CC BY
300
УДК 681.5.01
В. А. Терехов УПРАВЛЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ: СОВРЕМЕННЫЕ ЗАДАЧИ И ПОДХОДЫ
На обсуждение выносятся оценка текущего состояния теории управления техническими объектами, вызовы, диктуемые нелинейной динамикой процессов управления, приоритетные задачи и подходы к их решению. Развитие теории управления обсуждается в контексте трех периодов её становления: периода классической механики Ньютона, современного периода и в направлении будущей роли теории управления как составляющей процесса создания самоуправляемых объектов и технологий. Свойства управляемых систем рассматриваются с точки зрения нелинейной динамики, адаптации, принципа необходимого разнообразия.
Нелинейная динамика; синергетика; адаптация; обобщенные модели; 1^елевые много; .
V.A. Terekhov CONTROL IN DYNAMICAL SYSTEMS: MODERN CHALLENGES AND APPROACHES
We present and discuss a retrospective overview of the development of control theory for technical systems and technologies. We start our discussion with reviewing relevant ideas stemming from the era of classical Newtonian mechanics and then proceed to the analysis of their metamorphosis to the needs of the modern period. The discussion is followed by highlighting directions with possible substantial potential for future developments in which the control theory is considered as an inherent component in designing and creating new classes of self-controlled systems, plants and technologies. Control systems properties are considered in terms of nonlinear dynamics, adaptation and the law of requisite variety.
Nonlinear dynamics; synergetic; adaptation; generalized models; target manifolds of the system's motion; neural networks.
Введение. Для начала процитируем фрагмент статьи Ю.С. Ильяшенко [1]: ".. .исследование динамических систем можно условно разбить на три периода.
: . .
: . решений, не решая уравнение, а лишь используя свойства правой части.
: .
Описать свойства его решений".
Теория управления - это теория динамических систем, основным аппаратом анализа и синтеза которых были и остаются обыкновенные дифференциальные уравнения. Развитие теории управления и профильных специальностей, фундаментом которых она служит, рассмотрено далее с позиции приведенной "перио-",
управлении. Далее рассматриваются некоторые аспекты существующего положения вещей и первостепенные, на наш взгляд, этапы эволюции теории управлении, имея в виду ее приложения к техническим системам.
Начало систематическим наукам об управлении положила знаменитая книга американского математика Н. Винера (1894-1964) "Кибернетика", вышедшая в свет в 1948 г. [2]. Однако напомним, что кибернетике Винера предшествовала кибернетика Андре-Мари Ампера (1775-1836), определившего в своем фундамен-
2G
тальном труде "Опыт о философии наук" (1834) кибернетику’ (от греч. kybernetike) как науку об управлении государством [3]. Далее речь идет о кибернетике по Ви,
- , .
Примеры первых технических автоматических систем регулирования относятся ко второй четверти XVIII-ro века, ко времени промышленных революций в технически развитых странах Европы, в том числе и в России [4]. Автоматическое регулирование как область техники появилось значительно позже, чем теплотехника, электротехника, машиноведение, энергетика, оборонная техника и т.д. Изначально роль и назначение автоматики определялись проблемами эксплуатации машин, производства, которые возникали в перечисленных отраслях. Назначение систем автоматического регулирования состояло, главным образом, в стабилизации режимов работы регулируемых объектов в соответствии с предписанным для них регламентом. Математическая теория автоматического регулирования в виде, инвариантном к конкретной области техники, начала формировать в конце 40-х - начале 50-х годов . . . Классическая теория управления: ". дано дифференциальное уравнение. Решить его". Период или, как еще говорят, "программа" Ньютона (1643-1727), -без преувеличения! - оказала решающее влияние на развитие естествознания двух ,
до настоящего времени. Классическая механика, основанная на использовании линейных дифференциальных уравнениях, обобщенная и формализованная У.Р. Гамильтоном (1806-1865), в такой же решающей степени оказала влияние и на становление науки об управлении в технических системах, подобно тому как линейные модели были основным объектом исследований в теоретической физике (квантовая механика, гидродинамика, электродинамика, оптика, физика плазмы и т.д. [5]) и сыграли ключевую роль в становлении современного естествознания. Такое влияние объясняется тем, что многие явления природы, техники с достаточной для целей практики степенью достоверности с физической точки зрения могут быть описаны линеаризованными моделями.
