Научная статья на тему 'Упругое равновесие тяжёлой трансверсально-изотропной толстостенной сферы с жёстко закрепленной внутренней поверхностью'

Упругое равновесие тяжёлой трансверсально-изотропной толстостенной сферы с жёстко закрепленной внутренней поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
130
47
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТЯЖЁЛЫЕ УПРУГИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЕ СФЕРЫ / ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ / МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НАЧАЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ / THICK-WALLED HEAVY TRANSVERSALLY-ISOTROPIC / EXACT ANALYTICAL SOLUTIONS / MULTI-CRITERIA ESTIMATION OF AN INITIAL STRENGTH

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Зайцев Алексей Вячеславович, Фукалов Антон Александрович

С использованием разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координатам в тригонометрические и обобщенные степенные ряды получено новое точное аналитическое решение задачи о равновесии толстостенного полого тяжёлого трансверсально-изотропного тела с центральной симметрией, жёстко скрепленного по внутреннему контуру и находящегося под действием равномерного внешнего давления. Из полученного решения в частном случае следуют выражения для напряжений, деформаций и перемещений в точках полой тяжёлой изотропной сферы. В качестве примера на основе многокритериального подхода, описывающего различные реальные механизмы разрушения анизотропных тел с центральной симметрией, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Зайцев Алексей Вячеславович, Фукалов Антон Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Elastic equilibrium state of thick-walled heavy transversally-isotropic spheres fixed on the interior surface

Using decomposition of hoop and radial components of displacement vector to the trigonometrical and generalized power series, the new precise analytical solution to problem on equilibrium state of thick-walled heavy transversally-isotropic central-symmetric body, which is fixed on the interior surface and is subject to the action of uniform external lateral pressure, is obtained. This can set a pattern for precise solutions in particular cases of the relations for displacements, stresses and strains at the points inside thick-walled heavy isotropic sphere, the interior surface of which is fixed, while the exterior one being under the uniform pressure. The estimation of an initial strength of solid-cast reinforced concrete sphere is carried out on the basis of a multicriteria approach taking into account real damage mechanisms (i. e. damage from tension or compression in radial, hoop and axial directions, and from transversal and antiplane shear) of anisotropic central-symmetric bodies.

Текст научной работы на тему «Упругое равновесие тяжёлой трансверсально-изотропной толстостенной сферы с жёстко закрепленной внутренней поверхностью»

УДК 539.3

УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ СФЕРЫ С ЖЁСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

А. В. Зайцев, А. А. Фукалов

Пермский государственный технический университет (национальный исследовательский университет),

614990 Пермь, Комсомольский пр-т, 29.

E-mails: zav@pstu.ru

С использованием разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координатам в тригонометрические и обобщенные степенные ряды получено новое точное аналитическое решение задачи о равновесии толстостенного полого тяжёлого трансверсалъно-изотропного тела с центральной симметрией, жёстко скрепленного по внутреннему контуру и находящегося под действием равномерного внешнего давления. Из полученного решения в частном случае следуют выражения для напряжений, деформаций и перемещений в точках полой тяжёлой изотропной сферы. В качестве примера на основе многокритериального подхода, описывающего различные реальные механизмы 'разрушения анизотропных тел с центральной симметрией, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.

Ключевые слова: толстостенные тяжёлые упругие трансверсально-изотроп-ные сферы, точные аналитические решения, многокритериальная, оценка начальной прочности.

Введение. Конструкции и сооружения в виде массивных толстостенных сфер, изготавливаемых из анизотропных материалов, находят широкое применение в различных отраслях промышленности, строительстве, геологии, на предприятиях нефтегазохимического комплексов. Наиболее распространенными видами нагрузки этих объектов являются статическое внешнее и/или внутреннее давление и собственный вес.

