CC BY
69
А. В. Долганов, В. В. Елизаров, В. И. Елизаров УПРАВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРАМИ КУБА РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ
Ключевые слова: ректификационная колонна, интегральные отклонения, функционал, система управления.
Рассматривается метод построения системы управления кубом ректификационной колонны. Разработан алгоритм построения конструкции регулятора. Приведен пример построения регулятора для управления уровнем жидкой смеси в кубе ректификационной колонны.
Keywords: distillation column, integral deviation, functional, a control system.
It is observed the design method of control system of the bottom of the distillation column. An algorithm of regulator design is developed. An example of controller design for controlling the level of the liquid mixture in the bottom of the distillation column is given.
Существующие методы расчета систем автоматического управления технологическими процессами в основе своей базируются на математической модели объекта. Однако построение модели проводится обычно экспериментальным путем. Сначала получают на промышленном объекте переходную функцию (кривую разгона), затем ее апроксимируют передаточной функцией и используя методы теории автоматического регулирования определяют настроечные параметры регулятора, обеспечивающие заданные показатели качества переходных процессов. Это довольно сложный и длинный путь построения системы управления.
В данной статье рассматривается метод построения системы управления кубом ректификационной колонны.
Реакционная смесь после реакторов синтеза эфиров [1] поступает на разделение в ректификационной установке, в которой происходит разделение продуктов реакции на эфиры и другие компоненты (пентаны, изоамилены, пиперилены, димеры). Часть эфиров отбирается боковым погоном, другая часть вместе с олигомерами отводится из куба колонны. Сверху колонны отбираются непрореагировавшие изоамилены и пиперилены, которые рециклом направляются на вход реактора.
Одним из важных параметров управления процессом разделения является уровень жидкой смеси в кубе колонны. При изменении расхода продуктов реакции на входе колонны или бокового отбора меняется уровень жидкости в кубе, изменяется, соответственно, отбор кубовой жидкости и ее расход в кипятильник, что приводит к изменению расхода тепла греющего пара, изменяется паровой поток по колонне и расход орошения (флегмы) или верхнего продукта [2].
Задача управления заключается в поддержании уровня жидкости в кубе колонны на заданном значении при изменении внешних воздействий (возмущений).
Паровой поток в колонне V связан с расходом греющего пара уравнением теплового баланса V • Гсм = G • Гг п , где G - расход водяного насыщенного пара в кипятильник колонны,
Гг п , Гсм - теплота конденсации насыщенного пара и испарения кубовой жидкости.
Уравнение материального баланса в отклонениях от заданного значения примет вид
dx 1
— = — u, (1)
dt B
где x = A, u = AV, с начальными условиями x(0) = x0 - измеряемая величина отклонения уровня в начальный момент времени t = 0 ; A, AJ - отклонение уровня и расхода парового потока по колонне, B - поперечное сечение колонны.
Задача управления формулируется следующим образом: требуется найти закон управления u(x) для процесса, описываемого уравнением (1), при котором отклонения уровня и расхода пара от заданных значений не превосходят допустимых величин:
ад ад
J1 = |x2dt < A1, J2 = |u2dt < A2, (2)
0 0
где A1, A 2 - предельно допустимые заданные значения интегральных отклонений.
В безразмерной форме функционалы (2) имеют вид:
ад 2 ад 2
r x r u
Y=J -rdt <1- * =J 7T"dt < 1 (3)
0 A1 0 A 2
Заданная величина отклонения на управление u(x) обоснована необходимостью со-
кращения энергозатрат (расхода тепла) на разделение смеси.
Проведем построение конструкции регулятора на основе разработанного выше алгоритма.
(1)
В первом приближении примем управление u в виде u0 = -bx, где b - const.
Функцию Ляпунова [3,4] запишем как ранее [5,6]
S(x,t ) = S0x2. (4)
-bt
Решение уравнения (1) при данном управлении имеет вид x = x0e B .
ад x02 -^^t ад b2 2 -^^t
Значения функционалов y и y2 (3) равны: y = I----------e B dt, y2 = I------x0 e B dt.
0 A1 0 A2
Сравнивая значения y и y2 имеем два случая:
1 b2
1) при----<----- или b >д/A2/A1 , У2 > y и max (h1,h2 )= h2 (x,t);
A1 A2
1 b2
2) при---->----- или b <VAJA1 , y > y2 и max (h1,h2 )= h1 (x,t).
A1 A2
Здесь h1 (x, t) и h2 (x, t) - подынтегральные функции функционалов у и y в выражениях (3).
В 1 b2
В случае — =------имеем y = y2.
A1 A 2
Приведем решение для первого случая, когда y2 > y. Найдем в первом приближении
(1)
параметр функции Ляпунова S0 в (4).
