CC BY
58
УДК 330. 322.54
Управление запасом денежных средств при стохастическом характере расхода и поставок
КАтАргин ниКолАй виКторович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Моделирование экономических и информационных систем» Финансового университета E-mail: [email protected]
аннотация. Разработан программный модуль для имитационного моделирования изменения запаса в банковской сфере, в том числе денежных средств, при штрафе за дефицит и стохастическом характере расхода и времени поставок. Предполагается, что расход денежных средств неравномерен и подчиняется закону нормального распределения (Гаусса), сроки поставки также распределены во времени по закону Гаусса. В общем случае законы распределения могут быть любыми, в том числе эмпирическими, экспертными, заданными в виде таблицы или графика, при этом программный модуль, используемый при решении задачи, усложняется незначительно. При различных значениях объема заказа многократно имитируются запасы, издержки на хранение, поставки и штрафы за дефицит в течение длительного времени. После этого можно выбрать объем заказа, при котором суммарные издержки минимизируются. Программа разработана в среде Visual Basic for Application MS Excel. Программный модуль можно доработать для многономенклатурной модели и более сложных структур: иерархической системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии ит.п. В финансовой сфере это взаимное кредитование и кредитование в Центральном банке. Ключевые слова: имитационное моделирование, модель Баумоля-Тобина, управление запасами.
Managing cash reserve in stochastic consumption and supply
KATARGIN NIKoLAI v., Ph.D. (Phys. and Mathem.), docent, Mathematical Modeling of Economic Processes Department, Finance University E-mail: [email protected]
abstract. Developed a software module for simulating inventory changes, including money resources, when the penalty for the deficit and the stochastic nature of the expense and time of supply. It is assumed that the flow of money uneven and subject to the law of normal distribution (Gauss), delivery time is also allocated in time Gaussian. Distribution laws can be anything, including empirical, the expert specified in the form of a table or graph, with a non-principle modification of the software module. At various values of the supply repeatedly simulates the inventory, storage expenses, supplies and fines for the deficit for a long time. After that, you can choose the volume of the supply, at which total costs are minimized. The program is developed in Visual Basic for Application in MS Excel. Developed a software module can be modified for diversified models and more complex structures: a hierarchical system of warehouses with various replenishment periods and the time of delivery, with the opportunity to exchange reserves between warehouses one level of hierarchy, etc., In the financial sector it is equal a mutual lending and lending in the Central Bank. Keywords: Baumol-Tobin model, inventory management, simulation modeling.
Управление запасами — одна из экономических задач, решение которых имеет важное народнохозяйственное значение. Своевременная и правильная выработка оптимальной стратегии управления запасами, а также определение нормативного уровня запасов позволяют высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что, в конечном счете, повышает эффективность использования ресурсов.
Что можно понимать под запасами (резервами) в финансовой деятельности? Это запас наличных денег и высоколиквидных активов в банке, чтобы можно было в любой момент удовлетворить все возникающие требования. Эти деньги не приносят или почти не приносят дохода, и упущенный доход можно считать платой за их хранение. Запас денег повышает вероятность ограбления и ущерб от него, что аналогично расходам на хранение, а плата за инкассацию аналогична плате за пополнение запаса. Расходы на безопасность и повышение скорости работы информационных систем можно считать омертвленными ресурсами, поэтому оптимизация их представляет собой важную практическую задачу.
Рассмотрим основные характеристики классических моделей управления запасами [1].
Расход (спрос) Ь = N/0, где N — потребность за период времени 0. Расход может быть детерминированным (в простейшем случае — постоянным во времени) или случайным [2].
Пополнение запаса может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т.е. снижения их до некоторого уровня Б. Время между поставками Т = п/Ь, где п — объем заказа.
Объем заказа п. При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня — так называемой точки заказа D.
Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется мгновенно. Мы рассмотрим поставки в случайный интервал времени
Стоимость поставки с1. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент: разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих (чаще всего линейно) от объема партии. Мы будем учитывать только разовые затраты.
Издержки хранения с2. Предполагаем, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.
Штраф за дефицит с3. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т.п. Эти убытки, пропорциональные дефициту, в дальнейшем будем называть штрафом за дефицит. Для банка штраф за дефицит — это еще и вероятность потери репутации и отзыва лицензии.
Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас. В банке различные виды активов. Программный модуль можно доработать для многономенклатурной модели.
Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т.п. В финансовой сфере это взаимное кредитование и кредитование в Центральном банке. В Интернете — маршрутизаторы, распределяющие трафик по менее загруженным линиям связи.
В качестве критерия эффективности (целевой функции) принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на поставку запасаемого продукта, его хранение (в банке — потери от омертвления капитала) и затраты на штрафы. Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасов, при которой функция затрат принимает минимальное значение.
