CC BY
158
Упрощенный алгоритм бэкстеппинга
173
УДК 519.7
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-3-173-178
УПРОЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ БЭКСТЕППИНГА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
И. Б. Фуртат1, Е. А. Тупичин2
1Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия Институт проблем машиноведения РАН, 199178, Санкт-Петербург, Россия Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: cainenash@mail.ru
2Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия
Представлен алгоритм робастного управления параметрически неопределенными нелинейными объектами, основанный на модифицированном методе бэкстеппинга. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность рассмотренной схемы.
Ключевые слова: робастное управление, метод бэкстеппинга, нелинейная система.
Введение. На сегодняшний день предложено достаточно много методов и подходов к построению адаптивных и робастных систем управления неопределенными объектами. Особого внимания заслуживает метод бэкстеппинга, впервые предложенный в работе [1] для синтеза адаптивного управления нелинейными объектами по выходу. Использование этого метода позволяет обеспечить в системе управления параметрическую робастность и возможность учета априорной информации о значениях параметров объекта управления. Последнее свойство наглядно продемонстрировано в работе [2], где представлен эффективный алгоритм бэкстеппинга для параметрически неопределенных объектов с измеряемым скалярным выходом. Другие модификации данного метода рассмотрены, например, в работах [3—5]. Однако предложенные в работах [1—5] методы сложны при аналитическом расчете системы управления, что объясняется громоздкостью вычислений полной производной по времени от стабилизирующих сигналов управления. Кроме того, при технической реализации системы возникают трудности, связанные с большим количеством компонентов и фильтров ее состояния, необходимых для формирования закона управления.
В настоящей статье предложен модифицированный метод бэкстеппинга для робастного управления параметрическими неопределенными объектами по выходу. Показано, что в отличие от алгоритма, рассмотренного в работе [6], в предлагаемой системе управления реализуется всего один фильтр размерности, равной порядку модели объекта, а для вычисления производных стабилизирующих сигналов управления используются реальные дифференцирующие устройства. Приведенный в работе [6] результат был обобщен для адаптивноробастного управления линейными объектами, линейными объектами с запаздыванием и нелинейными объектами [7—9]. Это позволяет существенно упростить аналитический расчет настраиваемых параметров и техническую реализацию системы управления. При этом в замкнутой системе обеспечивается требуемая динамическая точность.
Постановка задачи. Рассмотрим математическую модель объекта управления:
x(t) = f (x(tl У+b(x(tX УuОХ y(t) = h(Ж>), Ж) = (1)
где x(t) е X щ R — вектор состояния; u(t) е R — управляющее воздействие; y(t) е Y щ R — регулируемая переменная; t е T щ (0, да), fx, £), b(x, £) и h(x) — гладкие функции соответствующих
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
174
И. Б. Фуртат, Е. А. Тупичин
размерностей; Е е S — вектор неизвестных параметров; S — известное ограниченное множество; х0 е X — вектор начальных условий.
Необходимо синтезировать закон управления, обеспечивающий выполнение целевого условия
\y(t) - Ум(t)| <§ для t > f (2)
где 5 > 0 — показатель точности регулирования, yH(t) — эталонный сигнал, tf > 0 — время переходного процесса.
Предпол ожение 1. Функции f х, Е), Ь(х, Е), h(x) — гладкие, и для любых x(t) е X, Е е S выполнены следующие условия:
Lbh( х) = LbL1fh( х) = ... = LbLnf~2h( х) = 0, р (х, Е) = LbLnflh{ х) > 0,
1 dh (х ) dh (х )
где Lfh(х) = —f (х, Е) , Lbh(х) = —b (х, Е) — производная Ли от функции ^х) по на-
дх дх
правлению векторных полейf х, Е), Ь(х, Е) соответственно.
Производные высших порядков вычисляются по формулам
2 а((А(*)) , г^-'нх))
Lfh( х)=^-L—Lf (х, Е),.... Lfh( х)=-Ы--Lf (х, Е).
