Упорядоченное движение доменных границ сегнетоэлектрических кристаллов в неоднородном тепловом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

Физика конденсированного состояния

УДК 537.226.4, 538.956

А. Г. Масловская, Е.А. Ванина

УПОРЯДОЧЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ В НЕОДНОРОДНОМ ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ

Одной из важных задач физики сегнетоэлек-триков является изучение динамики доменных и межфазных границ. При отклонении температуры двухфазной системы от равновесной различие термодинамических потенциалов фаз приводит к появлению термодинамической силы, действующей на фазовую границу. Такая же ситуация имеет место в полидоменном кристалле в электрическом поле. Однако не только объем, но и граница раздела фаз обладает избыточной энергией, что приводит к появлению лапласовских сил.

В отсутствие векторного воздействия, например электрического поля, энергетическое состояние различных доменов оказывается эквивалентным, и к движению доменных границ могут приводить поверхностные силы. Так, в работе Л.И. Донцовой и Э.С. Попова [1] приведены исследования спонтанного движения доменных границ под действием лапласовских сил. Следует заметить, что не только кривизна доменной стенки, но и зависимость поверхностной энергии данной стенки от температуры в неоднородном тепловом поле будет приводить к возникновению термодинамических сил, а это в свою очередь вызывает ее смещение.

Большинство исследований в этой области основывались на рассмотрении кинетики доменных и межфазных границ с макроскопической точки зрения. В макроскопические модели кроме термодинамических сил вводят феноменологические силы вязкости различной природы (сухого, вязкого трения), иногда - инерции [2].

Феноменологическое описание процессов движения доменных границ под действием термодинамических сил использовалось при описании и моделировании процессов переполяри-

зации В.М. Рудяком [3], А.В. Шильниковым [4], В.И. Алешиным [5], С.А. Кукушкиным [6] и др.

Цели данной работы - построение статистической модели фазовой границы, исследование ее поведения в неоднородном тепловом поле и установление связи между микроскопическими параметрами модели и макроскопическими величинами.

Для кристаллов с фазовыми переходами второго рода зависимость удельной поверхностной энергии о от температуры Т имеет вид [7]:

о = а0(гс-г)3/2, (1)

где ТС - температура Кюри, о0 - константа.

В области с более высокой температурой поверхностная энергия стенки уменьшается, это приводит к появлению термодинамической силы, направленной вдоль градиента температуры.

Рассматривалось простейшее тепловое поле с линейным распределением температуры:

Т{2) = Т0+Ш, (2)

где Т0 - температура для исходного положения границы, СИ = дТ/дг - градиент температуры.

Задачу о моделировании равновесной конфигурации в поле линейного градиента температуры можно сформулировать как вариационную задачу о минимизации функционала:

- ДоОс, у, (3)

или в двумерном случае, с учетом (1):

х0 _

Ф(г(;с))= |аст0 (г0 - г)^/\ +

(4)

с граничными условиями г(0) = 2 (х0) = 0.

Такой подход требует решения уравнения Эйлера, которое в общем случае не разрешается известными аналитическими методами и требует привлечения численных процедур.

При моделировании формы доменной границы был использован метод статистических испытаний - метод Монте-Карло. В основу модели положено два принципа: случайные колебания (флуктуации) элементов границы и различие вероятностей каждого состояния в зависимости от его энергии. В первой модели предполагалась цилиндрическая форма границы с закрепленными краями (рис. 1). Профиль доменной границы разбивался на звенья. Для единичной толщины кристалла элементарная площадка доменной границы АS . соответствовала длине звена, а изменение объема АУ домена - изменению площади под звеном на плоскости хг. Каждому звену при помощи генератора случайных чисел задавалось виртуальное перемещение Ах в направлении градиента температуры, которое выбиралось случайным образом из интервала (-Ах0, +Ах0). В простейшей модели величина Ах . принимала дискретные значения: —Аг 0, +Ах0, с равной вероятностью (Ах0 << Ах). Такое случайное перемещение звена соответствует малым тепловым флуктуациям положения доменной стенки.

где АS¡ -площадь левого звена /-го узла, г - координата узла /, с — поверхностная энергия звена, вычисляемая согласно выражению (1).

Энергия каждого звена определялась по температуре в его средней точке. Значения энергии новой и старой конфигураций сравнивались для двух звеньев. Актуализация виртуального перемещения проводилась с вероятностью р, зависящей от изменения энергии в соответствии с распределением Больцмана. Новое состояние принималось с вероятностью

Р =

ехр(-А^/е) 1 + ехр(-АГ/0)'

(6)

где р — вероятность реализации нового состояния, !¥0 — энергия исходного состояния, А^ — изменение энергии, 8 — параметр, имеющий смысл кинетической температуры.