Классическая теория управления как наука о принципах и методах управления различными физическими системами, процессами и объектами технических систем базируется на научных принципах и теориях, сформированных в течение двух веков выдающимися учеными: J.V. Poncelet, братьями Siemens Werner & Wilhelm, J.C. Maxwell, E.J. Routh, H. Poincare, A. Stodola, A. Hurwitz, И.А. Вышнеградским, ПЛ. Чебышевым, AM. Ляпуновым в XIX-м веке; N. Wiener, L.A. Mac-Coll, H. Bode, W. Shannon, St. Beer, W.-R. Ashby, R. Bellman, R. Kalman, E.I. Jury, J.T. Tou, RE. Жуковским, Н.Г. Четаевым, И.Н. Вознесенским, А.А. Андроновым, Г.В. Щипа-новым, А. И. Лурье, Н.Н. Красовским, Л.С. Понтрягиным, АЖ. Летовым, . . , . . , . . , . . XX-
1. ,
,
к необходимости обратиться к принципам, высказанным еще задолго до нашей эры философами древней Греции и Китая [6].
Суть классической теории управления: на основе анализа исходных (начальных) знаний об объекте управления составляется его математическая модель, формулируются технологическая и математическая цели управления, после чего синтезируется необходимый (-е) алгоритм (-ы) управления и анализируются свойства по-
1 Приведенные ссылки далеко не полно характеризуют историю становления и развития науки об управлении.
лученной математической модели автоматической системы. Этот процесс может иметь циклический характер.
В такой постановке детерминированная или стохастическая, параметрически определенная или, в каком-то смысле недоопределенная модель объекта формируется применительно к уже существующему устройству, технологическому процессу и т.д., разработанному, сконструированному и изготовленному до того времени, когда выявляется необходимость управления как неизбежного условия успешной эксплуатации такого объекта. Процесс создания будущего объекта управления и процесс синтеза с последующей реализацией системы автоматического управления объектом отделены друг от друга. Сам процесс "внедрения" автоматических систем управления сопровождался, как правило, процессом упрощения исходно нелинейных математических моделей управляемых объектов, главным признаком чего являлась устойчивая тенденция к их линеаризации. В этих случаях, заметим, наиболее распространенных до сего времени, роль управления сводится к "исправлению" пороков конструкции не всегда управляемого устройства или техно.
Науке об управлении, таким образом, отводится роль обслуживающей составляющей процесса создания технологий. Такая ее "дискриминация" складывалась на протяжении многих десятилетий ХХ-го века, предопределила и продолжает сказываться на направлениях подготовки специалистов по автоматике и управлению. Однако давно уже стало ясно, что в процессе создания современных технологий в любой области техники специалист по управлению должен быть соучастником этого процесса, ибо не существует не управляемых технологий!
Теории управления в технических системах этого периода посвящена обширная литература (см., например, в [7, 8]). Обстоятельный наукометрический анализ текущего состояния теории управления содержится в очерке акад. А.А. Красовского (1921-2003) [7, гл.1].
Современная теория управления. "... дано дифференциальное уравнение. Описать свойства его решений, не решая уравнение, а лишь используя свойства " ( . . ).
". " ( . ).
, -альных уравнений к анализу их правых частей с целью исследований качественных характеристик этих решений, был великий французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912). Создатель геометрической теории дифференциальных уравнений стал предтечей современного подхода к решению задач анализа и синтеза управляемых нелинейных динамических систем.
