Управление региональными системами на основе результатов анализа фазовых портретов математических моделей динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.46

Киселев В. В.1 Акопян Е.А.2 Ткаченко P.M.3

УПРАВЛЕНИЕ РЕГИОНАЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИЗА ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация. Статья посвящена вопросу управления региональными системами путем исследования результатов анализа фазовых портретов математических моделей. В работе изучаются качественные оценки состояния системы, возможный ансамбль траекторий их развития, которые позволяют глубже понять ее свойства, определить ведущие связи и выбрать оптимальные управляющие воздействия.

Ключевые слова: управление, региональные системы, математическая модель, система дифференциальных уравнений, особые точки, фазовые траектории.

Kiselev V.V. Akopyan Е.А. Tkachenko R.M.

MANAGEMENT OF REGIONAL SYSTEMS BASED ON THE RESULTS OF THE ANALYSIS OF PHASE PORTRAITS OF MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMIC SYSTEMS

Abstract. The article is devoted to the question of management of regional systems by examining the results of the analysis of phase portraits of mathematical models. In the article we study the qualitative assessment of the system, the ensemble of possible trajectories of development, which allow a deeper understanding of its properties, to identify connections and to select optimal control actions.

Keywords: management, regional systems, mathematical model, system of differential equations, singular points, phase trajectories.

Причиной низкой результативности ин- ления, призванному обеспечить устойчивое

статутов управления региональными сис- развитие территории, будет содействовать не

темами в ряде случаев является отсутствие только совершенствование нормативно-пра-

теоретико-методологической базы, на ос- вовой базы. С теоретической и практической

нове которой может быть дана объективная точек зрения важными могут быть резуль-

оценка состояния и определены основные таты исследования социально-экономичес-

градиенты ее динамики. Возвращению госу- ких процессов, полученные с помощью ма-

дарства на позиции регулирования и управ- тематических моделей. Качественные и

1 Киселев Виктор Васильевич, доктор биологических наук, профессор, профессор кафедры экономики и антимонопольного регулирования, Северо-Кавказский институт-филиал РАНХиГС, г. Пятигорск, e-mail: vikkiselevt® yandex.ru

Kiselyov Victor, Dr.Sci.Biol., professor, professor of department of economy and antimonopoly regulation. The North Caucasus institute - branch of RANEPA, Pyatigorsk, e-mail: vikkiselevi@,yandex.ru

2 Акопян Елена Александровна, кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры экономики и антимонопольного регулирования, Северо-Кавказский институт-филиал РАНХиГС, г. Пятигорск, e-mail: a rtakoVv yandex.ш Akopyan Elena, Candidate of Economic Sciences, associate professor, associate professor of economy and antimonopoly regulation The North Caucasus institute - branch of RANEPA, Pyatigorsk, e-mail: artako(®,yandex.ru

3 Ткаченко Роман Михайлович, кандидат физико-математических наук, e-mail: [email protected] Tkachenko Roman, candidate of physical and mathematical sciences, e-mail: [email protected]

количественные оценки состояния системы, возможный ансамбль траекторий развития позволяют глубже понять ее свойства, определить ведущие связи и механизмы эволюции, выбрать оптимальные управляющие воздействия. Известно немало примеров, когда с помощью математического инструментария находились наилучшие варианты планирования и управления в отдельных отраслях экономики и регионах, осуществлялась оценка воспроизводственного потенциала больших территорий [1, 3, 4 5, 6, 7], а также в междисциплинарных исследованиях, объясняющих различие в уровне социально-экономического развития различных регионов и отдельных стран в планетарном масштабе [2].

Не обходится без сценарного анализа на математических моделях и поиск путей выхода из экологических, экономических и иных кризисов не только отдельных регионов и стран, но и в общепланетарном масштабе.

При необычайно высоком разнообразии задач, связанных с прогнозированием и управлением состояния динамических систем,

сЬс,

для них справедливы законы сохранения. Это обстоятельство позволяет реализовать единый подход к построению математических моделей объектов самой различной природы. С математической точки зрения исследуемые системы могут быть описаны п переменными состояния системы - фазовыми переменными Д£\Д),..., х (!), а моделью будет являться некоторая система, например дифференциальных уравнений. Геометрической интерпретацией решения такой системы уравнений является семейство ориентированных фазовых траекторий в фазовом пространстве.

