CC BY
88
34. Редько В.Ф. Эволюционная кибернетика. - М.: Наука, 2001.
35. Колесников A.A. Объективные законы единства процессов самоорганизации и управления//3-я Всероссийская научная конференция «Управление и информационные технологии»: Сб. докладов. СПб., 2005. Т. 1. С. 5 - 22.
36. Колесников A.A., Веселов Г.Е. Синергетическое иерархическое управление многосвязными технологическими системами//Труды VI Международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем». Ростов-на-Дону, 2001. Т. III. С. 29 - 33.
37. Веселов Г.E., Колесников A.A. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов: иерархическое управление//Всероссийская научная конференция «Управление и информационные технологии»: Сборник докладов. СПб., 2003. Т. 1. С. 22 - 27.
38. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управ-ления/Под ред. A.A. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч. II.
39. Колесников A.A. Проблемы теории аналитического конструирования нелинейных регуляторов и синергетический подход//Синергетика и проблемы теории управления/ Под ред. A.A. Колесникова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. 35 - 129.
40. Синергетические методы управления сложными системами: механические и электромеханические системы/Под ред. A.A. Колесникова. - М.: КомКнига, 2006.
41. Веселов Г.Е. Синергетический синтез иерархических взаимосвязанных робототехнических комплексов//Синергетика и проблемы теории управления/ Под ред. A.A. Колесников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. С. 268 - 287.
42. Топчиев В.В. Синергетический синтез иерархической системы управления мобильным роботом//Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Синергетика и проблемы управления. Таганрог, 2001. №5(23). С. 199 - 204.
43. Синергетические методы управления сложными системами: энергетические системы/Под ред. A.A. Колесникова. - М.: КомКнига, 2006.
44. Кузьменко A.A., Могин A.B. Иерархический подход к управлению группой энергоблоков энергосистемы//3-я Всероссийская научная конференция «Управление и информационные технологии»: Сб. докладов. СПб., 2005. Т. 1. С. 148 - 153.
45. Погорелое М.Е. Синергетическое управление взаимосвязанной системой «паровой котел - турбогенератор»//3-я Всероссийская научная конференция «Управление и информационные технологии»: Сб. докладов. СПб., 2005. Т. 2. С. 269 - 276.
В.Л. Заковоротный
УПРАВЛЯЕМАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СРЕДОЙ
Введение
Большинство технических систем функционирует в условиях взаимодействия их отдельных элементов через различные среды: аэродинамические, гидродинамические, трибологические, технологические и пр. При этом в пограничных зонах сопряжения некоторых элементов системы со средой формируются диссипативные образования, оказывающие влияние на траектории управляемых движений. Свойства этих образований, характеризующих формируемую динамическую связь, обладают
эволюционной изменчивостью. Причем эволюция системы зависит от характера изменения работы и мощности необратимых преобразований, имеющих место в узлах сопряжений её элементов со средой. Можно привести множество примеров, свидетельствующих о влиянии эволюционных изменений свойств среды на управляемые траектории движения. Это траектории движения локомотива, зависящие не только от управления, но и от свойств фрикционного контакта колесо-рельс. Это траектории систем позиционирования, зависящие от свойств трибосопряжений. Наконец, это траектории формообразующих движений инструмента относительно заготовки в системах обработки резанием на металлорежущих станках.
Изучение эволюции технической системы является традиционным, и оно связано с проблемой обеспечения надежности. В частности, при обработке на металлорежущих станках изучение эволюционных преобразований затрагивает такие вопросы, как развитие процесса износа инструмента, изменение показателей качества изделий в ходе функционирования системы резания и др. [1—3]. Однако все эти показатели характеризуют внешнее проявление эволюционных изменений. Большее значение имеют эволюционные изменения динамической характеристики процесса резания, которая оказывает влияние на параметры геометрического качества изделия и состояние процесса обработки. Они влияют на текущие характеристики необратимых преобразований при резании, которые характеризуются траекториями изменения мощности необратимых преобразований в функции совершаемой работы. В технических системах с узлами трения имеет место эволюционное изменение матриц динамической жёсткости и диссипации трибосреды, формируемой в узлах сопряжения контактируемых элементов. Именно изучению эволюционных изменений динамической характеристики среды, позволяющих корректировать управление, посвящена настоящая работа. Подчеркнём, что при реализации синергетической концепции управления главное значение имеет определение многообразия траекторий в пространстве состояния, обеспечивающих требуемые выходные характеристики управляемой системы. Это многообразие должно характеризовать естественные условия функционирования системы, а управление в этом случае должно лишь подстраивать траектории к требуемым по условиям функционирования [4].
Математическая модель эволюционных преобразований в динамической системе
При построении динамических моделей управляемых систем используется иерархический принцип, основанный на разделении движений на «медленные» движения исполнительных элементов и «быстрые», которые рассматриваются в вариациях относительно траекторий «медленных» движений [5-8]. Будем считать заданными траектории «медленных» движений исполнительных элементов, которые формируются в независимой системе отсчёта X = {Х\, Х2, Х%, Х4}1- G X. Здесь и далее символ {... }т означает операцию транспонирования. Для определённости, например применительно к токарной обработке, компоненты вектора X имеют следующий смысл: Х\ — координата поперечного перемещения суппорта; Хч — координата перемещения суппорта в направлении скорости резания (очевидно, что в традиционной компоновке станка Хч = 0); Хз — координата поперечного перемещения суппорта; Х4 — угловая координата положения шпинделя. Если обработка ведётся с неизменной частотой вращения шпинделя, то dX^/dt = const. Таким образом, в пространстве X задаются траектории исполнительных перемещений стан-
ка. Если не принимать во внимание погрешности из-за неточности исполнительных перемещений, то эти траектории, заданные в виде фазовых траекторий, есть программа ЧПУ. Например, для токарного станка при программировании траектории движения суппорта задаётся скорость подачи на заданном отрезке перемещения, т.е. фазовая траектория {Хз, ¿Х^/скЬ}. В результате пересечения траекторий пространства X с расположенной в этом пространстве заготовкой формируются взаимодействия с ней режущего инструмента, которые сопровождаются множеством процессов, в совокупности определяющих обработку и показатели геометрического качества изделия. Одними из наиболее важных из них являются силы резания = (^(¿), ^2(2), -Рз(^)) & заданные своими проекциями. Эти силы совершают
работу при некоторой их мощности. Именно работа сил резания при некоторой их мощности приводит к изменению свойств процесса резания, вызывая эволюционные преобразования в динамической системе резания.
