CC BY
32
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-29-37
УПРОЩЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ О ВДАВЛИВАНИИ КОНИЧЕСКОГО ШТАМПА В ПОЛУПРОСТРАНСТВО С ПОКРЫТИЕМ*
© 2020 г. А.С. Васильев1, С.С. Волков1, Е.В. Садырин1, Е.А. Кисляков1, С.М. Айзикович1
1Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
SIMPLE EXPLICIT ANALYTICAL SOLUTION FOR INDENTATION OF A HALF-SPACE WITH A COATING BY A CONICAL PUNCH
A.S. Vasiliev1, S.S. Volkov1, E.V. Sadyrin1, E.A. Kislyakov1, S.M. Aizikovich1
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Васильев Андрей Сергеевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Научно-образовательный центр «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: andre.vasiliev@gmail. com
Волков Сергей Сергеевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Научно-образовательный центр «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: fenix_rsu@mail.ru
Садырин Евгений Валерьевич - младший научный сотрудник, Научно-образовательный центр «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: ghostwoode@gmail.com
Кисляков Евгений Анатольевич - инженер, Научно-образовательный центр «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: evgenka_95@mail.ru
Айзикович Сергей Михайлович - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий лабораторией функционально-градиентных и композиционных материалов, Научно-образовательный центр «Материалы», Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, корп. 2, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: saizikovich@gmail.com
Andrei S. Vasiliev - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Research and Education Center "Materials", Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Build 2, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: andre.va-siliev@gmail.com
Sergei S. Volkov - Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, Research and Education Center "Materials", Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Build 2, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: fenix_rsu@mail.ru
Evgeniy V. Sadyrin - Junior Researcher, Research and Education Center "Materials", Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Build 2, Rostov-on-Don, Russia, 344000, email: ghostwoode@gmail.com
Evgeniy A. Kislyakov - Engineer, Research and Education Center "Materials", Don State Technical University, Ga-garina Sq., 1, Build 2, Rostov-on-Don, 344000, Russia, email: evgenka_95@mail.ru
Sergei M. Aizikovich - Doctor of Physics and Mathematics, Senior Researcher, Head of the Laboratory of Functionally Graded and Composite Materials, Research and Education Center "Materials", Don State Technical University, Ga-garina Sq., 1, Build 2, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: saizikovich@gmail. com
Построено приближенное решение контактной задачи о вдавливании конического штампа в упругое изотропное полупространство с покрытием. Решение применимо для случаев как однородных (упругие модули постоянны), так и многослойных и функционально-градиентных покрытий (упругие модули изменяются с глубиной). Решение задачи получено с помощью двухстороннего асимптотического метода в аналитическом виде. Аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения найдена в виде отношения двух квадратичных функций и содержит всего один параметр, что позволило получить явные аналитические выражения для распределения контактных напряжений и зависимости сила - осадка в упрощенном виде, удобном для инженерных расчетов. Таким образом, схема построе-
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 20-07-00637-а, 18-07-01177-а). С.С. Волков поддержан Стипендией Президента РФ СП-3615.2018.1. Е.В. Садырин поддержан Стипендией Президента РФ СП-3672.2018.1.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
ния приближенного аналитического решения существенно упрощается по сравнению с общим случаем, в котором используется произведение дробно-квадратичных функций. Проанализировано влияние параметра, характеризующего относительный модуль Юнга покрытия, на характеристики контактного взаимодействия. Исследована точность полученного решения в зависимости от отношения модулей упругости покрытия и подложки на примере серии однородных покрытий. Особое внимание уделено анализу жесткости индентирования как наиболее важной характеристике, использующейся на практике при анализе эксперимента по индентированию. Результаты работы могут быть применены для описания эксперимента по наноиндентированию материалов с покрытиями коническим индентором и индентором Берковича.
Ключевые слова: контактная задача, индентирование, покрытия, аналитические решение, упрощенные решения, конический индентор.