Наряду с фазовыми траекториями, присущими системе и дающими ключ к пониманию изменения фазовых переменных, важными характеристиками динамической системы являются особые точки и их тип. Особые точки представляют в фазовом пространстве положения равновесия системы. С физической точки зрения особые точки есть точки покоя, допускающие устойчивые или неустойчивые положения равновесия. Для автономной динамической системы, задаваемой уравнениями

особые точки определяются, следовательно, системой уравнений

Дхрх2,..х1) = 0, / = 1,2

(1)

При п = 2, когда фазовое пространство двумерно, динамическая система может иметь особые точки только следующих четырех типов: центр, узел, фокус, седло.

(2)

Динамика системы, состояние которой определяется двумя фазовыми переменными, может быть описана следующей математической моделью, состоящей их двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

бх,

Л

с1х„

(3)

Л

йх1йх2 особых точек. В этих точках объект, описы-Решение (3) для случая — = 0 и — = 0 „ „ „ /1Ч

ш ш ваемыи системой уравнении (1), находится в

позволяет наити точки положения равнове-

/1Ч состоянии покоя: сия системы (1), которые получили название

ф(51;«52)=0

(4)

Точки пересечения двух нуль-изоклин (4) являются особыми точками на фазовой плоскости (х ; х,). Информация о их наличии и типе, а также явный вид нуль-изоклин полностью ха-

рактеризуют качественное поведение объекта и позволяют построить фазовый портрет эволюции автономной динамической системы (3). Если односвязная область содержит осо-

бую точку х , то возможен лишь один из следующих случаев:

1) Траектория является замкнутой кривой, внутри которой лежит точка хс; все остальные замкнутые траектории, если они существуют, расположены так, что точка хс лежит внутри каждой из них.

2) траектория примыкает обоими концами к точке х , тогда и каждая другая замкнутая траектория, лежащая внутри первой, примыкает обоими концами к точке хс;

3) каждый конец траектории представляет

Пусть найдена особая точка

Хс = (Х1с' Х2)- (5)

Пусть (х - х ; х, - - малая окрестность этой точки. Тогда, правые части системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) в окрестности хс = (х1с; х^) можно представить в виде:

Ф (-V *,) = Ф *2с) + а (х1 - х1с) + Ъ (х, - х2), (6)

V (-V *,) = ¥ (х1с; х2с) + с (Х; - х1с) + а (х, - х2с),

где коэффициенты а, А, с, с! определяются как частные производные:

собой спираль, асимптотически приближающуюся к кривой первого или второго типа;

4) один конец траектории достигает границы области, а другой примыкает к точке

х :

с

5) один конец траектории достигает границы области, а другой образует спираль, асимптотически приближающуюся к кривой первого или второго типа:

6) траектория проходит от одной точки на границе области до другой.

а =

с =

dtp ЬЛФ

Sxj > и — дх2

ду

cbcj X„ дх2

(7)

Для особой точки х = хс значения ср (хи; х,с) и \|/ (хи; х ) в (6) обращаются в нуль и система (3) может быть записана в виде

йи.

—= аи, + ом, • Л

(1и,

dt

= си,+ аи,

(8)

где и,

х,

•1 "I Х1<? 112 "2 "2с

Так как система уравнений (6) является линейной, то её решение определяется через фун-

х.

х.

кции

= kjt*, и =

чМ»у

» ио =

Л. Л

(9)

Где ё , i = 1,2 и X - const, значение которых необходимо определить. Подставив функции (9) в систему (8) получим

4.1 = «'»01 + Ь"п2-

4.2 = С"01 + dU02-

(10)

Для того чтобы система двух линейных однородных уравнений имела решение необходимо выполнение условия разрешимости - определитель характеристического уравнения должен обращаться в ноль:

а-"к Ь

(11)

п d-X

= 0 или X2 + С X + D= 0,

где N = -(a + d), D = ad -bn.

