Упругопластические задачи в приближении одноосного деформированного состояния. Аналитические и численные решения Текст научной статьи по специальности «Физика»

22. Натяганов В.Л. Электрокапиллярно-вихревая модель сферического вихря Хилла-Тейлора // Докл. РАН. 2001. 381, № 1. 50-52.

23. Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо // Прикл. механ. и техн. физ. 1973. № 6. 47-51.

24. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.

25. Belyan A. V., Moiseev S.S., Petrosyan A.S. Large-scale structures in turbulent multiphase flows //J. Phys. Condens. Matter. 1990. 2. 469-475.

26. Sokolov D.D., Shukurov A.M., Ruzmaikin A.A. Asymptotic solution of the a2-dynamo problem // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1983. 25. 293-307.

27. Чефранов А.С., Чефранов С.Г. Экстремумы кинетической энергии и скорости ее диссипации в гидромеханике закрученных потоков // Докл. РАН. 2003. 393, № 5. 624-628.

Поступила в редакцию 05.09.2011 После доработки 12.02.13

УДК 539.3

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ОДНООСНОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

А. Б. Киселев1, А. В. Мищенко2

В работе представлено подробное исследование ударной волны и волны разгрузки для упругопластических задач в приближении одноосного деформированного состояния. Также дано краткое описание численного алгоритма и проведена верификация на одномерных плоских задачах разработанного вычислительного комплекса ТИС, основанного на методах разделения по физическим процессам и конечного объема и использующего подвижные эйлеровы сетки.

Ключевые слова: модель упругопластической среды, аналитические и численные решения, метод разделения по физическим процессам, метод конечного объема, подвижные эйлеровы сетки.

A detailed study of a shock-wave structure and an unloading wave for elastoplastic problems in the one-dimensional deformed state approximation is given. A brief description of a numerical algorithm is also given. The verification of the TIS software complex is discussed for one-dimensional plane problems. This complex is based on the method of separation into physical processes and on the finite volume method using moving Eulerian grids.

Key words: elastoplastic model, analytical and numerical solutions, method of separation into physical processes, finite volume method, moving Eulerian grids.

Для численного моделирования двумерных задач механики сплошной среды (вязкоупругопластиче-ских, неоднородных, многофазных и др.) при высокоинтенсивных динамических нагрузках на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова и во ВНИИ автоматики им. Н.Л. Духова разрабатывается вычислительный комплекс ТИС [1-3]. Основу комплекса составляют метод разделения по физическим процессам [4] и метод конечного объема [5], использующие подвижные эйлеровы сетки.

С целью отладки комплекса ТИС и его верификации на одномерных задачах создана вспомогательная версия ТИС-ID [1]. Она обладает такими преимуществами, как быстродействие, простота в реализации подвижных сеток и возможность внедрения реологически сложных моделей сред (в том числе моделей разрушения).

1 Киселёв Алексей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis2006@yandex.ru.

Мищенко Александр Васильевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 7sanches@rambler.ru.

Некоторые одномерные упругопластические задачи допускают аналитические решения. В данной работе представлено подробное исследование ударной волны и волны разгрузки в твердом теле. Такие исследования приводилось и ранее, например в работах [6, 7], но в предположении баротропности среды (т.е. без учета зависимости уравнения состояния от плотности внутренней энергии). В настоящей работе также представлены описание численного алгоритма и его верификация на таких задачах.

1. Математическая модель. Рассматривается деформируемое твердое тело в приближении одноосного деформированного состояния, когда все параметры зависят только от времени и продольной эйлеровой координаты. Для описания динамики упругопластической среды используется классическая модель Прандтля-Рейса [8], в которой не учитываются процессы, связанные с появлением и накоплением микроповрежденностей в материале и его разрушением [9, 10].

Система определяющих уравнений в этом случае имеет следующий вид: уравнение неразрывности

уравнение движения

уравнение энергии

др д(ри) = о дЬ дх '

дри д(ри2 + р)

дЬ

дх

д(ре) д((ре + р)и)

дЬ

дх

дБ

дх

д(Би)

дх

(1)

(2)

(3)

и 2

полная удельная энергия

Здесь р — плотность, и — скорость, р — давление, 5 — девиатор, е = £ + на единицу массы, £ — удельная внутренняя энергия.

