузырьков постоянна. Концентрация свободных пузырьков есть функция высоты камеры и времени флотации - C0(t, z). Количество частиц - n также является функцией высоты камеры и времени n(t, z).

Для нахождения количественных закономерностей процесса флотации рассмотрим изменение распределения частичек в объеме флотационной камеры и во времени. Примем концентрацию воздушных пузырьков, подаваемых в камеру с постоянным расходом (свободных пузырьков), равной С0((, х).

В момент времени t = 0 и во всем объеме пузырьки отсутствуют, т.е. С0(0, х) = 0. При t = t на нулевой отметке флотационной ячейки концентрация свободных пузырьков С0 = С*, т.е. С0(^ 0) = С*.

В момент времени t = 0 и во всем объеме камеры пузырьки, провзаимодействовавшие с частичкой, отсутствуют в плоскости х, т. е. С](0, х) = 0. Пузырьки, провзаимодействовавшие с частичками, в плоскости ъ = 0 при t = t, т.е. С,(^ 0) = 0.

Пузырьки начинают движение, и в момент времени t устанавливается их концентрация С0 по всей высоте флотационной камеры.

Рассмотрим изменение концентрации свободных пузырьков при переходе с единицы сечения х флотационной камеры на единицу сечения х + йх при йх ^ 0 за малое время й ^ 0. Это изменение связано с двумя процессами.

Первый основан на равномерном всплывании пузырьков с постоянной средней скоростью и0. Плотность потока] всплывающих свободных пузырьков в каждом сечении равна]^, х) = и0С0(£ х). Кроме того, захват свободными пузырьками частиц приводит к уменьшению количества свободных пузырьков в слое (х; х + йх) флотационной камеры. При этом свободные пузырьки переходят в класс пузырьков, провзаимо-действовавших с одной частицей. Их концентрацию обозначим С^, х).

Таким образом, уравнение числового баланса количества свободных пузырьков в слое (х; х + йх) камеры за малое время й ^ 0 имеет вид:

[С0 ( + Л, х)- С0 (, х)х = [у'^, х)- _/'(/, х + йх)й - Д)С0 х)п(^ х)йtйх,

Л ^ 0, йх ^ 0. (1)

В соотношении (1) предполагается, что захват свободным пузырьком частицы является массобмен-ным процессом. Это означает, что вероятность захвата пропорциональна произведению концентрации частиц п в слое и концентрации свободных пузырьков С0 в слое. Кинетический коэффициент Д| играет роль константы, характеризующей интенсивность извлечения частиц.

Переходя в уравнении (1) к пределу йх ^ 0 и й ^ 0, получаем нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее распределение одиночных пузырьков по высоте х флотационной камеры в любой момент времени:

дС0 дС0 „ ^

+ °0~— = -А)пС0 , t У 0, 0 X х X Ь, (2)

дt дх

где Ь - высота флотационной камеры.

Данное уравнение описывает переход пузырьков С0 в класс С1, т. е. провзаимодейстовавших с одной частицей, аналогично схеме С0 + п ^ С1.

В случае захвата пузырьком, содержащим одну частицу, второй частицы происходит переход типа

С1 + п ^ С2.

Уравнение для С,^, х) строится аналогично (1) и (2):

дС1 дС,

-дГ + °1~дГ = ^0С0п0 -Р\С\п , (3)

дt дх

где и, - скорость всплывания пузырьков с одной частицей; в - кинетический коэффициент, описывающий интенсивность захвата пузырьком второй частицы.