U]

а Ъ

В данном уравнении числа X являются собственными значениями матрицы А = - ха-

рактеристическими показателями. Vе ^ у

Квадратное уравнение (11) имеет два корня. Если они не совпадают Ф Х2, то решение записывается ив виде

А.,/ 'Кл

х — х =и^е

с 0

(12)

где

и - независимые собственные вектора матрицы А, отвечающие собственным

значениям А, и Х2 соответственно, = X, 1 = 1,2.

Значения корней характеристического уравнения (11) определяют типы особых точек. Решая это уравнение получим

.2

2 14

(13)

В зависимости от значений коэффициентов менно приближается к этой точке (рис. 1).

С и Б возможны следующие случаи: При существенном увеличении времени это

1. Если Тогда оба корня уравнения приближение является монотонным. Такая

вещественные числа одного знака. При С > особая точка носит название - устойчивый

0 корни отрицательны. Значит, для уравнения узел. При С < 0 всякая фазовая траектория,

(12) х(1:) -» хс при любых начальных у слови- имеющая своим началом некоторую окрест-

ях. Переходя к траектория получим - всякая ность особой точки, непременно удаляется от

фазовая траектория, имеющая своим началом нее. Соответствующая особая точка есть не-

некоторую окрестность особой точки, непре- устойчивый узел.

Рисунок 1 - Устойчивый и неустойчивый узел

2. Если Э > 0, — < И. Этому случаю соответствуют комплексно сопряженные корни характеристического уравнения. Решение уравнения (10) записывается в виде:

х-хс = а"" (¡4

(1) совю* + и(2) вШСОП'

о /

(14)

где ю = ~ П%.. При С > 0 фазовые тра- 0собая точка называется - устойчивый фокус,

ектории в колебательном режиме неограни- Если же С > 0, то спирали раскручиваются от

ченно приближаются к особой точке - имеет ос°бой т°чки и говорят, что имеет место неус-

место асимптотическая устойчивость (рис. 2). тойчивый фокус.

Рисунок 2 - Устойчивый и неустойчивый фокус

3. Если С = 0, Б > 0. В этом случае оба корня чисто мнимы и комплексно сопряжены. Решение записывается в виде:

(15)

х-х,

= „(1)

икч со&т + м(2) вшом

где со = Уравнение (15) описывает пе- равновесия устойчиво, но не асимптотически, риодический колебательный процесс, фазовые Особая точка такого процесса есть центр (рис. траектории которого замкнуты, положение 3).

Рисунок 3 - Особая точка - центр

4. Если Б < 0. Это означает, что при любых значениях С характеристические корни А, и л2 вещественные и противоположного знака. Решение уравнения (12) имеет два слагаемых, одно из которых есть возрастающая экспонента, а второе - убывающая экспонента. В

этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, а другая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво. Соответствующая этому случаю особая точка есть седловая точка (рис.

4).

Рисунок 4 - Фазовые траектории — седло Отобразим рассмотренную классификацию особых точек на плоскости (С, Б) в виде рисун-

ка:

Неустойчивые узлы

Рисунок 5 - Схема распределения особых точек на плоскости параметров (С, Б). Полуось С = 0, Б > 0 соответствует особым точкам типа центра

Изменение параметров рассматриваемых систем приводи к трансформации особых точек. Изучение их траектории позволяет сделать вывод о свойствах системы. Разбиение

с2

плоскости (С, Б) параболой О =— и прямыми Б = 0иС = 0на области, соответствующие различным типам особых точек, определяет поведение изучаемой системы при изменении экзогенных переменных. Полуось С = 0, Б > 0 соответствует особым точкам типа центр. Эта точка является точкой перехода системы от устойчивого фокуса к устойчивому. Таким образом, при изменении С происходит смена типа особой точки фокуса через образование центра, что легко понять, если вспомнить фазовые портреты этих особых точек. Анализ

особой точки седла показал, что они неустойчивы при любых знаках С. Смена знака С приводит к повороту фазового портрета, то есть происходит переориентация.