Составим выражение
r dS(1П
h2 (x,t ) + ■
b2 dS (1)
= 0, — x2 +-d^ = 0, (5)
(1) A2 dt
dS(1) 2S0(1)b 2
где —— =------------0—x2.
dt B
bB bB 2b t
Из уравнения (5) получим S0(1) =---------, тогда S(1)(x, t) = S0(1)x2 =----x02e B .
2A2 2A2
dS(1) b2
~ 2 -Bt
Производная функции-----------=--------x0 e B
dt A 2
Для устойчивого решения уравнения (1) необходимо Э ^(х, 1) > 0, — < 0 . Это воз-
можно в случае Ь > 0 .
Управление
u
и0 (1) = -Ьх
ьв
удовлетворяет условиям (3) когда Э(1)(х0,0) =--------х02 < 1 или
2А 2
Х0 <
2А,
' ьв
ь > V А^А1 •
(6)
(7)
(1)
Если начальное отклонение х0 удовлетворяет условию (7), то и0 - решение задачи.
Коэффициент Ь в уравнении (6) - коэффициент усиления регулятора. Его величина определяет время переходного процесса. Чем больше его значение, тем меньше время регулирования. Выбрать коэффициент усиления можно, если задать время, например: Т = 0.3ч.
-Ьт ь
Пусть х(Т) = 0.05х0. Тогда х(Т) = х0е в = 0.05х0. Отсюда - ЬТ =-3
ь
Ь =
3 В 315.9
Т
0.3
= 159м2/ ч, где сечение В =
4
в
= 15.9 м2, для колонны диаметром
йк = 4.5 м .
В общем случае выбором коэффициента усиления Ь можно добиться выполнения неравенства (7).
В том случае, когда не удается выполнить неравенство (7) или выбором коэффициента усиления Ь добиваются его выполнения, но не удовлетворяет при этом время переходного процесса Т, тогда находим второе приближение управления.
= и0(1) ± &
дК
ди
Здесь К =
(хД) +
ЛЭ(1 И Л
А2
2Э
(1)
В
(1)
и„' = иц + &
их,
дК
ди
дК Ь _
— =-------х < 0 .
ди А 2
Ь + &
ь
Л
А
х.
(8)
2 У
Решение уравнения (1) при данном управлении принимает вид
-1 ( Ь+е—] . 1
х = х0е в^ А2^ .
Величину шага спуска в найдем из условия ^ = И2 при условии у 1 = у 2
,Л ^ь+^ ^ + &
К =/ ^ А2 > Л, * =
0 Л1 0 А2
хг
. Ь
Ь + & — А
V
2 У
А1
А2
х
А2
А1
. Ь
ь + &—
А
Л2
£=
у1А2іА1 - Ь
А,
2 У
Тогда согласно (8)
Решение уравнения (1) примет вид
(2)
и0 =-
-у/А2 /А1
V А2іА1 (
х
(9)
х = х0е
2
и
0
2
и
0
2
2
2
Ь
в
К =1
х
Л ■ К =| Т^е
0 А1
0 А1
е
2 ^А^А1 (
Л.
)1 = у2. Решение и0 - решение минимаксной задачи.
Получим условия когда управление (9) удовлетворяет неравенствам У1 < 1, У2 < 1. Поскольку у = у2 составим выражение
А + сИ
= 0.
х2 2Э (2)
(2)
— - 0—л/А^Ах2 = 0.
А1 в ^ 2/ 1
Эг
в
2д/АА
При і = 0 Э(х0,0) < 1.
Отсюда следует:
, Э (2)(х,і )= Э0 (2)х2 =
в
27АА
х0 е
2
-вУ^*
х02в
< 1.
х02 <
2Л/АА
(10)
27АА; ’ и в
Следовательно, если выполняется неравенство (10), то управление и0(2) = -л/А7/А7х является решением задачи и удовлетворяет неравенствам (2). Отношение •\/А2/А1 - коэффициент усиления пропорционального регулятора.
(1 )
Рассмотрим второй случай, когда у > у2 при управлении и0 = -Ьх .
Ь
1 Ь2
—> — или ь < 4А71А1.
А1 А
х 2 -2Ь|
В этом случае тах(іі1,Ь2)= ^ (х,,) = —^е в .
А1
Составим выражение
(х02 ЛЭ
0 +
ОЛ
А1
Лі
= 0,
х02 2Э0(1)Ь 2 Л 0 0 -х2 = 0.
(1)
А1
в
Отсюда Э
(1)
в
2ЬА1
Э (1)(х,і ) = Э0 (1)х2
в
2ЬА1
х0 е
ЛЭ(1) Лі
< 0.
При этом управление и0(1) = -Ьх является решением задачи, если Э(1)(х0,0) < 1.
в
-
2ЬА1
х0 е
< 1.
Ь <^ А2/А1 .
(11)
Отсюда следует условие для х 0 .