Аналогичной является постановка задачи управления системой, имеющей узел трения. Эволюционные преобразования в трибосистеме характеризуются изменениями параметров уравнений связи, формируемой в узле трения. В гидродинамической системе подъёмная гидродинамическая сила зависит не только от градиентов скоростей по эквивалентному зазору в контактируемых через жидкость элементах, но и от работы и мощности необратимых преобразований в узле сопряжения. В свою очередь, от подъёмной гидродинамической силы зависит сопротивление движению системы и детерминированность координат состояния управляемой системы. Необходимо подчеркнуть, что движение определяется не только управлением, но и сопротивлением движению. В дальнейшем с целью конкретизации наблюдаемых эффектов главное внимание уделим обработке резанием. Очевидно, что общий подход к описанию является аналогичным и для моделирования эволюции других технических систем.
Силы резания зависят от упругих деформаций инструмента относительно заготовки. Поэтому введём в рассмотрение векторы упругих деформаций инструмента У = (I7!(¿), ^г^), 1з(£))Т € У относительно заготовки ^ = (Zl(t), ^(¿), ^з(^))Т € Ъ. Следовательно, в общем случае силы резания являются функциями всех координат пространств X, У и Z. Как уже отмечено, в рамках настоящей статьи траектории исполнительных элементов станка и геометрия заготовки в пространстве X считаются заданными. Следуя [5-8], определим уравнение динамики системы, которое дополним эволюционными изменениями параметров р = {р1,р2,... ,р8} динамической характеристики процесса резания (в общем случае среды):
+ с г {г) = í
А
'^(А) =Рг,0 +Рг ! и)^(А- т)М(т)<1'
1т, * = 1,2, ...,в;
(1)
о
о
[лг(*) = ад(*)|,
где то, М — диагональные матрицы размером 3 х 3; с = |cSjfc|, С = \CS^ \ — положительно-определённые симметричные матрицы жёсткости подсистемы инструмента и заготовки размером 3x3, неизменные по координатам перемещения суппорта и при смещении точки равновесия системы; h = Н = — положительно-
определённые симметричные матрицы диссипации подсистемы инструмента и заготовки размером 3x3, также неизменные по координатам перемещения суппорта и при смещении точки равновесия системы; Vp — скорость резания, которая в нашем
случае считается постоянной; wPi (А — т) = ехр ——- (А — т) — ядра интегральных
L ip* 1
операторов, причём TPi — постоянные работы, имеющие размерность кГм, эти параметры характеризуют эволюционную наследственность траекторий по мере совершения работы. Таким образом, эволюционная наследственность проявляется лишь в пределах затухания ядра интегрального оператора при изменении работы в отрицательном направлении (учитывает предысторию мощности по совершённой работе).
Сделаем предварительные замечания по поводу модели (1). В рассматриваемой системе параметры динамической характеристики процесса резания имеют начальные значенияpj o и значения^, зависящие от траекторий работы и мощности. В свою очередь, траектории работы и мощности являются функцией координат состояния системы. В дальнейшем будем рассматривать наиболее важный случай, когда работа и мощность изменяются настолько медленно, что в пределах одного шага интегрирования системы (1) их можно считать неизменными. Другими словами, запаздывание в вычислении А и N на один шаг не влияет на общую динамику системы. Кроме того, в систему (1) входят параметры динамической модели подсистем инструмента и заготовки. Методы вычисления этих параметров и их идентификации известны [5]. Что касается динамических моделей процесса резания, раскрывающих связь координат исполнительных элементов станка и упругих деформаций инструмента относительно заготовки, то такие модели рассмотрены ранее [9, 10]. В частности, показано, что в окрестности стационарной траектории, задаваемой «медленными» движениями исполнительных элементов, возможно их линеаризованное представление. Тогда в окрестности стационарной траектории «медленных» движений реакция со стороны процесса резания определяется матрицами динамической жёсткости и диссипации процесса обработки. Принципиальное значение при изучении эволюционной перестройки динамической системы имеют параметры ядер интегральных операторов wPi(A — г), которые в данном случае считаются стационарными. Вопросы идентификации ядер будут рассмотрены ниже. Вначале, чтобы раскрыть общие принципы анализа, будем считать их заданными.
Особенности эволюционных преобразований динамической
системы
Рассмотрим вначале систему, обладающую следующими свойствами:
- силы резания удовлетворяют гипотезе неизменной их ориентации в пространстве. Ориентация задаётся угловыми коэффициентами х = (хь Х2, Хз);
- в вариациях относительно стационарной траектории, задаваемой X, динамическую характеристику можно линеаризовать и реакцию со стороны процесса обработки заменить матрицами динамической жёсткости и диссипации. Тогда вместо (1) имеем
¿2У(г) ¿у (г)
м
л2
¿2г(г)
скЬ2 = *о
Я
<м
¿г {г) л
сУ{ь) = ^(¿){хьх2,хз}; ь с г (г) = Пг) {хь хг, хз};
(¿) + а(А)(-У1 (¿) - гх (*)) + ¡з{А)
А
^(э)(» = / J и)а(А - т)М(т)<1т;
о
А
а(А) = а 0+7 J юа(А — т)М(т)с1т] /3(А) о
А(1) = I ЛГ(*)<Й; ЛГ(*) = Ур\х2Р{Ь)\,
¿уг(г) (Ш;^) у
л л ) ’
(2)
Ро
/1
Г] ! и)/з(А - т)М(т)(1т]
С С и Г с2 1
_ кГм2 1 кГм3, кГм3
где /, 7, г/ — согласующие коэффициенты, имеющие соответственно размерности
и характеризующие интенсивность эволюционных изменений постоянных составляющих силы резания, коэффициента жёсткости и диссипации процесса обработки. В этом случае эволюционные составляющие постоянной составляющей силы резания, коэффициента жёсткости и диссипации получаются соответственно в [к-Г], [?сГ/м] и [кГс/м]. Например, если г/ = 0, то матрицы динамической диссипации процесса резания в ходе функционирования системы не меняются. Тогда динамическая перестройка системы обусловлена, во-первых, изменениями общей силовой загруженности процесса резания и, во-вторых, изменениями матрицы динамической жёсткости процесса резания.