В случае фазового пространства большей размерности число типов особых точек возрастает. При этом следует иметь в виду, что в //-мерном фазовом пространстве при п > 2 особые точки сочетают в себе свойства перечисленных выше особых точек двумерного фазового пространства. Поясним суть дела, рассмотрев в качестве примера систему с трехмерным фазовым пространством (п = 3 в уравнениях (1) и (2)).

Пусть хс = (хсР хсУ хс3) - особая точка. Для определения типа этой особой точки выполним линеаризацию (1) в ее окрестности. Положим

и = х - х

(16)

Полученный вектор и виде

(и ,иявляется малым. Это позволяет записать (1) в матричном

— = Аи (17)

Л

где А - матрица частных производных,

д(/15/2,/з>

А =

у Х^ з )

Решение уравнения (17) будем искать в виде

х-хс

и = и()еа>.

(18)

(19)

Подстановка решения (19) в систему (17) приводит к системе линейных уравнений для нахождения коэффициентов и = (ит,ип

•02'11о)-

и

ш/п = Аип

Для определения разрешимости системы составим характеристическое уравнение

- аЕ) = 0

где Е - единичная матрица размерностью (3x3). Уравнение (21) является уравнением третьего порядка

а5 + аа2 + Ьа + с = 0.

(20) (21)

(21а)

Уравнение имеет три решения. Корни могут быть как вещественными, так и комплексными (в частном случае - чисто мнимыми).

После определения av ния (17) можно представить в

и = г/ е"

II £>' "02L

Данное решение получится в том случае, когда все три корня различны. Появление совпадающих корней а приводит к вырождению решения уравнения (17), то есть вместе со слагаемым вида и0еа> появляются и слагаемые вида tea>. При совпадении всех трех корней может происходить дальнейшее вы-

; »о/1' (22)

рождение, тогда решение приобретает вид и = (I ,т+П,02+?и03)е°-<.

Рассмотрим классификацию особых точек для случая, когда все три корня характеристического уравнения различны.

Первый случай. Все корни вещественные. Здесь возможны следующие ситуации:

1. а< а2< а3< 0;

2. <Xj< а2< 0 <а3;

3. aj< 0< а2< а3;

4. 0 < а< а< а3.

Первая и четвертая из этих ситуаций являются прямыми следствиями соответствующих устойчивого и неустойчивого узлов фазового портрета динамической системы на плоскости. Поведение рассматриваемой системы с одной степенью свободы вблизи узла устойчивости аналогично поведению системы с двумя степенями свободы вблизи особой точки. Вместе с тем вторая и третья из ситуаций (23) соответствуют новым типам особых точек. Эти точки можно назвать седло-зел, пос-

1.

3.

а<0, а>0,

Rea2 = Rea3< 0; 2. Rea" = Rea.< 0: 4.

djCO, <Xj> 0,

(23)

кольку они обладают свойствами как узла (по одной паре направлений), так и седла (по другой паре направлений). «Узловая» часть этих особых точек может быть как устойчивой (ситуация 2), так и неустойчивой (ситуация 3).

Второй случай. Один корень действительный (у кубических уравнений всегда, по крайней мере, один корень действительный), а два других - комплексно сопряженные. Пусть для определенности 1ш а1 = 0; а2 = а3* т.е. 11еа2 = 11еа3# 0, 1та, = - 1та,^ 0. Тогда возможны ситуации:

Леоц = Яеа3> 0;

Яеа2 = Яеа3> 0.

Следуя приведенной выше классификации этим особым точкам естественно дать названия узло-фокус 1 - устойчивый, 4 - неустойчивый) и седло-фокус (2 и 3).

Третий случай. Если один вещественный

(24)

Классификация особых точек для динамических систем с фазовым пространством более высокой размерности аналогична рассмотренному случаю трехмерного пространства. При этом, однако, введение новых названий для со-корень (оц) два других (а, и а3) - чисто мни- ответствующих особых точек не увеличивает мые. Это соответствует ситуации, когда в наглядность их представления. Для упрощения плоскости (х0,х ) особая точка представляет восприятия особых точек прибегают к выделе-собой центр, а устойчивость определяется нию в полном фазовом пространстве Г подпро-знаком a.t. Такую точку можно называть ус- странств Ги и Г5, в которые включены неустой-тойчивым (а< 0) или неустойчивым (а> 0) чивые (Г11) и устойчивые (Г ) направления. При узло-центром. этом по смыслу разбиения Г на Г" и Г8

dimr = dimru + dimP. (25)