Для случая захвата к частиц имеем:

дС дС

+ ок -С- = ^к-,Ск-,п -РкСкп. (4)

дt дх

При рассмотрении уравнения, описывающего уменьшение общего количества частиц, примем, что частицы сами по себе не двигаются в объеме камеры, а всплывают, только прикрепившись к пузырьку. Соответственно:

= -ДСоп -РСп -... -ркСкп. (5)

д(

Таким образом, общая модель процесса флотации состоит из набора дифференциальных уравнений в частных производных типа (2)-(5) с соответствующими начальными и граничными условиями:

дп(, г )_ к

д

_ -п(г )Х! РтСш (, г), п(0, г) _ п*; (6)

т_0

- + а

дг

_ - Дг(, г )С0 (, г), С0 (о, г) _ 0, С0 (/,0) _ С*;

(7)

+ оп _ п(, г Ж Ст-1 (, г) - РтСт (, г)];

д^ дг

(8)

Ст(0,г)_ 0, Ст(?,0)_ 0, 1 ^ п ^ к .

Общая масса М(/) удаленных частиц определяется значениями концентраций пузырьков с частицами массой т на поверхности флотационной камеры:

к

М()_^ тСт ( ^ . (9)

т_1

Количество частиц N(1, г) в любом сечении г флотационной камеры есть сумма незахваченных частиц и частиц, которые содержатся во всех пузырьках:

к

N ( г )_ п( г )+^ тСт ( г). (10)

т_1

Решение модели (6)-(10) может быть получено только численными методами. Однако качественное решение следует из структуры уравнений (6)-(8).

Действительно, в самом нижнем слое концентрация свободных пузырьков фактически постоянна и равна С*. При этом захват частиц происходит преимущественно пустыми пузырьками. Следовательно, уравнение (6) для нижних слоев приближенно выглядит так:

— _-рС0п к-0С*п, г _ 0, п(0,х)_ п*. д1

Решение очевидно:

п(, г) п*е ,, г _ 0.

(11)

Анализ экспериментально полученных результатов, представленных на рисунках 1 и 2, хорошо согласуется с предложенной моделью флотации. Из рисунков видно, что с течением времени концентрация частиц в нижних слоях экспоненциально убывает (11) (см. рис. 1, кривая на уровне 0,2 м).

Захваченные в нижних слоях частицы переносятся пузырьками вверх. В средних слоях общее число частиц N меняется за счет двух факторов:

1) захват свободных частиц пузырьками и их унос вверх;

2) увеличение числа частиц в верхней части камеры за счет всплывания снизу пузырьков с частицами.

10 15

Время флотации, мин

20

- 0,2 м.

- 0,4 м.

-0,6 м. -><-0,8 м. -Ж-1,0

• 5 мин.

Уровни отбора проб, м -И—10 мин. -А-15 мин.

X 20 ми

5

Рис. 1. Изменение количества частиц краски во Рис. 2. Изменение количества частиц краски по времени высоте флотационной ячейки

Следовательно, в средних слоях в течение некоторого времени общее число частиц N меняется незначительно. И только через некоторое время первый фактор начинает превалировать, так как снизу всплывает все меньшее количество частиц. Это видно из рисунка 1 (кривые 0,4 и 0,6 м). В верхних слоях преобладающим является второй фактор. Захват здесь малосущественен, потому что большинство пузырьков уже захватили частицы в нижних и средних слоях. Поэтому с течением времени общее число частиц в верхних слоях увеличивается до тех пор, пока не очистятся нижние и средние слои.

Соответственно, распределение общего числа частиц по высоте с течением времени представляет все более резко возрастающую функцию (рис. 2). В нижних слоях число частиц убывает со временем (0,2-0,4 м), в средних - приблизительно постоянно (0,6 м). В верхних слоях общее число частиц растет (0,8-1,0 м).

Для проверки адекватности предложенной модели флотации (6)-(8) использовали один из методов численного расчета - метод конечных разностей.

Для проведения расчета уравнения (6)-(8) аппроксимировали на построенной сетке разностными соотношениями:

= -«}‘Хрт ■ С/, ’ = 0...1 -1 і = 0..J, п0 = п*, і = 0.(12)

т=0

/'~»г+1 у'-»?

