Упругая линия оси многоопорного цилиндрического сосуда давления при температурно-механическом изгибе и связанные с ней экстремальные задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета Сер. 1.Вып.2.1996

УДК 539.3

Упругая линия оси многоопорного цилиндрического сосуда давления при температурно-механическом изгибе и связанные с ней экстремальные задачи.

Путем анализа поведения упругой линии изогнутой оси автоклава при различных значениях температурного перепада, исследуется вопрос о последовательности отхода корпуса от опор в зависимости от параметров конструкции автоклава (в частности, от жесткости опорной системы). Сформулирован и решен ряд задач параметрического синтеза для определения значения температурного перепада при котором происходит отход фиксированного сечения корпуса автоклава вверх от нулевой отметки. Зная последовательность отхода корпуса от опор, можно при заданном перепаде температур заранее определить искомый реализуемый вариант активных опор.

Опыт эксплуатации и расчетная практика для автоклавов строительной индустрии [1-4] показывает, что корпус автоклава отходит от опор совершенно по разному для абсолютно жесткой и упруго-податливой опорной системы (рис.1 а,б). Более того, реализуемые варианты активных упругих опор могут быть принципиально различными для автоклавов с разными характеристиками.

1.Анализ поведения упругой линии. Для определения упругой линии изогнутой оси автоклава на основании [1], можно сформулировать следующую краевую задачу (см. рис.1)

Никитенков В. Л.

п-1

¿-2

© Никитенков В. Л., 1996.

Типы отхода от опор Нагрузки

ч 1 1 ¡'1 11 11 'VI' 1 г

Жесткие опоры • ---^ 1 1.....1 и

0

1 1 1 1 1 1 ! Упругие опоры ! м, 1 /

1 [ШШЛтиШмж ^ V )Т

1 | ...............Г'-^о ! ® ! 1 1 м„.

| ! . !

- | 1 1 1 t . . . -■ Т Я, Из . Я,,.,

. ^ ' _ ........- — - ^ . ~ - 10 + 1Ч

1 ■ 1 1 1

Ц-И,!

а). б)

Форма упругой линии оси автоклава

0 1/2 1

пин ; пип | 1 1 1

I ( п^ах > 1

w ' 1 '

в)

Рис.1

А.

Здесь 1—Ь

' ЕЫ'{0) = ~МХ - -ЕГш"(1) = -Мп - -СМ0) = -Еф\,=0 + ^!

Мх = -Со/о - М„ = -Оп1п -

. = О о + д/0, Фп = — ^'п — Фп-

Легко убедиться, что решением данной краевой задачи будет функ-

ция

т(2) = -_1_7(~4-2л3Л-г13)+

24£/

(I

п-1

9 (1 - ? + 0± _ 1 +

2 \ С'1 Сп) С1 I \ С\ СПу

/п-\

¿=2

1 (/-^

■Лг

+ _ т") (у ~ 0 + — (т1 - т»);

о ^ 1 '

с„/

+

1

6Я/

п-1

71-1

71—1

-В—

.лз.

¿=2

(/ ~ г,-) /

п-1

Щ - £}(/ - г{)1гЩ+

г=2

(/ -

-Я,-

+

^(тд - тп)(у - Н) - - Н)

(3)

где

М, а<,4 + 31/ 2 М„ '«¿1 4 + 3«/ 2

т1 = Ё1+ X + 2 «' = Ё/ + Т ■+

В случае симметричной конструкции автоклава (Со о ~

/п,Ш1 = т„=т, ф 1 = — на опорах с одинаковыми жестко-

стями (С1 = С„ = Сг=С) имеем

П-1

2£1

+

б Е1

п~\

г~2

п-1

Ее

1—2

1=2

+ +

-к,- +

Е1

М + ~-а1{

В,

(4)

Здесь учтено, что qlf2 •+ (.} — (7/2 (С - вес автоклава).