The present paper is devoted to the construction of the approximate solution of the contact problem on a conical punch indentation into an elastic isotropic half-space with coating. The solution is suitable for both homogeneous (when elastic moduli are constant) and multilayered or functionally-graded coatings (when elastic moduli change with depth). The solution was obtained using the bilateral asymptotic method in the analytical form. The kernel transform approximation was obtained as the ratio of two quadratic functions and contains only one parameter. Thus, the scheme of the approximate analytical solution was constructed in a significantly simplified manner in comparison with the general case in which the product of fractional-quadratic functions is used. Such an approach allowed us to obtain explicit analytical expressions for the distribution of contact stresses and the force-displacement dependences in a simplified form, convenient for engineering calculations. The influence of the parameter characterizing the relative Young's modulus of the coating on the characteristics of contact interaction was analyzed. The accuracy of the obtained solution was studied depending on the ratio of the elastic moduli of the coating and the substrate using a series of homogeneous coatings as an example. Particular attention was paid to the investigation of the indentation stiffness - the most important characteristic used in experimental researches. The results of the work can be used to describe an experiment on nanoindentation of materials with coatings using either a conical or a Berkovich indenter.
Keywords: contact problem, indentation, coatings, analytical solutions, simplified solutions, conical indenter.
Введение
Модификация исходной поверхности изделий путём нанесения на них покрытий позволяет расширить сферу их применения. Становится возможным придать изделию повышенную стойкость к абразивному износу или коррозии [1], увеличить прочностные характеристики [2] или сделать материал биосовместимым [3, 4]. На практике для исследования механических характеристик покрытий как в лабораторных условиях, так и для нужд промышленности применяется наноидентирование (совокупность методов, использующих локальное прецизионное силовое воздействие на материал и одновременную регистрацию деформационных откликов с нанометровым разрешением [5]).
Большинство современных установок для нано-индентирования снабжены программным обеспечением, позволяющим интерпретировать результаты эксперимента. В основе этого программного обеспечения лежат методы, базирующиеся на математических моделях, использующих решения классических контактных задач для изотропных однородных материалов. Так, Oliver и Pharr предложили [6], а затем модернизировали [7] метод расчёта твёрдости индентирования (твёрдости по Мейеру) и модуля Юнга однородных материалов, используя решение Снеддона для осесимметричного индентора [8]. Данный метод лежит в основе стандартов по измерению механических свойств материалов [9, 10].
Эти методы позволяют определить упругие модули объемных материалов, в ряде случаев - упругие свойства покрытий. Для этого рекомендуется проводить индентирование на глубину, не превышающую 10 % от толщины покрытия [11]. Однако эти методы могут принципиально занизить или завысить искомые значения характеристик при достаточно большом различии модулей упругости покрытия и подложки. Также следует учитывать, что при исследовании тонких покрытий рекомендуемая глубина внедрения индентора может оказаться сопоставимой с высотой дефектов или шероховатости, что влечёт за собой высокие погрешности измерений и некорректно полученные результаты.
Для изучения свойств таких покрытий, а также тонких плёнок и однородных покрытий в случае значительного отличия свойств покрытия и подложки необходимо прибегать к методам, в основе которых лежат математические модели, использующие решения контактных задач для тел с покрытиями. Чаще всего исследование таких задач сводится к решению сингулярных интегральных уравнений различными методами: регулярным [12], сингулярным [13], асимптотическим, ортогональных многочленов [14], коллокаций [15, 16], двухсторонним асимптотическим [17]. Для решения контактных задач используются также и прямые численные методы, такие как метод конечных элементов [18].
В основе двухстороннего асимптотического метода лежит идея многопараметрической аппрокси-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
мации трансформанты ядра интегрального уравнения отношением двух полиномов четных степеней. Данный метод позволяет получить решение, эффективное для покрытий любой толщины в аналитическом виде [19, 20].