Суть современной теории управления: на основе анализа правых частей обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, знаний принципов действия и физических, химических и др. свойств объектов, эмпирических данных решается задача формулирования физически адекватных и .математически корректных моделей объектов, целей функционирования управляемых динамических систем и синтез нелинейных законов управления [10, 11, 12].
Пересмотр роли науки об управлении в современном технологическом и ин-,
, " " знаний, требует пересмотра стереотипа мышления ".. .на ту или иную проблему с застывших позиций или, говоря языком теории систем, в пребывании исследователя в неизменной системе координат. Наиболее радикальным ... является введение нового языка науки и построение на его основе обобщенных моделей, описывающих расширенную область поведения с множеством (^>рсив - наш) «позиций
наблюдения», с которых можно «рассматривать» изучаемую проблему" [11]. Подобный взгляд порожден новой парадигмой управления в мире нелинейных систем. Ее новизна порождена:
1) - , , существованием особых фазовых состояний ("детерминированный хаос") и фазовых переходов - бифуркаций, изменяющих структуру фазового пространства, не единственностью решения задач управления, не имеющими места в классической теории;
2) - , . В классических постановках синтеза управляемых систем целевая динамика, как уже было сказано выше, ограничивается устойчивыми по Ляпунову движениями. Тем или иным способом традиционный подход к решению задач управления и регулирования предполагает стабилизацию структурно-устойчивых аттракторов в фазовом пространстве динамических систем. Например, в задаче управления экзотермической реакцией седловая точка, отвечающая желаемому состоянию, может быть силовым путем редуцирована в устойчивое положение равновесия. Но в реальных физических системах существуют такие особенности состояния, как локальная неустойчивость, неравновесность, мета- или мультистабильность, ко, .
" "
более широкого спектра систем, обладающих общим для них физически обосно-: -ниченной амплитуды на выходе. Таким свойством обладает, например, ряд систем с хаотическими аттракторами;
3) - ,
"проклятья размерности", отходом от доминирования традиционных линейных подходов к решению задач управления в многомерных и многосвязных системах;
4) - , -
2. , " " -
, -
, , -ние цели управления осуществляется за счет использования динамических свойств самого объекта управления. Для этого седловые точки стабилизируются путем создания гомоклинических циклов с периодом колебаний, стремящихся к бесконечно большому значению. В конечном масштабе времени траектории на таком " " . -бой точки не меняется, а, значит, в ее окрестности управляющее воздействие на систему будет минимальным.
Состояния динамических систем, не укладывающихся в линейную парадигму, следствия, порождаемые этими состояниями, причины их возникновения, природные и искусственные явления, иллюстрирующие необычные для классического мировоззрения формы поведения и не объяснимые с позиций научного классициз-, " " -
ХХ- -
ки, как синергетика и нелинейная динамика [5, 11].
Историческими примерами нелинейных явлений являются колебательные химические реакции Белоусова-Жаботинского [13, 14] и их модель - так называемый "брюсселятор" И. Пригожина; гипотетическая модель динамики химических реакций, протекающих в некоторой смеси с перемешиванием, в которых возможен "хи-
2 Например, синергетическая "концепция управляемого взаимодействия, энергии, вещества и информации", высказанная в [11. С. 57].
мический хаос", - так называемая "модель О. Рёсслера" [15]; модели хаотической динамики: в строительной механике - аттрактор Дуффинга-Холмса [16] с двумя потенциальными ямами; в электротехнике - аттрактор Дуффинга-Уэды; в гидромеханике - уравнения Э. Лоренца [17]. Собственно с последней модели детерминированного хаоса начался настоящий и всеобщий интерес к нелинейной науке.
Теория управления была подготовлена к восприятию новых задач, поскольку XX-
мощный раздел по теории нелинейных систем управления со своими научными подходами и методами (метод функций Ляпунова, теория автоколебательных сис-, , оптимальных регуляторов Летова-Кадмана и др. [18]). Понимание роли процессов управления в изучении сложных технических систем, современных технологий, в биофизике, нейротехнологиях и т. д. все более проявляется в тех областях естествознания, которые ранее были далеки от науки управления. Например, в последние годы громко заявила о себе кибернетическая физика [19, 20].
