Упрощение термодинамических расчетов тепловых машин путем использования модели идеальных газов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.56:59

УПРОЩЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ ТЕПЛОВЫХ МАШИН ПУТЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

© 2009 С. А. Гулина, М. Ю. Орлов

Самарский государственный аэрокосмический университет

Выполнен анализ возможности применения модели идеальных газов для термодинамических расчетов тепловых двигателей.

Тепловой двигатель, продукты сгорания топлива, молекулярно-кинетическая теория газов, модель Ван-дер-Ваальса, теплоемкость

Создание современных тепловых двигателей невозможно без понимания явлений, сопровождающих процессы получения энергоресурсов. Большую роль в достижении этой цели играют методы термодинамического анализа, рассматривающие явления и процессы в технических системах как обмен энергией при выработке полезной работы. Наиболее распространенными веществами, позволяющими получать полезную энергию и играющими роль рабочих тел, являются продукты сгорания топлива, воздух и пары жидкостей.

Середина и окончание XIX века ознаменовались разработкой двух моделей описания термодинамического состояния веществ, участвующих в циклах работы тепловых машин. К этому времени произошло бурное развитие паровых машин, которые стали активно использоваться для промышленных нужд. Непрерывное их совершенствование вызвало потребность в термодинамических расчетах для оптимизации характеристик. Основным рабочим телом для тогдашних тепловых машин были вода и ее пар. Примерно в это же время были открыты основные законы изменения параметров состояния многих газов. На основании обобщения результатов этих исследований появилась первая модель - молекулярно-кинетическая теория газов. Эта теория в очень простой форме дала объяснение многим явлениям, наблюдаемым в газах.

Предложенная модель исходила из нескольких фундаментальных предположений:

• все вещества состоят из частиц, молекул, находящихся в непрестанном движении;

• число молекул в грамм-молекуле (моле)

вещества и атомов в грамм-атоме (количество вещества масса которого равна его атомному весу) для всех веществ одинаковы;

• при одинаковых давлениях и температуре объемы киломолей всех веществ одинаковы.

С использованием законов динамики Ньютона была получена простейшая модель состояния веществ: рУ= КТ. Давление в

этой модели рассматривалось как результат упругих столкновений молекул друг с другом и ограничивающими стенками. Не учитывалось влияние массовых сил - взаимного притяжения и сил земного тяготения.

Важной характеристикой вещества стала его так называемая газовая постоянная (Я). В рамках перечисленных выше предположений для киломоля любого вещества газовая постоянная имеет одну и ту же величину - 8314,3 Дж/кмольК. В инженерных расчетах основной закон молекулярнокинетической теории газов записывают применительно к единице массы вещества:

р\ = КТ , з (1)

где V- это удельный объем вещества , м /кг.

Газовая постоянная Я отнесена к единице массы и соответственно определяется из равенства: Я= 8314,3/ц, Дж/кгК, где ц -молекулярная масса вещества.

Зависимость, описывающая уравнение состояния веществ, явилась гениальной новинкой молекулярно-кинетической теории газов. Область существования веществ, для которой была справедлива данная модель состояния, назвали идеальными газами.

Благодаря такому подходу, появилась возможность оценивать энергетические потоки во всех процессах, так как к тому вре-

мени трудами Карно, Клаузиуса, Клапейрона и некоторыми другими были созданы основные подходы к анализу и расчету циклов работы тепловых машин.

Недостатком модели идеальных газов явилась неприменимость её для двухфазных рабочих тел паровых машин. Исследователи выяснили основные условия существования веществ как в паровой (газовой), так и жидкой фазе. Было также выявлено понятие критических параметров веществ, выше которых невозможен их переход из газообразной фазы в жидкую (основоположником такого подхода к процессам ожижения газов явился Д.И. Менделеев). Поэтому появилась потребность описания свойств веществ в обоих фазовых состояниях.

Второй моделью состояния веществ явилась модель Ван-дер-Ваальса. В своей диссертации «Непрерывность газообразных и жидких состояний» Ван-дер-Ваальс предложил и обосновал следующее уравнение:

^ a''

, 7,

Он ввел поправку к давлению, учитывающую взаимодействие масс молекул, а объем вещества уточнялся им на величину физического объема молекул. При этом обе поправки играли заметную роль только тогда, когда удельные объемы вещества представляли собой малые величины. Коэффициенты а и Ь в уравнении Ван-дер-Ваальса по идее автора были однозначно связаны с параметрами вещества в критической точке (рк, vк и Тк):

р = рк = —, и = ик = 3Ь , (3)

р + 4 |(v-ь) = КТ.