Однако построение многопараметрической аппроксимации на практике требует проведения затратных численных расчетов и постоянного контроля их точности, что может вызывать трудности при проведении инженерных исследований.
Настоящая статья посвящена построению решения контактной задачи о вдавливании конического индентора с помощью двухстороннего асимптотического метода с использованием однопараметри-ческой аппроксимации. Такой подход позволяет получить приближенное решение задачи в явном аналитическом виде, при этом максимально упростить схему численных вычислений. Работа продолжает начатые авторами ранее исследования, посвященные разработке упрощенных решений контактных задач о вдавливании [21, 22].
Постановка задачи
Недеформируемый индентор конической формы с углом раствора при вершине 2а вдавливается в поверхность упругого полупространства с покрытием толщиной Н. С полупространством связана цилиндрическая система координат г, ф^; ось z нормальна поверхности покрытия z=0 и проходит через центр индентора. Под действием нормально приложенной силы P штамп перемещается в поверхность покрытия на глубину 5, при этом радиус области контакта равен a. Силы трения между ин-дентором и полупространством предполагаются отсутствующими.
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полупространства изменяются с глубиной по непрерывно дифференцируемым независимым друг от друга законам:
{E,v} =
{E(c)(z) ,v(c)(z)} , - H < z < 0;
{E
(s) ((s) _
= const}, - œ < z < -H.
Здесь и далее индекс (е) соответствует покрытию, (5) - подложке.
Граничные условия на поверхности полупространства имеют вид
\а2 = 0, г > 1,
г = 0: т2 = 0, \ 2
ш = - 5 + г%, г < 1.
Считаем, что на интерфейсе покрытие - подложка ^ = —Н) выполнены условия идеального сцепления:
Г(с) = гм, = -(с) = им
2Г 2Г > 2 2 ' '
Выше использованы обозначения: г = г'/а — безразмерная координата; % = — глубина
контакта; тг2 и а2 — компоненты тензора напряжений; и, ^ — смещения вдоль осей г и z.
Требуется найти распределение контактных
давлений под штампом <г2|2=о =— р(г), г < 1, и
связь между силой, осадкой индентора и радиусом области контакта. Считаем, что края индентора не врезаются в поверхность покрытия и на краю области контакта выполнено условие непрерывности контактных напряжений: ^(1)=0. Напряжения и перемещения затухают при г ^ ж и 2 ^ —ж.
Решение задачи
Используя технику интегральных преобразований, рассматриваемую задачу сводим к решению следующего интегрального уравнения [19]:
}р(?1L(u)J0(uг^ )йи =
о о
= Ш{£ (5 — гх)/{2а), г < 1.
Здесь е^ = е(0)/(1 — у2(0)) — эффективный упругий модуль, характеризующий поверхность покрытия; ¿(и) — трансформанта ядра интегрального уравнения; Я=Н/а — безразмерная толщина покрытия.
Для решения интегрального уравнения используем приближенный аналитический метод [17], позволяющий получить решение контактной задачи, эффективное во всем диапазоне геометрического параметра задачи Я. Для этой цели аппроксимируем функцию ¿(и) выражением N и2 + Л2
L(u) * LN (и) = Ц-2—Дг-, 4, В1 е С. I=1и 2 + В-
Распределение контактных давлений и вдавливающая сила имеют вид [19]
р(г) = Е|) ^ агссЬ ^1 (1)
£ (сС^ (г, А^ )+ЯД (г, ДХ1))!,
+
(si
_ паЕ^/х
+
(i+^gK^-ish е)]+
где Z{„}(,, A) = } d,,
Г Vi2 - r2
Ef = E(s)/(l -(v(s) J) .
i=1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Постоянные C, и Dh (i=l,...N) определяются из решения следующей системы линейных алгебраи-
Введем параметр
ß=Е(с)
ef
характеризу-
ческих уравнении:
N D N
,=1 A2 - B2 A ch
= B-2,
k = 1,..,N,
ющии относительные упругие свойства покрытия/подложки. Выражения (1)-(3), (6) в случае N=1 могут быть существенно упрощены:
N
NC
i=1
(ATI+B sh
(aäH .