где символ dim означает размерность соот- (10) размерности подпространств Г11 и Г равны: ветствующеш (подпространства. Такое разби- 1) dimP1 = 0, dimP = 3; 2) dlmP = 1, dimP = 2; 3) ение, разумеется, имеет смысл для пространств dimTP = 2, dimP = 1; 4) dimP = 3, dimP = 0. любой размерности. Так, например, в ситуации 22

В случае фазового пространства произволь- котором матрицы АиЕ суть соответствующие

ной размерности для динамической системы обобщения матриц, введенных выше для сис-

(1) тип особой точки определяется, очевидно, тем с трехмерным фазовым пространством, из характеристического уравнения вида (21), в В этих условиях уравнение

det(A - о.Е) = 0 (26)

представляет собой уравнение п-й степени появляются комплексно сопряженными пара-относительно характеристического показате- ми, поскольку все коэффициенты в уравнении ля п. Как известно, это уравнение имеет ровно (26) - вещественные, п корней, среди которых могут быть как ве- Запишем корни уравнения (26) в виде щественные, так и комплексные. Последние

а = Rea. + ilma.. (27)

Все корни, расположенные в левой полу- формулируются необходимые и достаточные

плоскости комплексной плоскости а, где Rea условия, при которых все корни многочлена

< 0, отвечают устойчивым направлениям, так с вещественными коэффициентами имеют

как отклонения от положения равновесия по отрицательные вещественные части. Полу-

этим направлениям при t —> + 00 затухают, ченные при исследовании системы (1) качес-

Аналогично корни, расположенные в правой твенные обобщения вполне справедливы и,

полуплоскости а, отвечают неустойчивым на- что самое главное, устойчивы, несмотря на

правлениям. Для качественной характеристи- абсолютные отсутствие какой-либо количест-

ки типа собой точки достаточно установить венной информации об эндогенных и экзоген-

число корней характеристического уравне- ных переменных и структуре динамической

ния, лежащих в левой и правой полуплоскос- системы. Качественное объяснение явлений

тях комплексной плоскости а. не является второстепенным по отношению к

Для уравнений высоких степеней (п > 2) количественному описанию. Важно, что оно

использовать явные формулы для определе- носит основополагающий характер и обычно

ния корней часто неудобно, поэтому особую является значительно более существенным,

ценность приобретают методы определения На практике очень часто для качественной

числа корней того или иного типа, не осно- характеристики объекта используют количес-

ванные на явном решении. Одним из таких твенные методы изучения его свойств и по-

методов является критерий, который следует ведения. Выбор и оценка различных моделей

из теоремы Рауса о числе комплексных кор- управления фактически привели к постановке

ней многочлена с вещественными коэффи- классической задачи определения устойчи-

циентами - критерий Рауса-Гурвица. В нем вости.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Киселева H.H., Усамова Т.Н. Воспроизводственный потенциал проблемных регионов Северного Кавказа // Terra Economicus. - 2010. - Т. 8. - №1 - 2. - С. 124 - 131.

2. Лал Д. Непреднамеренные последствия. Влияние обеспеченности факторами производства, культуры и политики на долгосрочные экономические результаты. - М.: ПРИСЭН, 2007. - 338 с.

3. Киселева H.H., Киселев В.В., Папушоя М.С. Методический инструментарий диагностики ресурсного потенциала аграрной сферы региона // Успехи современного естествознания. -2009. - №8. - С. 33 -37.

4. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / Под ред. В.И. Гурмана, Е В. Рюминой. - М.: Наука, 2003. - 175 с.

5. Попов Р. А. Экономика региона: теория, методология, методика. - М.: Вузовская книга, 2012.-432 с.

6. Киселева H.H., Орлянская A.A., Русинова О.С. Управление социально-экономическим развитием сельских территорий аграрного региона. - Пятигорск: РИА-КМВ, 2011. - 151 с.

7. Шнипер Р. И. Регион: экономические методы управления. - Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1993. - 249 с.