(2)

Т = Тк =

27Ь 2 8a

- приведенный удельный объем ф = v/vк ,

- приведенная температура вещества т = Т/Тк.

Математическое описание указанной диаграммы состояния веществ может быть представлено в виде:

3

(п + — )(3Ф -1) = 8т.

V

(4)

27 КЬ

Так как для всех веществ известны параметры состояния в критической точке, то нахождение коэффициентов в уравнении Ван-дер-Ваальса не представляет особого труда.

Ван-дер-Ваальс пошел дальше и утверждал, что в приведенных координатах все вещества имеют единую поверхность термодинамического состояния. Параметрами для построения единой поверхности по его мнению должны быть:

- приведенное давление п = р/рк ,

При этом исследователи обратили внимание на необычное поведение изотерм, так как экспериментально изотермы в двухфазной области состояния веществ изображаются в виде, предложенном Эндрюсом и подтвержденном экспериментально.

Поведение изотерм по Ван-дер-Ваальсу попытались объяснить простотой математической модели (уравнение относительно приведенного объема третьей степени с тремя корнями). Более поздние исследования с применением уравнений до восьмой степени для описания поверхностей состояния различных веществ в газовой и жидкостных фазах [2] действительно подтвердили характер протекания изотерм по Ван-дер-Ваальсу. Характерные линии, соединяющие точки минимумов и максимумов функций на изотерме получили специальные названия -бинодаль и спинодаль соответственно (рис.1.).

Линии бинодали и спинодали играют свою роль в кипении или конденсации жидкостей во всем объеме [1].

Квазиспинодаль описывает протяженность по координате р (или Т) области, в которой протекание изотерм в районе критической точки имеет искривления, отличающие их от изотерм идеальных газов. Действительно, классические изотермы идеальных газов являются равнобокими гиперболами относительно осей р и v. На приведенной диаграмме Ван-дер-Ваальса можно четко увидеть область, где для всех веществ изотермы протекают по модели идеальных газов.

Таким образом, модель Ван-дер-Ваальса определила область справедливости применения модели идеальных газов для любых веществ. Можно говорить, что применение модели идеальных газов правомочно при температурах т = Т/Тк > 1,5.

а б

Рис.1. Изображение (а) квазиспинодали -1, бинодали -2, спинодали -3 в координатах р-у и (б) квазиспинодали в координатахр-Тдля воздуха

В табл. 1 приведены для некоторых веществ, работающих в тепловых машинах, значения рабочих температур, при которых применима модель идеальных газов [2,3].

Таблица 1 -Анализ области соответствия веществ модели идеального газа

Газы Химическая формула Молекулярная масса К а н Область соответствия модели ид. газа Т>1,5Тк, К

Азот N2 28 126,06 >189,09

Водород Н2 2 33,26 >49,89

Водяной пар Н2О 18 647,36 >971,04

Воздух смесь газов 29 132,26 >198,39

Гелий Не 4 5,26 >7,89

Кислород О2 32 154,36 >231,54

Углекислота С О ю 44 304,16 >456,24

Таблица 1 показывает, что для воздуха можно применять модель идеального газа в расчетах тепловых двигателей на любых высотах применения, включая в том числе и авиацию. Применение же модели идеальных газов для водяных паровых машин следует признать неправомерным, для рабочих значений температур пара в циклах Карно и Ренкина.

Важной характеристикой веществ является теплоемкость. Теплоемкость - это количество тепловой энергии, которое необходимо для повышения температуры единицы массы или объема вещества на единицу изменения температуры. В связи с единицей

измерения количества вещества различают молярную, объемную и массовую (на 1 кг массы) теплоемкости. По условиям подвода тепла различают теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении. По данному свойству различают замкнутую и открытую термодинамические системы. Под замкнутой системой понимают ограниченный в пространстве объем рабочего тела, например в поршневом двигателе, когда рабочее тело не перемещается в пространстве. В таких системах применяют понятие теплоемкости при постоянном объеме, с¥. Для открытой термодинамической системы, под которой понимают процессы в движущемся потоке вещества, применяют понятие теплоемкости при постоянном давлении, ср. Врач по образованию и пытливый исследователь Майер установил, что эти два вида теплоемкостей существенно различны и предложил зависимость между ними, названную его именем. Для киломоля вещества имеется зависимость ср - с¥ = Я.