P W = i^iarcch(i) + ( ß - )X
Af - Bk
(7)
N
=B-1 -NA-B ch
A-r1 )+ A, sh(AiÄ~1 )
k = 1,..,N.
,=1 А? - В2
Связь между глубиной внедрения штампа и радиусом области контакта определяется выражением 7zactg(<x)
/ ( (1 -с h Q4À- 1 ))Vß- sh Q4A- 1 )) X ( (с h G4A- 1 )+Tßs h G4A- 1 ) ) s
('■Э^Н)
S =
2
1 +
N
+<* (^)+ А М^1)]].
! = 1 А )
Аппроксимацию трансформанты ядра будем строить таким образом, чтобы выполнялись равенства Ь^0)=Ь(0),
Ц0)= / Е%).
Для оценки влияния покрытия на перераспределение контактных напряжений, вдавливающую силу и глубину внедрения введем безразмерные величины:
(3) 50 =
р0 = 1 + б0 = 1 +
2A2 (ß - 1 - 1) (ch Q4A- 1 ) - 1)(лУр+1 ) A2(chG4A- 1)+7ßsh(AA- : A(ß- 1 - 1) (ch Q4A- Ч - l)Vß Л(с h G4A- ^+Tßsh UA- ^ ) ,
(8)
А 2 (ch{ АЛГ1 ) + v'7? bh( АЛ'1)) 1+ 2Â2(j3~' -l|ch(AÀ~1)-i\aJ]3 +l)
j i(A[ch(AÄ']) + ^fßsh(AÄ-1)} L^-'-lJ^chÎ^-'ï-lJ m 1
P
Po (r) = -—, Po (r ) = ■
P
hom
Выражения
mE(s)
P(r )
i(r )
Pho
So (Г) =
S
S
(4)
hom
P = 1 hom
о _
Shom =
f x
2
^actg(a)
E(s) ( \
Phom(r) = -arch| -
2 a V r
2
описывают аналогичные величины для однородного полупространства с упругими свойствами, соответствующими свойствам подложки.
На практике для анализа эксперимента по инден-тированию часто используется функция жесткости индентирования, которая определяется выражением S=dP/dд [6]. Из (2) с учетом (4) и (5) получим
(6)
Формулы (1)-(3), (6)-(8) являются асимптотически точными для больших и малых значений геометрического параметра задачи X [17]. Для средних значений X погрешность решения зависит от точности аппроксимации трансформанты ядра.
Численные результаты
Пусть модуль Юнга подложки равен некоторому значению Е0, а коэффициент Пуассона покрытия и подложки равен 0,33. Рассмотрим набор однородных покрытий, для которых /9=0,1; 0,2; 0,5; 2; 5 и 10. Для них построены аппроксимации однопа-раметрические с погрешностью, не превышающей 18,4; 11,8; 4,2; 4,3; 12,6 и 20,7 % соответственно, и многопараметрические с погрешностью, не превышающей 0,2 % (число членов многопараметрических аппроксимаций лежит в диапазоне 17<N<21). Погрешность аппроксимаций вычислялась по формуле А ь (и ) = |1 % ("}|
(5)
L(u)
l о о %.
s = 2aEffs0(Ä) , so = ро(я)
50Ш
Эта величина находится из эксперимента по ин-дентированию (угол наклона касательной к кривой разгрузки в точке, соответствующей максимальному значению нагрузки).
Рассмотрим случай N= 1.