Наиболее известные модели определения оптимального остатка денежных средств — Баумоля-То-бина и Миллера-Орра. Американский экономист Уильям Баумоль первым трансформировал формулу Уилсона для планирования остатка денежных средств. Исходными положениями модели Баумоля-Тобина являются постоянство потока расходования денежных средств, хранение всех резервов денежных активов в форме краткосрочных финансовых вложений и изменение остатка денежных активов до первоначальной величины в случае достижения ими определенного критического уровня. В соответствии с этой моделью затраты предприятия на реализацию
Таблица 1
исходные данные
Н 1 К 1. м N 0
14 ь 328 п 3900 & 3
15 с1 10000 NN 1000 Sdt 1
16 с2 0,35 й 300 Sb 100
17 с3 10 Т 11,8625 пс 10
обозначения: Ь - средний ежедневный спрос; с1 - стоимость поставки заказа; с2 - стоимость хранения единицы запаса в день; с3 -штраф за отсутствие единицы запаса в день; п - размер заказа; NN - число временных периодов; й - минимальный запас, при котором делается заказ; Т - среднее время между поставками; dt - средний срок исполнения заказа; Sdt - стандартное отклонение срока исполнения заказа; Sb - стандартное отклонение; пс - число имитаций при каждом п.
ценных бумаг в случае хранения части денежных средств в высоколиквидных бумагах сопоставляются с упущенной выгодой, которая возникнет у предприятия в случае отказа от хранения средств в ценных бумагах, соответственно по ним не будет процентов и дивидендов. Модель позволяет рассчитать такую величину денежных средств, которая минимизировала бы и затраты по транзакциям, и упущенную выгоду. Согласно модели предприятие начинает работать, имея приемлемый (целесообразный) для него уровень ликвидности. Далее по мере работы уровень ликвидности сокращается (постоянно расходуются денежные средства в течение некоторого периода времени). Все поступающие денежные средства предприятие вкладывает в краткосрочные ликвидные ценные бумаги. Как только уровень ликвидности достигает критического уровня, т.е. некоторого заданного уровня безопасности, предприятие продает часть купленных краткосрочных ценных бумаг и тем самым пополняет запас денежных средств до первоначальной величины. Таким образом, динамика остатка денежных средств предприятия представляет собой «пилообразный» график.
Если определить объем необходимого на период размера денежных средств невозможно, а остаток денежных средств изменяется случайным образом, то для определения оптимального размера денежных средств применяется модель Милле-ра-Орра. В этой модели устанавливаются верхняя и нижняя контрольные границы величины денежных средств. Когда остаток денежных средств достигает верхнего предела, ценные бумаги покупаются, при достижении им нижней границы бумаги продаются.
Рассмотрим статическую модель Баумоля-Тоби-на с дефицитом. Пусть затраты на поставку одной
партии составляют с1 = 10000 руб., затраты хранения единицы запаса (1 тыс. руб.) в сутки с2 = 0,35 руб., штраф за дефицит 1000 руб. в сутки — 10 руб.
Общий промежуток времени 0 = 1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000 тыс. руб.
Для статической модели без дефицита оптимальный объем заказа вычисляется по формуле Уилсона с учетом штрафов за дефицит:
2с1Ь с2+с3 .... _
п°= тыс' ру
Периодичность поставок: ©
Т0 = п0 — = 13,4 дней.
Недостаток модели Баумоля-Тобина заключается в том, что предполагается предсказуемость и устойчивость денежного потока. Также в ней не учитываются цикличность и сезонность, свойственные большинству денежных потоков.
Решим эту задачу, предполагая, что расход денежных средств неравномерен и подчиняется закону нормального распределения (Гаусса), сроки поставки также распределены во времени по закону Гаусса. Вообще законы распределения могут быть любыми, в том числе эмпирическими, экспертными, заданными в виде таблицы или графика, при этом программный модуль, используемый при решении задачи, несколько усложняется, но без принципиальных изменений.