01 _ 01 +о0 • 01 _ 01-1 __#, • п • С0,, г _ 0,...,I _1, ] _ 1,...,3, С00, _ 0,

т 0 к 0 1 01 01 (13)

1 _ 0,...,3, С00 _ С*, г _ 1,...,I;

Сг +1 _ С? Сг _ С? Г 1

Щ т Щ +»т • Щ к т-1 _ пг1 •[Ди-1 ^т_11 _Рт • С, ] ? _ 0,..., I _ 1, 1 _ 1,..., 3, С°щ _ 0,

1 _ 0,...,3, Ст0 _ 0, г _ 1,...,I.

Для удобства проведения вычислений соотношения (12)-(14) представили в следующем виде:

Т

пГ1

_пг1 _Тпг1 •£дгс,П- ; (15)

т_0

С0+,1 _ С0, _°0 •к-(С01 _С0у_1 )-Л>Т•п1гС^1; (16)

к У 01 “ 01_Ч ' 0

С? = С., -»т ■ТТ ■( _ С'п,_,)+Т-п-к_, -СП_,1 _&,< 1 т = 1 К. (17)

Для нашего случая система уравнений имеет следующий вид

д Ж г)/60 __Д, •n(t, г)_Рг С1(t, г)_Д> С2 (А 2 )-А сз (А 4

(18)

дС (,2)/60 _ _ц •дгС1 (,2X/,2) + Р0 ^п(,2)-Д •С1 (,г); д( С2 (, 2 )/60 __02 •д гС2 (, 2)(, г)+рх С (, 2 )_Д> • С2 (, г)

д Сз ( 2 )/60 __^3 -д гС3 ( 2 Ж 2)+Л С2 _Д С2 ( 4

Предложенная система уравнений (15)-(17), (18) позволила организовать удобный вычислительный процесс, в котором искомые сеточные функции были последовательно рассчитаны, переходя с одного временного слоя на последующий.

В соответствие с экспериментом в качестве начальных условий были приняты следующие:

1. Начальное количество частиц в объеме флотационной камеры N = 405 109, шт.

2. Количество исследованных в эксперименте слоев - пять (0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0 м.). Следовательно,

начальное количество частиц в слое п = 81109, шт.

3. Количество свободных пузырьков С0 = 1,91109, шт/сек.

4. Максимальное количество частиц, закрепившихся на пузырьке, - 3 шт.

5. Единицы измерения: время / - мин, высота камеры 2 - м.

6. Скорость всплывания пузырька (м/с) с одной частицей «1 = 1,1-10-3, с двумя и2 = 0,8110-3, с тремя частицами и3 = 0,25 10-3.

7. Эффективность взаимодействия пузырька со свободной частицей, если на нем нет частиц

во = 0,0025, одна частица в = 0,0015, две в2 = 0,00075, три частицы в3 = 0,00025.

После окончания вычислительных циклов были найдены все искомые сеточные функции во всех узлах расчетной сетки. Соответствующие выборочные значения найденных сеточных функций позволяют сравнивать расчетные значения (пунктирные линии) с экспериментальными (сплошные линии) (см. рис. 1 и 2).

Выводы

1. Отклонение расчетных значений количества частиц типографской краски от экспериментальных составляет: по времени на разных уровнях флотационной ячейки 5-10%, по высоте в разное время 2-5%.

2. Такое хорошее совпадение говорит об адекватности модели процесса флотации, состоящей из набора дифференциальных уравнений, представленных в работе.

Список литературы

1. Агеев М. А. Роль поверхностно-активных веществ при флотации макулатурной массы // Целлюлоза. Бумага. Картон. 2006. Пилотный научный выпуск. С. 24-26.

2. Вураско А.В., Минакова А.Р., Блинова И.А., Агеев М.А. Лабораторный практикум по технологии и оборудованию получения и переработки волокнистых полуфабрикатов. Екатеринбург, 2010. 155 с.

Поступило в редакцию 7 июля 2010 г.