Такой подход давал возможность принять энергетически менее выгодную структуру, но с меньшей вероятностью. Различие вероятностей состояний с различной энергией обеспечивало стохастическое движение доменной стенки к положению с минимальной энергией. Модель позволяет получить равновесное положение границы, а также наблюдать динамику достижения положения равновесия.

Аналогично понятию критического размера зародыша введем понятие критического шага Агкр. При достаточно большом шаге Аг0 изменение энергии за счет увеличения длины границы будет превышать ее изменение, вызванное повышением температуры, что, в свою очередь, приведет к невозможности движения границы. Приращение длины звена при малом смещении узла на Аг0 выражается как

А/ = /-Аж~ — 2

Az0

Ах

Ах,

(7)

Рис. 1. Конфигурация доменной границы

На следующем этапе вычислялось изменение энергии границы, обусловленное как изменением ее площади, так и изменением температуры ее частей. Энергия каждого звена границы вычислялась по следующему соотношению (для единичной толщины кристалла):

где Ах — расстояние между узлами.

При смещении узла плоской границы вдоль градиента температуры возникает два конкурирующих фактора — рост энергии за счет увеличения длины звена А1 и ее снижение за счет повышения средней температуры звена (температуры его средней точки), определяемых равенствами:

W, = а,.М„ AS, = VA^+^.-z,..!)2

(5)

Az,

\2

уАху

AxgÇTi),

- НТМ)-а(Т]))Дх -(8)

Критическое значение для Аг0 можно определить из равенства + ДЖ2 =0 с учетом выражений (1) и (2):

= — аАх2

1

-кр

Тс-Т

(9)

Для движения границы вдоль градиента температуры необходимо выполнения условия малых флуктуаций границы: Аг0 < Аг . Для эффективного отбора энергетически выгодных конфигураций необходимо также работать при низкой кинетической температуре, масштабом для которой может быть «характеристическая температура», определяемая какой-либо характерной энергией процесса, например, 8хар = ЛЖ2 при Аг0 = Агкр. Отбор будет достаточно эффективен при 8 < 8хар. Вводя нормированные величины Тс = 0, Т0 = —1, а = 0,02, Ах = 1, о0 = 1, получим критические значения для & = 0,03 и 8 = 4,5 10-4.

кр ' хар '

Однако закрепление краев доменных границ создает искривление профиля, влияющее на ее динамику. Поэтому была введена в рассмотрение модель незакрепленной границы, которая позволяет выявить основные закономерности ее движения, обусловленные наличием термодинамических сил. Реализация компьютерной модели динамики свободной доменной границы в неоднородном тепловом поле проведена в пакете прикладных программ МаАаЬ. Анимация последовательных положений границы наблюдалась на мониторе компьютера (рис. 2).

В поле постоянного градиента температуры следовало бы ожидать монотонный характер движения границы. Однако вычислительные эксперименты показали, что скорость границы в определенном диапазоне параметров модели имеет пульсирующий характер (рис. 3). Положение кривой, глубина и период пульсаций зависят от числа точек разбиения границы N и параметров 8 и Аг0. Чем меньше параметр 8, тем более четко выражены пульсации скорости (кривая 1). На рис. 2 видно, что по мере движения границы количество ее «несовершенств» периодически изменяется. В начальный момент времени доменная граница представляет собой упорядоченную структуру; при движении стенки со временем происходит накопление изломов и степень ее совершенства снижается. В дальнейшем стенка вновь выравнивается.

Рис. 2. Изменение степени упорядоченности при движении доменной границы

Рис. 3. Зависимость скорости дрейфа границы от числа звеньев N и кинетической температуры 0: 1 - N = 100, 0 = 2-10-5; 2 - N = 100, 0 = 2-10-3; 5 - N = 20, 0 = 2-10-5

На основе установленных закономерностей поведения модели целесообразно ввести критерий, характеризующий несовершенство стенки. Таким критерием может служить степень разупо-рядоченности доменной границы (далее мы используем термин «энтропия», хотя эта величина не является общепринятым термодинамическим потенциалом). Если доменная стенка содержит N узлов и каждые из п1, п2, ..., пк узлов лежат на

одной прямой, причем N = Ей., то «энтропию» стенки определим как

S = ln-

N\

щ1п2\...пк\

(10)

Очевидно, что энтропия минимальна и равна нулю, когда доменная граница не имеет изломов — все узлы принадлежат одной прямой. И наоборот, при наличии изломов энтропия больше. При реализации модели наблюдалось периодическое изменение скорости и энтропии. Результаты моделирования представлены на рис. 4. Видно, что имеет место корреляция между кривой, соответствующей изменению скорости, и кривой, определяющей энтропию. В частности, минимальному значению энтропии соответствует максимальная скорость.