Проблемы управления нелинейными динамическими объектами. О граничим круг упоминаемых далее управляемых систем такими, для которых доминирующими свойствами являются:
♦ нелинейность динамики;
♦ адапт ивность;
♦ выполнение принципа необходгшого разнообразия У.-Р. Эшби (1903-1972)
- первого фундаментального закона кибернетики, заключающегося в том, что разнообразие состояний сложной динамической системы требует управления, которое само обладает достаточным разнообразием, гарантирующим достижимость цели управления [21].
Анализ "неклассических" задач управления в таких системах [22, 23, 24] приводит к появлению проблем, требующих своего разрешения или развития.
1. . -, ,
Ляпунова для системы с "идеадьным" регулятором основного контура, что a priori сужает класс допустимых целевых движений в системе. Так, в частности, н еус-тойчивые и неравновесные режимы не могут выступать в роли целевой динамики для стандартных методов адаптивного управления. С другой стороны, например,
( , ), -ческих реакторах (уравнение реакции-диффузии) являются примерами систем, в которых такие режимы - естественное динамическое состояние. К классу задач, допускающих неустойчивые по Ляпунову режимы нормального функционирования, следует отнести и задачу управления бифуркациями, где целевыми движениями могут быть неустойчивые и хаотические колебания, задачи промежуточной (от . - intermittent) , ( . - itinerancy) -
хронизации в системах параллельной аналоговой обработки информации. Возникает необходимость в распространении методов адаптивного управления на системы с неустойчивыми по Ляпунов}’ целевыми режимами.
2. . -тивного управления гарантируют устойчивость по Ляпунову адаптивной системы в расширенном пространстве состояний, включающем параметры и состояние наблюдателя. При этом игнорируется тот факт, что свойство устойчивости по Ляпунову гарантирует лишь малость отклонений от положения равновесия при условии малых возмущений. С другой стороны, адаптивные постановки задачи управления в условиях неопределенности оправданы лишь при относительно больших
( . 3, -).
3.
теории управления - проблемой получения адекватных с физической точки зрения и математически корректных моделей динамических объектов для синтеза заведомо грубых систем управления. Управление по выходу (адаптивное в том ) -. . шаг в сторону приближения линеаризованных моделей нелинейных по своей природе реальных объектов и систем состоит в использовании в задачах синтеза законов управления исходно нелинейных моделей в виде нелинейных дифференциаль-. -мация о поведении системы традиционно формируется в виде измеряемых входов/выходов, т. е. используется первичная измерительная информация. Но фунда-
(" -
" ), -
купностью измеряемых переменных. В частности, в методе АКАР в качестве таких инвариантов выступают макропеременные, которые могут рассматриваться как целевые модели состояния динамической системы [11, 12].
Проблема адекватной модели и информации о состоянии динамической сис-
- , формализуемых в терминах дифференциальных уравнений моделями с линейной
.
С другой стороны, значительное число физических процессов описывается нелинейными динамическими моделями с нелинейной параметризацией. Это, например, модели процессов в химических и биореакторах, модели трения в механических и биомедицинских системах, модели магнитного потока в индукционных моторах и магнитных подвесах, электромеханические клапаны, модели управляемых процессов в двигателях внутреннего сгорания, силовых установках кораблей и в перспективных силовых установках гидроводородного принципа действия (библиография по приведенным примерам приведена в [23]).
4. - -
ров состояния нелинейных динамических систем. Суть этих проблем состоит в том, что условием разрешимости задач адаптивного управления нелинейными объектами
, , -. . В задаче адаптивного управления нелинейными объектами этот тезис выдвигался . , , структуры адаптивного закона управления, удовлетворяющей принципу внутренней , - .