с = А2 - В
c =
Bz
(a2 - b2 ) (b - b ch (ar-1 )- a sh((ar ' )) b2 (a ch (аГ1 )+ b sh(ar 1 ))
На рис. 1а - в изображены графики безразмерной силы, жесткости и глубины индентирования Р0, S0, 50 в зависимости от параметра X. Они позволяют нам понять, во-первых, как именно наличие покрытия влияет на силу, жесткость и глубину инденти-рования и, во-вторых, оценить погрешность упрощенных формул. Видно, что сила и жесткость индентирования для малых и больших значений X отличаются в в раз, что, очевидно, следует из того факта, что предельные случаи Х^-0 и Х^да описывают полупространство без покрытия со свойствами, соответствующими подложке и поверхности покрытия соответственно.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
1.01
0.1 Ä,
а / a
ß=0,2
ß=0.5
ß=2
ß=5
10
0.1
10
100
б / b
p=o.iL\
f n / 4 ïi il m
Чй in ßh- Ю.5 у
0.001 0.01 0.1
À I
в / c
10
100 1000
Рис. 1. а - вдавливающая сила; б - жесткость индентирования; в - глубина индентирования для покрытий в зависимости от параметра X при V=1 (сплошная линия) и V>>1 (пунктирная линия) / Fig. 1. a - indentation force; b - indentation stiffness; c - indentation depth for coatings when V=1 (solid line) and V>>1 (dashed line)
Графики позволяют оценить диапазон значений параметра Я, при котором наблюдается существенное влияние покрытия на данные величины. Например, при в=10 наличие покрытия существенно влияет на жесткость индентирования в диапазоне 0,01<Я<10,00. Чем больше значение в отличается от 1, тем этот диапазон шире. Для в>1 (при увеличении в) этот диапазон расширяется в сторону меньших значений Я. Для в<1 (при уменьшении в) -в сторону больших значений Я. Из этого факта, в частности, следует, что при измерении модуля Юнга покрытия в случае, когда он существенно (на порядок и более) меньше модуля упругости подложки, стандартная рекомендация - проводить ин-дентирование на глубину, не превышающую 10 % толщины покрытия [11], - может оказаться неточной и глубину индентирования следует брать существенно меньше.
По графикам на рис. 1в можно оценить значение безразмерной глубины внедрения, соответствующей тому или иному значению Я. Отношение упругих модулей покрытия и подложки влияет на глубину внедрения значительно в меньшей степени, чем на силу и жесткость. Так, например, при отличии упругих модулей в 10 раз глубина индентиро-вания максимум отличается в 2 раза.
Для анализа точности проведем сравнение результатов, полученных с помощью упрощенных формул (8) и максимально точных аппроксимаций трансформанты ядра. Рассмотрим относительные величины, характеризующие погрешность упрощенных формул
х 1 0 0 %.
(9)
В таблице даны значения погрешностей однопа-раметрической и многопараметрической аппроксимаций, а также максимальных погрешностей упрощенных формул для силы, жесткости и глубины индентирования, рассчитанные по формуле (9). Из таблицы видно, что погрешности аппроксимации трансформанты ядра при N=1 и упрощенных формул при расчете однородных покрытий являются величинами одного порядка малости. Максимальная погрешность упрощенной формулы для Р составляет 0,71-0,95 % от погрешности трансформанты ядра, для 5 - 0,41-0,87, для 5 - 0,3-0,52 %.