Для связи между девиатором напряжения и деформацией используются уравнения упругопластиче-ской модели с условием пластичности Мизеса [8]

д(рБ) д(рБи)

дЬ

дх

4 ди

1*1 ф

(4)

Здесь ц — модуль сдвига, У — предел текучести при простом растяжении. Интегрируя (4) с учетом уравнения неразрывности (1), получим

2

У

ЗД = {Бо-^Ы

3р0

-2-г

3

где

р+ = Р0 ехР

2Г + 36*0 4/х

при р < ру; при р— < р < р+; при р > р+,

' —2У + 350

(5)

ру = ро ехр

4/л

(6)

— плотности материала при переходе в пластическое состояние при сжатии и растяжении соответственно, индексом "0" обозначены параметры материала в недеформированном состоянии. Система уравнений (1)— (6) замыкается уравнением состояния (УРС) вида

р = р(р, £)■

В качестве УРС в комплексе ТИС-Ш используются следующие: 1) УРС твердого тела ("логарифмический закон") [11]

V \ро/ Си/

(7)

(8)

где К — объемный модуль, а — коэффициент объемного расширения, — теплоемкость при постоянном объеме;

2) двучленное УРС [9]

Р = (7 — 1)р£ + с2(р — ро), (9)

где 7, Со — константы недеформированного материала;

3) УРС Ми-Грюнайзена [11]

р = роаот+роп, т = {6~1(6{!~{6^%21))> (Ю)

где 5 = р/ро; ао — скорость звука в недеформированном материале; Го — коэффициент Грюнайзена; в — константа, связывающая скорости ударной волны В и скорость частицы среды и: В = ао + ви.

2. Численный метод и основные характеристики вычислительной схемы. Для численного решения системы определяющих уравнений (1)-(10) использован метод разделения по физическим процессам [4]. Представим уравнения в векторном виде:

где О = (р, ри, ре, рБ, рер)Т — вектор консервативных переменных; Е = (ри,ри2 + р — Б, (ре + р — Б)и, рБи, рери)Т — вектор потока; Им — вектор правой части, описывающий упругопластические процессы и зависящий от выбранной модели (ер — компонента тензора пластической деформации по оси х). Если Им = 0, то уравнения (11) описывают гидродинамическое приближение. При этом девиатор напряжений Б и пластическая деформация ер переносятся средой без изменения, как лагранжевы переменные (являются "вмороженными" в среду). Их изменение происходит только при ненулевом векторе Им. Это позволяет расщепить систему (11) на две подсистемы

дО дЕ

и разбить соответственно расчетный цикл временного шага на 2 этапа, условно называемые "гидродинамический" и "упругопластический".

На первом этапе система уравнений в частных производных (12) численно решается на временном шаге АЬ на некоторой, в общем случае подвижной эйлеровой сетке. Полученные в результате значения параметров среды в ячейках сетки используются затем как начальные данные для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (13), которая также интегрируется на шаге АЬ в каждой ячейке сетки.

Метод конечного объема [5] применяется для дискретизации уравнений первого этапа. Он позволяет получить дискретные уравнения в достаточно общем виде. Сеточное решение при этом определяется через численные потоки массы, импульса и энергии между двумя соседними ячейками.

В комплексе ТИС-Ш реализованы различные подходы для аппроксимации численных потоков. В первую очередь это метод С.К. Годунова, основанный на точном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва [5]. При этом реализация различных УРС осуществляется посредством локальной аппроксимации исходного УРС двучленным УРС с надлежащим образом выбранными значениями констант. Также используются метод В.В. Русанова и метод HLLE [11], основанные на приближенном решении задачи Римана.