Адаптация в нелинейных динамических системах. Распространенным является понимание адаптивности управляемых систем как свойства, достигаемого использованием совокупности методов теории управления, идентификации, опти-, , . В адаптивных системах для сохранения заданных целевых свойств закон управления и (или) структура системы корректируются в зависимости от изменения свойств объекта управления или под воздействием внешних возмущений. Но еще в конце 50-х - начале 60-х годов прошлого столетия адаптивность рассматривалась
3
French M. An analytical comparison between the nonsingular quadratic performance of robust and adaptive backstepping designs // IEEE Trans. on Automatic Control. 2002. Vol. 47. № 4. P. 670-675.
как свойство динамических систем с перестраиваемыми нелинейными законами управления [25].
При решении задач адаптивного управления с учетом обозначенных ранее проблем в системах с неравновесной и неустойчивой целевой динамикой для широкого класса нелинейных динамических систем с использованием информации лишь качественного характера возникают проблемы:
1) , дифференциальных уравнений самого объекта;
2)
( )
, -
.
принципы желаемой макроорганизации адаптивных систем управления в виде ограничений в функциональных пространствах на свойства отображений "вход -", " - " , -тора и их соединений, выполнение которых:
) ,
;
б) сохраняет все "типичные", желаемые, полезные нелинейные эффекты управ-
, - , -
, ;
в) компенсирует влияние нежелательных эффектов в самом объекте, нежелательное влияние среды и влияние неопределенности информации об объекте для достижения целей управления.
Исходной информацией на данном этапе являются модели объекта с точностью до оценок отображений "вход - выход" и "вход - состояние" по нормам в заданных функциональных пространствах, а также принадлежность внешних сигналов (возмущений) к конкретным функциональным пространствам [23, 24].
Формулировка требований к адаптивному регулятору на языке ограничений в функциональных пространствах потенциально позволяет снять проблему устойчивости по Ляпунову целевых движений. Задача синтеза адаптивного регулятора сво-, ,
функциональных ограничений в нелинейных системах при условии возможной нелинейной параметризации неопределенностей. Исходной информацией для решения задачи синтеза являются макропеременные, классы моделей неопределенности, а также модели объекта с точностью до дифференциальных уравнений.
Новый подход к проблеме адаптивного управления в динамических системах с позиций управляемой самоорганизации основан на использовании макроперемен,
объекта - в полном согласии с "программой Пуанкаре". Макропеременные служат моделями объектов в задачах синтеза алгоритмов адаптации нелинейных управляе-.
Сложная нелинейная динамика управляемых объектов, физических, химиче-
,
режимов их поведения, которые необходимо целенаправленно изменять или направлять их развитие во времени и пространстве. В технических системах эту роль
- - -
.
разнообразия У.-Р. Эшби для реализации механизма адаптации, обладающего способностью к формированию "достаточного разнообразия" управляющих воздействий на объект.
Адекватное решение лежит, на наш взгляд, на стыке нейроинформатики и .
определением адаптации в физиологии, психологии и др. науках о животных и человеке. С другой стороны, искусственные нейронные сети в замкнутой нелинейной системе потенциально могут служить источниками как динамического хаоса, так и целенаправленного управления сложным по своей динамике объектом, причем с прогнозируемым качеством траекторий движения. Таков диапазон потенциальных возможностей соединения "динамическая система (объект) - нейронная сеть (регулятор)". Поэтому обучаемые искусственные нейронные сети, в частности многослойные нейронные сети (МНС) прямого распространения, являются достойным "кандидатом" на адекватные аппаратно-программные средства для реализации адаптивных функций в нелинейных динамических системах.