В системе (2) начальные условия определяются значениями упругих деформаций инструмента У* = {У*, У2 ,У% }Т относительно заготовки Z* = {Я*, }Т
на начальной стадии процесса, когда эволюционные изменения параметров динамической жёсткости и диссипации отсутствуют, т.е. а(А) = /3(А) = 0. Таким образом, получаем
/у*
У(0) = У* = ( У2*
(IУ Л
<г\
(0) = ( о ) ; г (о) = г*=[ г*2
ГУ*
<ш
л
(0) =
(3)
В приведённой модели скорость резания считается величиной постоянной. Таким образом, если система имеет точку равновесия асимптотически устойчивую, то работу совершает только составляющая силы, направленная по скорости резания. Координаты У(0) = У* иЭД = Z*, определяющие начальное состояние системы, являются решениями систем
/Х1^(0)\
сУ( 0) = Х2^(0) ;
\хзП0)/ /Х1^(0)\
сг(о) = Х2^(о) .
\ХЗ^(0)/
Функции Y и Z характеризуют смещения точки равновесия, обусловленные особенностями силового взаимодействия на начальном этапе процесса резания и эволюционными преобразованиями системы (2) в связи с совершаемой работой при некоторой мощности необратимых преобразований, зависящей от траектории. Старт эволюционных преобразований начинается в точке t = 0, в которой совершённая работа равна нулю. Поэтому имеет смысл при анализе рассматривать композицию Y(A) = Y* + Y^(A) и Z(A) = Z* + Z^(A), которой во времени соответствует композиция Y(t) = Y* + Y^(t) и Z(t) = Z* + Z^(t). Так как работа, время, текущие силы и перемещения в (2) взаимосвязаны, то можно также рассмотреть функции Y{X3) = Y* + Y^iXa) и Z(X3) = Z* + Z^(X3) смещения точки равновесия по направлению перемещения инструмента относительно заготовки. Причём здесь Х3 есть путь, пройденный инструментом относительно заготовки при изготовлении партии изделий.
Если говорить в целом о процессе обработки, то эволюция параметров динамической характеристики процесса резания вызывает смещение параметров стационарных многообразий, которые формируются в окрестности точки равновесия, вызывая динамическую перестройку системы. При этом в отдельные моменты эволюционных преобразований имеют место изменения топологии фазового пространства подсистемы «быстрых» движений, т.е. бифуркация системы, принципиально изменяющая свойство процесса резания.
Функция A(t) является возрастающей на всем интервале интегрирования, так как подынтегральное выражение в любой момент времени является неотрицательной величиной. Так как в приведённой упрощённой модели матрицы суммарные матрицы жёсткости и диссипации имеют коэффициенты, которые «медленно» изменяются в ходе эволюционных преобразований, то эволюционной является не только точка равновесия, но и динамические свойства системы для «быстрых» движений. Поэтому эволюционным траекториям Y^3\t) и Z^3\t) должны соответствовать траектории корней характеристического полинома в комплексной плоскости. Однако при высокой интенсивности эволюционных преобразований возможна такая ситуация, когда сами эволюционные преобразования оказывают влияние на динамику системы. Интенсивность эволюционных преобразований в (2) определяется коэффициентами 7 и г/.
Приведём пример смещения точки равновесия системы для точения вала, параметры динамической модели заготовки которого не меняются. Заметим, что смещению точки равновесия соответствует изменение диаметра заготовки. Кроме того, будем считать неизменными динамические характеристики подсистемы инструмента и все условия обработки, кроме значений динамической жесткости и диссипации процесса резания. Основные параметры приведены в табл. 1, 2. Начальные значения
жесткости и диссипации соответственно равны «о = 100 кГ/мм и ßo = 10-------. Сила
мм
резания на начальном этапе Fq = 100?сГ. Постоянные эволюционной наследственности соответственно равны Та = 50 кГм и Tß = 20 кГм. Коэффициенты ориентации силы следующие: xi = 0, 50; Х2 = 0, 71; хз = 0, 50.
Мы видим, что в зависимости от параметров интенсивности эволюционных преобразований 7 и г/ кривые смещения точки равновесия в направлении, нормальном к оси вращения заготовки, меняются (рис. 1) и при некоторых их значениях напоминают кривые износа инструмента. Это еще раз указывает на связь величины износа инструмента с изменениями динамической характеристики процесса резания.
Таблица 1
Параметры подсистемы инструмента
кГс . л о га, 10 3 мм кГс к — мм с, — • 10-3 ММ
0,25; 0; 0 0; 0,25; 0 0; 0; 0,25_ 0,6; 0,1 0,1; 0,5 0,08; 0,2 0,08 0,2 0, 7 _ 1,0 0,3 0,2 0,3 1,2 0,4 ^ о о сл ^ ю
Таблица 2
Параметры подсистемы заготовки
кГсА з га, 10 мм кГс Н, мм с, — • 10-3 ММ
"5,0; 0; о" 0; 5,0; 0 _ 0; 0; 5,0_ "5,0 1,0 0,8 1,0 4,0 0,6 0,8" 0,6 2,0. "0,2; 0,1; 0,08_ 0,1; 0,2; 0,01 0,08; 0,01; 1,0 _
Заметим, что в существующей в настоящее время практике управления точностью обработки на основе соответствующих подналадок координат исполнительных элементов станков управление осуществляется с помощью непосредственного измерения диаметра детали после обработки, что выполнить, как правило, сложно, так как требуется дополнительная операция. Приведённая же модель позволяет прогнозировать эти изменения в легко измеряемых траекториях преобразующей системы станка. При этом сама эволюционная траектория становится естественной траекторией системы, которую необходимо включить в общую систему управления. Рассмотрим траектории корней характеристического полинома (рис. 2), соответствующие эволюционным траекториям отклонения точки равновесия, изображённым на рис. 1. Траектории вычислены для характеристического полинома системы (2) в предположении, что текущие параметры системы являются «замороженны-
0 50 150 250 А,кГм
Рис. 1. Смещение точки равновесия системы при её эволюционных преобразованиях в направлении, нормальном к оси вращения заготовки
Рис. 2. Эволюционные траектории корней характеристического полинома
ми». Рассматриваемой системе отвечают шесть пар комплексно-сопряжённых кор-
- (1) (1) , -7,(1) (2) (1) -ь(1) /■ 1 о ¿Л
ней р1 = —а] + ]Ь\ и р\ ' = —а\ — ]Ь\ {% = 1, 2,..., 6), расположенных в левой
комплексной полуплоскости, так как «замороженная» система остаётся устойчивой на всём рассматриваемом отрезке функционирования. Эволюционной траектории каждого корня или его вещественной и мнимой составляющим однозначно соответствует эволюционное смещение точки равновесия. На рис. 3 приведён пример, иллюстрирующий возможность разделения отдельных эволюционных стадий на классы по признаку смещения точки равновесия.