Для решения системы ОДУ второго этапа в комплексе реализован метод Рунге-Кутты второго порядка точности [12]. Пусть О(п) — значение вектора О на п-м дискретном шаге по времени. Тогда расчет значений вектора О(п+1) на следующем шаге выполняется таким образом:

О(1) = О(п) +АЬИм (О(п)),

д(п+1) = 1 (дЫ + д(1) + Атм(Я{1))) = 0,{п) + \ Л^Нм^) + Нм(Сг(1))) •

Комплекс ТИС-Ш имеет многоблочную структуру. Расчетная область разбивается на п блоков, каждый из которых в свою очередь равномерно разбивается на конечное число ячеек. Границы блоков называются узлами сетки. Таким образом, в задаче с п блоками имеются два внешних узла (левый и правый) и (п — 1) внутренний (межблочный) узел.

Движение сетки происходит на "гидродинамическом" этапе. Сначала узлы сетки перемещаются в соответствии с граничными условиями, затем осуществляется переразбиение сетки и внесение корректив в расчет потоков.

3. Аналитические решения. 3.1 Ударная волна. Рассмотрим сильный разрыв, распространяющийся в материале с постоянной скоростью D. Соотношениями между параметрами по обе стороны разрыва являются условия Рэнкина-Гюгонио [f] = Dq, где поток f и консервативный вектор q соответствуют (11) [11].

Введя интенсивность массового расхода через поверхность разрыва m = р(и — D) = po(uo — D) , где индексом "0" обозначены невозмущенные (перед фронтом волны) параметры, выпишем уравнения двух кривых, определяющих состояние среды за ударной волной. Это адиабата Гюгонио (АГ)

С "Со = \{v -V0){(T + (Т0), v = -, 2 р

и прямая Рэлея-Михельсона (РМ)

а — а0 = m 2(v — v0).

Здесь а = — p+S — напряжение. Точка пересечения этих кривых в плоскости (р, v) соответствует давлению и удельному объему за ударной волной.

Взаимное расположение кривых АГ и РМ зависит от величины интенсивности массового расхода m. Отметим, что m > 0 для волн, распространяющихся влево, и m < 0 для волн, распространяющихся вправо (по отношению к направлению оси x). Важной точкой для обеих кривых АГ и РМ является точка v = v+, в которой функция S = S(v) имеет слабый разрыв. Эта точка Y на адиабате Гюгонио с координатами (P+ ,v+) соответствует переходу в режим текучести. Производная в этой точке испытывает скачок. Кривые АГ и РМ пересекаются, если

> m'o = (poco)2 + ро

m

о 2 , PPí - ¡ "Г

здесь и далее с = рр Н--с — термодинамическая скорость звука (рр = ——, р^ = —), Со — скорость

■ р — Г So

др

др,

Р

др

звука в недеформированном материале.

Ударная волна с интенсивностью т = то является слабой волной (характеристикой) с нулевым скачком параметров. В этом случае производные АГ и РМ совпадают.

Когда т немного превышает значение то, кривые АГ и РМ пересекаются в одной точке А, которая лежит в интервале Щ] (рис. 1, а). Это соответствует упругой ударной волне, при прохождении которой материал остается в упругом состоянии.

При значении т = ту кривые АГ и РМ пересекаются в точке У. В этом случае имеет место другое решение, которое обозначено точкой В на рис. 1, б. Таким образом, возникают две ударные волны, которые будем называть слабой (А) и сильной (В).

Слабая и сильная ударные волны распространяются с одной и той же скоростью. За слабой ударной волной материал сжат до состояния текучести V = и р = р+, в то время как за сильной ударной волной материал находится в пластическом состоянии и сжат еще больше — до состояния V = V* < v+ и р = р* < р+. Дальнейшее увеличение интенсивности т (т > ту) снова приводит к пересечению кривых АГ и РМ в одной точке А (рис. 1, в), что отвечает пластической волне с сильным сжатием выше критического значения давления р*.

