CC BY
6
5. Menart J., Lin L. Numerical study of a free-burning argon arc with copper contamination from the anode. // Plasma Chem. and Plasma Process. - 1999. -Vol. 19. - № 2.
6. Schnick M., Fuessel U., Hertel M., Haessler M., Spille-Kohoff A., Murphy A.B. Modelling of gas-metal arc welding taking into account metal vapour. //Journal of Physics D: Applied Physics. 2010. Vol. 43.
7. Wilke C.R. A viscosity equation for gas mixtures. The Journal of Chemical Physics. - 1950. - Vol. 18. - № 4.
8. Yamamoto K., Tanaka M., Tashiro S., Nakata K., Murphy A.B. Numerrical Simulation of metal vapor behavior in argon TIG welding. Transactions of JWRI, - 2007. - V. 36. - № 2.
9. Zacharia T., David S.A., Vitek J.M. Effect of evaporation and temeperature -dependent material properties on weld pool development. // Metall. Trans. 1991.Vol. 22B.
УПРАВЛЕНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМОЙ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ
Королев Владимир Степанович
канд. физ.-мат. наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет,
РФ, г. Санкт-Петербург, E-mail: vokorol@bk.ru
Новоселов Виктор Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургский государственный университет,
РФ, г. Санкт-Петербург, E-mail: novoselov@apmath.spbu.ru
www.sibac.info
CONTROLS OF THE HAMILTONIAN SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT THE PERTURBATIONS
Vladimir Korolev
candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor,
Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg
Viktor Novoselov
doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg
АННОТАЦИЯ
Уравнения движения механических систем во многих задачах содержат систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно записать в канонической форме, чтобы получить дополнительные возможности исследования или решения. Рассматриваются преобразования уравнений движения космических аппаратов в гравитационном поле с учетом возмущений.
ABSTRACT
Equations of motion of mechanical systems in many applications have a system of ordinary differential equations that can be written in the canonical form to obtain additional research and solution. Transformations of the equations of the spacecraft motion in the gravitational field with account the perturbation are considered.
Ключевые слова: аналитическая и небесная механика; космическая динамика; теория управления; канонические уравнения Гамильтона.
Keywords: analytical and celestial mechanics; space dynamics; theory of control; canonical equations of Hamilton.
Уравнения движения механических систем во многих задачах содержат систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно записать в канонической форме, чтобы получить дополнительные возможности исследования или решения.
Систему уравнений динамики, которые должны выполняться [1; 4-7] на допустимом или оптимальном решении в задачах управления
{(с- Си Бак
Инновации в науке
№ 11 (48), 2015г_лу\у\у.$1Ьас.т{о
х = р(х,и,0, х е С2, ^еС1, еС1, (1)
при выбранных управлениях в виде функций времени и (О, -, и (О можно представить системой в форме канонических уравнений Гамильтона для вектора фазовых переменных х1(О,---, х2и(О, если правые части выражаются через частные производные функции Гамильтона Н0 (X, и, t)
дН(,
хк == Ек (х, и, t),
дХк+п (2)
хк+п = рк+ п(x, u, t), к = 1,-,2п-
дхк
При этом задачи оптимального управления для механических систем приводятся к сложным нелинейным уравнениям необходимых условий экстремума для условного функционала в расширенном пространстве допустимых траекторий, который в постановке Больца имеет вид
V = | Ь (х,х,Л,и,+ Ф(хн,хк,^,tK), (3)
Для подынтегральной функции Ь = р + Л(X - Р) были введены дополнительные функции Л^), которые называют множителями Лагранжа. Вариация условного функционала (3) для критерия качества с использованием функции Понтрягина
Н (х, Л, и, 0 = -р + ЛР, (4)
для задачи управления дает набор уравнений следующих необходимых условий стационарности: • уравнения движения в виде
X. =дН = р I = 1 ,. 2п , (5)
' дЛ
М1УШ йЬаа т(о
• уравнения Эйлера-Лагранжа
л =-дН = дЛ. ^, (6)
дх дх. 7~! дх.
1 1 к—1 1
• общее условие трансверсальности
(ЛАх - НА! )к + АФ — 0. (7)
гн
Получаем систему сопряженных уравнений для вектора дополнительных переменных , которые играют роль обобщенных импульсов в системе уравнений (5) и (6), имеющих вид уравнений Гамильтона (2) для функции (4) Понтрягина H условного функционала, а также условие максимума функции по управлениям
^^ — 0, и л < и < и-2. (8)
ди;
Это справедливо в случае внутреннего экстремума по управлению. При достижении управляющих функций граничных значений должно выполняться неравенство соответствующего знака. Более общим и удобным является уравнение принципа максимума Понтрягина, которое для линейных задач используется для прямого определения значения управляющих функций.
Краевые условия трансверсальности (7) дают выражения для вариации функций в случае независимости варьируемых (2п+2) параметров или развернутые условия трансверсальности, которые должны решаться совместно с уравнениями связей для граничных значений .