Еще одним важным показателем свойств веществ является отношение теплоемкостей, называемое показателем Пуассона

или адиабаты —- = к.

На основе молекулярно-кинетической теории объяснены различия молярных теплоемкостей от числа атомов в молекулах. Введено понятие числа степеней свободы движения атомов внутри молекул. Для одноатомных возможными представляются три степени свободы - кинетическая энергия по трем координатам. Для двух атомных добавляются вращательная относительно двух взаимно перпендикулярных осей. Для много атомных число степеней свободы равно 6.

Учитывая уравнение Майера и показатель адиабаты, можно получить простую за-

к

висимость для теплоемкостей: 1

Я

и

Я

к -1 . Как увидим в дальнейшем, эти

соотношения совместно с уравнением со____________ л гт1

стояния = позволяют получать простые выражения для расчета количеств теплоты и работы в процессах циклов тепловых машин. Использование модели идеальных

газов упрощает математическую задачу рассмотрения циклов работы, получения выражений для КПД различных циклов, оптимизации параметров циклов работы тепловых машин.

Таблица 2 - Молярные теплоемкости веществ и показатель адиабаты

Структура молекулы Число степеней свободы, i = 2 R i + 2 R ‘p = 2 R k -Cp -i+2 ‘v i

1- атомная з 1,5 R 2,5R 1,бб

2- атомная 5 2,5R 3,5R 1,4

Многоат омная б з^ 4,0R 1,зз

Основоположником рассмотрения циклов тепловых машин явился Карно. Основные принципы его подхода следующие:

- рабочий цикл тепловой машины состоит из замкнутой последовательности процессов,

- необходимо к рабочему телу цикла подводить теплоту qi ,

- необходимо от рабочего тела отводить теплоту q2 ,

- работа цикла равна разности этих количеств теплоты.

Степень совершенства цикла оценивается отношением работы цикла к подведенному количеству теплоты.

Теплоемкость при расчете величины теплоты зависит от типа термодинамической системы - замкнутой или открытой. В первом случае это теплоемкость при постоянном объеме, во втором - при постоянном давлении.

Процессы, из которых состоят идеальные циклы тепловых машин реализуются при условии постоянства одного из параметров состояния -давления (изобара), объема (изохора) или температуры (изотерма). Одним из условий может стать отсутствие обмена энергией с окружающей средой (адиабата)-dq=0.

Рассмотрим пример определения КПД поршневого двигателя ( подвод теплоты при v = const)- (рис.2).

7 A

\

\ 1 j/

2\

f

0

^ J * 0 s

а б

Рис. 2. Цикл поршневого двигателя с подводом тепла при v = const

Цикл состоит из последовательных процессов:

1-2 - адиабатное сжатие;

2-3 - изохорный подвод тепла;

3-4 - адиабатное расширение;

4-1 - изохорный отвод тепла.

Вводят понятие степени сжатия e = v1 / v2 и степени повышения давления

1 = Рз/ Р 2.

Определим термический КПД данного цикла:

ht = (qi - q 2)/4i =1 - q 2/ qi. (5)

Количества теплоты:

q\ = cv (T3 - T2) и q2 = cv (T4 - T1),

откуда

h = 1 - — = 1 - Cv (T4 - T1) = 1 - T4 - T1

41 Cv (T3 - T2) T3 - T2 '

В адиабатных процессах связь параметров описывается уравнениями

k k P1v1 = Р 2 v2>

TJ T = (v1/)k-1.

2 1 v2

Тогда T4 = T1ek-1 x 1(1/ ek-1) = T11,

yr = p3 / p 2 = 1 и T3 = T21 = T1ek-11.

T2 3 2 3 2 1

Подставляя значения температур и производя сокращения, получим ht = 1 - [(T11 - T1) /(T1ek-11 - T1ek-1)] = 1 - (1/ ek-1) Коэффициент полезного действия двигателя с подводом теплоты при v =const (цикл Отто) зависит только от степени сжатия воздуха.

Можно видеть, что термодинамический анализ циклов при использовании модели идеального газа очень прост и доступен при минимальном знании математики.

Аналогично может быть получено ре-

з1

шение задачи оптимизации циклов работы ВРД (рис.3).

а б

Рис. 3. Цикл Брайтона (а) и оптимизация его (б) для получения максимальной работы

Находится максимум функции 1= / (Пк) при заданных значениях начальной Т0 и максимальной Тз температур цикла и адиабатно-сти процессов сжатия и расширения с постоянным значением показателя адиабаты к. Здесь символом I обозначена полезная работа цикла.