Проблема исследования напряжённо-деформированного состояния анизотропных массивных центрально-симметричных тел от действия собственного веса недостаточно изучена: в отечественной и зарубежной литературе практически отсутствуют монографии и статьи, посвященные этой проблеме. Вместе с тем этот вопрос не нов, и решение частных задач по оценке влияния гравитационных сил на характер распределения напряжений и деформаций в изотропных массивных полых толстостенных центрально-симметричных телах содержится в ограниченном числе работ [1—3]. Поэтому важными и актуальными являются задачи получения новых точных аналитических решений о равновесии жёстко закрепленных по внутренней поверхности тяжёлых толстостенных анизотропных упругих тел с центральной симметрией, находящихся под действием равномерно распределенного внешнего давления, и разработка на основе этих решений инженерных методов уточненного прочностного анализа. Кроме того, получение аналитических зависимостей важно еще и для тестирования численных алгоритмов решения более сложных

Зайцев Алексей Вячеславович (к.ф.-м.н., доцент), докторант, каф. механики композиционных материалов и конструкций. Фукалов Антон Александрович, магистрант, каф. механики композиционных материалов и конструкций.

задач, в которых отдельные элементы конструкций и сооружений имеют ана-логичную геометрию и граничные условия, а также для отработки методик эксперимента с тяжёлыми телами простейшей геометрии.

1. Тяжёлая трансверсально-изотропная сфера. Рассмотрим задачу о равновесии толстостенного линейно-упругого трансверсально-изотропного тяжёлого сферического тела, ограниченного поверхностями радиусов р\ и р2 (р1 < р2) и находящегося под действием нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через геометрический центр, в который поместим начало сферической ортогональной системы координат р, 9 и ср. Будем считать, что материал сферы однородный, сферически трансверсаль-но-изотропный относительно любого радиус-вектора, проведенного из центра тела в рассматриваемую точку. Радиальные и меридиональные перемещения (ир и щ), радиальные (арр и ерр), окружные (а^ и е^), меридиональные {а ев и е$$) нормальные напряжения и осевые деформации, а также касательные напряжения тр$ и сдвиговые деформации 7^ в силу симметрии тела и приложенной внешней нагрузки не зависят от окружной координаты и удовлетворяют геометрическим соотношениям Коши:

дир 1 див ир ив ир

?рр = -^-, £ве = -^7Г + —, = ctg в ~\ -,

др р дв р р р

(1)

и уравнениям равновесия:

+ ~Р1ю + ~Р (2<трр ~ а^ ~ ам + тРв^в) + рР = О,

1^? + уж + ~Р авв ~ в + 37>б] + Рв = °'

(2)

Здесь Рр = —'усозв и Рв = 7вт0— компоненты вектора массовых сил, 7 — удельный вес материала.

Определяющие соотношения

Срр — Ацбрр + А\2 (е^ + £вв) ) &<р<р — А\2£рр + А22£(р(р + А2з£вв,

(Увв = А^Ерр + ^23%^ + А22£вв, Трв = А^рв

(3)

для сферически трансверсально-изотропного тяжёлого тела можно записать с помощью технических постоянных:

Ё(1 — и) л ЕР Е ( „2Е

Ац —----------, А\2 —, А2 2 — у——:—

т т (1 + и) т V е

л Е ( ~2^\ , А,

^23 = т——^—(и + и2— , АЫ = С, т = 1 — и — 2и

(1 + и)т\ е; Е

Здесь Е и Е — модули Юнга вдоль координаты р ив ортогональном к ней направлении; С — модуль сдвига для диаметральной плоскости; Р и V — коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение тела в направлениях в

и р при растяжении вдоль радиальной координаты р, и поперечные деформации в плоскости, нормальной радиус-вектору р, при растяжении в той же самой плоскости соответственно.

Пусть толстостенная сфера жёстко закреплена по внутренней поверхности и находится в равновесии под действием внешнего равномерного давления р. Тогда для рассматриваемого случая граничные условия запишем следующим образом:

и

Р\р=

р=р 1

= °> ио\Р=Р1 = °>

рр\р=

Р=Р 2

-Ру Трв\р=

Р=Р 2

0.

