CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 1
Физико-математические пауки
2009
УДК 535.1^535.4
УПРАВЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА ПУТЕМ ВНЕСЕНИЯ СЛОЯ МЕТАМАТЕРИАЛА
Д. О. Сапарипа, А.П. Сухорукое
Аннотация
В данной работе исследованы полноводные моды, собственные частоты и области устойчивости резонатора, содержащего слои метаматериала с отрицательным показателем преломления. Характеристики такого резонатора определяются величинами эффективной дифракционной и дисперсионной длил, которые, в отличие от обычных резонаторов. могут пригашать как положительные, так отрицательные или пулевые значения. Таким образом, становится возможным управление свойствами резонатора путем внесения слоя метаматериала с соответствующими параметрами.
Ключевые слова: открытый резонатор, метаматериал, отрицательный показатель преломления, слоистая структура, дифракция, поперечная мода, дисперсия, продольная мода, устойчивость.
Введение
Метаматериалы с отрицательным показателем преломления представляют собой искусственные периодические структуры, составленные из резонансных элементов. размеры которых меньше длины волны. Данные резонансные элементы играют роль атомов в обычных средах, и при подобранных специальным образом параметрах состоящая из них среда обладает отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. В работе В. Веселаго [1] показано, что если диэлектрическая и магнитная проницаемости среды одновременно отрицательны, то показатель преломления среды п = также отрицателен. В таких средах направления распространения волны и потока энергии противоположны, а вектора напряженностей электрического и магнитного поля Е и Н и волновой вектор к составляют не правую, а левую тройку, поэтому часто такие среды называют так же «левыми» средами.
В настоящее время созданы метаматериалы. обладающие отрицательными диэлектрической. магнитной проницаемостями и отрицательным преломлением в микроволновом [2 4]. терагерцовом [5]. инфракрасном [6. 7] и оптическом [8 11] диапазонах частот. Широкое применение метаматериалов сдерживается присутствующим в них сравнительно большим поглощением. В настоящее время разработан способ компенсировать это поглощение при помещении резонансных элементов метаматериала в специальную активную среду с накачкой [12. 13]. Применение активной среды позволяет достичь не только полной компенсации потерь, а также и усиления сигнала. Таким образом, метаматериал может выступать в роли активной среды резонатора.
Интерес к материалам с отрицательным показателем преломления обусловлен возможностью создания принципиально новых микроволновых и оптических устройств. При наклонном падении волны из воздуха на метаматериал возникает
отрицательная рефракция, вследствие чего плоскопараллельная пластина может фокусировать расходящийся пучок лучей подобно линзе [1]. Дж. Пендри было показано. что такая пластина может усиливать компоненты ближнего поля источника [14]. Таким образом могут быть разрешены субволновые детали изображения, что и послужило причиной названия такой пластины «суперлинзой». По аналогии с линзовой линией может быть изготовлена слоистая структура, содержащая слои метаматериала с отрицательным показателем преломления, в которой возможно осуществить волноводное распространение пучков [15]. Такая структура имеет ряд особенностей, в частности, пучки любых профилей являются её модами и распространяются без дифракционного расплывания.
Впервые распространение плоских волн в резонаторе Фабри Перо, содержащем плоскопараллельный слой среды с отрицательным показателем преломления, было рассмотрено Н. Энгента [16]. Набег фазы, приобретаемый плоской волной при полном обходе такого резонатора, определяется выражением ^ = к0Ьср и должен быть кратным 2п. В обычном резонаторе это условие выполнено, если длина резонатора кратна половине длины волны, то есть минимальная длина резонатора ¿тт = А/2. Отличие резонатора с метаматериалом состоит в том, что оптическая длина двух слоев с положительным и\ > 0 и отрицательным п < 0 показателями преломления может быть равна нулю: Ь^ = /1П1 + /2П2 = 0. Следовательно, условие кратности длины резонатора половине длины волны снимается, она может быть произвольной, в том числе и меньшей половины длины волны, то есть возможно изготовление субволнового резонатора. Например, для частоты 2 ГГц длина резонатора может составить всего 3 см при длине каждого слоя А/10 вместо минимальной длины 7.5 см, требуемой в обычном случае [16]. В работе [17] описан эксперимент, проведенный с резонатором, содержащим аналоги обычных и «левых» сред, подтверждающий перечисленные теоретические результаты.
