CC BY
95
трансформаторов. - Л. : Энергия, 1970. - 432 с.
3. Гидалевнч Е.Д. Упрощенный расчет мощности потерь в косинусных конденсаторах при косинусоидальном напряжении // Промышленная энергетика. -1990. - N9 7. - С. 24-30.
4. Григорьев О. и др. Высшие гармоники в сетях электроснабжения 0,4 кВ // Новости электротехники. -2002. - №6(18). - Режим доступа: http://www.news. elteh.ru/arh/2003/18_l9/l4.php
5. Данилович Я.Б., Кашарский Э.Г. Добавочные потери в электрических машинах. — М. : Госэнергоиздат. 1963. - 164 с.
6. Жежеленко И В. Высшие гармоники п системах электроснабжения промпредприятий. — М. : Энерго-атомиэдат. 2000. - 192 с.
7. Исследование электрической сети Братского алюминиевого завода, анализ гармонических составляющих, выработка технического задания по улучшению качества электроэнергии: Отчет г/б МИР по теме № 2205010, УДК 621.311.004.12 (047.2». гос. рог. N9 01200116049 / Рук. И.И. Карташаев, 2000.
8. Кучннский Г.С., Назаров Н И.. Назарова Г.Т., Переселенцев И.Ф. Силовые элетрнческне конденсаторы. -М. : Энергия, 1975. - 248 с.
9. Манькин Э.А. Потери на вихревые токи в обмотках трансформаторов при косинусоидальном токе // Электричество. - 1955. - № 12. С. 48 - 52.
10. Семичевскнй П И. Методика расчета дополнительных потерь активных мощности и электроэнергии в элементах систем электроснабжения промышленных предприятий, обусловленные высшими гармониками :
дис. ... канд. техн. наук. — М.. 1978. — 206 с.
11. Церазов А.Л., Якименко Н.И. Исследование влияний иесимметрии и несинусоидальиости напряжения на работу асинхронных двигателей. - М. : Госэнерго-издат, 1963. - 120 с.
12. Шидловский А.К., Кузнецов В.Г. Повышение качества энергии в электрических сетях. - Киев : Наук, думка, 1985. - 268 с.
13. IEEE Sid 519-1992 IEEE Rccommonded Practices and Requirements tor Harmonic Control in Electrical Power Systems, 1992.
ВЫРВЛ Андрей Аркадьевич, кандидат технических наук, генеральный директор ООО «ЮНГ-Энерго* нефть», г. Нефтеюганск.
ОСИПОВ Дмитрий Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».
ЛЮТАРЕВИЧ Александр Геннадьевич, аспирант и ассистенг кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».
ЧЕТВЕРИК Иван Николаевич, преподаватель-стажер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».
ДОЛИНГЕР Станислав Юрьевич, студент группы Э-514.
Дата поступления статьи в редакцию: 00.03.2009 г.
© В и р па Л.Л., Осипов Д.С., Лютаревич А.Г..
Четверик И.H., Долингср С.Ю.
УДК 621.318
П. В. РЫСЕВ Е. Ю. СВЕШНИКОВА А. С. НИКИШКИН Д. В. ФЕДОРОВ
Омский государственный технический университет
УПРАВЛЕНИЕ РЕЖИМАМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Обнаружено возникновение хаотических режимов, проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики электроэнергетических систем.
Хаотические режимы существуют как дополнительные рабочие состояния в электроэнергетических системах даже тогда, когда существуют устойчивые режимы функционирования.
Ключевые слова: детерминированный хаос, управление хаотическими колебаниями, нелинейная электроэнергетическая система.
Актуальность темы. В последнее время все более изучается явление детерминированного хаоса, и это неслучайно. Ряд энергетических катастроф, произошедших в мире, стал последствием перехода энергетической системы города из равновесного состоя-
ния в хаотическое, что является следствием дисбаланса выработки и потребления энергии. В результате образовался разрыв между генерацией энергии и се потреблением, вследствие чего энергетическая система перешла из состояния равновесия в хаотичсс*
Рис. 1. Хаотический характер отклонений угла поворота ротора 5, генератора I с начальными услопиямн (0.7, 0.3, 0.0,0.0)
Рис. 2. Хаотический характер отклонений угла поворота ротора в, с начальными условиями (0.7, 0.3, 0.6. 0.0)
t.c
Рис. 3. Хаотический характер отклонений угловой частоты о, генератора 2 с начальными условиями (0.7, 0.3, 0.0, 0.0)
Рис. 4. Хаотический характер отклонений угловой частоты со, генератора 2 с начальными условиями (0.7, 0.3, 0.6, 0.0) -непрерывная линия с начальными условиями (0.0, 0.3, 0.0, 0.0) -пунктирная линия
кое. Фазовый портрет системы с одной частотой, которая поддерживается с высокой точностью, превратился в портрет с огромным числом частот - «размылся».