На рис. 2 изображены графики погрешности упрощенных формул (8) в зависимости от параметра X. Они позволяют определить диапазоны значений параметра X, в которых сосредоточена погрешность. В частности, видно, что погрешность имеет три пика. Важно заметить, что эти диапазоны зависят от способа подбора коэффициентов аппроксимации. Максимальная погрешность (которая отражена в таблице) наблюдается в очень узком диапазоне значений X.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
20i
15.5
V/o
10-
.v
О
— ..... P=0 1 3 0.2 3=0.5
: :
' \ J: Л if W H
20-
15.5
V/o
10
mA o.ooi o.oi o.i i
p=10 P 5 p=2
/ 1
vrl; |Л
10 x 100
10"4 0.001 0.01 0.1
10 A. 100
а / a
10
7.5
2.5
о-
— ..... .... 3=0.1 3=0.2 3=0.5
Ii H
/л Г / ,* * Ф * 1 ' 31 » j ■ : 1 / v Ik f\ :f Ttrt rt V
20-
15.5-
10
— ..... .... [3=10 3 5 |3=2
- .J.'JT** / t" / / I ; \\ L'NtoJ
10" 0.001 O.Ol 0.1
10 X 100
КГ 0.001 0.01 0.1
10 X 100
б / b
в / с
Рис. 2. Погрешность упрощенного выражения при в=0,1, 0,2, 0,5 (слева) и в=2, 5 и 10 (справа): а - для вдавливающей силы; б - для жесткости индентирования; в - для глубины индентирования / Fig. 2. The error of the simplified formula when в=0,1, 0,2, 0,5 (left); в=2, 5 and 10 (right): a - for the pressing force; b - for the indentation stiffness; c - for the indentation depth
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Сравнение погрешностей аппроксимации трансформанты и упрощенных формул для силы, жесткости и глубины индентирования / Comparison of the approximation errors of the transform and of the simplified formulas
for the force, stiffness and indentation depth
ß Погрешность аппроксимации трансформанты ядра Максимальные погрешности упрощенных формул
Многопараметрическая N » 1 Однопараметрическая N = 1 max ДР я г тахДс я л max Дя я 0
0,1 0,15 18,6 16,21 9,83 9,64
0,2 0,10 11,8 8,77 5,11 5,28
0,5 0,05 4,24 2,39 1,73 1,50
2,0 0,05 4,30 3,46 3,13 1,61
5,0 0,11 12,6 10,95 9,95 4,18
10,0 0,20 20,7 19,76 18,00 6,14
Заключение
В статье получены упрощенные аналитические выражения, описывающие решение контактной задачи о вдавливании конического штампа в полупространство с покрытием. На примере ряда однородных покрытий показано, в каких диапазонах значений параметра задачи X наличие покрытия существенно изменяет решение задачи по сравнению с классическим решением для однородного полупространства без покрытия. Максимальная погрешность упрощенных формул, описывающих наиболее важные для приложений характеристики упругого контакта (сила, жесткость и глубина индентирования), для всех рассмотренных покрытий не превышает погрешности аппроксимации трансформанты ядра. Проиллюстрированы диапазоны значений параметра X, в которых погрешность максимальна. Из результатов статьи следует, что во многих случаях для моделирования вдавливания образца с покрытием упрощенные решения позволяют получить высокую точность результатов. При этом на практике их использование позволяет существенно упростить расчеты и анализ результатов.
Литература
1. Белоус В.А., Леонов С.А., Носов Г.И., Хороших В.М., Ломино Н.С., Толмачева Г.Н., Бровина М.А., Ермоленко И.Г.Модификация поверхности сплава Э110 осаждением многослойных Zr/ZrN покрытий и ионным облучением // Фiзична iнженерiя поверхш. 2009. Т. 7, № 1-2. С. 76-81.
2. Погребняк А.Д., Тюрин Ю.Н. Импульсно-плазмен-ная модификация свойств поверхности и нанесение покрытий // Успехи физики металлов. 2003. Т. 4. С. 1-66.
3. Мейснер Л.Л., Никонова И.В., Лотков А.И., Раздорский В.В., Котенко М.В. Влияние ионно- и электронно-лучевой модификации поверхности на коррозионные свойства и биосовместимость никелида титана в экспериментах in vivo // Перспективные материалы. 2008. Т. 3. С. 15-27.
4. Mandracci P., Mussano F., Rivolo P., Carossa S. Surface treatments and functional coatings for biocompatibil-ity improvement and bacterial adhesion reduction in dental implantology // Coatings. 2016. Vol. 6, № 1. Р. 1-22.