і=0
х0 <
2А1Ь
в
При нарушении условий (11) находится следующее приближение управления. Для это-
,2 ОС (1)
го при данном управлении составляется выражение К =
^ х2 ЛЭ(1П х2 2Э0(
+ ■
А1 Лі
У
А1
в
их , вы-
и
0
числяется производная — =------------------
ди в
х=
ЬА1
> 0
и
определяется управление
и (2 )= и (1) & и0 = и0 - &
х
ЬА1
Ь + ■
ЬА1
- х
Решение уравнения (1) и выражения функционалов (3) принимают вид
Г ь & Л 2
2 2 Г Е ^ I Ь + -
-I Ь+—— і
- - с ь+—и
х = х0ев У, = { ^
0 А1
Шаг спуска определяется из условия у = у2.
2
У2 =/-
ЬА1
А,
1_
А1
2У
А2
=
{л[АПА1- ь)- ЬА1 .
Управление
и0(2) = -4А2ІА~1х .
(12)
В этом случае у = у2, ь = 4 А2/А1.
Э(2)(х,і) = Э0(2'х2 = —^х02е-в’/АЗАТ| >0, 4 ' 0 2ЬА1 0
в2
в(х0,0) = —— х02 < 1 при условии 2ЬА1
Лі
лМТ/^2 <0.
ЬА1
х0 <
2ЬА1
в
(13)
При заданных значениях А1 и А2 в выражениях (2), выбирается коэффициент пропорциональности регулятора Ь из условий:
Гк—пг~ /2ЬА1
1. если Ь < уА2/А1 и выполняется неравенство х0 < ^ —в— ;
2. если Ь > ^/А2 /А1 и выполняются неравенства: х0 <
2А2
ьв"
или
х0 <
2УАА
в
, то управление
- Ьі
и0 = -Ьх0е в
(14)
является решением задачи.
В зависимости от величины коэффициента пропорциональности изменяется время переходного процесса (время регулирования).
Решение уравнения (1) при управлении (14) имеет вид х = х0е Время регулирования Т определим из условия х(Т) = 0.05х0.
В ректификационной колонне разделения эфиров теплота парообразования кубовой жидкости Гсм = 260 кДж/кг, теплота конденсации водяного насыщенного пара при давлении
0.6 МПа составляет Ггп = 2080 кДж/кг, плотность кубовой жидкости р = 675 кг/м3 .
є
Тогда управление и0 в уравнении (1) принимает вид
... сіх 0_ Сх 8 _ _ ,
В — = 80, — = — О, и0 = О =-Ьх,
С С В
где В - сечение куба, м2; х - отклонение уровня от заданного значения, м; О - отклонение расхода пара от заданного значения, м 3/ч .
Время регулирования уровня в кубе колонны будет равно
-у' 8Ь _ 3В
(Т)= 0.05х0 = х0еВ , —Т = 3, Т
X И = 0.05х0 = х0 , ,
0 0 ’ В 8Ь
Алгоритм работы системы регулирования. После поступления возмущающего воздействия в виде изменения расхода жидкости или пара в колонну производится измерение отклонения уровня в кубе х0. Затем по измеренному значению х0 выбирается коэффициент пропорциональности регулятора Ь и вычисляется отклонение х0. Если измеренное отклонение
соответствует расчетному, то коэффициент Ь выбран правильно. Затем можно определить время регулирования. Если время регулирования удовлетворяет, тогда коэффициент пропорциональности выставляется как уставка регулятору уровня жидкости.
На основе проведенного анализа получены четыре условия, когда выполняются ограничения на функционалы (3).
1. Условия (6), (7) устанавливают следующий режим работы регулятора:
Ь >л/Аг/А, , х0 <^2В2-, и0 = -Ьх (15)
ЬВ
2. Условия (9), (10) определяют режим:
Ь = л/АТ/а7, х02 < , и0 = -Ьх. (16)
В
3. Условия (11) ограничивают управление и0 =-Ьх следующим образом:
ь<,/А7/А7, х0 (17)
4. Условия (12), (13) задают управление
_______ _______ 12ЬА 2 /да
и0 = -^ А^А,х при Ь = д/АТ/АТ, х0 <у —или х02 <------------------в^. (18)
ч0
Условия (16) и (18) одинаковы.
ио = -Ьх, ь=,/ат7а;, хо2 < 2'/АВА2. (19)
В
В этом случае измеренное значение х0 сравнивается с расчетным (19). Пусть А1 = 1-10 2, А2 = 1, В = 15.9 м2.
Измеренное значение х0 должно быть меньше или равно:
х02 < 2л/1- 110 = 0.0125; х0 < 0.112 м.
0 15.9 0
При выполнении этого неравенства значение коэффициента пропорциональности
Ь = 10, а время регулирования
_ 3В 3 -15.9 __
Т = — =----------« 0.6 ч.