(4)

Для любых граничных условий, не нарушающих осевой симметрии задачи, решение системы дифференциальных уравнений в частных производных:

1

4 2 р2

А

44

др2

д2иг,

„ , ди0 2А^1 —------Ь Нз

др

д2ив див

дип

—7вт0 = А.

дв2 ' дв д2и

дрдв др див

+

+ с1]ё °) + (Я1 “ +ивсЛёв) + ЪНхир

44

др2 д (див дв [~дв

1

н— р

2А,,8^ + Я, д%и-

др { дщ V дв

дв

+

+ иР ) + ( ~^7Г + ив с1]ё в \cige

тт I дир + НА^в~Щ

(5)

полученных путем последовательной подстановки геометрических соотношений (1) в определяющие соотношения (3), а затем полученного результата — в уравнения равновесия (2), можно представить в виде тригонометрических рядов [1-3]:

(6)

га=О

га=О

Здесь Н\ = А\2 — Я4, Н2 = А23 + 2А44, Я3 = А\2 + А44 И Н4 = А22 + А23.

Подставляя выражения (6) в систему (5) и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях аргумента в, получим п систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

(га)^+4гаЧ(га)

2 ир

(п)Лп)

И------о ( 0-4 и

р

I (п) (п)

+ «5 Щ

) = л(га),

ь(п) //(га) + I /&(га) ,(га) + Ь(п)иКп)\ + 4 (6(»)>) + Ь(п) = Б(п})

Н— (о р 1

(7)

где

Ъ^ = -п (А22 + н2), Ь(5П) = —Н2 - А22 [п (п - ctg в ctg пв) + ctg2 в]

(га) 1 (га)

а\ = -а\ '

= А

11 ч

= Я3Я5,

— 2 Н\ — пА44Н^}

4га) = Я5 (Я! - А44), 6(!га) = \ъ\^ = А44,

и(п)

Ъ^] = -Язи,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Н$ = п + 9 tg п9,

д{п) ________________ / 7) п 1) д(га) _ / _П

— | 0, п = О, п > 1; — | О, п = О, п > 1.

Эти системы для каждого п должны быть дополнены граничными условиями, которые получаются разложением заданных на поверхностях тела перемещений, напряжений или их комбинаций в тригонометрические ряды по меридиональной координате в. Поэтому вычисление перемещений, деформаций и напряжений связано с решением п самостоятельных задач.

Итак, при п = 0 система дифференциальных уравнений (7) значительно

упрощается, а ее общее решение выглядит следующим образом:

40) = 0, = С^р-1'2-к + С^р~1/2+к,

где к = л/1/4 — 2Н\/Ац — показатель анизотропии, а и — константы интегрирования.

При п = 1 будем иметь неоднородную систему дифференциальных уравнений (7), решение которой можно представить суперпозицией общих реше-

„ .(1) .(1) Л „ _(1) _(1) нии ир и щ и любых частных решении ир и щ соответствующих однородной и неоднородной систем. Последние, например, определим в виде:

ёр = Нрр2, = нвр2,

Нр = 7Я6 (Я4 - 2Я3), Нв = 7Я6 [2 (Лц - А44) - Я4] ,

^6 = 2 [^11 (-^4 — 4А44) + 2^44 (#4 — ЗЛ12) — 2А22\

Общее решение однородной системы будем искать в форме обобщенных степенных рядов

сю сю

'41, = £й!1У+‘. 4ц = £Л‘+‘

г=0 г=0

с характеристическими числами

1 1

21 = -*, г2 = -г-1, = —* — ^ — ^, = _г - 2+1,

где £ = д/9/4 + [(-4ц + 2А44) Н4 — 2А\2 (Н4 + 2Л44)]/(АцА^) — показатель анизотропии для центрально-симметричного тела, находящегося под действием равномерно распределенной вертикальной осесимметричной нагрузки. Обратим внимание на то, что в отличие от показателя к для центрально-симметричного тела, находящегося под действием центрально-симметричной нагрузки, £ зависит от модуля сдвига для диаметральной плоскости. Эта зависимость является следствием появления сдвиговых деформаций, которые отсутствуют в случае, когда и нагрузка, и само тело обладают центральной симметрией.