5. Головин Ю.И. Наноиндентирование и его возможности: учеб. пособие. М.: Машиностроение, 2009. 311 с.
6. Oliver W.C., Pharr G.M. An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments // J. of Materials Research. 1992. Vol. 7, № 6. Р. 1564-1583.
7. Oliver W.C., Pharr G.M. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology // J. of Materials Research. 2004. Vol. 19, № 1. Р. 3-20.
8. Sneddon I.N. The relation between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile // International J. of Engineering Science. 1965. Vol. 3, № 1. Р. 47-57.
9. ISO 14577-1:2015. Metallic materials - Instrumented indentation test for hardness and materials parameters. Part 1: Test method. Brussels, 2015.
10. ГОСТ Р 8.748-2011. Металлы и сплавы. Измерение твердости и других характеристик материалов при инструментальном индентировании. Ч. 1: Метод испытаний. М., 2013.
11. Buckle H. The science of hardness testing and its research applications // American Society for Metals. 1973. 520 p.
12. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 3. С. 445-455.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
13. Александров В.М.Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя // ПММ. 1969. Т. 33. С. 61-73.
14. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1969. Т. 33, вып. 3. С. 518-531.
15. Ke L.L., Wang Y.S. Two-dimensional contact mechanics of functionally graded materials with arbitrary spatial variations of material properties // International J. of Solids and Structures. 2006. Vol. 43, № 18-19. Р. 5779-5798.
16. Guler M.A., Erdogan F. Contact mechanics of two deformable elastic solids with graded coatings // Mechanics of Materials. 2006. Vol. 38, № 7. Р. 633-647.
17.Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений // ПММ. 1990. Т. 54. С. 872-877.
18. Wang L., Rokhlin S.I. Universal scaling functions for continuous stiffness nanoindentation with sharp in-denters // International J. of Solids and Structures. 2005. Vol. 42, № 13. Р. 3807-3832.
19.Айзикович С.М., Васильев А.С., Волков С.С. Осесимметричная контактная задача о вдавливании конического штампа в полупространство с неоднородным по глубине покрытием // ПММ. 2015. Т. 79, вып. 5. С. 710-716.
20. VasilievA.S., VolkovS.S., BelovAA., LitvinchukS.Yu., Aizikovich S.M. Indentation of a hard transversely iso-tropic functionally graded coating by a conical indenter // International J. of Engineering Science. 2017. Vol. 112. Р. 63-75.
21. Sadyrin E.V., Vasiliev A.S., Volkov S.S., Mitrin B.I., Aizikovich S.M. Simplified analytical solution of the contact problem on indentation of a coated half-space by a spherical punch // WIT Transactions on Engineering Sciences. 2019. Vol. 122. Р. 209-221.
22. Vasiliev A.S., Sadyrin E.V., Volkov S.S., Kislya-kov E.A., Sevostianov I. Construction of the simplified analytical solution of the flat punch indentation contact problem // AIP Conference Proceedings. Melville: AIP Publishing LLC, 2019. P. 040017.
References
1. Belous V.A., Leonov S.A., Nosov G.I., Khoro-shikh V.M., Lomino N.S., Tolmacheva G.N., Brovina M.A., Ermolenko I.G. (2009). Surface modification of the E110 alloy by deposition of multilayer Zr / ZrN coatings and ion irradiation. Fizichna inzheneriya poverkhni, vol. 7, no. 1-2, pp. 76-81. (in Russian).
2. Pogrebnyak A.D., Tyurin Yu.N. (2003). Pulseplasma modification of surface properties and coating. Uspekhi fiziki metallov, vol. 4, pp. 1-66. (in Russian).
3. Meisner L.L., Nikonova I.V., Lotkov A.I., Razdorsky V.V., Kotenko M.V. (2008). The effect of ion and electron beam surface modifications on the corrosion properties and biocompatibility of titanium nickelide in in vivo experiments. Perspektivnye materialy, vol. 3, pp. 1527. (in Russian).