МНС представляет собой однородную вычислительную среду для реализации разнообразных задач управления с адаптацией не только на параметрическом, но и на алгоритмическом и, по-видимому, на структурном уровнях эволюции управляе-. -менения МНС для формирования нелинейных алгоритмов управления играют универсальные аппроксгшационные свойства многослойных сетей. На основе обобщенной аппроксимационной теоремы Стоуна-Вейерштрасса показано [26], что с помощью нелинейных нейронных сетей можно сколь угодно точно равномерно приблизить любую непрерывную функцию многих переменных на любом замкнутом ограниченном множестве переменных. Дополнительно отметим весьма высокую ско-, . обоснование универсальности аппроксимационных свойств и применимости МНС для реализации нелинейных адаптивных управлений приводится в [23, разд. 4].
Способность МНС к обучению придает адаптивные свойства нейросетевым , -ственным их использование для управления многомерными объектами.
Основное назначение нейросетевого регулятора - управление нелинейной динамикой в условиях частичной неопределенности математической модели процесса. Разработка теории построения нейросетевого регулятора для класса нелинейных динамических объектов со сложной динамикой поведения во времени, т.е. типового для класса нелинейных моделей нейрорегулятора, является нетривиальной проблемой с неочевидной возможностью ее решения в сложных системах, где нелинейные , , -( ) , -ки или предельные циклы, до турбулентных, хаотических в виде странных аттракторов. Само понятие "цели управления" в таких системах нуждается, как уже отмеча-, " " целям, где достаточно просто формулируется цепочка "типовая модель" - "типовая цель" - "типовой закон". В нелинейных задачах управления такое едва ли возможно.
В нелинейных системах существует понятие "б^овые модели динамики", ,
них режимами с обострением, проявляющимися, например, в моделях физики , , -мики. Возможно, для конкретной типовой (б^овой) модели формально существуют и остальные типовые составляющие приведенной выше цепочки. Однако в общем случае однозначный ответ на это замечание пока отсутствует. Тем не менее задача синтеза типовых нелинейных законов управления процессами в нелинейных системах может быть поставлена. Такая гипотеза может опираться на тот из, -
ных процессов обусловлено не единством (универсальностью) их математических моделей, как это имеет место в линейных моделях, а в универсальности (единстве) качественного поведения нелинейных систем, в частности в ограниченности числа сценариев бифуркационных процессов [5].
Сказанное выше аргументирует актуальность проблемы синтеза нелинейных управляемых динамических систем со свойствами адаптации. Однако представляется уместным напомнить слова одного из основоположников теории адаптивных систем ЯЗ. Цыпкина (1919-1997) [27. С. 22]: ". хотя теперь принято говорить, что постановка проблемы составляет от 50 до 80 % успеха (в зависимости от темперамента говорящего это), тем не менее, оставшиеся проценты часто настолько емки, что могут лишить нас этого успеха вообще". Тем не менее...
Что дальше? "... Не дано никакого дифференциального уравнения. Описать свойства его решений". Новые задачи и подходы к их решению определяют новые горизонты к средствам реализации управляемых динамических систем. Это относится как к собственно объектам, так и к средствам управления. Известно, что наилучшее из возможных управлений - его отсутствие. Но в таком случае объект должен быть спроектирован как самоуправляемый. Вероятно, в некотором недалеком будущем акценты в оценках роли теории управления в естествознании будут смещены в сторону проектирования технологий со свойствами контролируемого , -гий, спроектированных без привлечения теории управления, как это делается до на.
В этот период наука об управлении как базовая для спектра специальностей по автоматизации и управлению в технических системах еще пока не вступила. Но какой смысл и в чем он состоит в выделенной цитате из упомянутой статьи Ю.С. Ильяшенко? Естественно, что в прямом смысле вряд ли ожидается описывать свойства решений не заданных дифференциальных уравнений так же, как это не делается в классической и современной теории управления. Тем не менее, именно по заданному уравнению объекта или его правой части в качестве исходной информации осуществляется синтез систем управления объектом. Таким образом, априорно предполагается свойство управляемости. В арсенале методов анализа теории управления имеются критерии управляемости, наблюдаемости, достижимости. Нелинейная динамика содержит аппарат анализа режимов функционирования нелинейных динамических систем. Отсюда возникает обратная задача, о которой речь уже шла выше: проектирование объектов и технологий с заложенными в них свойствами управляемости, особенностями поведения во времени, известными специалистам по управлению. Целью проектирования является достижение эффекта целесообразного самоуправления в новых технологиях будущего, . . , .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ильяшенко Ю.С. Аттракторы динамических систем и философия общего положения // Мат. просвещение. - Сер. 3. - 2008. Вып. 12. - С. 13-22.
