CC BY
31
УДК 66.087.97
УПРОЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ МАССО- И ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЭЛЕКТРОАНАЛИЗ НОЙ УСТАНОВКЕ С ЗАМКНУТОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕИ РАСТВОРОВ
© В.Б. Коробов, С.В. Мукин
Korobov V.B., Mukin S.V. Simplified Mathematical Model of the Kinetics of Mass and Heat Transfer in Electrodialysis with Closed Circulation of Solutions. A mathematical model of the kinetics of mass and heat transfer at electrodialysis desalination-concentration of multicomponent solutions of electrolytes in an installation with closed circulation of solutions are developed. The mathematical model allows to calculate concentrations and temperatures of solutions on entrance and exit of a multipacket electrodialysis apparatus at any moment. Experimental and calculative data are compared. The comparison shows a satisfactory fit.
Одним из методов достижения высокой степени обессоливания-концентрирования при электродиализе является работа электродиализ-ной установки в режиме с замкнутой циркуляцией растворов как по трактам диализата, так и по трактам концентрата. Схема такой установки приведена на рис. 1.
Установка включает промежуточные емкости диализата и концентрата 1, 2, насосы 3 и эле ктро диализатор 4, который состоит из т пакетов (или пар камер). В работах [1, 2] приведено математическое описание кинетики процессов массо- и теплопереноса в подобного рода установках, однако в этих работах оно (математическое описание) достаточно громоздко и имеются трудности при его численной реализации. В данной статье предлагается упрощенная математическая модель, которая разработана с некоторыми дополнительными допущениями по сравнению со сделанными в работах [1, 2]. Перечислим все эти допущения: 1) конвективный перенос вещества (как растворенного, так и растворителя) через мембраны отсутствует; 2) при движении растворов в камерах аппарата в продольном направлении соблюдается режим идеального вытеснения, а в поперечном - идеального смешения; 3) в коллекторах электродиализатора осуществляется режим идеального смешения; 4) в установке обеспечивается постоянная подача растворов; 5) концентрация и температура исходных растворов в емкостях постоянна; 6) гидросопро-тивлсния во всех камерах электродиализатора одинаковы и постоянны. В качестве дополш!-тельных допущений приняты следующие: физико-химические характеристики растворов и мембран в камерах электродиализатора равны характеристикам растворов и мембран, соответствующим концентрациям и температурам растворов на входе в аппарат.
Сначала рассмотрим математическое описание кинетики массопереноса в установке циркуляционного типа (рис. 1).
Пусть объем одной камеры эле ктро диализатора составляет и Ук. Тогда суммарный объем камер
Уд = тКа', У.. = тУ'
(1)
(2)
Уравнения материального баланса в этом случае для /У-го компонента для всего аппарата будут иметь вид:
v'dC'dN -MNdx- vaC"* = d(vdC?), y'Kc'KN -MN<k- v;c;N = d[vKc?).
(3)
(4)
В формулах (1) - (4) и далее обозначено: М - масса электролита, перенесенная из камер диализата в камеры концентрата, кг-экв/м3;
/ - плотность тока, А/м2; / - числа переноса в мембране; т) - коэффициент использования тока; Р - коэффициент диффузионной проницаемости, м2/с; X - толщина мембраны, м; С - концентрация, кг-экв/м3; Д*, - коэффициент осмотической проницаемости, м5/(с кг-экв); р - коэффициент электроосмоти-ческой проницаемости, м5/(сА); Р = 9,65 • 107 -число Фарадея.
Надстрочные символы: N - относятся к №-му компоненту; А, К - относятся к анионито-вой или катионитовой мембранам соответственно; ', " - на входе и на выходе из камеры .
Подстрочные символы: к - концентрат;
д - диализат. Предположим, что:
сЦ -о 4c'f +с:”у
Сі -о,s[c'dN*с^).