4. Mandracci P., Mussano F., Rivolo P., Carossa S. (2016). Surface treatments and functional coatings for biocompatibility improvement and bacterial adhesion reduction in dental implantology. Coatings, vol. 6, no 1, pp. 1-22.
5. Golovin Yu.I. (2009). Nanoindentation and its capabilities. Tutorial. Moscow, Mashinostroenie Publ., 311 p. (in Russian).
6. Oliver W.C., Pharr G.M. (1992). An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments. Journal of Materials Research, vol. 7, no. 6, pp. 1564-1583.
7. Oliver W.C., Pharr G.M. (2004). Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology. Journal of Materials Research, vol. 19, no. 1, pp. 3-20.
8. Sneddon I.N. (1965). The relation between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile. International Journal of Engineering Science, vol. 3, no. 1, pp. 47-57.
9. ISO 14577-1:2015. Metallic materials - Instrumented indentation test for hardness and materials parameters. Part 1: Test method. Brussels, 2015.
10. GOSTR 8.748-2011. Metals and alloys. Measurement of hardness and other characteristics of materials during instrumental indentation. (2013). Part 1. Test method. Moscow. (in Russian).
11. Buckle H. (1973). The science of hardness testing and its research applications. American Society for Metals, 520 p.
12. Vorovich I.I., Ustinov Yu.A. (1959). On the pressure of a stamp on a layer of finite thickness. PMM, vol. 23, no. 3, pp. 445-455. (in Russian).
13. Alexandrov V.M. (1969). Asymptotic solution of the contact problem for a thin elastic layer. PMM, vol. 33, pp. 61-73. (in Russian).
14. Popov G.Ya. (1969). On the method of orthogonal polynomials in contact problems of the theory of elasticity. PMM, vol. 33, no. 3, pp. 518-531. (in Russian).
15. Ke L.L., Wang Y.S. (2006). Two-dimensional contact mechanics of functionally graded materials with arbitrary spatial variations of material properties. International Journal of Solids and Structures, vol. 43, no. 1819, pp. 5779-5798.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
16. Guler M.A., Erdogan F. (2006). Contact mechanics of two deformable elastic solids with graded coatings. Mechanics of Materials, vol. 38, no. 7, pp. 633-647.
17. Aizikovich S.M. (1990). An asymptotic solution of a class of coupled equations. PMM, vol. 54, no. 5, pp. 719-724. (in Russian).
18. Wang L., Rokhlin S.I. (2005). Universal scaling functions for continuous stiffness nanoindentation with sharp indenters. International Journal of Solids and Structures, vol. 42, no. 13, pp. 3807-3832.
19. Aizikovich S.M., Vasil'ev A.S., Volkov S.S. (2015). The axisymmetric contact problem of the indentation of a conical punch into a half-space with a coating inhomogeneous in depth. PMM, vol. 79, no. 5, pp. 500505. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
20. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Belov A.A., Litvin-chuk S.Yu., Aizikovich S.M. (2017). Indentation of a hard transversely isotropic functionally graded coating by a conical indenter. International Journal of Engineering Science, vol. 112, pp. 63-75.
21. Sadyrin E.V., Vasiliev A.S., Volkov S.S., Mitrin B.I., Aizikovich S.M. (2019). Simplified analytical solution of the contact problem on indentation of a coated half-space by a spherical punch. WIT Transactions on Engineering Sciences, vol. 122, pp. 209-221.
22. Vasiliev A.S., Sadyrin E.V., Volkov S.S., Kislya-kov E.A., Sevostianov I. (2019). Construction of the simplified analytical solution of the flat punch indentation contact problem. AIP Conference Proceedings. Melville, AIP Publ. LLC, p. 040017.
10 апреля 2020 г. /April 10, 2020
