Управление жесткостью пружины при помощи реактивных параметров Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 534.112:537

УПРАВЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТЬЮ ПРУЖИНЫ ПРИ ПОМОЩИ РЕАКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ .

Г.А. Байзакова, А.К. Томилин

Восточно-Казахстанский Гэсударственный Технический Университет им. Д.Серикбаева, Усть-Каменогорск, Казахстан

Peaxmuemi перешетрлердщ квмеггмен cepinmi суйы/рпыгын баскрру eceói царастырылады.

Рассматриваются задачи управления житкостью пружины при помощи реактивных параметров.

The work considers the issues ofspring force by way ofreactive parameters.

В работах [1-3] рассматриваются задачи о колебаниях электропроводной струны в магнитном поле при наличии во внешней замыкающей цепи реактивных электрических параметров (конденсатор, катушка индуктивности). Показано, что наличие электроемкости приводит к увеличению инерционных свойств, а наличие индуктивности изменяет упругие свойства систем. Таким образом, имеется возможность при помощи реактивных электрических параметров влиять на значения собственных частот колебаний системы. Очевидно этот эффект проявляется и в более сложных электромеханических системах.

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях цилиндрической пружины, изготовленной из немагнитного материала, во внешнем стационарном радиальном магнитном поле инду кции в = B(r, z)r°, причем г > г0, где г0 - радиус малой центральной зоны (рис.1).

В(г.г)

Рисунок 1

Концы пружины закреплены и соединены идеальной электрической цепью.

Целью настоящего исследования является теоретическое определение значений собственных частот колебаний пружины и ее продольной жесткости, с учетом электромагнитного воздействия.

При перемещении витки пружины пересекают линии магнитной индукции, в силу чего индуцируется ЭДС и на концах пружины возникает напряжение:

Ч ди(г,1) п( £> \ „

и=\-

где ^у >21 - значение магнитной инду кции на витках пружины; £> - средний диаметр витка; г/(г, /) - функция смещения пружины; - элемент пружины, /* - общая длина витков пружины. Обозначим — = а- радиус витка пружины. В пружине индуцируется результирующий ток плотности у :

а г ди

где о - проводимость материала пружины. Перейдем от координаты к ¿г с1Б = Ю^сЬ. ,т.к. Г = лОг0/,

где ¿о - число витков на единицу длины пружины, / - расстояние между закрепленными концами пружины.

Тогда выражение для индуцированного тока у запишется следующим образом:

I

Электромагнитная сила, действующая на элементарный участок пружины (1Б\

¿Г = ]Вс1У = ]ВА(1Б =

/I

\д—В(а,г)сЬ

дс

с/5

•(4)

Запишем уравнение колебаний пружины с учетом полученной электромагнитной силы:

д2и к д2и оВ(а,г)'Г1}, лди

дг2 тп я22 р1 + У 7дг . '15>

дг2 т0 дг2 Р1

где р = - объемная плотность, т0 - погонная масса, к - продольная жесткость пружины.

Полученное интегро-дифференциальное уравнение записано без учета внешнего и внутреннего сопротивления.

Используем процедуру Фурье:

6)

л-1

где (2) - 5т ~~2 - собственные амплитудные функции, а дп(1) - обобщенные координаты, и в силу ортогональности амплитудных функций У/п, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в виде:

2сг 00

Яг + РгЯг ГЛп = 0, {г = 12,3...), (7)

Р1 л-1 2 _ к Г2Х2

где Рг---- собственные частоты колебаний пружины и введены

шо I ооозначения:

I

г; = р¥г(г)в(а,г№ _

Обезразмерим уравнение (7), выбрав в качестве характерных величин: / -расстояние между закрепленными юнцами пружины, Р - объемную плотность материала, <у - проводимость, ^ * - магнитную индукцию, г ~ ~ - время.

00

Яг + РгЧг ^Э^У^яХ =0, {/- = 1,2,3....},(8)

п-1 .

сВ'2

где » =-- число Стюарта, характеризующее отношение магнитной силы

РР\

к силе инерции.

Проведем расщепление системы уравнений (8), оставив в первом уравнении (г = 1) только первый член су ммы, во втором (г = 2) - первый и второй члены

]

и т. д.

"¿¿1 + 25^171Ч+12-<?1 =0; (9)

Чг + 25^2/2 "Яг + 22 '92 = ~ЖУ\У*2 'Ч\5

9г +Жу*Гг -Чт +Г29г + У2Ч2 + ■■■ +Уг-\Яг-\)

Последовательно проинтегрировав систему- уравнений (9), получим решение, описывающее собственные затухающие колебания с набором демпфированных частот:

(г=1,2,3,....).(ю)

Из полученного уравнения видно, что электромагнитное воздействие в этом случае приводит к уменьшению собственных частот колебаний пружины.