Первое слагаемое в (4) соответствует прогибу шарннрно-опертой балки, второе слагаемое есть прогиб под крайними опорами (нетрудно заметить, что выражение в квадратных скобках равно 2К\ = 2Д„), далее следует оболочечное слагаемое. Все три первых слагаемых дают положительные значения прогиба при 0 < г < I. Два оставшихся слагаемых (во второй квадратной скобке прогиб от действия реакций опор и в последнем слагаемом от краевых моментов и температурного перепада) соответствуют отрицательным значениям прогиба ( М < 0 и < 0).

Непосредственно из соотношения (4) можно определить величину температурного перепада, при котором автоклав отходит вверх от последней промежуточной опоры и опирается только на две крайние, Для этого необходимо в (4) положить все 7?, = 0 (г € 2 : п — 1). Далее запишем два соотношения

и>{1/2) _= 0 (последней становится неактивной средняя опора) ги(г\) = 0 (последними из числа активных удаляются 2-я и (тг—1)-я опоры).

Пользуясь последними соотношениями как уравнениями относительно t^ находим две величины —1\(1/2), —^(¿О и выбираем из них максимальную

(-Ь) = тах{-г-и(1/2)} (5)

Для автоклава с равномерно расставленными гг опорами (21 — 1\ — 1/{п — 1)) имеем

( — )//2

НО/,

аЕжй2к

-(¡1~ + М +

4 + 3 г/

1

аЕттВ?к

(п ~ I)3 + 2п - 1 ;2 , , 4 + 31/ Г)2

~-^г-у-—~Т2 я? + М+ —-—<//г

12(п - 2)(п - I)2 . 2

2(п- 1)41.

п

2 а- \2С )

Например, для автоклава АП12-3.бх27 на упругих опорах (С — 2 -105 кг/см)

(-<1),/2«35,2вС, (-¿О/, «67 (-¿х) == тя.1г{б7, 35,2} = 67°С, а для автоклава АП16-2х40,4

(-к)(/2 ~64°С, (-*!),, «49"С (-¿¡) = та.т{49, 64} = 64°С,

что согласуется со значениями, найденными с использованием метода перебора вариантов [2]. Анализ выражения (5) позволяет также определить тип отхода автоклава от упругих опор. Если максимум в (5) достигается на первом слагаемом, то имеет место первый тип отхода (см. рис.1 а), т.е. опоры по мере возрастания перепада температур становятся неактивными от середины к краям. В противном случае имеем второй тип отхода (первыми становятся неактивными опоры на четверти длины от краев, а середина автоклава "провисает" и отходит от опор в последнюю очередь). Так автоклав АП12-3,6х27 отходит от опор по первому типу, а АП16-2x40,4 - по второму (рис. 2).

Для исследования свойств упругой линии и>(г) выпишем выражения для ее производной

= Ш1122 - "(222 - 2г/ -,2) + Чшг1141 -22)+

+

где

М + —аи К

До(2) = -З.Х> - + £ ^Ц2^ + - '2) £ Л,

¿=2 ¿=1 " ¿=2

(Здесь учтено, что для симметрично расставленных опор

В силу симметрии функции ъи(г) относительно г = 1/2 ее производная обращается в нуль при z —1/2. При отсутствии промежуточных реакций (До(г) — 0) функцию ио(г) молено записать в виде

ю'(г) = А(г)-В1(г) (8)

Балочный вариант

Оболочечный вариант

Абсолютно жесткие опоры (теорема о трех моментах)

49 <3 45 44 45

50 43 44 44 44

117 0.2 28 38 42

28 38 42 150 0.2 36 40

/Г

226

О

4.2*

10.8 16 5°

48 45 44 44 44

Ч лих Упругие опоры (С=2 10 кг/см) ( теорема о пяти моментах )

0* г* 47 46 45 44 44

168 42 3 3 10

и* з • 178 42 7

3 5* 6* «* '« .......... • О О О О и • 0.04 N

6.5 ° 14* о о о о ~

14 8*

О*

13*

14* 15*

1« * 18.41'