Рис. 1. Взаимное расположение кривых АГ (пунктирная линия) и РМ (сплошная линия) при различных значениях т

Приведенный анализ показывает, что решение в форме ударной волны существует для нижней части АГ в упругой области V £ ио] и для верхней части АГ в пластической области V ^ V*. В то же время для средней части адиабаты V £ [Vтакого решения не существует, т.е. не существует ударных волн, которые сжимали бы материал до величин из этого интервала. Тем не менее средний интервал сжатия может быть достигнут при введении двухфронтовой ударной структуры, представленной на рис. 1, г. Передний фронт распространяется с интенсивностью т = ту. Он также называется упругим предвестником, параметры за ним равны параметрам предела текучести: V = v+, р = р+. Скачок на упругом предвестнике соответствует переходу из состояния 0 в состояние У на рис. 1, г. Второй фронт — пластическая волна сжатия, которая распространяется в материале, сжатом до состояния текучести упругим предвестником. Она характеризуется интенсивностью массового расхода

т2 = р(и - Б2) = Р+ (и+ - Б2)

где О — скорость распространения второй волны. Интенсивность т2 меняется в диапазоне т2 £ [т20, ту]. Здесь т20 — производная функции РМ в точке У, которая соответствует касанию кривой РМ и пластической части АГ (V ^

2

т 20

)Г+Р

%

%

%

Предельный случай т2 = ту описывает ситуацию, когда бегущая вторым фронтом пластическая волна заглушает упругий предвестник и реализуется одноволновая конфигурация (точка В на рис. 1, б).

Таким образом, в зависимости от интенсивности сжатия существуют 3 возможных ударно-волновых режима в упруго-пластическом материале: одноволновой упругий режим, дву-хволновой режим с упругим предвестником и одноволновой пластический режим. Схематически это показано на рис. 2.

Для иллюстрации приведенного анализа ударной волны в твердом теле применим его к решению следующей задачи: полубесконечный ударник, описываемый моделью иде- Рис. 2. Схематическое изображение воз-альной пластичности (4)-(6) и уравнением состояния Ми- можных ударно-волновых режимов Грюнайзена (10), налетает на абсолютно жесткую стенку со скоростью щ. В начальный момент времени Ь = 0 материал находится в ненапряженном состоянии: ро = 50 = 0.

Результаты вычислений представлены для трех разных материалов — алюминия, меди и бериллия. Константы материалов, взятые из работы [13], приведены в табл. 1.

Для решения алгебраических нелинейных уравнений с целью нахождения критических параметров в зависимости от скорости удара ио был использован метод Ньютона [12]. Эти величины приведены в табл. 2.

Таблица 2

Таблица 1

Константа Алюминий Медь Бериллий

материала

ро, кг/м3 2780 8930 1845

Го 2 2 2

1,338 1,49 1,124

а о, м/с 5330 3970 12870

р, ГПа 27,6 45 151

У, ГПа 0,29 0,09 0,33

Критический Алюминий Медь Бериллий

параметр

(мо)у, м/с 34,03 4,75 18,13

ру, кг/м3 2794,64 8938,93 1847,02

р+, ГПа 0,421 0,141 0,335

Иу, м/с 6492,58 4747,31 16593,58

(мо)*, м/с 839,38 517,59 3297,20

р„, кг/м3 3192,77 10022,75 2302,52

р*, ГПа 14,957 21,882 100,724

Здесь скорость (ио)+ отделяет одноволновой упругий режим (ио < (ио)+) от двухволнового упруго-пластического, а скорость (ио)* — двухволновой от одноволнового пластического (ио > (ио)*). Величины р+, р+ соответствуют пределу текучести У, Оу — скорость упругого предвестника (это также скорость пластической волны в точке В (рис. 1, б)), параметры р*, р* соответствуют переходу в чисто пластический режим.

3.2. Волна разгрузки. Используем ту же самую одномерную модель в приближении одноосной деформации для исследования класса автомодельных решений, описывающих процесс растяжения материала. По аналогии с газовой динамикой будем рассматривать эти решения как волны разгрузки.

Волна разгрузки — решение уравнений (1)-(6), зависящее только от автомодельной переменной

Л = х/Ь. Оно может быть найдено в следующей форме:

Л = и ± а, аи/ ± ии/ = 0, аи ± иа/ = 0,

здесь штрих означает производную по Л; а2 = с2 + V(уБ — ГБ), где с — термодинамическая скорость <Б

звука и 5 = ——. Знак "+" соответствует волнам, распространяющимся вправо (по направлению оси ж),

знак " —" — влево.