1 Ъ2(1),сШ3
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
1
1 1 1 1 и(Г1'а-,+г1^) £ (1,2-1,5)
1 1 У '-1 (У/3*! -г/9*) е (0,9-1,2)
1 1 Л /1 1
1 / IX -~1 \(У1(Э)+г1(Э)) е (о,б-о,9)
1 1 Л 7\ |
1 / 1 / ^ /э;+я 1(Э)) е (0,3-0,
1
^(¥1(Э)^г1(Э))е(о^о-о,з) — -'1111
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ь/^.с^-Ю3
Рис. 3. Пример разделения на классы по величине эволюционного смещения точки равновесия
Так как рассматриваемая система является детерминированной и эволюционные кривые корней не имеют участков неоднозначности, то оценивание эволюционных траекторий (£) и (£) может быть абсолютно точным. Однако возможна постановка вопроса об оценивании эволюционных смещений на основе авторегрессионного спектрального анализа с помощью наблюдения за вибрационной последовательностью. В этом случае можно сформировать информационное пространство, состоящее из вещественных и мнимых составляющих корней, и использовать методы классификации, подробно рассмотренные ранее, например, на основе байесовского классификационного правила [10]. В примере принята гипотеза о неизменности ориентации сил резания в пространстве, которая справедлива лишь в низкочастотной области и при малых вариациях износа режущего инструмента. При рассмотрении же системы (1) в вариациях, приходится считаться с тем, что в ходе эволюции наблюдается перераспределение между составляющими сил, действующих в различных направлениях. При этом в суммарных матрицах жёсткости и диссипации не только образуются кососимметричные составляющие, но и сами матрицы могут стать отрицательно-определёнными.
В этом случае точка равновесия может стать неустойчивой, и тогда в пространстве состояния формируются некоторые многообразия, которые подробно рассмотрены ранее [9, 10]. В результате этого свойства системы, в том числе показатели геометрического качества изделий, становятся зависящими от начальных условий и малых возмущений, действующих на систему. Важно подчеркнуть, что за счёт влияния кососимметричных матриц жёсткости и диссипации на совершаемую работу и мощность периодических движений инструмента относительно заготовки работу
начинают совершать и переменные составляющие сил резания, имеющие сложную ориентацию в пространстве. Причём работу совершают составляющие сил, обусловленные кососимметричными членами матрицы жёсткости и симметричными членами матрицы диссипации. Работа в этом случае рассматривается вдоль траектории периодических движений инструмента относительно заготовки.
Проиллюстрируем этот эволюционный режим на простейшем примере. Будем считать деталь недеформируемой и процесс точения происходящим при неизменных внешних условиях (скорость, подача, припуск). Для упрощения не будем рассматривать влияние работы и мощности инструмента на общие силы резания, т.е. -Р*-9) = 0. Таким образом, эволюционно меняются исключительно матрицы динамической жёсткости и диссипации процесса. На квазистатические позиционные силы в вариациях относительно точки равновесия X* оказывает влияние деформация инструмента в направлении Х\. Эти составляющие изменяют суммарную матрицу жёсткости системы. Что касается матрицы диссипации процесса резания, то в результате эволюции, как уже отмечалось, изменяются все её компоненты. Как и ранее, скорость резания и две составляющие силы = {-^од,-Ро,2,-Ро,з} будем считать постоянными.
Таким образом, вместо (3) имеем систему
* (*• = *>•<+«.(-*,Й)+А (-<£) +Ф, (-*§■) +« (-^) ;
А А
а4(А) = а0^+а.г J та^(А-т)М(т)(1т; &(А) = /?0,*+/?* J ыр¿{А-т)М{т)<1т-, (5)
о о
А А
ф^А) = ф0,г+фг ! и)фгг(А-т)М(т)(1т; ц^А) = цо,*+№ J «;М1*(А-т)Лг(г)йг;
о о
А(г) = I лг4(*) = ад(*)|, ¿ = 1,2,3.