Если дневной расход Ь и срок исполнения заказа & — случайные величины, то аналитически задача
Таблица 2
Проведение расчетов
A B C D e f с н
15 Сумма
16 1605500 568467,3 850000 187032,7 331500
18 t n Хранение cl Штраф Поставка
19 1 1000 350 RND() =норм.ст.обр()
20 2 540,5 189,2 RND() =норм.ст.обр()
21 3 19,67 6,88
22 4 -345,3 3453,3
23 5 3305,8 1157,0 10000 3900
24 6 2985,2 1044,8
25 7 2703,3 946,1
26 8 2275,7 796,5
27 9 1732,1 606,2
28 10 1384,4 484,5
29 11 925,6 323,9
30 12 755,4 264,4
31 13 366,5 128,2
32 14 -15,10 151,0
33 15 -510,4 5104,4
34 16 2964,5 1037,5 10000 3900
35 17 2692,8 942,4
36 18 2344,1 820,4
37 19 2080,7 728,2
Программные модули кнопок: Private Sub CommandButton1_Click() Dim aa, bb As Range Определение массивов-диапазонов Set aa = Range («В19») Привязка массивов к диапазонам Set bb = Range ("J24") ячеек Excel NN = Range ("L15") Счетчик записей K2 = Range ("J20"): Sb = Range ("O16") Считывание переменных b = Range ("I14"): n0 = Range ("L14"): K3 = Range ("K20") c1 = Range ("I15"): c2 = Range ("I16"): c3 = Range ("I17") d = Range ("L16"): Sdt = Range ("O15") For i = 2 To NN: For K = 1 To 5 Очистка массива aa (i, K) = Empty Next K: Next i aa (1, 2) = aa (1) * c2 Затраты на хранение в первый день For i = 2 To NN Временные интервалы aa (1,6) = RND(): aa (2,6) = RND() aa (i) = aa (i - 1) - b + Sb * aa (1, 7) + aa (i, 5) Изменение запаса dt = Range («014») + Sdt * aa (2, 7) Случайное время поставки, If dt < 1 Then dt = 1 dt не менее 1 дня If aa (i) > 0 Then aa (i, 2) = aa (i) * c2 Затраты на хранение If aa (i) < 0 Then aa (i, 4) = -c3 * aa (i) Штраф за дефицит If aa (i) < d And flag = 0 Then Заказ поставки aa (i + dt, 5) = n0 Поставка aa (i + dt, 3) = c1 Оплата поставки flag = 1 Предотвращение повторного заказа End If If aa (i, 5) > 0 Then flag = 0 Next i bb (0, K3) = Range («L14») Сохранение n bb (K2, K3) = Range («B16»): Сохранение суммарных затрат Range («J20») = Range («J20») + 1 Увеличение счетчика на 1 End Sub Private Sub CommandButton2_Click() nc = Range ("O17") For i = 1 To nc: Call CommandButton1_Click: Next i Range ("K20") = Range ("K20") + 1: Range ("J20") = 1 Range ("L14") = Range ("L14") + 100 End Sub
не решается либо сложность решения многократно возрастает. В этом случае хорошо работает метод Монте Карло.
Мы будем задавать параметры модели и имитировать процесс расхода и пополнения запаса, а затем выберем объем заказа п , соответствующий
минимальным издержкам. Создадим в Excel таблицу исходных данных (табл. 1).
Для расчетов сформируем табл. 2 и создадим две кнопки с программными модулями Visual Basic for Applications (VBA). Модуль первой кнопки CommandButton1_Click() обеспечивает связь массивов
42
Н. В. Катаргин Управление запасом денежных средств при стохастическом характере расхода
4000
3000
2000
1000
-1000
n
>
\ t
1 1 ф 1 1 1 II 1 1 1 1 r^l 1 4 7 10 13 le 111м 11 19 22 25 24 м 111 м 1111 • S 31 34 37 40' 1 M 1 1 1 1 1 1 t 13 46 49 52 Ж 1 1 " >58
Рис. 1. изменение запаса в первые 60 дней
Рис. 2. зависимость затрат от размера заказа
и переменных Basic с ячейками Excel, очистку ячеек, генерацию случайных значений расхода и времени поставки, затрат на хранение, поставки и штрафы за дефицит, сохранение ежедневных суммарных затрат в последовательных ячейках таблицы. Одновременно используются функции Excel СУММ() в строке 16 и НОРМ.СТ.ОБР(). Последняя создает числа, случайно распределенные по закону нормального распределения. Ее аргументами являются ячейки G19 и G20, в которых формируются случайные числа с помощью функции RND() модуля VBA, а полученные значения используются в модуле. Модуль второй кнопки CommandButton2_Click() имитирует многократное (nc) нажатие первой кнопки, изменение n с заданным шагом (здесь 100) и смену столбца для запоминания суммарных расходов.
Пример графика изменения запаса представлен на рис. 1, график зависимости средних дневных затрат от размера заказа n (по 10 имитаций для каждого n) — на рис. 2. Оптимальный размер заказа — от 5700 до 6400, т.е. значительно выше вычисленного по формуле Уилсона.
Литература
1. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике / Учеб. пособие для бакалавров. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Юрайт, 2012. 431 с.
2. Lo M. Economic ordering quantity model with lead time reduction and backorder price discount for stochastic demand // American Journal of Applied Sciences. 2009. Vol. 6. № 3. P. 387-392.