Данная работа посвящена исследованию свойств резонатора, содержащего слои метаматериала: условий существования и профилей волноводных мод, спектра собственных частот, условий устойчивости.
1. Собственные моды и частоты резонатора с метаматериалом
1.1. Собственные моды в виде пучков Эрмита — Гаусса. Рассмотрим резонатор, содержащий плоскопараллельные слои метаматериала с отрицательным преломлением, перпендикулярные оптической оси резонатора. Будем считать, что волновые сопротивления сред ^ = у/щ/е^ согласованы и френелевское отражение от их границ отсутствует. Будем также считать, что в средах нет поглощения или оно компенсируется при помощи описанных в [12, 13] механизмов.
Для рассмотрения условий существования, профилей и устойчивости волноводных мод удобно воспользоваться такой характеристикой среды, содержащей N слоев с различными показателями преломления, как её эффективная дифракционная длина:
о—
= 3
^^ =
Ьлн — У, -;
По
3=1 3
где 3 - длины слоев, а п3 - их показатели преломления. Примечательно, что если внутри мета-резонатора находятся слои с отрицательным показателем преломления, то величина эффективной дифракционной длины Ldif может принимать отрицательные и пулевые значения. Напомним, что в обычном резонаторе величина Ь^ строго положительна и по порядку совпадает с геометрической длиной резонатора, так как п3 ~ 1.
В работе [18] рассмотрены собственные моды резонатора с метаматериалом, имеющие вид гауссовых или обобщенных гауссовых пучков. Профили волноводных мод и условия их существования могут быть получены путем решения параболического уравнения дифракции:
дА{Хд1' + у, z)= 0, (1)
где £(г) = (г) - коэффициент дифракции в ^'-м слое, В0 = 1/2к0 - коэф-
фициент дифракции в вакууме, с учетом повторяемости амплитудного профиля пучка А(х, у) после одного полного обхода резонатора. Собственными волновод-ными модами метарезонаторов являются гауссовы и обобщенные гауссовы пучки, в частности, пучки Эрмита Гаусса:
А{х,у) = НтгП(х, у) ехр \ У - + У М ^ (2)
где т,п = 0,1, 2,... - индексы поперечных мод, Rj - радиусы кривизны зеркал, а^ - радиусы пучков на зеркалах, равные:
2_ / (1 — Ь(ш/Н1)(1 — Ь^/Кп)
ко|1 — /Rj| V /R\ + /Д2 — /R\R'2
Собственные частоты мод (2) могут быть рассчитаны из условия равенства нулю электрического поля на зеркалах:
= я + {п + т + 1)7Г-1 агссо8 Д1 _ _ ^у (3)
где индексы q = 0,1, 2,... соответствуют различным продольным модам. Величи-
j=N
па Lc.pt = 1j nj представляет собой оптическую длину резонатора. j=l
1.2. Собственные моды произвольного профиля. Особо следует рассматривать резонатор с нулевой эффективной дифракционной длиной. Ранее [19] нами были рассмотрены волноводные моды двухслойного резонатора. В настоящей работе проведем обобщение полученных результатов на метарезонаторы, состоящие из произвольного числа слоев N с различными показателями преломления П, исследуем собственные частоты, соответствующие этим модам и условия устойчивости.
Из уравнения дифракции (1) для огибающей А(х,у, г) может быть получено уравнение для её Фурье-компонент 5(х, у, г):
- г + к1)Б(кх, ку, ») = 0,
решая которое, получим:
5(кх, ку, г = Ь) = 5(кж, ку, г = 0) ехр(г£(г)(кХ + Афг) =
= 5(кх, ку, 0)ехр(Шо(кХ + к^Ь^/).
Таким образом, после прохождения слоистой структуры с нулевой дифракционной длиной = 0 волновой фронт пучка в точности совпадает с начальным,
то ость происходит полная компенсация дифракции. Для выполнения условия повторяемости после полного обхода резонатора необходимо согласование радиусов кривизны зеркал:
П\ | пм _ в Й1 Й2
Вследствие полной компенсации дифракции фазовые набеги для пучков различных профилей совпадают и равны набегу фазы, приобретаемому плоской волной при обходе резонатора. Следовательно, собственные частоты резонатора с нулевой эффективной дифракционной длиной определяются выражением:
2Ьор^д = де,
совпадающим с (3), если положить в нем Ь^ = 0.