Ядра операторов в (5) имеют ту же структуру, что ив (2). Однако совершаемая работа соответствует (2) лишь в случае, когда система имеет точку равновесия, асимптотически устойчивую. В общем случае в отличие от (2) работа и мощность определяются для сил, имеющих различные проекции на оси Х\, Х2 и Х%. Выражения для вычисления работы в общем случае подробно проанализированы в нашей монографии [4]. В системе (5) матрица то является диагональной. Что касается матриц упругости с^ и диссипации то с учётом реакции со стороны процесса резания матрица жесткости имеет вид
с(р) =
а\(А) = а0,1 + 711 и!а^(А-т)М(т)(1т; 0; 0
о А
«2 (^4) = «0,2 +72 / "Ша,2 (А—т)М(т)с1т] 0; 0
о А
а3(А) = а0,з + 7з /'шагз(А-т)М(т)(1т; 0; 0
о
(6)
а матрица диссипации процесса резания — вид
А
(7)
(31(А)=(30,1+(31!юрд(А-т)Ж(т)йт; ф1(А)=ф0,1+ф1^тфл{А-т)М{т)<1т]^
о о
А А
/32(А)=/30,2+/32Jг«/з,2(^-г)Лг(г)йг; ф2(А)=ф0<2+ф2^ъзф,2(А-т)М(т)(1т]0
о о
А А
(Зз(А)=(Зо,з+(Зз!ад/з,з(^4-т)Лг(т)^г; фз(А)=ф0,з+Фз^Ыф,з(А-т)М(т)(1т] -фз-
о
А
щ (А) = /х0,1+А*1 Jшмд(А-т)Лг(т)йг
о
А
Ц2{А) = Цо,2+^2!Шм,2(^-т)Лг(т)ЙГ
О
А
Цз{А) = ^0,3+МзJшМ1з(А-т)Лг(г)йг
Таким образом, в ходе эволюции наблюдается перераспределение элементов матрицы жёсткости и диссипации системы резания. При этом в матрицах жёсткости, как правило, возрастают те составляющие, которые формируют силовые реакции со стороны процесса резания в направлениях Х\ и Х3. Коэффициенты матрицы диссипации варьируются в результате действия следующих факторов:
- они принципиально зависят от величины запаздывающего аргумента при формировании изменений сил резания, а запаздывающий аргумент при неизменной скорости резания увеличивается при возрастании объёма пластической деформации в зоне резания, вовлекаемого в перестройку системы. Поэтому матрицы диссипации при малых вариациях координат состояния относительно точки равновесия могут быть отрицательными и по модулю они, как правило, возрастают в ходе эволюционных преобразований;
- за счёт кинетической характеристики процесса резания на падающем участке зависимости сил от скорости наблюдается эффект отрицательного трения в области контакта передней грани инструмента со стружкой и в области, прилегающей к задней поверхности инструмента. Этот эффект, как правило, возрастает по мере приработки и развития износа, т.е. в ходе эволюции системы.
Рассмотрим пример эволюционного изменения системы резания в предположении, что матрицы диссипации остаются неизменными, т.е. /?*=</>* = /х* = 0. Огра-
ничимся случаем, когда работа, совершаемая при колебаниях системы в окрестности точки равновесия пренебрежимо мала по сравнению с работой, совершаемой главной составляющей силы резания по мере перемещения инструмента относительно заготовки. Это справедливо в тех случаях, когда точка равновесия является асимптотически устойчивой или многообразия, формируемые в окрестности этой точки, имеют амплитуды, существенно меньшие, чем величина припуска на обработку. Тогда вместо (5) необходимо рассмотреть следующую упрощенную эволюционную систему резания:
Х.Ш);
¿2х(г) ¿х(г)
т- (М2
р &
(х.
<и
¿х (г) \ л ) ¿х(г)\ л )
сХ(г) а/А^-ХЩ
<М
Х.*Щ.
аЬ )
-- 1,2,3:
¿х(г)\ л )
(8)
/А) = ао,г + аг / и)а^(А-т)М(т)<1т;
А(Ь) = / Л^(4)(й;
[ЛГ<(*) = ВД(*)|,
(/Ид + /?од); (/12,1 + </>од); (/г-зд + ¡Л од)
где = (н 1,2 + /30,2); (/12,2 + 00,2 )! (/»3,2 + МО,2)
.(/11,3 + /?о,з); (/»2,3 + </>0,3 ); (/»з,з + М 0,3)_
суммарная матрица дисси-
пации с учетом реакции со стороны процесса резания.
Рассмотрим конкретный пример для этого случая. Основные параметры системы приведены в табл. 3. Суммарная матрица диссипации условно принята симметричной и положительно-определённой. Начальные значения сил, определяемые технологическими режимами (Ьр = 2,5 мм, вр = 0, 2 мм/об, Ур = 120,0 м/мин) при точении стали 20Х режущими пластинками из Т15К6 равны .Род = 40,0 кГ, ^о,2 = Ю0, 0 кГ, _Ро,з = 60, 0 кГ. Начальные значения коэффициентов жесткости процесса резания соответственно равны «од = 100,0 кГ/мм, «о,2 = 80,0 кГ/мм, ао,з = 20,0 кГ/мм.
Таблица 3
Параметры подсистемы инструмента с учетом реакции со стороны процесса
резания
кГс _3
то, -------- • 10
мм
0,25;
0;
0;
0;
0,25;
0;
0
0
0,25
Л.£.
к Гс
1,2
0,2
0,1
0,2
1,5
0,2
0,1
0,2
1,4
с, — • 10-3 мм
1,0; 0,5; 0,2
0,5; 1,2; 0,4
0,2; 0,4; 1,6
Как и ранее, рассмотрим эволюционные диаграммы смещения точки равновесия системы Х(£) = Х*-\-Х/уЭ\1) (рис. 4) и соответствующие диаграммы смещения
корней характеристического полинома (рис. 5), причём начальные условия системы
(8)равны /ХД /0,06 мм\ /0'
Х(0) = Х| = 0,12 мм ; —(0) = 0
\Х%1 V 0,09 мм) аг \0,
Рис. 4- Траектории эволюционного Рис. 5. Эволюция траекторий смещения смещения точки равновесия системы в корней характеристического полинома для направлени Х\ системы (8)
Мы видим, что пары корней характеристического полинома после некоторой эволюции становятся равными между собой и вещественными (точка А на рис. 5). Затем эти корни расходятся по вещественной оси в разные стороны, и один из корней пересекает мнимую ось. В этот момент «замороженная» система теряет устойчивость точки равновесия и координата Х\ по закону неустойчивой экспоненты уходит в бесконечность. Наблюдается так называемый «подрыв» инструмента. Система в целом в этом случае претерпевает двойные бифуркационные преобразования. Три наложенных друг на друга устойчивых фокуса на начальной стадии эволюции преобразуются в точке А на рис. 4, 5 в два устойчивых фокуса, которым соответствуют колебания относительно узла, асимптотически стремящегося к точке равновесия. Затем одна из траекторий становится неустойчивой, но к ней стягиваются все остальные траектории. Приведённый пример показывает, что эволюционные преобразования в процессе резания не являются только износом инструмента и (или) изменением текущих значений диаметра обрабатываемой заготовки. Это лишь два внешних проявления эволюционных изменений системы. Большего внимания, на наш взгляд, заслуживает изменение топологии фазового пространства, проявляющееся в бифуркационных преобразованиях и связанные с ним изменения динамической характеристики процесса резания.