В обоих типах волн напряжение а и удельный объем V связаны ОДУ

<а а2 <у V2

Проинтегрировав это уравнение с начальным условием а\ и=и0 = ао = —ро+Бо при у ^ Уо, получим уравнение кривой а = а (у ), которое можно понимать как аналог изэнтропы из газовой динамики.

Функция а = а(у) монотонно возрастает. Кроме того, она имеет слабый разрыв в точке достижения предела текучести на растяжение У, когда V = V-:

в/

0 / Лу /| / 1 1

1

Рис. 3. График кривой а = а(V) в волне разгрузки

<а <V

1 Г с2 - ГБг/ + | иц, V = 1/у(—0); К")2 1с2 - ГБг/, г/ = !/-(+0).

Это схематически показано на рис. 3. Каждая точка изэнтропы соответствует некоторой волне разгрузки. Ввиду слабого разрыва в точке У следует рассмотреть две возможные ситуации, соответствующие двум типам волновой структуры.

Первый тип, являющийся упругой волной разгрузки, относится к точкам изэнтропы, лежащим ниже точки У, т.е. к участку ОУ. Например, точка А (рис. 3) соответствует упругой волне, ограниченной характеристиками Ло < Л < Л а (для правой волны) или Л а < Л < Ло (для левой волны), где параметры среды изменяются в соответствии со следующими ОДУ ^о < V < VA):

9 > 2

<а

<V

<и а йту ^г/'

а

и=ио

ао;

(14)

и\и=ио — ио-

Устремляя точку А к точке У, мы приближаемся к предельному (пластическому) случаю условия текучести, достигаемому на задней характеристике волны разгрузки. Напряжение и скорость за волной в этом случае равны значениям в пределе текучести на растяжение а— и и—. Они определяются интегрированием уравнений (14) до точки V = V-.

Скорость звука а скачком возрастает на величину | рг/у при достижении предела текучести, и поэтому появляется дополнительная характеристика, которую назовем пластической. Вводя ау = су \и=и-_о)

иа

у = су \^-(+о), получаем две характеристики в точке предела текучести:

[волна

Рис. 4. Схематическое изображение возможных волновых режимов разгрузки

Л = Лу = и_ ± ар (упругая), Л = Лу = и_ ± аУ (пластическая).

Отметим, что упругая волна распространяется быстрее пластической.

Второй тип волн разгрузки соответствует точкам из-энтропы в пластической области V > V-, например точке В на рис. 3. Чтобы получить эти значения, необходимо

ввести двухволновую структуру волны разгрузки. Схематически это изображено на рис. 4 с помощью стрелок.

Первая волна в этой структуре является предельно упругой, и в ней материал расширяется в точности до состояния текучести. Эта волна ограничена характеристиками Ао < А < Ау (правая) или Ау < А < Ао (левая). Параметры сразу за волной равны V-, а— и и—. На рис. 3 эта волна обозначена переходом из состояния 0 в состояние У.

Дальнейшее расширение материала до состояния В происходит во второй волне, которая распространяется из точки текучести. Это пластическая волна разгрузки, ограниченная характеристиками Ау < А < А в для правой волны или А в < А < Ау для левой. Изменение параметров в волне определяется из следующих уравнений:

9 >

¿а

¿V

du а йту ^г/'

а

а

у

(15)

и1=и- = иУ >

которые интегрируются на интервале [VVв]. Вторая (пластическая) волна изображена переходом из состояния У в состояние В (рис. 3).

Таким образом, в зависимости от интенсивности волна разгрузки в упругопластическом материале может иметь одноволновую чисто упругую или двухволновую упруго-пластическую структуру (рис. 4).

В качестве иллюстрации вышеизложенного анализа рассмотрим "обратную" задачу об ударе. Постановка задачи идентична постановке задачи об ударе (см. п. 3.1), за исключением того, что скорость материала ио теперь направлена от жесткой стенки. Расчеты проводились для алюминия, меди и бериллия, константы которых представлены в табл. 1.