2. Устойчивость резонатора с метаматериалом
Условия устойчивости мета-резонатора могут быть получены при помощи как гоомотрооптичоского. так и волнового подхода. В первом случае может быть вычислен инвариант лучевой матрицы М оптической системы I = — trace М. который должен удовлетворять условию —1 < I < 1 в устойчивом резонаторе.
В случае, когда внутри резонатора находятся плоскопараллельные слои сред толщиной lj с показателями прело мления nj, условие устойчивости резонатора имеет вид:
совпадающий с условием устойчивости пустого резонатора, в которое вместо эффективной дифракционной входит геометрическая длина. Отметим, что данные условия в точности совпадают с условиями существования обобщенных гауссовых мод. то есть с условиями, при которых частоты имеют действительную величину в выражении (3). Важно, что в (4) входит не геометрическая, а эффективная дифракционная длина, которая может принимать практически любые значения в зависимости от толщины и показателей преломления слоев.
Таким образом, при внесении метаслоя внутрь резонатора изменяется область его устойчивости, что может быть использовано для того, чтобы неустойчивый пустой резонатор стал устойчивым. Конфокальный
резонатор с Ri — R2 — L является неустойчивым. При внесении слоя метаматериала с n — — 1 толщин ой 8/2 условие устойчивости (4) оказывается выполненным, и мета-резонатор становится устойчивым. Неустойчивый резонатор с двумя выпуклыми зеркалами (например. L — —Ri — — R2) может быть сделан устойчивым при внесении метаслоя толщиной (L+8)/2. Резонатор Фабри-Перо остается неустойчивым даже при внесении в него метаслоя за счет плоских зеркал.
3. Спектр продольных мод при наличии отражения от границ метаслоя
Амплитудный коэффициент отражения от границы двух сред в случае нормального падения, согласно формулам Френеля, равен:
¿2 - ¿1
Г = -1-'
¿1 + ¿2
где г; = у/щ / с1 волновые сопротивления (имподансы) сред, которые положительны как для обычных сред (индекс 1). так и для мотаматориалов (индекс 2).
Рис. 1. Зависимость амплитудного коэффициента отражения от частоты г (и) (сплошная черная линия) для границы метаматериала и диэлектрика се = 2, М = 1 • Параметры метаматериала соответствуют работам [3] для левого графика и [2] для правого, зависимости показателя преломления п(и) и волнового сопротивления гтт (и) метаматериала от частоты изображены пунктирной и штрих-пунктирной линией соответственно. Волновое сопротивление диэлектрика га изображено серым цветом
Таким образом, для реализации допущений, сделанных в предыдущих пунктах, которые касаются отсутствия френелевского отражения, необходимо выполнение условия г1 = х2. Выполнение этого точного равенства для произвольных материалов, вообще говоря, затруднительно, поэтому рассмотрим более общий случай, в котором волновые сопротивления сред не согласованы, аналогично тому, как это было сделано для резонатора со слоем диэлектрика [20, 21].