Приведем еще один пример эволюционных преобразований линеаризованной системы. Теперь будем считать, что эволюционные изменения имеют только матрицы диссипации, т.е. щ = 0, а Д, ^ 0, 0* ^ 0, /х* ^ 0. Пусть в рассмотренной выше системе матрица коэффициентов эволюционных преобразований соответствует табл. 4.
Таблица 4
Значения коэффициентов эволюционных преобразований матрицы диссипации процесса резания
г А, АГ фг, мг с , о ЛГ
1 = 1 -0,02 0,001 0,01
1 = 2 0,01 0,002 0,005
1 = 3 -0,02 0,002 0,005
Рассмотрим изменения эволюционной траектории точки равновесия (рис. 6). Ранее было показано, что элементы матрицы динамической диссипации процесса резания в окрестности точки равновесия могут иметь отрицательные значения. Причины этого двоякие. Во-первых, отрицательные значения некоторых коэффициентов могут формироваться за счет запаздывающего аргумента в функциях изменения сил при варьировании координат, влияющих на силы. Во-вторых, отрицательный знак при определенной скорости резания может быть следствием кинетической характеристики сил трения при контакте стружки с передней поверхностью инструмента и в области контакта задней грани инструмента с заготовкой. Влияние этих факторов увеличивается по мере развития износа, т.е. в ходе эволюционных преобразований системы резания.
Рис. 6. Диаграмма эволюционного смещения точки равновесия за счёт изменения матриц диссипации
Обращают на себя внимание супернизкочастотные периодические смещения точки равновесия, которые постепенно затухают, и текущие значения размера устанавливаются на некотором постоянном уровне. Таким образом, сами эволюционные изменения, которые в данном случае моделируются в виде интегральных операторов, возмущают поведение системы, если её рассматривать в «замороженном» виде, т.е. динамика эволюционных преобразований влияет на стационарную траекторию, которая может быть устойчивой и неустойчивой. В рассматриваемом примере стационарный режим устанавливается до совершения работы порядка 250 - 260 кГм (точка А на рис. 6). В дальнейшем эти колебания начинают возрастать, и начиная с точки В «замороженная» динамическая система резания теряет устойчивость
точки равновесия. При этом пара комплексно-сопряжённых корней характеристического полинома «замороженной» системы переходит в правую комплексную полуплоскость (на иллюстрации не показано). Характерно, что даже малые вариации /?*, фг, /х* могут приводить к существенной динамической перестройке системы. При этом, как и в предыдущем случае, изменяется топология фазового пространства системы резания.
При переходе пары корней характеристического полинома в правую комплексную полуплоскость линеаризованные модели становятся неприемлемыми. По мере увеличения амплитуды периодических движений в системе формируются дополнительные связи, ограничивающие развитие периодических движений. Поэтому необходимо принимать во внимание нелинейные динамические модели. Здесь приведём пример, когда нелинейная характеристика процесса резания представлена в форме,
предложенной Релеем: п п з
= /?!<; - /?2<Л (9)
(¿Ух
где V = —-—I——. Таким образом, ограничимся случаем, когда вариации смещений аЬ со,
инструмента относительно заготовки только по координате Х\ вызывают изменение главной составляющей силы, которая в пространстве с помощью матрицы угловых коэффициентов разлагается на проекции.
Поэтому вновь обратимся к системе (2). Суммарные смещения по направлению Х\ определяются как Y\-\-Z\. Однако в отличие от (2) будем рассматривать динамическую характеристику процесса резания по колебательным скоростям инструмента относительно заготовки в нелинейном виде. Кроме того, начальные значения смещений Zl будем считать нулевыми, т.е. координаты состояния системы будем рассматривать в вариациях относительно статической уставки режущего инструмента в независимой системе отсчёта металлорежущего станка. Таким образом, эволюционное уравнение динамики можно представить в виде следующего уравнения: ¿2У(г) ,г]У(г)
т-
<М2 Л
ь—г-—\-cYit) = ^(г){хьх2,хз};
М^Ж'+ + сщ) = т {х‘ ’ *2’Хз1;
А А
а(А) = ао+а-1) -ша(А - т)М(т)(1т] (31(А) = /?од+/?1) ы/з{А - т)М(т)(1т] (10)
о о
А
02(А) = /?о,2 +/?21 ^/з(А - т)К{т)(1т]
о
А(Ь) = I ЛГ(*)<Й; N(1) = УР|Х2^(*)|,
кГс3
где /?о 2 — нелинейный коэффициент диссипации, имеющий размерность ——; /?2 —
.м,
нелинейный коэффициент эволюционных преобразований, имеющий размерность с3
—-т. Начальные условия (10) имеют вид
М
>-(»V »-(»)■ >-(»
(П)
«т-1«);
Проанализируем временные и фазовые траектории движения системы из точки (11). Удобно их рассматривать в виде проекции на фазовые плоскости У, йУ/сИ и Z, (^¡(И в системе координат, по оси абсцисс которой находится единое время (рис. 7, 8). Таким образом, фазовая плоскость, расположенная левее оси абсцисс, относится к Y1dY/dt, а расположенная правее — к Z,dZ/dt (см. рис. 8). Параметры системы соответствуют рассмотренному ранее первому примеру.