дх
Пр едположение 2. Существует гладкая функция ф 1 (х(t)) , такая что
T г
х (t) = ф( хЦ)) = y(t), у (t),..., у( n 1)(t) = h( х), Lfh( х),..., Lnf lh( х)
-iT
Пр едположение 3. Функция с(х, Е) = Lf h(х) ограничена или ограничена на множестве S и липшицева по х е X.
Предпол ожение 4. ФункцииyH(t), ум(t),..., у{мп)(0 — ограниченные.
Аналогичные предположения рассмотрены в работе [10].
Метод решения. Принимая во внимание предположение 1, продифференцируем n раз функцию y(t):
Pny(t) = c(х Е) + Р(х Е)и(t), (3)
где p = d / dt — оператор дифференцирования.
С учетом выражения (3) запишем уравнение ошибки e1(t) = y(t) -yH(t) в виде
рпв1(t) = с(х Е) + Р(х Е)и(t) -рпум(t). (4)
n - 1
Введем в рассмотрение оператор Qn-1(р) = ^ kn_tpl, такой что полином Q(X) = Xn + Qn-1(X)
i=0
гурвицев, где X — комплексная переменная, и перепишем уравнение (4) в форме
Q(P)e1(t) = u(t) + w(х Е Ум, t), (5)
где функция
у(х Е Ум, t) = с (х ^((х Е) -1)u(t)_ РПУм (t) -Qn-1(P)e(t) . (6)
Рассмотрим фильтр
v(t) = Av(t) +lu (t), (7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
Упрощенный алгоритм бэкстеппинга
175
гДе v(t) = [), v2{t),vn{t)f, Aq =
-ki
-k2 In-1
-kn 0
T d( n-l)x( n-1)
, In-i e R ! v ! — единичная мат-
рица, l = [0, ..., 0, 1] .
Перепишем уравнение (5) с учетом выражения (7):
ei{t) = vi{t) + Q-1 {pMx(t), ^ Ум {t), t).
(8)
(9)
Дифференцируя (8), получаем
ei(t) = -kivi(t) + v2(t) + f (t),
где Q(p)f(t) = pw(x(tX ^ Ум{t), t) .
Согласно методу бэкстеппинга [3] представим процедуру синтеза системы управления следующим алгоритмом.
Шаг 1. Предположим, что функция v2(t) — сигнал управления в выражении (9). Определим v2(t) в виде v2(t) = Ui(t) и зададим Ui(t) как функцию, необходимую для стабилизации ошибки (9):
Ui(t) = -ai|i-iei(t) + kivi(t), (i0)
где ai > 0 и ц > 0 — коэффициенты, выбираемые разработчиком.
Подставив (i0) в выражение (9), получим
ei(t) = -ai^-iei(t) + f (t). (ii)
Шаг i (2 < i < n _ i). Рассмотрим функцию ошибки e{t) = v^t) - Ui _ i(t). Взяв производную от ei(t) вдоль траекторий (5), получим
ei(t) = ~Kvi(t) + vi+i(t) - Ui-i(t). (12)
Предположим, что функция vi + 1(t) — сигнал управления в уравнении (12). Пусть vi + i(t) = Ui(t), тогда
Ui(t) = -a e(t)+kivi(t)+Ui-i(t), (13)
где ai > 0 — коэффициент, выбираемый разработчиком, Ut-i(t) — оценка сигнала UJi-i(t). Подставив (13) в выражение (12), получим
ei(t) = ~aiei(t) -П -i(t), (14)
где П-1(t) = Ui-i(t) - Ui-1(t).