16 "

Упругие опоры (С=2 10 кг/см) ( теорема о пяти моментах )

46 46 45 45 45

118 66 31 10 0 8

46 46 45 45 44

115 64 31 12 0.4

4 тт •4 (гак

25"

35 * 67'

Рис.2

где

Bt(z) = - l)

2 R

(оболочечное слагаемое и моментное могут быть отброшены, как несущественные константы,) Приравнивая к нулю выражение м'(г)-12Е1 • д/{2г - I), имеем

Рассматривав корни этого уравнения, при различных значениях температурного перепада (^ < 0), приходим к следующим четырем основным формам упругой линии изогнутой оси автоклава при температурно-механическом изгибе (рис. 3 а):

1) При 0 < < функция ш имеет единственный локальный

максимум при г — 1/2;

2) При = ^1,1 имеются два локальных минимума в точках г =

0,г = I и точкой локального максимума является точка г =

3) При < (¿¡| < ^ локальные минимумы достигаются в точках 2* и (симметричной ей) / — ¿*, локальный максимум в точке

4) При |¿i| > 11,2, функция ш(г)'имеет единственный локальный минимум в точке z — 1/2.

Графики функций A,Bt и w' для случаев 1)-4) приведены на рис. 3 а. «

Наличие в (7) отличной от нуля функции реакций опор Rq(z) не вносит принципиальных изменений в характер поведения производной w'(z) (см. график на рис. 3 б), кроме того, что функция B(z) = Bt(z) + Rq(z) становится нелинейной. Типы же пересечений ее с функцией A(z) сохраняются (сравни со случаем 3 на рис. 3 а).

Таким образом, принимая во внимание, что прогиб под крайними опорами всегда неотрицателен, и эти опоры не выходят из числа активных, приходим к заключению о возможности двух типов отхода автоклава от упруГо-податливых опор: первый

I/2;

= 1/ 2;

w(z)\2El = A-B = A-B,-2R„

Рис.3

тип соответствует форме 4 упругой линии (см. рис. 3 а), при которой отрицательный прогиб в первую очередь получит сечение на середине длины автоклава, а дальнейший отход распространяется от средних опор к крайним. Такой тип отхода характерен для коротких автоклавов или (и) имеющих значительную изгибную жесткость (например, АП12-2х17 м, АПГ2-3,6х27 м). Отход второго типа начинается, когда форма упругой линии имеет тип 3 (см. рис. 3 а). Сначала неактивными становятся опоры в сечениях, ближайших к точкам минимума, затем распространение отрыва идет в обе стороны от указанных сечений. Причем, если форма упругой линии, при увеличении температурного перепада сохраняет вид 3, последней неактивной опорой станет средняя, если же форма упругой линии примет вид 4, отход автоклава от опор будет продолжаться по первому типу. Второй тип отхода имеет место для достаточно длинных и "гибких" автоклавов (относительно небольшие радиусы и толщина обечайки), таких как, например. АП16-2х40,4 м пли АП12-2,6х32 м.

Для системы абсолютно жестких опор, отход автоклава начинается при форме упругой линии 2 (промежуточное мгновенное положение) и 3. Если при этом учитывать, что < 0-(г,- - координата г-ой опоры), то первыми становятся неактивными опоры 2-я и (п — 1)-я, затем 3-я и (га — 2)-я и т.д. от краев автоклава к его середине (см. рис. 2).