(5)
(6)
Масса электролита Л^-го вида, перенесенная из камер диализата в камеры концентрата, складывается из миграционного и диффузионного переноса и рассчитывается следующим образом:
* ¥(С^ * <?* - & - - Тг) * (7)
Обозначим:
гЛГ=/-^+/-^_7>
Тогда уравнение (7) примет вид
л/* = —
-{С/ +(Г/-Ск"-Ск")-
ЛГ-с-гЛГ
пп\ iST
(8)
(9)
(10)
Подставив (10) в уравнения материального баланса (3) и (4), получим:
♦ С/ - ел" - с;*),
mVd f dC'" ♦ -S£l
2 1 * * r
CN . Л* mSPN 2
"Ук і
2 I л J-
(И)
(12)
Рассмотрим материалы!мй баланс для объемных потоков:
134
(13)
(14)
Здесь и далее И/Г - объем растворителя (воды), перенесенный из камер диализата в камеры концентрата, м3/с.
Перенос воды (IV) будет складываться из осмотического и электроосмотического потоков через анионитовую и катионитовую мембраны. С учетом этого уравнения (13) и (14) запишутся в следующем виде:
у’к * 2 оМс'* + С"* - С/ - * р/Яп = у" , (15)
У [ 1
- I + с;1* - с" - С"д*)тЗ - Рш = . (16)
N ' '
Здесь и далее:
(17)
N
nN,A nN,K nN _ UW , UW
(IS)
Запишем материальный баланс по растворенным веществам и по растворителю для емкостей:
(19)
dV,
di
= VК VK>
(20)
Ve,d = vd[C'dN ~ C'dN\ (21>
dVe,d
N
dz
= vd-vd>
(22)
rae ve,K » ve,d ■ объемы концентрата и диализата в промежуточных емкостях, м3.
В итоге мы получили замкнутую систему из 4(ЛН-1) уравнений (11), (12), (15), (16), (19)-
(22) с 4(N+1) неизвестными (C'KN, C'^N, C'dN,
C'iN. y’i, УЗ, V',K, K.d )■
Далее рассмотрим математическое описание явлений теплопсреноса в установке циркуляционного типа. Уравнения теплового баланса камер концентрата и диализата будут иметь вид:
PKcKvKTK<k - РкСкукТЦ<Ь + Qk А + Ок<Ь = <*{тУкскРкТк)»
(23)
p'dcdvdTd(h ~ Рдсдудтд^ + 0£<Ь+ Qd<b = d(mVdcdpdTg),
(24)
(2к = ті2Б5 / к* ,
(25)
(26)
Здесь и далее обозначено: р, с, к - плотность, кг/м3, теплоемкость, Дж/кг-К и средняя электропроводность, См/м растворов.
Тепло, поступающее в раствор от мембран, (<2д; 0.к ) рассчитывается по следующим урав-
нениям:
<2к = ак(т ~ Тк}2Ят; Од = <*д(т -Т^Ят,
(27)
(28)
где Т - средняя температура мембраны, °С, ад. ак - коэффициенты теплоотдачи от мембран к диализату и концентрату соответственно. Далее примем, что Т - средняя температура некоторой эквивалентной мембраны, образованной последовательным соединением анио-нитовых и катионитовых мембран, имеющихся в электродиализаторе (рис. 2).
Предположив, аналогично (5)-(6), что средняя температура раствора в камере равна среднеарифметической температур раствора на входе и на выходе из пакета, получим
Од = <*д{2Т - Т'д - Тд}2Ят; 0.к ~ ак(ЗТ - Тк - Тк^23т.
(29)
(30)
Для определения <2К необходимо найти
среднюю температуру эквивалентной мембраны. Дтя этого решим задачу нестационарной теплопроводности для пластины с равномерно распределенным источником тепла и граничными условиями третьего рода. Но сначала сделаем допущения:
Х = 0,5^ХК + Xа);
ду =
(31)
(32)
Задача нестационарной теплопроводности для пластины имеет следующий вид [1, 2):
дТ _ Т | ду
(к
дх СР
-X
дТ(0,і)
дх
= ад[гд-Т(0,х)];
(33)
(34)
дх
Т(Х, 0) = Т0.