Типичные микроволновые метаматериалы состоят из металлических стержней, создающих отрицательную диэлектрическую проницаемость, и разрезных колец, создающих отрицательную магнитную проницаемость. Для микроволновых мета-материалов зависимость диэлектрической и магнитной проницаемостей от частоты [2-4] обычно имеет вид:
шр Еш2
= /х(е) = 1 -
Ш2 Ш2 — и
где шр = шр0бъагв/^ы - плазменная частота стержней, определяющаяся плазменной частотой металла ир0 и отношением площади сечения стержней к общей площади; Е - константа, зависящая от геометрии колец, ит - резонансная частота эквивалентного разрезному кольцу ЬС-контура. Для расчета амплитудного коэффициента отражения от границы диэлектрика се = 2, ^ =1и метаматериала нами были взяты экспериментальные данные из работ [2, 3]. Зависимость амплитудного коэффициента отражения г (и) от границ слоев указанного мета-резонатора представлена на рис. 1
В пренебрежении дифракционными поправками к фазовому набегу для собственных частот имеет место следующее уравнение:
и
I с
и
г(и)вт —(П1/1 - п2(^)/2) = йш — (щ/1 + п2(^)/2) • (5)
с
Как уже было отмечено выше, в отсутствие отражений г = 0 правая и левая части (5) обращаются в нуль, и в бездисперсионном приближении спектр частот становится сплошным в случае нулевой оптической длины резонатора и определяется выражением шЬс^ (и)/с = тп, где т - целое число для всех других величин оптической длины. В случае нулевой оптической длины при наличии даже сравнительно небольшого рассогласования волновых сопротивлений происходит дискретизация
Рис. 2. Пересечение сплошной (левая часть уравнения (5)) и пунктирной (правая часть) линий соответствует резонансным частотам. Данные рассчитаны для резонаторов с ме-таматериалом (параметры см. [3] для левого графика и [2] для правого) и диэлектрика (е = 2) с длиной слоев 1\ = 12 = 1.5 см
Рис. 3. Отношение интенсивностей в слоях метаматериала (параметры см. [3] для правого графика и [2] для левого) и диэлектрика (s = 2)
спектра частот, которые рассчитываются по формуле
— (nih - П2(^)/2) = ТТ17Т. c
Для произвольного значения оптической длины резонансные частоты могут быть найдены из уравнения (5) графически как точки пересечения кривых (см. рис. 2), изображающих правую и левую части данного уравнения. При этом большое влияние на вид кривых играет дисперсия метаматериалов.
Наиболее значимым изменением по сравнению со спектром резонатора, в котором импедансы согласованы, является неэквидистантность его спектра частот. Сгущение спектра в области более низких частот обусловлено типичным для ме-таматериалов резким ростом абсолютной величины показателя преломления и не наблюдается в случае только диэлектрических слоев внутри резонатора.
Другим изменением, происходящим при наличии отражений от границ слоев, является изменение отношения интенсивности в слоях метаматериала и диэлектрика:
/meta _ 1 ~ 2г(ш) COs(¿tmi¿i/c) + Г2 (ш) Iáiel 1 ~r2(üj)
На рис. 3 изображена частотная зависимость отношения интенсивностей в слое метаматериала и диэлектрика.
При учете потерь или усиления, которые могут иметь место как в слоях диэлектрика, так и метаматериала (см. [12, 13]), распределение амплитуды внутри резонатора оказывается существенным.
Заключение
Свойства резонатора, внутри которого находится один или несколько слоев с отрицательным показателем преломления, существенно отличаются от свойств резонатора с диэлектрическим заполнением. Основными характеристиками открытых резонаторов, содержащих слоистый материал, являются величины эффективных дифракционной и оптической длин. В случае резонатора с мотаматориалом обе длины могут принимать не только положительные, но отрицательные или равные нулю значения, что оказывает существенное влияние на свойства резонатора.
Нами выведены условия существования волноводных мод в виде пучков Эр-мита Гаусса и рассчитан спектр собственных частот этих мод. Получены условия устойчивости мета-резонатора, позволяющие при помощи слоя мотаматориала сделать устойчивым неустойчивый пустой резонатор. Был проанализирован случай нулевой эффективной дифракционной длины резонатора, показано, что волно-водныо моды могут иметь произвольный профиль, а спектр собственных частот становится сплошным и не зависит от поперечного распределения амплитуды мод.
При наличии отражений от границ слоев происходят существенные изменения спектра собственных частот мета-резонатора, а также распределения интенсивности внутри него.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантами «Ведущие научные школы» (НШ-671.2008.2), РФФИ (Л* 08-02-00717, 06-02-16801). Д.О. Сапарина благодарит за финансовую поддержку также Фонд некоммерческих программ «Династия».
Summary
В.О. Saparina, А.P. Sukhurukuv. Open Cavity Properties Management by Introduction of Met.amat.erial Layer.
The paper presents an investigation of waveguide eigenmodes, eigenfrequencies and stability domain of cavity containing met.amat.erial layers with negative refractive index. Its properties depend on the values of effective diffraction and optical lengths, which can be not. only positive, but. also negative and zero, in contrast, to ordinary cavities. Thus, cavity mode management, is possible by introduction of corresponding met.amat.erial layer.