Для интегрирования уравнений (14) и (15) использовался метод Рунге-Кутты [10], критические параметры определялись варьированием скорости материала ио. Результаты представлены в табл. 3, где скорость (ио)— отделяет друг от друга одноволновой упругий и двухволновой упругопластический режимы и р—, р—, а— — предельные величины в точке текучести У.

4. Численные расчеты. Здесь представлены численные результаты расчетов на комплексе ТИС-Ш. Для верификации полученные результаты сравнивались с аналитическими решениями об ударной волне и волне разгрузки, приведенными в п. 3.

В расчетах материал имеет левую границу х = 0,на которой поставлено условие жесткой стенки и = 0, и правую границу х = 10 см, которая является свободной лагран-жевой границей с нулевым напряжением рь = 0, Бь = 0. Начальные параметры в задаче следующие: плотность ро, скорость ио, давление ро =0, девиатор £о =0. В качестве материала выбран алюминий с УРС Ми-Грюнай-зена (10) и константами, представленными в табл. 1. В расчетах использовалась равномерная подвижная сетка, состоящая из 500 ячеек. Вычисления проводились с

Рис. 5. Мгновенное распределение давления в задаче об ударе: сравнение аналитического (пунктирная линия) и численного (сплошная линия) решений

Таблица 3

Критический Алюминий Медь Бериллий

параметр

(мо)у, м/с 33,79 4,74 18,1

ру, кг/м3 2765,4.3 8921,07 1842,98

ру, ГПа -0,409 -0,140 -0,333

а у,ГПа 0,603 0,200 0,553

постоянным шагом по времени = 10 с, который удовлетворяет условию устойчивости Куранта.

Случай ио < 0 соответствует задаче об ударе. Как было показано выше, возможны три ударно-волновых режима в зависимости от скорости удара. Это одноволновой упругий (0 < |ио| < и+), двух-волновой упругопластический (и+ < |ио| < (ио)*) и одноволновой пластический (|ио| > (ио)*) режимы.

Для алюминия критические скорости следующие: (uo)+ = 34,03 м/с и (uo)* = 839,38 м/с (табл. 2). Результаты вычислений и сравнение с аналитическим решением для трех типичных скоростей удара uo = 10; 100; 1100 м/с показаны на рис. 5, а, б, в соответственно. Видно, что разделение на волновые режимы вполне согласуется с описанной схемой и полученные численные решения хорошо согласуются с аналитическими решениями.

Случай uo > 0 соответствует "обратной" задаче об ударе, когда возникают волны разгрузки. Здесь волновая картина также зависит от скорости взаимодействия. Критическая скорость для алюминия равна (uo)— = 33,79 м/с (табл. 3), и соответственно одноволновой упругий режим возникает при скорости 0 < uo < (uo)—, тогда как двухволновой упругопластический — при скорости uo > (uo)-. На рис. 6, а, б показаны результаты вычислений наряду с соответствующими аналитическими решениями для "обратной" задачи об ударе с двумя типичными скоростями uo = 10; 100 м/с. Разделение на различные волновые режимы также правильно соотносится со схемой, и численные результаты хорошо согласованы с аналитическими для волн разгрузки. Эти волны являются непрерывными, но с очень резким распределением параметров. Скорости предельных характеристик примерно равны, и поэтому области этих волн разгрузки очень узкие.

5. Заключение. Проведены подробные аналитические исследования ударной волны и волны разгрузки в упругопластическом материале в приближении одноосной деформации. В частности, рассчитаны все критические параметры переходов из одного волнового режима в другой для трех различных материалов в задаче об ударе по жесткой стенке и в "обратной" задаче об ударе. Проведена успешная верификация вычислительного комплекса ТИС-ID на данных задачах.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-01-00425а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мищенко А.В., Серёжкин А.А., Меньшов И.С., Киселёв А.Б. Вычислительный комплекс "TIS-1D". Описание и тестирование на одномерных упругопластических задачах // Забабахинские научные чтения: Сб. мат-лов XI Междунар. конф. 16-20 апреля 2012. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. 306.