(35)
(36)
Выполнив операцию осреднения вместо уравнений (33)-(35) получим обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием (36), решением которого будет следующее уравнение:
Т -Т0 ехр(-ах) + 12(1 - ехр(-от) / а с р к +
X
+Ьехр(-ск)\\Тд +Тд + + Тк )| ехр( сп)(к.
(37)
где обозначено: с = 0 £(сЛ + сК );
р = 0,5(рЛ + рК);
к = 0,5(кЛ +кК); (і = ак / ад;
_ ак +ад
Ь =
срХ '
«а
2срХ
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
Дтя замыкания системы уравнений (23), (24), (29), (30) и (37) запишем уравнения теплового баланса для промежуточных емкостей. Они будут иметь вид:
для емкости диализата
у'дрдсдтд<Ь - Рдсд^дтд^ = ^е,дРдсдТд)> (44)
для емкости концентрата укРкскТк^ ~ ~ й[уе,кРкскТк)- (45)
д
МА МК МА МК МА
Т'
к
ТИ
к
Рис.2. Схема эквивалентной мембраны.
Преобразовав данные уравнения с учетом уравнений материального баланса, записанных для растворителя (20) и (22), получим:
У,,д-^-у"д(Тд-П);
(46)
(47)
Таким образом получена система уравнений (23), (24), (29), (30), (37), (46) и (47), которая, будучи дополнена уравнениями для массопере-носа, позволяет определить температуры растворов на входе и выходе из электродиализ-ного аппарата.
В итоге предлагаемая нами упрощенная модель массо- и теплопереноса для электродиа-лизных аппаратов, работающих в нестационарных режимах, позволяет рассчитать для любого момента времени концентрации компонентов, расходы и объемы растворов, а также усредненную температуру мембран в аппарате.
Проверка адекватности разработанной математической модели кинетики проц-. ссов мас-со- и теплопереноса при электродиализе в установке с замкнутой циркуляцией растворов осуществлялась путем сравнения экспериментальных и расчетных данных. С этой целыо использовались результаты экспериментальных исследований, полученных на лабораторной электродиализной установке с замкнутой циркуляцией растворов (рис. 1) при обессолива-нии-концентрировании модельных одно-(Н2О + №2804, Н2О + Н2504) и двухкомпонентных (Н2О + №2804 + Н25 04) растворов.
В экспериментальной установке использовался 8-камерный эле ктро диализатор плоскорамного типа. Размер камер составлял 300x200x1 мм3. Последовательно соединенные по трактам диализата и концентрата камеры были образованы чередующимися анионито-выми (МА-40) и катионитовыми (МК-40) мембранами. В процессе проведения экспериментальных исследований по электродиализному обессоливанию-концентрированию растворов через определенные промежутки времени проводились измерения концентраций и температур на выходе из трактов элсктродиализатора и в промежуточных емкостях.
С целыо упрощения численной реализации математической модели использовалась зональная методика расчета всех искомых величин (конценграции, расходы, температуры и объемы растворов в промежуточных емкостях). При этом предполагалось, что все эти величины на достаточно коротком временном интервале изменяются во времени по линейному, зако^.
В таблице приведены формулы линейных аппроксимаций для входных и выходных (верхние индексы ' и ") концентраций (С) диа-
лизата и концентрата (нижние индексы V и "к") для I (№2804) и II (НгБОа) компонентов, температур, объемов растворов (Уе) и объемных расходов (у) диализата и концентрата. Подстрочный индекс "о" в этих формулах и далее относит значение соответствующего параметра к начальному моменту времени (началу зоны). Значения параметров с индексом "о". находятся из начальных условий (начальных концентраций по каждому компоненту и температур диализата и концентрата, начальных объемных расходов растворов и начальных объемов в промежуточных емкостях).
Для нахождения а, р, у, А коэффициентов аппроксимационных уравнений эти уравнения подставлялись в формулы математического описания процессов массо- и теплопереноса, полученных ранее (уравнения (11), (12), (15), (16), (19)-(24), (29), (30), (37), (46), (47)). В итоге была получена система нелинейных уравнений (48), (49) для определения этих коэффициентов.
