Управление рациональными структурами криволинейного армирования в полярной системе координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

Прикладная математика

где Библиографические ссылки

, = |ln (х2 + у2) + arctg y/x ,

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : ГИТТЛ, 1954.

1 у/ 2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. При-

р = 21п (х2 + у2зг^И /х , ложение симметрий и законов сохранения к решению

дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука, 2001.

где x, у - плоские декартовы координаты.

S. I. Senashov, E. V. Filyushina Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

SPIRAL COORDINATE SYSTEM

A new three-dimensional orthogonal coordinate system - spiral system is described. It is shown that this system is suitable for the construction of exact solutions of the equations of continuum mechanics.

© Сенашов С.И., Филюшина Е.В., 2012

УДК 539.3+539.4

Н. А. Федорова, С. О. Вожов Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

УПРАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ СТРУКТУРАМИ КРИВОЛИНЕИНОГО АРМИРОВАНИЯ В ПОЛЯРНОЙ системе координат

На основе структурной модели решена задача рационального армирования криволинейными волокнами осе-симметричной кольцевой пластины в полярной системе координат. Изучено влияние структурных параметров на предельное нагружение конструкции.

В работах [1-3] на основе структурной модели в рамках линейной неоднородной осесимметричной задачи упругости получена разрешающая система уравнений, описывающая поведение армированной кольцевой пластины. Система сформулирована относительно перемещений ир, ие в полярной системе координат (р, е). Система и граничные условия представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициенты системы содержат полный набор структурных характеристик: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования. Для численного решения разрешающая система сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиаго-нальной матрицей решалась методом ортогональной прогонки.

Проверка условий разрушения упругоармирован-ного материала имеет свои особенности. Пусть материал изотропного связующего имеет различные пределы прочности при растяжении ст+ и сжатии с-.

Тогда в случае плоского напряженного состояния условие прочности Мизеса-Баландина для неоднородного материала через напряжения арс, сес, срес в связующем для полярной системы координат имеет вид (стср )2 + (се )2 + 3(сре )2 - (ар Ж) -- (с+ - а- )(ар +ар) <а+а-,

Для семейств армирующих волокон предполагаем, что пределы прочности (текучести) т-го семейства

волокон при растяжении ст и сжатии ст различны. Армирующие семейства волокон остаются упругими, если выполняются неравенства

-ст <Етет <а+т . (2)

Таким образом, для проверки прочности армированного материала необходимо анализировать два условия: условие на прочность материала связующего (1) и условие на прочность армирующих волокон (2).

На основании вышеизложенного следует ввести понятие предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой конструкции. По достижении этого состояния хотя бы в одной точке либо в связующем, либо в волокне происходит выход за пределы упругости (напряжение превышает предел текучести). В данной точке может возникнуть микроразрушение. Уравнениями, сформулированными в рамках теории упругости, мы уже не можем пользоваться.

Решетневскце чтения

Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи. Рассмотрены примеры численного решения задачи для одного, двух и трех семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства алгебраических спиралей и их изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения. В рамках данного подхода, не решая задачи оптимизации, оценивалась предельная амплитуда внешней нагрузки.

За счет управления геометрическими параметрами пластины и криволинейной укладкой семейств волокон, без использования часто дорогостоящих армирующих волокон можно получить армированную конструкцию с заранее заданными свойствами.

Библиографический список

1 Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : Изд-во СФУ, 2010.

2. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Математика и физика : журн. Сиб. фед. ун-та. 2011 № 4(3). С. 400-405.

3. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Математическая физика и ее приложения : материалы III между-нар. конф. (27 авг. - 1 сент. 2012, г. Самара). 2012. С. 211-213.

N. A. Feodorova, S. O. Vozhov Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

CONTROL FOR CURVILINER REINFORCEMENT RATIONAL STRUCTURES IN POLAR COORDINATE SYSTEM

The problem of curvilinear fibers rational reinforcement for axially symmetric ring-shaped lamel in polar coordinate system is solved by reference to the structural model. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied.

© Федорова Н. А., Вожов С. О., 2012

УДК 539.374

О. Н. Черепанова Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О НОВЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ В КОМПОНЕНТАХ ВЕКТОРА СКОРОСТЕЙ

Изучены групповые свойства уравнения, описывающего кручение стержня в компонентах скорости. Построены новые решения.

Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень в прямоугольной декартовой системе координат. Ось ог направим вдоль оси стержня. Пусть стержень закручивается вокруг оси г с равными и противоположными парами сил с моментом М. Предполагаем боковую поверхность свободной от нагрузок, массовыми силами пренебрегаем.

Предполагаем, что напряженное состояние, возникающее в стержне, характеризуется следующими значениями компонент тензора напряжений:

^ (X У\ Т уг =Т уг ( X У X

х =СТ у =СТ г =Т ху = 0.

В результате система уравнений равновесия и условие пластичности сводится к уравнениям [1]:

дх„ dt

yz

= 0,

х2 +_2 = k 2

xz yz ~К

(1)

дх ду

В силу ассоциированного закона пластического течения связь между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора скорости и, V, V определяется зависимостями

,дV дм дvч

хyz (— + — ) = (— + — )хxz ,

yzv -л ^ ' -Л' xz '

дх dz ду dz du dv dw о du +^dv о dx dy dz dy dx

(2)

Последним уравнением (2) удовлетворим, полагая, что компоненты вектора скоростей удовлетворяют соотношениям

и =По гу, V = -ц0 гх, V = м>(х, у), (3) где "л0 - постоянная, называемая круткой.