2. Точка и температура начала отхода автоклава от нулевого уровня. С учетом форм упругой линии оси автоклава в начальный момент отхода его от опор(^ = (формы 3,4 на рис. 3 а), в точке отхода г* должны выполняться следующие условия:

Но эти лее условия должны выполняться, и при отходе последней (средней) опоры при форме 3 упругой линии. Таким образом, для определения точки (г*) и температуры (£*) начала отхода автоклава от опор, приходим к следующей задаче оптимизации:

и>{г\ = О ш'{г*, ¿1) = О

(10) ,(Н)

-—» тпш

Выражение (4) функщш и/(г) для использования в задаче (12) не подходит, т.к. неизвестны значения реакцшТпромежуточных опор. Чтобы получить выражения ю(г) и ги'(г) пригодные к использованию в задаче (12) необходимо перейти от модели дискретной опорной системы к непрерывной, т.е. заменить систему опор эквивалентным упругим основанием. Запишем следующую краевую задачу (рис. 4 а):

(14ш к ([

ь ги"(1) = -г Е1,п»1(п\ _1_ 0.

йг* Е1 Е1

«/'(О) = -то,; ш"(1) = -тп

и,(0) = -Д7-«/"(0) + ? (14)

т{1) = + |

Здесь гп\ = тп = М + М - краевой момент;

= С0 + д1о - краевое усилие; К - жесткость эквивалентного упругого основания; С - жесткость опоры. Жесткость эквивалентного упругого основания К определяется через жесткость опор С для случая, когда Щ = К*. Интегрируя равенство (13) на промежутке [0;/] имеем

I

Е1и>"'{1) - Еи>'"(0) + У кли{1)сЫ = д1

0

Используя граничные условия (14)з 4 и равенство

д/ = С — 2Со — 2д/о, С — вес автоклава

находим

1

сш(0) + сш(1) + к I и/(*)Л = <?'

о

Далее, на основании равенства реакций (Л; == 11*) получаем

2Я* + к-1^ = пЛ*

¡.1С

После сокращения на Я* окончательно приходим к следующему выражению для жесткости эквивалентного упругого основания

А' = с<^ 04

Î Д~ГТТ~ГТТ!^ m" MM T'Tj/ q m"

f

kJ^Cm

a)

6)

Рис.4

Коэффициент f¿ = 0, 665 определен путем численного эксперимента по расчету реакций опор для дискретной модели (1)-(2) и непрерывной модели (13)-(14). Результаты расчета, приведенные на рис. 4 б показывают хорошую согласованность модели в случае наличия температурного перепада при fi = 0, 665.

Решение поставленной краевой задачи можно записать в виде

«>(*)'= Щй™^2) ~ + JwQ(z) . (1б)

где

wq{z) = ClqKo(0z) + C2qIÚ m + C4gK3(0z) + ^(1 - KQ{¡3z)),

■ = Сь„Л-0(^) + C29/iTi(^) + ЛГ2(/?2) - С4т/Сз(/?г), . wQ{z) = ClQKQ{(3z) - C2QKl((3z)+ CAQKz{(3z)- (16') Ki(fiz) - функции Крылова, г 6 0:3

Ciq, С'гт, C¿a - определяются обычным образом из граничных условий (14).

Так как в задаче (12) прогиб w рассматривается как функция двух переменных, несколько преобразуем выражение (16). С учетом обозначения

У(Ф^Ф) + jMz) (17)

(16) принимает вид

w(z) = g{z) - (18).

0 Заметим, что w'(z), как и w(z) выражается в виде комбинации функций Крылова, а формулы для w'q,w'm,w'Q можно непосредственно выписать, используя выражения (16)' и правила дифференцирования функций Крылова О

Из ограничений задачи (12) находим ,

■«<*.,»)-0 (19)

ш'(и,г) = О

т I

02

(20)

"'т(-)

Приравнивая правые части (19) и (20) имеем уравнение относительно одной переменной г

¡(г)=д(г)1и>т(г)-д'(г)и,т{г)=: 0 (21)

Нетрудно убедиться, что производная функции / выражается формулой

/'(г) = д{г)ъ)"п{г) - д"(г)ч)т{г)

Графики функций / и /' для автоклава АП16~2х40,4 м приведены на рис. 5 а. Применяя к уравнению (21) метод Ныотона при ¿о = 0 (см. рис. 5 б) находим искомую точку с*. После чего значение Ц определяем из (19)