2. Винер Н. Кибернетика. - 2-е изд. - М.: Сов. радио, 1968. - 258 с.
3. Поваров Г. Н. Ампер и кибернетика. - М.: Сов. радио, 1977. - 96 с.
4. Хромой А.В. Очерк истории развития автоматики в СССР. - М.: АН СССР, 1956. - 223 с.
5. . . . , , -
. . " : ". - 4- . - .: -
Книга, 2005. - 312 с.
6. : .
7. . . // -
временная прикладная теория управления. Ч. I. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. - 400 с.
8. Леонов Г. А. Введение в теорию управления. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун- та, 2004. - 218 с.
9. :
управления. Ч. I. / Колл. авт. под ред. А А. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
- 400 .
10. Мирошник Н.В., Никифоров В.О., Фрадков АЛ. Нелинейное и адаптивное управление
. - .: , 2000. - 549 .
11. / . . . . - .: -, 2004. - 504 .
12. : -ния. Ч. II. / Колл. авт. под ред. А.А. Колесникова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. - 559 с.
13. . . // -
: . . . - : - , 1951. - . 76.
14. Жабоминский А.М. Концентрациоиные колебания. - М.: Наука, 1974. - 179 с.
15. Ressler O.E. Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System // Natur-forsch. - 1976. - Vol. 31. - P. 1168-1172.
16. ., . , -
. - - : , 2002.
- 560 .
17. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atoms. Sci. — 1963. - Vol. 20, № 2.
- P. 130-141.
18. Википедия: Нелинейное управление.
19. Фрадков АЛ. Кибернегическая физика: принципы и примеры. - СПб.: Наука, 2003. - 208 с.
20. Фрадков АЛ. О применении кибернетических методов в физике // УФН. - 2005. - Т. 175, № 2. - С. 113-138.
21. . . . - .: , 1959. - 432 .
22. . ., . .
// Мехатроника, Автоматизация, Управление. Ч. I. - 2003. - № 6. - С. 9-18. Ч. II. - 2003.
- № 7. - С. 2-11.
23. Тюкин ИМ., Терехов В.А. Адаптация в нелинейных динамических системах. Сер. Си-
: . - .: - , 2008. - 384 .
24. Tyukin I. Adaptation in Dynamical Systems. — UK, Cambridge University Press, 2011. - 410 p.
25. Траксел Дж. Самонастраивающиеся системы (обзорный доклад) // Тр. 2 Межд. конгресса ИФАК “Дискретные и самонастраивающиеся системы”. Базель, Швейцария. 28 авг. - 4 септ. 1963. - М.: Наука, 1965. - С. 240-251.
26. Горбань AM. Обобщение аппроксимационной теоремы Стоуна // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы 5-го Всеросс. семинара. 3-5 октября 1997. - Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997. - С. 59-62.
27. Цыпкин ЯЗ. Адаптация и обучение в автоматических системах. - М.: Наука, 1968. - 400 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.А. Колесников. Терехов Валерий Александрович
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет <^ЭТИ». E-mail: terekhov.valery@gmail.com.
197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.
Тел.: 88123060271.
Д.т.н., профессор.
Terekhov Valery Alexandrovich
St.-Petersburg State Electrotechnical University «LETT».
E-mail: terekhov.valery@gmail.com.
5, Prof. Popova Streer, St.-Petersburg, 197376, Russia.
Phone: +78123060271.
Dr. of Eng. Sc., Professor.
