CC BY
27
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ АТОМА В ЛОВУШКЕ С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Г.П. Мирошниченко
В 80-х гг. 20-го века актуальной становится задача удержания (изолирования от внешней среды) отдельной частицы или небольшой группы частиц. Для заряженных частиц эту проблему можно решить, используя соответствующую конфигурацию электрических и магнитных полей (статических и переменных) в ловушках Пеннинга или Пауля. В.С. Летохов показал [1], что нейтральные частицы можно удерживать в лазерном луче, используя эффект лазерного охлаждения трансляционных степеней свободы. Первый эксперимент был выполнен в 1986 г. [2] и дал основание новому направлению - технологии оптических ловушек для нейтральных атомов. Теория ловушек и экспериментальные результаты представлены в работах [3, 4-10].
В работе [7] показано, что в присутствии классической бегущей или стоячей волны возникает эффективное взаимодействие координаты центра масс иона, захваченного параболическим потенциалом ловушки, с его внутренними степенями свободы. Такое взаимодействие при определенных условиях (предел Лемба-Дике) описывается в приближении гамильтониана Тависа-Каммингса (ТК) [11]. Здесь роль бозонной переменной играет координата центра масс, и поэтому квантовые эффекты, известные ранее для полевой моды (для которой гамильтониан ТК и был написан), в этой связи приобретают новый смысл. Так, были предсказаны и обнаружены в экспериментах с ловушками такие неклассические состояния движения центра масс иона, как фоковские, «шредингеровские cat» [12], четные и нечетные когерентные и другие (ссылки можно найти в работах [9, 10, 4, 5]).
Модель ТК, в гамильтониан которой включено внешнее классическое поле, нашла свое применение и в других задачах. Так, предметом нового направления, названного в [13] инженерией квантовых состояний и основанного на обобщениях модели ТК, является разработка схем генерации и контроля новых неклассических состояний поля и атомов с заданными свойствами. В работах [14, 15] в качестве регулирующего устройства в модель ДК включено классическое поле, параметры которого - длительность и форма серии импульсов в [14], форма и скорость изменения амплитуды в [15] - подбираются должным образом для получения требуемого для выбранной инженерии эффекта.
В работах [16, 17-20] предложено еще одно обобщение модели ТК, основанное на включении в гамильтониан классического квазимонохроматического поля, несущая частота которого близка к резонансу с частотой атомного перехода. При определенном выборе периодически изменяющейся огибающей оператор квазиэнергии модели ТК (в первом приближении теории возмущений) имеет вид обобщенного гамильтониана ТК, который отличается от обычного (записанного в представлении взаимодействия) добавлением противовращающих слагаемых с измененной константой взаимодействия. Такой оператор имеет ряд необычных свойств, в частности, полевая часть его собственных векторов представляет собой сжатые состояния [21], степень сжатия которых определяется амплитудой и частотой модуляции классического поля. Если в качестве бозонной переменной иметь в виду координату центра масс иона в параболической ловушке, то сжатие одной квадратуры будет означать «локализацию» иона по координате, а для второй квадратуры - по импульсу.
Таким образом, на основе работ [17-20] можно обобщить известную в теории ионных ловушек модель Блокли, Воллса, Рискена [7], включив в гамильтониан ТК квазимонохроматическое классическое (двухмодовое) поле. В данной работе показано, что при определенном выборе частоты и напряженности двухмодового поля можно возбудить колебательную моду в сжатое состояние по координате, а при определенном вы-
боре фазы поля - по импульсу. Такие состояния отвечают локализации атома в ловушке, либо вылету атома из ловушки с определенным импульсом.
Согласно [7], гамильтониан атома в параболической ловушке имеет вид
H(t) = +(g(t)exp(-i(eEt-kEy))S+ + э.с.) + ha i^i+
+(• exp(-i&>Tt)• cos(( + i) + ST)•§+ + э.с.).
Здесь S3, S+., i- - атомные операторы алгебры su(2); eA, (0E, (0T, a - частоты перехода, несущей квазимонохроматического поля, стоячей волны в ловушке, колебаний атома; x = y]h/ (2Me) (i + i) , y - координаты центра масс атома; k E , kT - волновые
векторы управляющей и стоячей волны.; ST - фаза; э.с.- операция эрмитового сопряжения; g (t) - комплексная «медленная» огибающая взаимодействия атома с классическим (управляющим) полем; S - константа взаимодействия атома со стоячей волной; i, i1 - операторы квантованной колебательной степени свободы (центра масс). Далее g (t) предполагается периодичной функцией времени: g (t) = g (t + T ). Предполагается, что вдоль оси x для стоячей волны выполнен предел Лемба-Дике (амплитуда колебаний меньше длины волны)
zJihkii .а. ^ < i
V 2M he Лт
Ограничимся линейным приближением по параметру Z и пренебрежем взаимодействием «электронной» степени свободы с y - координатой центра масс (малость амплитуды колебаний по оси у), центр потенциала ловушки по оси x поместим в узел стоячей волны. Гамильтониан (1) принимает вид
H (t ) = heAi3 +(g (t )exp (-ieEt )•§+ + э.с.) +
+ (• exp(-ieTt)• i•§+ + э.с.) + ha fi^i. Оператор развития UT (t) удовлетворяет уравнению
H(t)Ut(t) = ih^-U(t), Ut(0) = i. dt
Перейдем в резонансное представление с помощью унитарного преобразования UT (t ) = exp (-ii3eTt) US (t).