у а'М(Л1,Х + В1,ю) + а"Ы{01.Х + Н ч)+ +
N Р+ Я/.ЛГ'О + Р "ЛГ(‘5'У.ЛГ +7;,лгу) (48) +ZУY = G^, (У = I, 2, .... 4(И + /;);
Кп 1Ад + Кп2^д + КпЗА'к + Кп4^"к = С?„, (49)
(п = 1, 2, 3, 4).
Коэффициенты А, В, Д Н, Ь, Я, Б, Т, 2, (7, К и 0 зависят от физико-химических свойств мембран и растворов, значений режимных параметров процесса и от геометрических и конструктивных особенностей эле ктро диализатора. Решение системы уравнений (48), (49) осуществлялось численно - методом итераций.
Таблица 1.
Аппроксимационные формулы для расчета концентраций, температур, расходов и объемов растворов в промежуточных емкостях
Сд =Сд,о+а'1х; Г‘И _ г>II Сд =Сд,о+а т'
с"д1=сд!о+а"1х> сдп-сди
С к = С к{о + Р ^ х> е'/г-с#*Гд«;
С*} — Сц?о + Р С’11' = С'^1 +р"",;
К,к = Уе,к о ~ 7х/ Уе,д = Уе,д о ~ Ух»‘
У/С = УК О ~ 1> Ук = уко + у;
Тд + Тд о + Тк + Iк о + &кх;
Т$ + Тд'0 + Т'к + Гк о + Л^-т.
После определения коэффициентов а, р, у и А рассчитывали по аппроксимационным уравнениям концентрации, температуры и объемы растворов в промежуточных емкостях.
Все расчеты выполнялись на персональном компьютере. Для этого была составлена программа счета на языке "Паскаль".
На рис. 3-4 приведено сравнение экспериментальных и расчетных концентрационных и температурных временных зависимостей, а
С, кг/ м 3
также изменение объемов растворов в промежуточных емкостях от времени.
Из этих рисунков следует, что совпадение экспериментальных (сплошные линии) и расчетных (пунктирные линии) данных достаточно хорошее, что свидетельствует об адекватности разработанных математических моделей реальному процессу.
Рис. 3. Кривые изменения концентрации серной кислоты (1 - концентрат, 2 - диализат), объемов (3 - диализат, 4 - концентрат) и температур концентрата (5 - выход из аппарата, 6 - промежуточная емкость) при элекгродиализе раствора НгО + 1^504 (/ = 164 А/м2, Як = 0,02 м/с, *>д ~ 0>03 м/с).
ЛИТЕРАТУРА
1. Коробов В.Б., Коновалов В.И. Взаимосвязанный тепломассообмен в многоступенчатых электромембранных устройствах для разделения жидких систем // ИФЖ. 1993. Т. 65. N2 3. С. 356-373.
2. Конова/гов В.И., Коробов В.Б. О методах описаш1Я массо- и теплопереноса в процессах электродиализа // ЖПХ. 1989. Т. 62. № 9. С. 1975-1982.
Поступила в редакцию 14 октября 1996 г.
0
0 10 20 30 40 Т, МИН
т-----. . • 2900
10 20 30 40 Т, МИН
Рис. 4. Кривые изменения концентрации сульфата натрия (1 - концентрат, 2 - диализат) и серной кислоты (3 - концешрат, 4 - диализат) на выходе из аппарата, объемов растворов в промежуточных емкостях (5 - концетрат, 6 - диализат) и температур концентрата (7 - выход из аппарата, 8 - промежу-то'тая емкость) при электродиализе раствора Н20+Н2504 +Ыа2504 (/ = 359 Л/м2, м/к = 0.05 м/с, щ = 0,05 м/с).
С. кг/м1
Ыа2301 '
40
КГ/ М
н2эо4
Т, МИН 30 20 10 V, мл
4400 4300
3200
3100
3000
Н
6
4