При п > 1 системы дифференциальных уравнений (7) являются однородными, а их решения также находятся в виде степенных рядов. В рассматриваемом случае для любого п четыре характеристических числа (,?’€{ 1, 2, 3, 4}) являются корнями нелинейного уравнения четвертой степени

из + (3^ (г + г) + Р1а> из + сх^’ (г + г) +

р(«)

(га)

V4 '

(га)

V4 '

(г + г) + /3^ (г + г) + /3^

где из = (г + х) (г + х — 1).

(гг) ('

По известным г- и быть определены следующим образом:

По известным и = 1 коэффициенты могут

Л (га) ^ (га) й<”> = ■>

аА — а

а

(га)

\{п)(х(п) и . (гг) /э№\ I № о

Л) 1 + а2 ~ ^4 ) + «3 - А

(га) ,(га)

о (га) ^ \ (га) (

$ =7=г + 4

з(га) ’

а

а

(га) '

‘1 "1 Тогда общее решение системы (7) записывается так:

и

<п) = + 4П)<^В) + 4га)с,зга)рл^)+4га)^(га)^п)

р

и

{п) = с[п)р^п)

+ сЫр^) + сМр^)+с<Г>р^\

а постоянные интегрирования С^, С^\ С^ и для каждого п определяются из граничных условий (4). Однако при разложении заданных на поверхностях тела перемещений и напряжений (4) в тригонометрические ряды по меридиональной координате в получим при п > 1 однородные системы дифференциальных уравнений с однородными граничными условиями. Все

(тъ) (тъ)

эти системы имеют единственное тривиальное решение: ир = 0 и щ ' = 0. Таким образом, общее решение системы (5) запишем в виде

ир = с^р-1/2~к + с!20)р-1/2+к+

+ ((11с{11) + уЬС{21] + р~1/2+* + V172-* + Нрр2) СО8 0, (8)

щ = (С« + ±С<1} + с(1}р-1/2+* + С^р-1'2-1 + Нвр2) вт0.

Здесь

с*4 = ^(В- 2Я3*)

Б = М-ЗЛ44, £ = 2Я| - Ли (Л22 + Я2), М = Н1-Н4.

Постоянные интегрирования при п = 0 в равенствах (8) могут быть определены из граничных условий (4):

С[0) = -2р1кС^0) = 2р\к-

3/2+к

РР2

Н7р2к + Н8р2к ’

Н7 = Ац (2к + 1) — 4^12, Н$ = Ац (2к — 1) + 4^12.

Группа слагаемых с постоянными интегрирования С^\ С^\ С^ и С^\ соответствующая п = 1, отражает в общем решении (8) вклад массовых сил. Эти постоянные находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений:

скС^ + —с12С{^ + (кС^ р~1/2+1 + скС^ р“1/2“* = -НрР1 Р1

С® + 1с™ + с<1,л1/2+‘ + С< V1''2-1 = -Н„А,

Р1

4С'51)Л12 (к + 1) Р2/2+* + Я12Р2 1/2+* + Я9р2* + Ни = -Н10р1/2+\

2С[1) (к + 1) р\/2+Ь + 2С^1) (с12 + 2) р~1/2+1 + (2с?3 -24 + 3) р^+

+С^1) (2^4 + 24 + 3) = 2 (Нв - Нр) р52/2+\

где

Яд = Сд1^ [4^12 ((1з + 1) + Ацс1з (24 — 1)] ,

Ню = С|1} [4^12 (с?4 + 1) — Ацс14 (24 + 1)],

Нц = 4 [Нр (Ац + А\2) + НдА^], Н\2 = 2С<21'> [2Л12 (с?2 + 1) — Ацй2\ ,

и не приводятся из-за громоздкости их выражений.