=

в

а

д(г*)Р2

И

ПК

(22)

Определение начальной точки и температуры отхода автоклава от нулевого уровня путем решения задачи (12) на основании непрерывной модели (13)-(14) показало хорошее согласование результатов с расчетами по дискретной модели (1)-(2) в совокупности с методом дихотомии для определения 2*. Приведем результаты для автоклавов с различными типами отхода от нулевого уровня

АП12 - 3,6х27м(1тип)/* АП16- 2х40,4м(2тип)/;

-22, 59"С — непрерывная модель -22,4°С — дискретная модель

непрерывная модель - дискретная модель

[ —24,51°С [ —25,28°С

Таким образом, зная при всех значениях температурного перезада меньших при абсолютной величине, чем , следует в качестве единственно возможного варианта активных опор выбирать вариант, включающий все опоры автоклава.

3.Последовательность отхода автоклава от опор. Поставим зопрос следующим образом: при каком температурном перепаде автоклав начнет отходить от г-й (в порядке отхода) опоры?

В рамках непрерывной модели (13)-(14) будем считать опору неактивной, если выполнено условие

тах{ъи(2)\2{ — и/2 < г < г,- + /,/2} < О

(23)

Рис.5

т.е., если каждая точка некоторого участка упругой линии, включающего точку перешла нулевой уровень в область отрицательных з-наченнй. Тогда для определения температуры отхода автоклава от опоры с координатой с,- необходимо решить следующую задачу оптимизации:

( — г'*') —► тих тах{1и{г,^])\г{ - /¿/2 < 2 < г,- + Щ2} > 0 (24)

Поставленную задачу можно свести к решению нелинейного уравнения

< г < г{ + /¿/2} = 0 (25)

Полученное уравнение решалось методом хорд, на промежутке (О;—/"'"')- где значение правой границы промежутка молено определить, например, по формулам (5), (6). Для вычисления ю(г) необходимо в рамках непрерывной модели перейти к конструктивно-нелинейной контактной задаче с неизвестной зоной взаимодействия. Для »того разрешающее уравнение (13) запишем в виде

^ = х _ ;п«{о>(г)} . (26)

и добавим к нему граничные условия (14). Решение краевой задачи (26), (14) отыскивается итерационным методом.

Результаты решения задачи (24) для автоклавов строительной индустрии приведены в таблице 1. Параметры для всех опор кроме второй и третьей {(п — 1)-й и (/?. — 2)-й соответственно) выбирались равными длине межопорного пролета. Для опор с номерами'2, 3, (п — 2). (// — 1). учитывая значительный градиент прогиба в районе их расположения, /,■ выбиралось равным половине длины межопорного пролета. В таблице 1 в скобках для сравнения приведены результаты для случая, когда 1-, равно длине мелсопорного пролета для всех опор. В таблице 1 строки, отмеченные значком * соответствуют дискретной модели и методу перебора вариантов, а отмеченные значком + - непрерывной модели и итерационному методу. В таблице 2 приведены реакции опор для соответствующих значений температурного перепада из таблицы 1, расчитанные по дискретной н непрерывной моделям.

На основе полученных здесь результатов разработаны приближенные инженерные методики по расчету температурного перепада н реакций опор, доведенные до уровня ручного счета, "работающие"

Температурный перепад и последовательность отхода автоклава от опор

ном е р опоры мах

2 ■1 .5 4 5 6 7 8 откл(%)