Далее рассмотрим подобную задачу; подключив во внешнюю цепь конденсатор, емкостью С. Напряжение между обкладками конденсатора при колебаниях пружины в магнитном поле определяется по закону: /*

1/с =1^(^.(11) о

Сила тока, индуцированного в цепи равна:

- д и

I - С шСисш СяО;0\~в{а,. (12)

о д*

При взаимодействии с магнитным полем этот ток создает электромагнитную силу, действующую на каждый элемент пружины :

¿Р = В МБ

I .2 \

Б (а, г]СлОг„ | й(я, г)—

^ .(13)

Для этого случая получим следующее интегро-дифференциальное уравнение собственных колебаний пружины:

д2м А: Э2и В(а,г)СяО/0 чЭ2« л дГ Щ) дг Щ ^ дГ у '

Применяя процедуру Фурье и свойство ортогональности амплитудных функций, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в безразмерном виде:

Яг + РгЯг =0, {г = 1,2,3...},(15)

,2 "-1 ^ В С1 Г

где ьг =-- число Стюарта.

т0

В результате расщепления системы уравнений (15) и их последовательного интегрирования получим функции с набором парциальных частот:

со^ =

Таким образом, наличие реактивного параметра, а именно конденсатора, уменьшает частоты собственных колебаний пружины, за счет увеличения квазиинерционных свойств электромеханической системы.

Вычислим эквивалентную продольную жесткость пружины в этом случае:

к^-т ^ - ЩГ2 кг -т0©г--- ¡2.(17)

1 + 2зддог;

Произведем расчеты, при следующих характерных величинах:

0,05 л0,1

В

* = 1Гл> С = 2Ф, / = 0,2л*, £> = "^Т = 0'25. 1-10, то =

0,5.

При этом: Б* = 0,8, у* = ОД и получаем й>{с 1 = 0,94, ^ = 0,89 • Т.е. и частота уменьшается на 6%, а продольная жесткость на 11%. Очевидно эффект можно у силить, увеличив индуцированный ток за счет дополнительного источника ЭДС.

Далее рассмотрим аналогичную задачу, подключив во внешнюю цепь вместо конденсатора катушку индуктивности Ь. Напряжение и г, возникающее на ее концах при колебаниях пружины в магнитном поле: Г

о

Электромагнитная сила, действующая на участке пружины запишется в

виде:

/

¿Г =

В(а,г)хВ1 о ' ^

\

й

о

. (19)

Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний пружины, записанных в безразмерном виде:

дг + р\Чт {г = 1,2,3....},(20)

„2 "-1 5 / 1

где = —--. число Стюарта.

Расщепляя Улученную систему уравнений, находим решение с набором парциальных частот:

=у/г2 > (г = 1,2,3,....). (21)

Отеюда видно, что наличие катушки индутсгивности во внешней цепи приводит к увеличению собственных частот колебаний пружины за счет увеличения квазиупрутих коэффициентов.

Безразмерная продольная жесткость пружины в этом случае тоже увеличивается:

к(1) = т0со)2 = щ + 2ЯлО^? ) (22)

Проведем оценку, используя вышеуказанные характерные величины, а также! =0,5 Гн

При этом: 5^ = 0,8, у* = ОД ■ Расчеты показывают, что = 1,061, а к}1) = 1Д256, т.е. увеличение частоты происходит на 6%, а жесткость пружины уменьшается на 13%. Как было сказано выше этот эффект можно усилить, увеличивая индуцированный ток в цепи.

В заключении, отметим, используя реактивные параметры, во внешней электрической цепи, можно управлять частотой колебаний пружины или каких-либо других упругих элементов. Возможно полученный эффект можно использовать для подстройки частоты при необходимости вывода колебательного процесса из резонансного режима.

Литература

1. Томилин А.К. Колебания электромеханических систем с распределенными параметрами,- Усть-Каменогорск, 2004,- 272 с.

2. Томилин А.К., Байзакова Г.А. О динамических свойствах электромеханических вибрационных систем// Международная научно-практическая конференция «Третьи Окуневские чтения». Материалы докладов. В 2-х томах. Т.2. Теоретическая и прикладная механика - С-Петербург,- БГТУ, 2002. -157-158 с.

3. Томилин А.К., Байзакова Г.А. Параметрические колебания систем в нестационарном магнитном поле при наличии во внешней цепи электроемкости// Вестник ВКГТУ, № 2, 2003. -Усть-Каменогорск,- С. 39-44.

4. Хвингия М.В. «Вибрации пружин» Машиностроение, М., 1969г.