Подставляя найденные выражения для перемещений (8) последовательно в геометрические (1) и определяющие (3) соотношения, получим компоненты тензоров деформации

1

£РР - ~2

я

13 + 2к(с[0)р-3/2-к - С^р~^2+к) + Нпсоёв

£<р<р = £вв = Н13 + Я15 сое в,

1рв = [(5/2 - £)Я16 - #15 - 2Нвр\ ятв

(9)

и напряжении 1

до

= ^{^0)Н8р-^+к - с^н1Р-^-к+ 1

+

—2 #12 + (#9 + Яю) Р 3/2 * + Яцр 1рг

соъв

(Т<р<р = (7вв = кА12(с^р1/2~к - р~3/2~к^ +

+^ (2Я4ЯМ - Л12Я17) сое в - м(с(2]р1/2-к + С^р-3/2-к трв = А44 [(5/2 - 4)Я16 - Я15 - 2Нвр\ эт в,

при записи которых были использованы следующие обозначения:

#16 = с«Р-3/2+* + V372-*,

Я17 = + (1 - 24) (с^С^р"372^ + V372-*) - 4Нрр.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В частном случае, когда при определении напряжённо-деформированного состояния можно пренебречь вкладом массовых сил, из полученных уравнений следует классическое аналитическое решение задачи Ламе для трансвер-сально-изотропной сферы [4]. Из этого решения для закрепленной по внутренней поверхности трансверсально-изотропной сферы со свободной от нагрузок внешней границей следует тривиальный результат: рассматриваемое тело находится в ненапряжённом состоянии.

2. Тяжёлая изотропная сфера. Из уравнений (8)—(10) может быть получено решение задачи о равновесии толстостенного тяжелого жёстко закрепленного по внутренней поверхности изотропного центрально-симметрично-го тела, находящегося под действием внешнего давления р. Действительно, осуществляя замену материальных констант Е = Е, Р = ииС = С = = Е/[2(1 +г/)], запишем выражения, определяющие распределение перемещений, следующим образом:

Обратим внимание на то, что соотношения (11) следуют, как частный случай, из равенств (8) при подстановке в последние показателей анизотропии к = 3/2, 4 = 5/2 и коэффициентов с1\ = —1, с?4 = 2. Постоянные интегрирования при п = 0 и п = 1:

(1) = 7 (г/ + 1) 1 3 ЖРр!

|2 [9р| (2г/2 - Зг/ + 1) - р| (бг/2 + V - 5)] -

- Р1Р2 [р\ (6г/2 + у ~ 2) + 9р? (8г/2 - 12г/ + 5)] |

= -р2^(4^2 + ^-3), N = 6 Е(и-1), Р = 2(3и-2)р1-(и + 1)р1 сз ] = 7 ^р ^ [2р! (Зг/2 - 41/ + 1) - (1 + V) [у(?2 + р1) р\] ,

С11} = р\р2^ здгр^ ^ ^ (1 + ^)] ,

а также множители

7(1 -V)

Нп

3 Е

и =_^Е А _ 4(! -V) А _ 4г/- 1

’ е ЗЕ’ 2 41/-3 ’ 3 21/-3’

входящие в (11), значительно упрощаются.