8Ь 8-10
Изменение уровня жидкости в кубе колонны и расхода пара описывается следующим
образом: х = х0е В 1 , и0 = -^А2/А^0е В ^ 1 .
Из рис. 1, 2 видно, что при положительном или отрицательном отклонении уровня от заданного значения расход греющего пара пропорционально в первом случае уменьшается, во втором увеличивается.
Значения функционалов у и у2 при х0 = 11.2 -10 2 м, удовлетворяют неравенству (3).
Тхп2 -164а21а1 л т Д 2 -1^л/а^а1 ^
у =| —0—е С = 0,124 < 1, у2 =| —^х02е В< С = 0.124 < 1.
0 А1 0 А1А2
Увеличение коэффициента пропорциональности Ь приводит к уменьшению времени регулирования Т. При Ь > л/А^АГ согласно (15) и0 = -Ьх, а отклонение х0 удовлетворяет
[2А7
неравенству х0 < ^“Ь^ .
Например, при значении Ь > Л/А^А1 = 100, время регулирования Т = 0.06 ч, а х0 < 0.035 м . Начальное отклонение расхода и({ = 0) = 3.5 м3/ч.
Рис. 1 - Зависимость отклонения уровня от времени при измеренных значениях Хо, м
Рис. 2 - Зависимость расхода греющего пара от времени при измеренных значениях, хо, м
При меньшем значении Ь = 11, х0 < 0.107 м, и^ = 0) = 1.18 м3/ч при х0 = 0.107 м, Т = 0.54 ч.
Чем больше коэффициент пропорциональности Ь, тем меньше допустимое отклонение уровня х0 от заданного значения и время регулирования Т.
На рис. 3, 4 приведены зависимости отклонения уровня и расхода пара от заданных значений при различных величинах коэффициента пропорциональности Ь > Л/А2/А1 и
х0 = 0.05м <
2А-
ЬВ
Рис. 3 - Зависимость отклонения уровня от времени и коэффициента пропорциональности Ь при Хо=±0,05 м
Рис. 4 - Зависимость расхода пара от времени и коэффициента пропорциональности Ь при х0=±0,05 м
Решение задачи в виде (17) приводит к следующим результатам.
Для рассмотренного случая управление при Ь < 10 ( Ь = 9 ) х0 < 0.106 м , Т = 0.66 ч; при Ь = 5 время регулирования Т = 1.2 ч, х0 < 0.079 м ; при Ь = 1 время регулирования Т = 6 ч, х0 < 0.035 м .
В этом случае, чем меньше коэффициент усиления, тем меньше допустимое отклонение х0 и тем больше время регулирования Т.
Анализ полученных результатов показывает:
1. Время регулирования уменьшается с увеличением коэффициента пропорциональности b: b > VA2/A1 .
2. Увеличение коэффициента пропорциональности приводит к сокращению допустимой области изменения х0. Согласно (15) значение коэффициента b лежит в пределах
■JAJA < b < ^г.
Вхо
Из этого неравенства при измеренном значении х0 можно выбрать величину коэффициента пропорциональности b .
3. При большом значении коэффициента пропорциональности увеличивается динамическая ошибка регулирования u(t = 0).
4. С экономической точки зрения, с целью сокращения энергозатрат, обусловленных расходом греющего пара, необходимо уменьшать величину допустимого отклонения А2 в выражении (2), добиваясь минимизации энергозатрат.
Работа выполнена в рамках использования гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-552.2011.8 (договор № 16.120.11.552-МД от 18.02.2011)
Литература
1. Долганов, А.В. Предпроектная разработка трубчатого реактора синтеза эфиров/ А.В. Долганов,
B.В. Елизаров // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2009. - № 3. Ч.1. - С64-72.
2. Беспалов, А.В. Системы управления химико-технологическими процессами: учебник для вузов / А.В. Беспалов, Н.И. Харитонов. - М.: ИКЦ "Академкнига”, 2007. - 690с.: ил.
3. Зубов, В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение / В.И. Зубов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. - 242с.
4. Зубов, В.И. Устойчивость движения. Учебн. пособие для ун-тов / В.И. Зубов. - М.: Высшая школа, 1973. - 272с.: ил.
5. Долганов, А.В. Синтез управления в задаче аналитического проектирования линейных систем / А.В. Долганов, В.В. Елизаров, В.И. Елизаров // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2008. - № 2. -
C.64-70.
© А. В. Долганов - канд. техн. наук, доц. каф. АТПП, НХТИ КНИТУ, [email protected]; В. В. Елизаров - д-р техн. наук, доц., дир. НХТИ КНИТУ, [email protected]; В. И. Елизаров - д-р техн. наук, проф. зав. каф. АТПП, НХТИ КНИТУ.