В фазовом пространстве детерминированный хаос отображается непрерывной траекторией, раз-
вивающейся во времени без самопересечения (иначе процесс замкнулся бы в цикл) и постепенно заполняющей некоторую область фазового пространства. Таким образом, любую сколь угодно малую зону фазовою пространства пересекает бесконечно большое количество отрезков траектории. Это и создает в каждой зоне случайную ситуацию — хаос. И, несмотря на детерминизм процесса, ход его траектории непредсказуем. Другими словами, мы не в состоянии предвидеть или хотя бы грубо охарактеризовать поведение системы на достаточно большом отрезке времени, и в первую очередь потому, что принципиально отсутствуют аналитические решения.
Для нелинейных электроэнергетических систем (НЭЭС) обнаружение хаотических режимов является актуальной задачей. Так как основная характеристика детерминированного хаоса - непредсказуемость. то детерминированный хаос определенно недопустимое явление с точки зрения динамической устойчивости НЭЭС. В частности, когда колебания мощности приобретают хаотический характер, имеет место потеря устойчивости в НЭЭС |5). С другой стороны, широкополосный спектр хаотического колебания будет причиной возникновения высших гармоник тока и напряжения.
В статье предпринята попытка обнаружить возникновение и определить характерные признаки хаотических режимов отклонений угловой частоты (oft) от номинального значения о)(( в двухмашинной НЭЭС. Выбор (oft) в качестве объекта исследования хаотического режима объясняется тем, что в широком смысле проблема надежного функционирования НЭЭС связана с величиной toft).
Метол решения. Поставленная задача решается в предположении, что исходная двухмашинная НЭЭС - нерегулируемая, и роторы синхронных генераторов имеют разную инерционность. Такое допущение позволяет, с одной стороны, упростить систему нелинейных дифференциальных уравнений. описывающих состояние НЭЭС, а с другой -дать качественный и количественный анализ получаемого хаотического решения для отклонений частоты в НЭЭС.
Математическая модель двухмашинной нерегулируемой НЭЭС, когда роторы синхронных генераторов имеют неодинаковую инерционность, причем генератор I имеет в v/2 большую инерционность по сравнению с генератором 2, представлена в |6] и имеет вид dS. dt =ÖV
^ = -Vsi nfd+^K+^A)-
-CtJ *sin(^, -“<S|) +
^ = -В,, -8іп((1 + -^»)ч^
-С2І -БІП^ -¿,) + Я,
где 8,. о,, со2, Р,. Р,, В„, В„, СІ2, С3| - соответствен-
но отклонения углов поворота роторов, отклонения угловых частот, активные мощности генераторов, небалансы активной мощности, вызванные неодинаковой инерционностью 1-го и 2-го генераторов, синхронизирующие мощности между генераторами.
Здесь X = (8,, со,, 8,, о>2) - вектор переменных состояния и Я= |В,2, В21, Сп, С2|, Р,. Рг) - совокупность параметров НЭЭС.
Математическая модель (I) двухмашинной НЭЭС исследовалась с помощью программного комплекса Ма1ЬСА0. В программном комплексе МаШСАО НЭЭС задавалась в виде системы дифференциальных уравнений (1) и решение (1) проводилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным шагом. Интегрирование (1) производилось при следующих значениях параметров НЭЭС в относительных единицах (В|2 = 0.01, В, = 1. Р, = 0.597, В21 = 0.1, Ва-1, Р, = 0.597) и начальных условиях 8,(0) = 0.7, (0,(0) =0.3, 8,(0) =0.6, <о2(0)-0.
В результате обнаружены хаотические колебания отклонений углов поворота роторов 8,(1), 8,(1) и отклонений угловой частоты (0,(1) генератора НЭЭС, как это показано на рис. 1, 2, 3. Необходимо отметить, что хаотические решения системы дифференциальных уравнений (1) получаются лишьтогда, когда численные значения параметров НЭЭС лежат в строго определенных интервалах. Если это не выполняется, то решения системы дифференциальных уравнений (I) получаются нехаотическими.