Предполагаем, что функции в уравнениях с учетом возмущений содержат малый параметр, а уравнения Гамильтона (2) имеют в нулевом приближении при е — 0 общее решение, которое можно получить в специальном виде функций времени и полного набора произвольных постоянных
(х^...,Х2„ )= (д (/,с),...,дп{г,с),р(/,с),рп(/,с)). (9)
{(с- СибАК
Инновации в науке
№11 (48). 2015г._www.sibac.info
Тогда справедлива теорема [6], которая определяет решение уравнений Эйлера-Лагранжа (6), а также содержание функции Понтрягина (4) для задачи оптимизации.
Теорема (Новоселов). Пусть Н0 е С\(Яс)\ еС\(Яс)'р е С1,
а функция Е0 (и, I) минимизируемого функционала (3) не зависит явно от д и р . Тогда общее решение уравнений Эйлера-Лагранжа будет определяться соотношениями
Л — - др-с,, Л+п —-д^С,, (10)
дс, дс,
где С - новые произвольные постоянные. По дважды
повторяющимся индексам выполняется суммирование от 1 до П. Функция Понтрягина в этом случае получается из выражения
Н — -Р0 - (П)
дс,
Условиям теоремы удовлетворяет участок баллистического движения космического аппарата в центральном гравитационном поле, когда кинетическая и потенциальная энергия имеют вид
Т(д,д) — V + Гр2), П(д) — (12)
2 г
Основные критерии в задачах оптимизации движения по расходу топлива Г0 (и) — ||и|| или быстродействию ^ (?) — 1. Если 0 < и. < и .2
, то можно рассматривать функцию в виде Е0 (и) — ^ и .
Функция Гамильтона Н0 равна сумме кинетической Т(д, д, ?) и потенциальной энергии П (д, ?), если все силы потенциальны.
Рассмотрим для описания движения в плоскости орбиты канонические переменные на основе полярных координат
д — г, д2 — р, Р1 — Г, р2 — г2р. (13)
Инновации в науке
www.sibac.info_N° 11 (48). 2015 г
Выражая их через кеплеровы элементы
С = e, c2 = p, c = С = ¿о, получим новые выражения
4i = c2(1 + cicos/), Ч2 = f + ^ Pi ^ —cisin f, P2 = •
(14)
Истинная аномалия f будет зависеть от момента ?0
прохождения через перицентр орбиты и других элементов в силу интеграла площадей [7].
Преобразование необходимых условий стационарности функционала при замене переменных позволяет получить лагранжевы множители с помощью вычисления изохронных производных
по соответствующим постоянным С.. Это позволяет последовательно
определить аддитивные возмущения исходных уравнений методом малого параметра Пуанкаре. Так было сделано для первого приближения [8; 9] в задаче оптимального перехода в центральном гравитационном поле.
Аналогичное построение последовательных приближений можно реализовать для уравнений ограниченной задачи трех тел, которые в результате обобщенного преобразования Биркгофа [2; 3; 10] приводятся к виду канонических уравнений для вектора регулярных элементов при увеличении размерности фазового пространства. Множество допустимых траекторий может содержать движения, близкие к соударению с главными телами, которые являются притягивающими центрами системы. Это определяет особенности уравнений движения и решений, что требует дополнительных преобразований совокупности необходимых условий экстремума.
Список литературы:
1. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестник С-Петерб. Ун-та, сер.10, вып. 3, 2004. - С. 39-46.
2. Королев В.С. Асимптотические методы вычисления и оптимизации траекторий, близких к соударению // Динамика механических систем. -Томск: изд. ТГУ, 1987. - С. 174-176.
3. Королев В.С. Управление возмущенным движением в регуляризованной задаче трех тел // Вопросы механики и управления движением. - Л.: изд. ЛГУ, 1991. - С. 71-78.
С2
С2
4. Королев В.С. Моделирование оптимальных траекторий космических аппаратов при наличии ограничений // Управление в морских и аэрокосмических системах. - СПб.: изд. ЦНИИ «Электроприбор», 2014. - С. 446-450.
5. Королев В.С. Оптимальные траектории перехода космических аппаратов между заданными орбитами различного типа // Технические науки -от теории к практике, № 32, 2014. - Новосибирск: изд. «СибАК» -С. 62-70.
6. Королев В.С., Новоселов В.С. Аналитическая механика управляемой системы. Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ, 2005. - 298 с.
7. Новоселов В.С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. - Л.: изд. ЛГУ, 1972. - 317 с.
8. Новоселов В.С. О слабом управлении возмущенной гамильтоновой системой // Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 4, 1993. - С. 66-70.
9. Новоселов В.С., Королев В.С. Об управлении возмущенной гамильтоновой системой // Труды международной конференции «Автоматика-96», т. 1, - Севастополь: изд. СевГТУ, 1996. - С. 74-75.
10. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. - М.: Наука, 1975. - 304 с.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Королев Владимир Степанович
канд. физ.-мат. наук, доцент, Санкт-Петербургский Государственный Университет,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: vokorol@bk.ru
Потоцкая Ирина Юрьевна
канд. физ. -мат. наук, доцент, Санкт-Петербургский Государственный Университет,
РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: irinapototskaya@;yandex. ru