Key words: open resonator. met.amat.erial, negative refractive index, layered structure, diffraction, transverse mode, dispersion, longitudinal mode, stability
Литература
1. Веселаго В.Г. Электродипамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и м // УФН. - 1967. - Т. 92, № 3. - С. 517-526.
2. Smith D.R., Patlilla W.J., Vier B.C. et «/.Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity // Pliys. Rev. Lett. 2000. V. 84. No 18. P. 4184-1 4184-3.
3. Shelby R.A., Smith B.R., Schultz S. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction // Science. 2001. V. 292, No 5514. P. 77 79.
4. Parazzuli C.G., Greegur R.B., Li K. et al. Experimental Verification and Simulation of Negative Index of Refraction Using Snell's Law // Pliys. Rev. Lett. 2003. V. 90, No 10. P. 107401-1 107401-4.
5. Yen T.J., Patlilla W.J. , Fang N. et al. Terahertz Magnetic Response from Artificial Materials // Science. 2004. V. 303, No 5603. P. 1494 1496.
6. Katsarakis N.. Kunstantinidis G., Kustupuulus A. et al. Magnetic response of split-ring resonators in the far-infrared frequency regime // Opt. Lett. 2005. V. 30, No 11. P. 1348 1350.
7. HelgeH C., Menzel C., Ruckstuhl C. et al. Polarization-independent, negative-index metamaterial in the near infrared // Opt. Lett. 2009. V. 34. No 5. P. 704 706.
8. Shalaev V.M., Cai W., Chattiar U.K. et al. Negative index of refraction in optical metamaterials // Opt. Lett. 2005. V. 30, No 24. P. 3356 3358.
9. Shalaev V.M. Negative index of refraction in optical metamaterials // Nature Photonics.
2007. V. 1. P. 41 48.
10. Dolling G., Wegener M. , Suukuulis G.M., et al. Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength // Opt. Lett. 2007. V. 32, No 1. P. 53 55.
11. Suukuulis C.M., Linden S., Wegener M. Negative Refractive Index at Optical Wavelengths // Science. 2007. V. 315, No 5808. P. 47 49.
12. Zheludev N.I., Prusvirnin S.L., Papasimakis N. Lasing spacer // Nature Photonics.
2008. V. 2. P. 351 354.
13. Dung Zheng-Gau, Liu Hui, Li Таи et al. Resonance amplification of left-handed transmission at optical frequencies by stimulated emission of radiation in active metamaterials // Opt. Expr. 2008. V. 16, No 25. P. 20974 20980.
14. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Pliys. Rev. Lett. 2000. V. 85, No 18. P. 3966 3969.
15. Панфилова И.О., Самарина Д.О., Сухорукое А.П. Распространение волновых пучков в структурах, составленных из слоев с положительными и отрицательными показателями преломления // Изв. РАН. Сер. физ. 2006. Т. 70, Л® 12. С. 1722 1725.
16. Engheta N. An Idea for Thin Subwavelengt.h Cavity Resonators Using Metamaterials With Negative Permittivity and Permeability // IEEE Ant.en. and Wireless Prop. Lett. 2002. V. 1, No 1. P. 10 13.
17. Jiang Т., Feng Y. Transmission line realization of subwavelengt.h resonator formed by a pair of conventional and LHM slabs // J. Zliejiang Univ. Sci. A. 2006. V. 7, No 1. P. 76 80.
18. Сапарина Д.О., Сухорукое А.П. Свойства гауссовых волповодпых мод оптического резонатора с метаматериалом // Изв. РАН. Сер. физ. 2008. Т. 72, Л' 12. Р. 1701 1703.
19. Сапарина Д.О., Сухорукое А.П. Волповодпые моды резонатора, заполненного слоистым материалом с чередующимся знаком показателя преломления // Учен. зап. Казап. уп-та Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 2. С. 208 213.
20. Быков В.И., Силичеа О.О. Лазерные резонаторы. М.: Физматлит, 2003. 320 с.
21. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.:Наука, 1990. 264 с.
Поступила в редакцию 02.02.09
Сапарина Дарья Олеговна студент кафедры фотопики и физики микроволн физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. E-mail: saparinaQphys. msu. ru
Сухорукое Анатолий Петрович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой фотопики и физики микроволн физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. E-mail: apsmsuQgmail.com