АП16 * 49 24.9 26 32.5 45 60 64 0

2x40.4 + 56.5 ' (40.9) 26.34 (25.2) 26.7 34 46.8 ' 60.3 63.5 4.6

АП16 * 23.2 16.8 14.7 15.3 15.5 0

2.6x32 + 23.0 (20.6) 16.62 (16.2) 14.9 15.4 15.9 2.6

X 23.3 17.3 14.3 12.0 10.0 35.5

АП16 * 38.3 24 19.8 18.3 •17.8 0

2.6x26 + 38.22 (32.2) 23.61 (22.2) 19.5 18.4 17.9 1.6

X 38.3 25.6 20.3 16.8 14.0 21.3

АП12 * 67 33.5 23.5 . 20 0

3.6x27 + 68.15 (63.4) 32.74 (29.6) 22.0 , 19.0 6.4

х 67.1 36.8 26.2 20.6 11.5

АП12 * 28.5 18.3 15.2 14.3 0

2x19 + 28.44 (24.4) 17.92 (-17.0) 14.8 То 2.6

X 28.6 19.2 15.0 12.1 15.4

АП12 * 35.8 19,7 0

2.6x19 + 35.91 (29.3) 19.69 (17.9) 14.8 6.3 Ы - перебор вариантов

X 35.6 21.5 15.9 9.2 Ы-

АП12 * 26.3 15.2 12.7 0 непрерывная модель

2x17 + 26.3 (22.1) 15.69 (14.7) 12.5 3.3 Ы - инженерная методика

X 26.3 16.9 12.8 11.2

Реакции упругих опор в момент отхода автоклава от очередной опоры

н о мер о п о р Ы мах

1 2 3 4 5 откл(%)

1 63.8 50.4 30.1 32.3 11.9 18.1 3.8 3,1 1.0 2.0 15.4

АП16 2 66.2 59.1 30.6 33.3 11.4 14.8 2.7 3.7 4.1

2.6x26 3 70.2 71.3 31.1 31,7 9.6 7.9 1.5

4 80.9 88.7 29.0 22.2 7.8

АП12 1 118.4 120.5 65.7 67.8 30.8 30.1 10.3 7.5 2.8

3.6x27 2 132.3 145.3 68.2 64.6 25.4 16.1 13.0

3 161.0 180.8 65.0 45.2 19.8

АП12 1 39.5 33,8 16.9 19 0 5.7 8.5 1.4 2.1 5.7 (14%)

2x19 2 41.3 40.8 16.9 18,1 5,0 4.5 1.2

3 47.8 50.8 16.7 12.7 4.0

АП12 1 60.7 60.6 26.3 26.9 7.3 6.7 0.6

2.6x19 2 69.4 75.4 24.9 18.9 6.0

АП12 1 37.2 36.4 15.3 16.2 4.2 4.0 0.9 (5,9 %)

2x17 2 42.4 45.3 14.2 11.3 2.9 (6.8%)

перебор вариантов

(*) - цифры в столбце указывают число неактивных опор

- непрерывная модель

для абсолютно жестких опор и упругих опор при первом типе отрыва. В таблице 1 значком х отмечены результаты, полученные по приближенным методикам.

Литература

1. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л. Аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек//Прикл. меха-ншга.1984.Т.20.№7. С.65-70.

2. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л., Тарасов В.Н.

Определение реакций упругоподатливых опор одностороннего действия под сосудом давления/J Строит, мехйника и расчет сооружений. 1986. №3. С. 54-57.

3. Михайловский Е.И., Никитенков В.Л. АВГОР-1 - система автоматизации инженерных расчетов при проектировании горизонтальных автоклавов/ Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1992. 282 с.

4. Никитенков В.Л. Вопросы прочности и проектирования тя- • желых горизонтальных аппаратов давления//А втораф. дисс. докгп. техн. наук. С-Пб.:199б. 39 с.

Summary

Nikitenkov V. L. Elastic curve of an axis of multisupport cylindrical vessel of pressure at a thermo-mechanical bend and extreme problems connected with it.

Question on a sequence of a withdrawal of pressure vessel from support depending on temperature difference and parameters of a design (in particular from rigity of support system) is investigated. Some of problems of optimization connected to calculation of support reactions are formulated and solved.

Сыктывкарский университет. Поступила 30.01.96