Для US (t) получаем уравнение
Hs(t)Us(t) = ih¿Us(t), Us(o) = I. dt
Здесь I — единичный оператор. Гамильтониан приобретает вид гамильтониана ТК, возмущенного классическим электромагнитным полем
HS (t) = ha0 i + (g(t)exp(-iect) • i+ + э.с.) + k(€+ i + S^i) + ha ^i. (2)
Здесь G)0 = G)a - 0)T, 0)c = CE - 0)T . Именно этот гамильтониан изучен в работах [17 -20]. Приведем здесь некоторые результаты. Подробно изучен случай бигармонического классического поля g(t) = hF • cos(Q • t). Еще одно преобразование
US(t) = exp(-i(€ + tf£)cct)U(t), U(0) = I
переводит (2) в периодичный по времени гамильтониан Йр (t) (рассмотрен случай С00 = СС = СО)
Нр (t) = (hF cos(Q • t)€+ + э.с.) + к(€+ € + §-€f), (3)
что позволяет для поиска оператора развития U (t) во вращающейся системе применить метод квазиэнергий [17]. В работах [17-20] найден оператор квазиэнергии и периодический оператор для гамильтониана (3) по теории возмущений по параметру
8 = K(hQ) . Ниже приводятся результаты первого порядка: (§0 = 0, u0 (t) = exp {-io"€xsin Qt},
(§1 =k((€ + €)) + i (€-€) И).
Оператор § диагонализован с помощью преобразования сжатия
о=ехр, (; =о'(§,а>
((-+4=
Здесь 10 (ст) - функция Бесселя. Обсуждается особая точка оператора (1з где его спектр становится сплошным: и = 2.4048... - ноль функции Бесселя. Собственные функции | Ч ^ ±п ^ и числа (±п оператора ( имеют вид
„) = (|4,п)|-12 ±|4п -)/ (±п=¿кТЙТП", =2F|п.
Здесь |<4,п) = ОП - сжатые фоковские состояния моды. Квантовая мода моделирует
колебательную степень свободы центра тяжести атома, захваченного в ловушку. Как следует из полученных результатов, движением атома можно эффективно управлять, изменяя параметры двух приложенных классических мод. Возможна дополнительная локализация атома в ловушке. Результаты следует рассматривать как теорию атомной ловушки нового типа.
Временная динамика параметрического процесса изучена в работе [19]. Допустим, что бигармоническое поле имеет медленно изменяющуюся (в интервале времени Т = 2п/П) частоту Раби F = F( 1). Получаем условие на скорость включения импульса для адиабатического следования по квазитермам оператора
кП Т (2F (1 )/п)3/2
F '(t)а
h J1 (2 F (t )/Q)
При выполнении этого условия оператор неадиабатичности мал, квантовая система следует по своим квазитермам. Но, согласно [19 20], полевая часть собственного вектора оператора квазиэнергии - это сжатые состояния квантованной моды, степень сжатия которых определяются параметром ^. Таким образом, с помощью медленного включения бигармонического поля можно дополнительно локализовать центр масс колеблющегося в ловушке иона.
Литература
1. Летохов В.С.// Письма в ЖЭТФ. 1968. Т.7. №9. С.348.
2. Chu S., Bjorkholm J, Ashkin A., Cable A.// Phys.Rev.Lett. 1986. V.57. №3. Р.314-317.
3. Физика за рубежом 1988: Серия А (исследования): Ф-50 Сборник статей. Пер.с англ., франц. М.: Мир, 1988. 216с.
4. J.A. Sauer, K.M. Fortier, M.S. Chang, C.D. Hamley, and M.S. Chapman. // Phys. Rev. A, 2004. V.69. Р.051804^) (4 pages).
5. N.G. de Almeida, R.M. Serra, C.J. Villas-Boas, and M.H.Y. Moussa. // Phys. Rev. A. 2004. V.69. Р.035802 (4 pages).
6. J. Ye, D.W. Vernooy, and H.J. Kimble. // Phys. Rev. Lett. 1999. V.83. №24. Р.4987-4990.
7. C.A. Blockley and D.F. Walls. // Phys. Rev. A. 1993. V.47. №3. Р.2115-2127.
8. V. Buzek, G. Drobny, M.S. Kim, G. Adam, and P L. Knight. // Phys. Rev. A. 1997. V.56. №3. 2352-2360.
9. Shi-Biao Zheng. // Phys Lett.A. 1998. V.245. Р.11-13.
10. Xueli Luo, Xiwen Zhu, Ying Wu. // Phys.Lett.A. 1998. V.237. Р.354-358.
11. M. Tavis and F.W. Cummings. // Phys. Rev. 1968. V.170. Р.379-384.
12. G. S. Agarwal, R. R. Puri, and R. P. Singh. // Phys. Rev. A. 1997. V.56. №3. 2249-2254.
13. K. Vogel, V.M. Akulin, W.P. Schleich. // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. №12. Р.1816-1819.
14. C.K. Law, J.H. Eberly. // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. №7. Р.1055-1058.
15. A.S. Parkins, P. Marte, P. Zoller. // Phys. Rev. A. 1995. V.51. №2. Р.1578-1596.
16. M.Z. Smirnov. // Phys. Rev. A. 1995. V.52. №3. Р. 2195-2208.
17. Г.П.Мирошниченко, М.З.Смирнов. // ЖЭТФ. 2001. Т.119. №3. С.442 - 451.
18. G.P. Miroshnichenko, M.Z. Smirnov. // Phys. Rev. A. 2001. V.64. 053801 (9 pages).
19. Мирошниченко Г.П., Смирнов М.З.. //Изв.АН, Сер. физ. 2001. Т.65. №6. С.859-864.
20. G.P. Miroshnichenko, M.Z. Smirnov. // Opt.Communic. 2000. V.182. №.4-6. Р.393-401.
21. H.P.Yuen. // Phys. Rev. A. 1976. V.13. №6. Р.2226-2243.