Отсюда следует, что хаотические режимы НЭЭС возникают только при совпадении нескольких факторов, связанных с изменением численных значений параметров НЭЭС.
Решение системыдифференциалышх уравнений (1), отображенное на рис. 4 представляет хаотические колебания отклонений угловой частоты со2(1) с ярко выраженной расходимостью получаемых решений при незначительном отличии начальных условий.
Фазовые портреты решений системы дифференциальных уравнений (1) представлены на рис. 5 и 6.
При решении системы дифференциальных уравнений (1) обнаружено интересное явление - при превышении некоторого критического времени Г > /<(> может происходить разрушение хаотического колебания с последующей потерей устойчивости генераторов НЭЭС. Соответствующее этому явлению решение системыдифференциальных уравнений (I) в виде временной зависимости и фазового портрета приведены на рис. 7 и 8. Заметим, что разрушение хаотических колебаний не носит обяза тельного характера.
Еще более интересное явление, нежели явление разрушения хаотических колебаний, было обнаружено при анализе режима развитого хаоса в НЭЭС. Оказалось, что в режиме развитого хаоса, когда получено хаотическое решение системы дифференциальных уравнений (1), можно стабилизировать фазовую траекторию и перейти к симметричным периодическим колебаниям посредством управляющего воздействия на переменные состояния одного из генераторов.
Для конкретизации дальнейших рассуждении предполагается, что управляющее воздействие с представляет своего рода амплитудно-фазовую модуляцию переменной состояния 5Г В этом случае математическая модель (1) НЭЭС преобразуется и получается в виде:
(¡6,
с11
сЦ
(И
= о),
1
1
- Д,, • эт ((1 + -у-) • <?, + • с • ) -
-С12-вт^,-67)+Р1
«ьрадГс
Рис. 5. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (8,. со,) при начальных условиях (0.7, 0.3, 0.0, 0.0)
Рис. 0. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (б,, о,) при начальных условиях (0.7, 0.3, 0.6, 0.0)
I. С
Рис. 7. Внезапная потеря устойчивости хаотических колебаний при начальных условиях (0.7, 0.3, 0.6, 0.0)
—=-а;|-51п((1+-£)-ел+^-
-С2|-5Ш(£, -£,)+Я;
4)-
М>1
сЛ
ыг.
(2)
при этом параметры НЭЭС и начальные условия переменных состояния остаются неизменными.
Используемая процедура управления хаосом позволяет стабилизировать хаотические траектории и осуществить принудительную синхронизацию одного из генераторов и вывести его из хаотического режима.
Рис. 8. Фазовый портрет внезапной потерн устойчивости хаотических колебаний при начальных условиях (0.7, 0.3, 0.0. 0.0)
Рис. 9. Стабилизированный периодический характер отклонений угла поворота ротора 6,
1.с
Рис. 10. Стабилизированный периодический характер отклонений угловой частоты о>,
Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2) с заданными параметрами и начальными условиями при управляющем воздействии е = 0,01, приведенные на рис. 9, 10, 11 и 12 указывают на то, что генератор 1 вышел из хаотического режима и колебания 6, и о», стали симметричными и периодическими, в то время как генератор 2 остался в хаотическом режиме и колебания и по-прежиему являются хаотическими.
В дальнейших исследованиях естест венным развитием данного направления является решение проблемы принудительной синхронизации и управления пространственно-временным хаосом в математических моделях НЭЭС. В решении этой важной и сложной проблемы имеются некоторые успехи, но они касаются только математических моделей электрических и электронных цепей.
Исследование хаотических процессов НЭЭС и анализ следствий, из них вытекающих, указывает на присутствие в теории детерминированного хаоса
«ирад'с
Рис. II. Фазовый портрет стабилизированной периодической траектории в системе координат (5,, в,)
Рис. 12. Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (6,. о,)
НЭЭС так называемого «эффекта бабочки». К примеру, незначительные изменения начальных условий приводят с течением времени к непредсказуемому расхождению траекторий в фазовом пространстве НЭЭС. С этим же «эффектом бабочки» связана внезапная потеря устойчивости генераторов. Чем сильнее проявляется «эффект бабочки», тем потенциально опаснее непредсказуемая ситуация, развивающаяся в НЭЭС. В сущности, обнаружена генетическая связь между «эффектом бабочки» и детерминированным хаосом, и такая связь, как можно предположить, характерна не только для НЭЭС, но и в целом для нелинейных диссипативных систем любой природы.