Деформации и напряжения в точках, отстоящих от центра симметрии сферы на расстояние р, вычисляются при помощи следующих соотношений:

£рр = #20 - (#18 - 2#1э) сое в

£(р(р = £вв = #21 +

#18 + #19 + #22 + ^ ^ - 4С'11) Р2 V Р

сое в,

7рв = - ^#18 + #19 - #22 + 81п61>

(1 + и) (1 - 21/)

Е

#20 + ^ ( ^0) + #21

+

+

(1 + I/) (1 - 21/)

Е

2 [#19 + г/ (#22 + #2з)] + (Зг/ - 1) #18 } сое в,

ст<

(#21 + ^#20 ) +

+ -

(1 + I/) (1 - 21/)

Е [(1 - V) #18 + (1 + 2у) #19 + #22 + #2з] сов 61,

(1 + V) (1 - 2у)

Трв = -уТТТТл (Нг8 +Я19 - #22 + ) вШ0.

2(1 + и)

г

Здесь

#18 —

2(1 — ^) ^(1) 3 (1)

4г/ — 3 °2 +^°4

я19=(И1}+я^)л

#20 = ^°} - -|с;0), #21 = С^°} + 1с'{0), #22 = (С?} + #,) Р,

#23 = 4 Г - 4а(1)

Р"

р

,2 4

3. Оценка начальной прочности тяжёлой железобетонной сферы. В качестве примера, используя полученные выражения (10), проанализируем вклад массовых сил в напряженное состояние анизотропной толстостенной тяжёлой сферы. В работе [5] были введены независимые величины

Л

■т,

п

аРР1 а — \/

+ 4 т2„ •/,!'

Чр + Чр’

инвариантные относительно ортогональных преобразований, допустимых над сферически трансверсально-изотропным однородным телом, которые могут быть применены для описания различных механизмов разрушения (от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлениях, от сдвигов по поверхности изотропии и в диаметральной плоскости соответственно) и оценки начальной прочности по совокупности критериев [6].

На рис. 1 показано распределение приведенных к безразмерному виду инвариантов тензора напряжений ^ ^ /(7г) вдоль меридиональной и

обезразмеренной радиальной координаты р = (р — р\)/{р2 — р\) в тяжёлой железобетонной сфере (7 = 40,0 кН/м3) со свободной от нагрузок внешней (р = 0) и жёстко закрепленной внутренней поверхностью. Параметры геометрии тела и упругие постоянные железобетона были выбраны следующими: 5 = р\/р2 = 0,5; Е = 40,0 ГПа, Ё = 25,0 ГПа, С = 11,0 ГПа, V = 0,075 и V = 0,15.

Как видим, на внешней, свободной от нагрузок поверхности тяжёлого железобетонного центрально-симметричного тела ненулевым является только первый инвариант который в верхней полусфере всюду возрастает вдоль р, а в нижней - всюду убывает, принимая нулевое значение при р = 0,11. Наибольшие по абсолютной величине значения J1a принимает в точках, лежащих на вертикальной оси, проходящей через геометрический центр. Для верхней полусферы эти точки являются наиболее опасными из-за возможности по-

•'а

Рис. 1. Распределение обезразмеренных инвариантов тензора напряжений на закрепленной внутренней (^), свободной ОТ нагрузок внешней (.Тех) И серединной (./мы) поверхностях железобетонной сферы

тери способности сопротивляться растяжению (при р < 0,11) или сжатию (при 0,11 < р ^ 1) в окружном и меридиональном направлении, для нижней полусферы — сжатию (при р < 0,11) или растяжению (при 0,11 < р ^ 1) соответственно. Второй инвариант нелинейно распределен вдоль радиальной координаты, имеет при р = 0,03 локальный минимум в верхней и локальный максимум в нижней полусферах соответственно. Обратим внимание на то, что начало разрушения верхней полусферы от сжатия, а нижней — от растяжения в радиальном направлении возможно в точках, принадлежащих вертикальной центральной оси.