2. Серёжкин А.А. Метод разделения по физическим процессам для моделирования деформирования и разрушения твердых тел // Забабахинские научные чтения: Сб. мат-лов XI Междунар. конф. 16-20 апреля 2012. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. 328.

3. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An Eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sci. and Eng. (ECCOMAS 2012) / Ed. by J. Eberhardsteiner et al. Vienna, Austria. September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164.

4. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

5. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1986.

6. Абузяров М.Х., Баженов В.Г, Котов В.Л., Кочетков А.В., Крылов С.В., Фельдгун В.Р. Метод распада разрывов в динамике упругопластических сред // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. № 6. 940-953.

7. Баженов В.Г, Котов В.Л. Модификация численной схемы Годунова для решения задач импульсного нагру-жения мягких грунтов // Прикл. механ. и техн. физ. 2002. № 4. 139-149.

8. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ, 1963.

9. Киселёв А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды // Прикл. механ. и техн. физ. 1990. № 5. 116-123.

10. Киселёв А.Б. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного микроразрушения термоупруговязкопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 6. 32-40.

11. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

Рис. 6. Мгновенное распределение давления в "обратной" задаче об ударе: сравнение аналитического (пунктирная линия) и численного (сплошная линия) решений

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит, 1987.

13. Udaykumar H.S., Tran L, Belk D.M., Vanden K.J. An Eulerian method for computation of multimaterial impact with ENO shock-capturing and sharp interfaces //J. Comp. Phys. 2003. 186. 136-177.

Поступила в редакцию 03.09.2012

УДК 531.5

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ

В. И. Никонов1

Изучается плоская задача о движении треугольника, в вершинах которого сосредоточены массы, и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Находятся стационарные конфигурации и исследуются достаточные условия их устойчивости. Обсуждается вопрос о применимости барицентрических координат при решении такого рода задач.

Ключевые слова: обобщенная задача двух тел, относительные равновесия, устойчивость, бифуркационные диаграммы Пуанкаре, бифуркационные диаграммы Смейла, области возможного движения, барицентрические координаты.

The planar motion of a massive triangle and a point under the action of mutual Newtonian attraction is considered. The steady-state configurations are found and the sufficient conditions of their stability are studied. The applicability of barycentric coordinates are discussed for such problems.

Key words: generalized two-bodies problem, relative equilibria, stability, Poincare's bifurcation diagrams, Smale's bifurcation diagrams, feasible motion regions, barycentric coordinates.

1. Постановка задачи. Неограниченные задачи, когда не делается предположение о приближении потенциала ньютоновских сил, рассматриваются в работах [1-4]. В работе [1] исследована задача о движении двух взаимно гравитирующих симметричных гантелей. В продолжение тематики в работе [2] рассмотрена плоская задача о стационарных движениях двух взаимно гравитирующих несимметричных гантелей, в работе [3] — задача о движении твердого тела крестообразной формы и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Отметим, что крест представлял собой пару невесомых взаимно перпендикулярных стержней, делящихся в точке их пересечения пополам. Кроме того, на каждом из концов стержня сосредоточены одинаковые массы. Близкая задача рассматривалась в работе [4]. Изучалось плоское движение системы двух взаимно гравитирующих тел, одно из которых — материальная точка, а другое — однородный стержень. В работе [5] исследуется вопрос о существовании положений относительного равновесия в случае, когда точка пренебрежимо малой массы движется под действием притяжения трех массивных точек, образующих правильный треугольник и вращающихся вокруг общего центра масс, т.е. образующих лагранжеву стационарную конфигурацию. В отличие от этой работы в предлагаемом исследовании не делается предположений о малости четвертой гравитирующей массивной точки.

Рассматривается задача о движении треугольника Â1Â2A3, в вершинах которого сосредоточены массы Ш\, Ш2, Шз, и точки P массы m под действием сил взаимного ньютоновского притяжения. Предполагается, что AÂ1Â2Â3 и точка P остаются в одной неподвижной плоскости во все время движения. Пусть

M = Ш1 + Ш2 + Шз ; IA1A21 = £3 (1,2,3), где (1,2,3) — циклическая перестановка индексов.

1 Никонов Василий Иванович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikon v@list.ru.