Рис. 1. Пример эволюционной диаграммы Рис. 8. Фазовые траектории системы (10) смещения инструмента и заготовки для для случая а(А) = О
системы (10)
Мы видим, что при а (А) = 0 после переходного процесса устанавливается стационарное состояние с координатами Z\ = Z* = 0, 44мм = const и У = Y* =
0,11 мм = const (см. рис. 7). Однако по мере движения системы за счёт увеличения (3\ (А) корни характеристического полинома «замороженной» системы смещаются и в точке А на рис. 7 переходят через мнимую ось. При этом в окрестности точек Z\ = Z* = 0, 44а1м = const и У = у* = 0,11 мм = const матрица диссипации «замороженной» системы становится отрицательно-определённой. Поэтому точки равновесия теряют устойчивость, и в их окрестности формируется устойчивый предельный цикл, параметры которого меняются в ходе эволюции. Таким образом, точки А на рис. 7 являются точками бифуркации Андронова — Хопфа. Это бифуркация рождения орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла из асимптотически устойчивой точки равновесия. Если при этом в силовой функции системы (10) дополнительно учесть нелинейность в позиционной связи, то по мере увеличения амплитуды периодических движений будет наблюдаться динамическое смещение точек у* и Z*. Таким образом, формируемые в пространстве «быстрых» движений многообразия (в рассматриваемом случае это параметры предельного цикла) оказывают влияние на формообразующие траектории «медленных» движений, т.е. на текущие значения диаметра обрабатываемого вала.
Идентификация ядер интегральных операторов
При построении эволюционных уравнений главную сложность представляет идентификация ядер интегральных операторов. Все интегральные операторы в си-
стемах уравнений являются стационарными. Поэтому возможно их оценивание на участке приработки режущего инструмента и установления стационарного состояния. Более общий алгоритм идентификации рассмотрен ранее [5]. Здесь приведём достаточно простой способ оценивания ядер интегральных операторов на примере определения изменений динамической жёсткости процесса резания для случая, когда в качестве жёсткости используется традиционное скалярное о ней представление, принятое в технологии машиностроения. Кроме того, будем считать, что стационарное состояние системы является устойчивым. Подчеркнём, что построение эволюционных уравнений, позволяющих оценивать смещение точки равновесия, т.е. изменение диаметра детали, целесообразно выполнять для изделий, имеющих малую жёсткость, или в тех случаях, когда жёсткость подсистемы инструмента мала (например, при растачивании отверстий расточными оправками). В этом случае эволюционное уравнение будет иметь вид
ciYi(t)
C\Z\{t) — xi
A(t)
a\ J wa(A — t)N(t)c1,t
о
A
«і J wa(A — t)N(t)c1,t
( — Y\(t) — Z\(t))
( — Y\{t) — Z\{t))
(12)
VP\X2F(t) I,
где ao, ot\ — параметры, подлежащие идентификации; w0(A—t) = exp
J- (У.
ядро оператора, в котором также необходимо идентифицировать основной параметр Т
-1 а ■
В процессе исследований заданными параметрами системы (12) являются с 1, С1, xi 1 Х2 и Vp. Причём они постоянны. Наблюдаемыми координатами являются Y\{t) и Z\{t). Координата Yi(t) наблюдается с помощью прямого измерения упругих деформаций инструмента, например, тензометрических датчиков. Координата Z\(t) определяется на основе измерения диаметра детали после обработки при уже измеренной координате Yi(t). Измеряемая на основе определения упругих
деформаций сила Fo входит в состав системы, в которой выполняется соотноше-
А
ние ao/ci = ско/Ci ~ 0. Кроме того, по самому смыслу системы (12) а\ f wa(A —
о
т)Щфт( -Y^t) -Ziit)) =0 при t = 0. Поэтому определение «о осуществляется на начальной стадии процесса обработки после переходного процесса, связанного с
врезанием инструмента в заготовку, по выражению
С\
ао
F0 - —У(0)
XI
(13)
Ci + с 1
Так как измеряемой величиной является Y\{t) и Vp = const, то можно вычислить фазовую траекторию {A,dA/dt = N} и представить её в виде векторов {^4(0), А(1),..., А(/г)}т и {N(0), N(1),..., N(k)}T. Кроме того, согласно (12), справедливо выражение А
as(A)=a 1 [ w(A-£)N(£)d£, (14)
*ь С1У1(А) + сдал)
где“Е( } + 2хАУМ) + 2М)\ “°'
Характерно, что при А = 0 выполняется соотношение = 0, так как в этом случае имеем 2x1-?о = С1^(0) + + 2х1ао [^(О) + ^(0)] — условие
статического равновесия системы на начальной стадии процесса резания. Поэтому смысл функции а^(А) характеризует изменение динамической жёсткости процесса резания за счёт совершённой работы необратимых преобразований. Так как интегральный оператор является стационарным и его параметры определяются в виде
та(А—т)=ехр | — — (А—т) 1, то можно сформировать функционал
\ ГУ
к ( ^
- I rf / А-£
У) < as(Ai) - а 1 /
¿=о [ {
ехр -
Т
-L rv
N(£)d£ > = min, (15)
позволяющий определить а\ и Та наилучшим образом в среднеквадратическом смысле. Выбор а\ и Та, удовлетворяющих функционалу (15), удобно осуществлять по методу Гаусса — Зайделя.
Можно ещё в большей степени упростить процедуру оценивания а\ и Та, если ввести в рассмотрение математическое ожидание мощности резания с оценкой
л i=k
^ = (16)
¿=0
где N = const. Тогда функционал (15) существенно упростится:
/
1 = УАаМ-а1ЙТа
\
1—е > = min. (17)
Приведем пример оценивания параметров интегрального оператора для случая растачивания отверстия в магний-алюминий-цинковом сплаве МЛ-5 диаметром с1 = 65,4 мм при постоянных режимах резания. Скорость резания Ур = 60,0 м/мин, величина подачи на оборот Бр = 0,01 мм/об, глубина резания Ьр = 2,0 мм. Инструмент из Т15К6 из трёхгранных неперетачиваемых пластинок. Измерение упругих деформаций расточных оправок в радиальном направлении осуществлялось с помощью прямого тензометрирования изгибных их деформаций. Пример характеристики мощности в функции работы приведён на рис. 9, а функции а^(А) — на рис. 10. По приведённым графикам несложно оценить параметры ядра интегрального оператора: Та = 24 кГм, а\ = 1, 08 с/кГм . В этом случае значение эволюционной составляющей динамической жёсткости процесса резания получается в кГ/м.