Заключение
В контексте нелинейной динамики хаотический режим означает длигельно нерегулярные и случайные, но ограниченные траектории в <1зазовом пространстве НЭЭС, которые являются очень чувствительными к начальным условиям, и имеет широкополосный непрерывный спектр. Другими словами, траектория в фазовом пространстве, если она является хаотической, совершенно непредсказуема, даже когда траектория эволюционирует согласно детерминированной системе дифференциальных уравнений.
Трудно разграничить явление возникновения устойчивых предельных циклов и явление возникновения хаотических аттракторов (ф)азоиых портретов), проистекающих из-за наличия глобальной хаотичес-
кой динамики НЭЭС и связанных с ной глобальных хаотических режимов.
Идентифицировано существование хаотических режимов НЭЭС как дополнительного рабочего состояния НЭЭС даже тогда, когда существуют точки устойчивого равновесия.
Хаотические режимы особенно затрудняют работу синхронных генераторов, поскольку хаотические режимы имеют широкополосный спектр частот и могут индуцировать гармоники тока и напряжения, опасные для функционирования синхронных генераторов.
Хаотический режим может завершиться внезапной потерей устойчивости синхронных генераторов и. следовательно, НЭЭС в целом.
С помощью управляющего воздействия оказалось возможным осуществить принудительную синхронизацию и вывод из хаотического режима одного из синхронных генераторов, в то время какдругой синхронный генератор остается в хаотическом режиме.
Библиографический список
1. Чуа, А О. Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и и и числитслмі мс методы / Л.О. Чуа. * М. : Энергия, 1980. - 640 с.
2. Chiang. H.D. Chaos in a simple power system / H.D. Chiang // IEEE Trans. Power Syst. - 1993. - Vol. 8, №4. • P. 1407-1417.
3. Федоров, В.К. Внсдение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем / В.К. Федоров. - Омск : ОмПИ, 1992. - 144 с. • ISBN 5-230-13777-0.
4. Федоров В.К. Детерминирооанный xnoc и нелинейных электрических цепях и системах / В.К. Федоров, П.В. Рысев. Е.Ю. Свешникова. - Омск : ОмГТУ. 2006. - 130 с. - ISBN 5-8149-0207-8.
5. Федоров, В.К. Особенности диссипации энергии и нелинейных электрических цепях / В.К Федоров, П.В. Рысев, Е.Ю. Свешникова // Омский научный вестник. -2005. - N9 1|30). - С. 131-135.
6. Liu, С. Detection of transiently chaotic swings in power systems using real time phasor measurements / C. Liu // IEEE Trans. Power Syst. • 1994 • Vol. 9, N»3. - P 1285-1292.
РЫСЕВ Павел Валерьевич, кандидат технических наук, старший преподава тель кафедры ЭсПП. СВЕШНИКОВА Елена Юрьевна, старший преподаватель кафедры ЭсПП.
НИКИШКИН Алексей Сергеевич, аспирант, ассистент кафедры ЭсПП.
ФЁДОРОВ Дмитрий Владимирович, студент 1 -го курса гр. ПЭ-118.
Дата поступления статьи в редакцию: 06.03.2009 г.
© Рыссв П.В., Свешникова Е.Ю., Ннкншкнн A.C., Федоров Д.В.
УДК 621.318 В. К. ФЁДОРОВ
П. В. РЫСЕВ Е. Ю. СВЕШНИКОВА С. Ю. ПРУСС Д. В. РЫСЕВ
Омский государственный технический университет
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
С помощью численного моделирования обнаружены хаотические режимы электроэнергетических систем, проистекающих из-за наличия хаотической динамики электроэнергетических систем.
Хаотические режимы могут существовать как дополнительные состояния в электроэнергетических системах даже тогда, когда имеют место устойчивые режимы функционирования.
Ключевые слова: детерминированный хаос, устойчивость электроэнергетических систем.
Постановка задачи. В системе линейных ди(|кре-ренциальпых уравнений знание собственных значений и собственных векторов фундаментальной матрицы коэффициентов позволяет записать решение в замкнутом виде. Для систем нелинейных дифферен-
циальных уравнений замкнутые решения могут быть получены для ограниченного числа случаев, вследствие чего решающая роль в анализе различных нелинейных явлений отводится методам численного моделирования. Но э го никоим образом не затрагивало