При выводе предполагается скоростное сжатие воздуха на входе в ГТД во входном устройстве с учетом числа Маха полета М.

Работа цикла

1 ц = Ч\ — Я2 = Ср (Тз — Т2 — Т5 + Т0 ) .

Здесь Т2 и Т5 соответственно температуры воздуха за компрессором и газа за тур -биной.

Принималось, что Тз = рТ2 , тогда

Г =

где

В - Т

1 +

1 +

k -1

к -1

2

Ы‘

M

р

к-1 ~к

к-1 BpJ

f \

dl В + ТТ ^0^3

f к-1 > - cp JJ T f к-1 ^ 2

пкк В пкк

V 0 V V 0 0

- о,

(р ) -

V к/опт

После подстановки в исходное выражение для работы и преобразований получаем

к-1

T3 - Впкк

Т т

1 0^3

к-1

ВРкк

+т

V к у

Для нахождения оптимального значения степени сжатия первую производную полученного выражения по пк приравняем к 0.

1+

V V

к -1 2

M

\2

2 (к -1)

(6)

Выражение (6) показывает, что оптимальная степень сжатия в цикле Брайтона определяется значениями относительной максимальной температуры цикла Т3/Т0, приведенной скорости полета М и значения показателя адиабаты (величина к меняется от высоты полета).

Следует обратить внимание, что при выводе формулы суммарная степень сжатия в цикле условно разделена на сжатие воздуха от скоростного напора во входном устройстве и сжатия в компрессоре.

Приведенные примеры применения модели идеальных газов при термодинамическом анализе циклов работы, в частности поршневых и воздушно-реактивных двигателей, свидетельствуют о значительном упрощении задач, что особенно удобно в учебном процессе.

Библиографический список

1. Авдуевский, В.С. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / В. С. Авдуевский [и др.]. - М.: Машиностроение, 1975. - 624 с.

2. Вассерман, А. А. Теплофизические

свойства воздуха и его компонентов / А.А. Вассерман, Я.З. Казавчинский, В. А. Рабинович. - М.: Наука, 1966. - 375 с.

3. Жуковский, В. А. Термодинамика / В. А. Жуковский. - М.: Энергоатомиздат, 1983. -304 с.

References

1. Avduevskii V.S., Galiceiskii V.M., Gle-bov G.A., Danilov U.I., Kalinin E.K., Koshkin V.K., Koshmarov U.A., Mihailova М.М., Mihailova T.V., Miheev U.S., Rigkov U. А., Soln-

к

0

3

к

0

2

cev V.P. Bases of teploperedachi are in an aviation and rocket-space technique., M.,

«Engineer», 1975.- p. 624.

2. Vasserman A.A., Kazavchinskii Ya.Z., Rabinovich V.A. Teplofizicheskie of property of

air and his components. «Science», М., 1966.- p. 375.

3. Gykovskii VA. Thermodynamics. - М.: Energoatomizdat, 1983.- p. 304.

THE SIMPLIFICATION OF HEAT ENGINES THERMODYNAMICS CALCULATION

WITH USING OF IDAEAL GAS’ MODEL

© 2009 S. А. Gulina, M. Y. Orlov

Samara State Aerospace University

The analysis of possibility of application of model of ideal gases is executed for the calculations of thermody-namicses of heat-engines.

Heat-engine, products of combustion offuel, molecular-Mnetic theory of gases, model of Van-der-vaal'sa, heat capacity

Информация об авторах

Гулина Светлана Анатольевна, старший преподаватель Уральского государственного технического университета, г. Екатеринбург, аспирант кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» Самарского государственного аэрокосмического университета. Тел. (846) 335-1812. E-mail: Teplotex ssau@bk.ru. Область научных интересов: тепломассообмен, термодинамика.

Орлов Михаил Юрьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» Самарского государственного аэрокосмического университета. Тел. (846) 335-18-12. E-mail: Teplotex ssau@bk.ru. Область научных интересов: тепломассообмен, термодинамика.

Gulina Svetlana Anatol’evna, senior teacher, Ural State Technical University, Ekaterinburg, aspirant of department thermotechnics and heat engines of Samara state aerospace university. Phone: (846) 335-18-12. E-mail: Teplotex ssau@bk.ru. Area of research: thermodynamics.

Orlov Michail Yr’evich, candidate of technical science, the senior lecturer of department thermotechnics and heat engines of Samara state aerospace university. Phone: (846) 335-18-12. Email: Teplotex ssau@bk.ru. Area of research: thermodynamics.