При практической реализации систем диагностики и управления использование математических моделей для учёта эволюционных преобразований является недостаточным. Это лишь имитационная модель, позволяющая определить общую тенденцию изменения траекторий исполнительных перемещений. Её целесообразно дополнить экспериментально полученными траекториями эволюции корней характеристического полинома.
Приведем пример построения таких траекторий для рассмотренного случая растачивания отверстий в магний-алюминий-цинковом сплаве МЛ-5 диаметром
Рис. 9. Зависимость мощности от Рис. 10. Зависимость суммарной
работы жёсткости от работы
(1 = 65,4 мм (рис. 11 - 13). При этом работа сил резания изменялась от нуля до 300 кГм. На диаграммах приведены лишь значимые корни в частотном диапазоне 100 Гц — 2,0 кГц. Эти корни формируют пространство А^6, в котором отображаются отдельные стадии эволюции системы. Так как проиллюстрировать графически шестимерное пространство не представляется возможным, то на иллюстрациях приведены также пространственные диаграммы изменения модулей корней = а* ±
(г = 1,2,3), т.е. \р{\ = у/(«¿)2 + (Ь¿)2 и аргументов, которые в данном случае характеризуют частоты основных осцилляторов, включённых в АР модель сигнала виброакустической эмиссии.
Рис. 11. Диаграмма эволюции корней характеристического полинома АР модели в
комплексной плоскости
Ранее было показано, что изменения матриц жесткости и диссипации вызывают вариации как модулей, так и аргументов. Однако модули, характеризующие коэффициенты затухания каждого осциллятора в большей степени характеризуют текущее диссипативное влияние процесса резания на колебания, а смещения частот (аргументов корней) в основном зависят от изменения динамической жёсткости процесса резания.
Приведённые здесь диаграммы являются типичными для обработки резанием. Особенностью приведённых траекторий является достижение вторым корнем единичной окружности и стягивание на конечной стадии к этому корню третьего (на рис. 11 показано пунктирной стрелкой). Такое преобразование корней обусловлено бифуркациями динамической системы резания после перехода второго корня через единичную окружность. В системе в этом случае на порядок и более возрастает
Рис. 12. Диаграмма эволюции модулей корней
амплитуда второго осциллятора и подавляются колебания третьего. Здесь отметим, что экспериментально полученные эволюционные диаграммы характеризуют базу знаний, на которую можно опираться для реального оценивания отдельных стадий эволюции. Такое оценивание не вызывает трудности, так как опирается на легко измеряемые временные вибрационные последовательности.
Заключение
Приведённые материалы позволяют сделать следующие выводы.
1. В ходе функционирования системы резания имеет место её динамическая перестройка, обусловленная эволюционными изменениями параметров динамической характеристики процесса обработки. Траекториям эволюции параметров динамической характеристики соответствуют траектории корней характеристического полинома в комплексной плоскости. Наблюдение за траекториями корней в процессе резания удобно выполнять на основе авторегрессионного спектрального анализа сигнала виброакустической эмиссии. Траектории корней, в свою очередь, характеризуют не использовавшуюся ранее информационную базу, позволяющую в реальном времени диагностировать процесс резания и управлять им.
2. Эволюция параметров динамической характеристики процесса резания вызывает изменение параметров многообразий, формируемых в окрестностях стационарных траекторий, которые задаются траекториями «медленных» движений исполнительных элементов станка. В отдельных точках эволюционных траекторий наблюдается изменение топологии фазового пространства подсистемы «быстры» движений, т.е. бифуркации, которые принципиально меняют динамический режим процесса резания. В результате наблюдается смещение траекторий формообразующих движений инструмента относительно заготовки, определяющих показатели геометрического качества изделий. Поэтому наблюдение за траекториями корней характеристического полинома позволяет оценивать текущие показатели геометрического качества изделий непосредственно в ходе обработки.
3. При моделировании эволюционных преобразований в динамической системе резания необходимо использовать функциональные уравнения, в которых параметры динамической характеристики связаны интегральным преобразованием с траекториями пространства «работа — мощность». В результате, с одной стороны, силы необратимых преобразований при резании являются зависящими от траекторий, с другой — сами траектории являются зависящими от сил, так как определяются траекториями работы и мощности.
4. Приведённые материалы являются основой для синергетического управления процессом резания, которое опирается на естественные перестраиваемые динамические свойства системы. Траектории исполнительных элементов станка в данном случае характеризуют параметры управления свойствами системы в вариациях относительно стационарных траекторий «медленных» движений, которые необходимо выбирать таким образом, чтобы естественные свойства системы сами обеспечивали требуемые формообразующие движения инструмента относительно заготовки. Используемые в уравнениях динамики интегральные операторы одновременно позволяют выбрать среди этих траекторий такие, которые удовлетворяют критерию минимума энергетических потерь на обработку.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дальский А.М. Технологическое обеспечение надёжности высокоточных деталей машин. - М.: Машиностроение, 1975.
2. Технологическое основы обеспечения качества машин/Под ред. К.С. Колесникова.
- М.: Машиностроение, 1990.
3. Буше H.A. Трение, износ и усталость в машинах. - М.: Транспорт, 1987.
4. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
5. Заковоротный В.Л., Блохин В.П., Алексейчик М.И. Введение в динамику трибосистем.
- Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2004.
6. Заковоротный В.Л. Аттракторы механических систем, взаимодействующих со сре-дой//Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Синергетика и проблемы управления. Таганрог, 2001. №5(23). С. 132 - 152.
7. Заковоротный В.Л., Волошин Д.А., Лукьянов А.Д., Флек М.Б. Моделирование процесса изнашивания инструмента с помощью интегральных операторов. 4. 1//СТИН. М., 2004. №3. С. 9 - 14.
8. Заковоротный В.Л., Волошин Д.А., Лукьянов А.Д., Флек М.Б. Моделирование процесса изнашивания инструмента с помощью интегральных операторов. 4. 2//СТИН. М., 2004. №4. С. 18 - 21.
9. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания//СТИН. М., 1998. №12. С. 7 - 14.
10. Заковоротный В.Л., Ладник И.В. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего станка для диагностики процесса обработки//Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. №4.