Третий инвариант JlII во всех точках принимает нулевые значения. Последнее связано с тем, что т^е = 0, а при п = 0 и п = 1 имеет место равенство окружных и меридиональных напряжений = иСледовательно, механизмы разрушения от сдвига по поверхности изотропии для рассматриваемых условий нагружения тяжёлой сферы и деформационных свойств материала не реализуются. Четвертый инвариант ^ равен нулю в точках, расположенных на вертикальной оси и возрастает по мере увеличения угла 9, достигая своих максимальных значений при 9 = тт/2. Вместе с тем при изменении радиальной координаты от внутренней закрепленной границы бетонной сферы к внешней всюду убывает до нулевых значений на свободной поверхно-

На рис. 2 проиллюстрировано влияние толщины сферы Ь = р\)р2 на характер распределения ненулевых инвариантов тензора напряжений вдоль радиальной координаты р, показавшее, что с ростом 5 увеличивается наклон кривых и возрастают (по абсолютной величине) значения ^ в точках закрепления. Кроме того, точка, в которой происходит смена знака первого инварианта 7^, при увеличении толщины железобетонной сферы смещается к внутренней закрепленной поверхности.

Заключение. Таким образом, на основе полученого нового точного аналитического решения задачи о равновесии находящегося под действием внешне-

Рис. 2. Распределение в характерных сечениях толстостенной железобетонной сферы: 1-6 = 0,5, 2-5 = 0,6, 3 - 5 = 0,7, 4 - <5 = 0,8, 5-6 = 0,9

го равномерного давления тяжёлого трансверсально-изотроиного центрально-симметричного тела с жёстко закрепленной внутренней поверхностью проанализирован вклад массовых сил в напряженное состояние, исследовано влияние геометрии, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.

Авторы признательны профессору И. И. Шардакову за обсуждение полученных результатов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект РФФИ-Урал № 07-01-96056-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожевникова Л. Л., Кузнецов Г. Б., Матвеенко В. П., Шардаков И. И. Аналитическое исследование упругого равновесия полой сферы, жёстко закрепленной по внешнему контуру// Пробл. прочности, 1974. — №9. — С. 20-23.

2. Кузнецов Г. Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. — М.: Наука, 1979. — 112 с.

3. Кожевникова Л. Л., Кузнецов Г. Б., Роговой А. А. Равновесие тел вращения под действием массовых сил. — М.: Наука, 1983. — 102 с.

4. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977. — 416 с.

5. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: МГУ, 1984. — 336 с.

6. Вильдеман В. Э., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука, 1997. — 288 с.

Поступила в редакцию 16/V/2010; в окончательном варианте — 18/VIII/2010.

MSC: 74В05, 74G05

ELASTIC EQUILIBRIUM STATE OF THICK-WALLED HEAVY TRANSVERSALLY-ISOTROPIC SPHERES FIXED ON THE INTERIOR SURFACE

A. V. Zaitsev, A. A. Fukalov

Perm State Technical University (National Research University)

29, Komsomolskiy pr., Perm, 614990, Russia.

E-mails: zav@pstu.ru

Using decomposition of hoop and radial components of displacement vector to the trigonometrical and generalized power series, the new precise analytical solution to problem on equilibrium state of thick-walled heavy transversally-isotropic central-symmetric body, which is fixed on the interior surface and is subject to the action of uniform external lateral pressure, is obtained,. This can set a pattern for precise solutions in particular cases of the relations for displacements, stresses and strains at the points inside thick-walled heavy isotropic sphere, the interior surface of which is fixed, while the exterior one being under the uniform pressure. The estimation of an initial strength of solid-cast reinforced concrete sphere is carried out on the basis of a multicriteria approach taking into account real damage mechanisms (i.e. damage from tension or compression in radial, hoop and axial directions, and from transversal and antiplane shear) of anisotropic central-symmetric bodies.

Key words: thick-walled heavy transversally-isotropic, exact analytical solutions, multicriteria estimation of an initial strength.

Original article submitted 16/V/2010; revision submitted 18/VIII/2010.

Alexey V. Zaitsev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept, of Mechanics of Composite Materials & Structures. Anton A. Fukalov, Master Student, Dept, of Mechanics of Composite Materials & Structures.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.