Шаг n. Рассмотрим функцию en(t) = vn(t) _ Un _ 1(t). Принимая во внимание уравнение (7) и дифференцируя en(t), получаем
en (t) = ~knv1(t) + u(t) - Un-1(t) . (1 5)
Сформируем закон управления
u(t) = ~anen (t) + knv1(t) + Un-1(t) , (1 6)
где an > 0 — коэффициент, выбираемый разработчиком, Un-i(t) — оценка функции Un-i(t), с учетом которого перепишем выражение (15):
en (t) = ~anen (t) -nn-1(t), (17)
где Пп -1(t) = Un -1(t) - Un -1(t) .
Для оценки производных UJi-i(t), i = 2, n, воспользуемся следующими наблюдателями
Ui-1(t) = -H"iUi-1(t) + \!-1Ui-1(t) , i = 2 n . (18)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
176
И. Б. Фуртат, Е. А. Тупичин
Утверждение. Пусть выполнены предположения 1—4. Тогда существуют константы аг- > 0, i = 1, n, и ц0 > 0, такие что для ц < ц0 система управления (7), (10), (13), (16), (18) обеспечивает выполнение целевого условия (2) для объекта (1).
Доказательство утверждения аналогично приведенному в работах [6—9].
Пример. Рассмотрим модель объекта управления:
x1(t) = ^1 Sin ( x1 (t)) + ^2 x2 (t) - ^2x3 (t),
x2 (t) = ^3x1(t) + ^4 sin (x3(t)) + (1 + x2 (t)) ((t(
X3 (t) = ^5X1 (t) - x| (t) + (1 + xf (t) ) )(t) + x2
+x2(t)+x33(t)), (t) + x33(t) ),
(19)
У(t) = x(t )1.
Множество S задано неравенствами 1 < & < 5, i = 1,5.
Цель управления — синтез непрерывного закона управления, обеспечивающего выполнение условие (2).
Выберем k1 = 3, k2 = 3, k3 = 1 и зададим фильтр (7) в следующем виде:
v1(t) "-3 1 0" v1(t) "0“
v2(t) = -3 0 1 v2(t) + 0
_ v3(t) _ -1 0 0 _ v3(t) _ 1
Положим а1 = 1,2, а2 = а3 = 110 и ц = 0,01. Для вспомогательных законов управления U1(t), U2(t) и основного закона управления u(t) запишем:
U1(t) = -120e1(t) + 3v1(t), U2(t) = -110e2(t) + 3v1(t) + U1(t);
u(t) = -110e3(t) + v1(t) + U2(t),
где e1(t) = y(t) -yм(t), e2(t) = V2(t) - U1(t), e3(t) = v3(t) - U2(t).
Определим наблюдатели (18) в виде
U1(t) = ■
-U1(t), U2(t) = ■
-U2{t).
0,01^ + 1 0,01^ +1
Все начальные условия в системе управления — нулевые. Параметры модели (19) определены как ^1 = ^4 = 1,2, ^2 = ^3 = ^5 = 4,5, x(0) = [0,9 0,8 0,9] . Результаты моделирования переходных процессов по выходному (y(t)) и эталонному (ум(0) сигналам управления представлены на рисунке.
Анализ результатов моделирования показал, что параметрическая неопределенность компенсируется системой управления с точностью 5 = 0,01 по истечении 8 с. По сравнению с алгоритмами, рассмотренными в работах [11, 12], для обеспечения подобных переходных процессов по ошибке слежения требуется меньшая амплитуда управляющего сигнала.
Заключение. Предложенный алгоритм слежения выходного сигнала нелинейного объекта управления за эталонным сигналом в условиях параметрической неопределенности
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
Упрощенный алгоритм бэкстеппинга
177
построен на базе новой версии метода бэкстеппинга, предложенного в работе [6]. Полученная система управления содержит всего один фильтр размерности, равной размерности модели объекта, а для реализации производных в законах управления используются реальные дифференцирующие звенья. Это позволяет упростить расчет и реализацию системы управления за счет уменьшения ее динамического порядка и сокращения количества слагаемых в законах управления по сравнению с известными аналогами.
Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 13-08-01014), Минобрнауки РФ (проект 14.Z50.31.0031), Правительства РФ (грант 074-U01) и программы ОММПУ-14 РАН; результаты, приведенные в разделе „Метод решения“, получены при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-29-00142) в ИПМаш РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kanellakopoulos I., Kokotovic P. V., Morse A. S. Systematic design of adaptive controllers for feedback linearezable systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1991. Vol. 36. P. 1241—1253.
2. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003.
3. KhalilH. K. Nonlinear Systems. N. Y.: Prentice Hall, 2002.
4. Zheng Y., Yang Y. Adaptive output feedback control for class of nonlinear systems with unknown virtual control coefficients signs // Adaptive Control and Signal Processing. 2007. Vol. 21, N 1. P. 77—89.
5. Tanner H. G., KyriakopoulosK. J. Backstepping for nonsmooth systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 1259— 1265.
6. Фуртат И. Б. Модифицированный алгоритм обратного обхода интегратора // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 10. С. 2—7.
7. Furtat I. B., Tupichin E. A. Modified simple adaptive-robust backstepping algorithm // Proc. of the 19th Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR 2014), Mi^dzyzdroje, Poland. 2014. P. 183—188.
8. Furtat I. B., Tupichin E. A. Modified robust backstepping algorithm for plants with time delay // Proc. of the 6th Intern. Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), St. Petersburg, Russia. 2014. P. 541—545.
9. Furtat I. B., Tupichin E. A. Control of nonlinear plant based on modified robust backstepping algorithm // Proc. of IEEE Intern. Conf. on Control Applications (CCA), Antibes, France. 2014. P. 941—946.
10. Цыкунов А. М. Робастное управление с компенсацией возмущений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.
11. Фуртат И. Б., Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с запаздыванием по выходу // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 7. С. 15—19.
12. Фуртат И. Б. Робастное субоптимальное управление линейными нестационарными объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 7. С. 7—12.
Сведения об авторах
— д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра систем управления и информатики, профессор; ИПМаш РАН, лаборатория управления сложными системами, ведущий научный сотрудник; СПбГУ, кафедра прикладной кибернетики, ведущий научный сотрудник; E-mail: cainenash@mail.ru
— аспирант; Университет ИТМО, кафедра систем управления и информатики; E-mail: tupichin@mail.ru
Поступила в редакцию 05.11.14 г.
ИПМаш РАН
Игорь Борисович Фуртат
Евгений Александрович Тупичин
Рекомендована лабораторией управления сложными системами
Ссылка для цитирования: Фуртат И. Б., Тупичин Е. А. Упрощенный алгоритм бэкстеппинга для управления нелинейными системами // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 3. С. 173—178.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
178
И. Б. Фуртат, Е. А. Тупичин
SIMPLIFIED BACKSTEPPING ALGORITHM FOR CONTROL OF NONLINEAR SYSTEMS
I. B. Furtat1, E. A. Tupichin2
1ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia Institute of Problems of Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences,
199178, Saint Petersburg, Russia
Saint Petersburg State University, 199034, Saint Petersburg, Russia E-mail: cainenash@mail.ru
2ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia
An algorithm based on the modified backstepping method is proposed for robust control of parametrically uncertain nonlinear plants. Simulation results illustrate the performance of the presented scheme.
Keywords: robust control, backstepping method, nonlinear system.
Data on authors
Dr. Sci., Professor; ITMO University, Department of Control Systems and Informatics; IPME RAS, Laboratory Control of Complex Systems; Saint Petersburg State University, Department of Applied Cybernetics;
E-mail: cainenash@mail.ru
Post-Graduate Student; ITMO University; Department of Control Systems and Informatics; E-mail: tupichin@mail.ru
Reference for citation: Furtat I. B., Tupichin E. A. Simplified backstepping algorithm for control of nonlinear systems // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 3. P. 173—178 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-3-173-178
Igor B. Furtat
Evgeny A. Tupichin
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 3