Рис. 4. Автоколебания скорости (1) и энтропии (2) в процессе движения границы; N = 100, 9 = 2-10-5

Возникновение автоколебаний и связь скорости движения границы с ее энтропией нетрудно понять: после начала движения степень неупорядоченности стенки нарастает, при значительном числе изломов перемещение многих узлов вперед становится энергетически невыгодным. В этой ситуации реализуются, в основном, перемещения, которые выпрямляют стенку, после чего вновь возможным оказывается увеличение ее скорости. При увеличении параметра 8 эффективность отбора энергетически выгодных шагов (вперед) снижается, что приводит к снижению скорости движения границы и гашению ее пульсаций.

Элементы самоорганизации возникают и в моделях, построенных на иных принципах, в частности, при моделировании движения доменной границы в электрическом поле [8]. В этом случае изменение энергии при смещении границы (возникновении на ней зародыша), обусловлены не только поверхностной, но и объемной энергией.

Таким образом, предложенная статистическая модель доменной границы, базирующаяся на основных принципах физики макроскопических систем, позволяет получить равновесную форму доменной границы в тепловом поле и исследовать ее динамику. Модель, построенная на монотонных принципах поведения каждого звена, при определенных параметрах модели обнаруживает элементы самоупорядоченности движения, проявляющиеся в возникновении автоколебаний скорости и энтропии. Предложенный подход позволяет также оценить вклад дополнительной компоненты пиро-импульса, который обусловлен движением доменной границы в неоднородном тепловом поле.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Донцова, Л.И. Плотность поверхностной энергии и спонтанное движение доменных стенок в кристаллах ТГС [Текст] / Л.И. Донцова, Э.С. Попов // Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1975. - Т. 39. - С. 854-856.

2. Ломаев, Г.В. Моделирование больших скачков Баркгаузена [Текст] / Г.В. Ломаев, С.П. Ахизи-на, Т.Е. Глушкова // Физика металлов и металловедение. - 1997. - № 5. - С. 461-465.

3. Рудяк, В.М. Процессы переключения в нелинейных кристаллах [Текст] / В.М. Рудяк. — М.: Наука, 1986 - 248 с.

4. Shilnikov, A.V. Simulation motion of domain and interphase boundaries and their contribution to the dielectric properties of ferroelectrics [Text] /

A.V. Shilnikov, V.N. Nesterov, A.I. Burkhanov // Ferroelectrics. - 1996. - Vol. 175. - P. 145-151.

5. Алешин, В.И. Моделирование переполяризации кристалла и керамики типа BaTiO3 [Текст] /

B.И. Алешин, А.Г. Лучанинов // Изв. АН. Сер. физ. - 2001. - Т. 65. - № 8. - С. 1114-1118.

6. Кукушкин, С.А. Термодинамика и кинетика начальных стадий переключения в сегнето-

электриках [ Текст] / С. А. Кукушкин, А.В. Осипов // ФТТ. - 2001. - Т. 43. - № 1. - С. 80-87.

7. Струков, Б.А. Физические основы сегнетоэлек-трических явлений в кристаллах [Текст] / Б. А. Струков, А.П. Леванюк. - М.: Наука, 1995. - 304 с.

8. Shur, V.Ya. Formation of self-organized nanoscale domain patterns during spontaneous backswitching in lithium niobate [Text] / V.Ya. Shur, E.L. Rumyantsev, E.V. Nikolaeva [et al.] // Ferroelectrics. - 2001. - Vol. 253. - P. 105-114.

УДК 536.7; 538.956; 541.12; 541.67

Ю.В. Аграфонов, Н.А. Зеленцов, И.А. Меленчук, В. С. Петрушин, И. С. Петрушин

МОДИФИКАЦИЯ СИНГЛЕТНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Поверхностные силы в граничных слоях и тонких пленках жидкостей необходимо учитывать при описании различных физико-химических систем и процессов, протекающих в них, -межфазная граница раздела жидкость-пар (жидкость-кристалл), упорядочение газов и жидкостей в наноразмерных полостях, адсорбция, смачивание и т. п. [1].

Многие общие закономерности в таких системах удобно изучать с помощью модели жидкости, граничащей с твердой непроницаемой поверхностью (стенкой). Статистическое рассмотрение молекулярной системы обычно основывается на уравнениях ББГКИ (Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона) или других, эквивалентных им интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях для /-частичных функций распределения С?! I —(Щ, ансамбля N тождественных частиц, находящихся в заданном объеме V и взаимодействующих друг с другом посредством потенциала Фу (г^, где г^ - расстояние

между центрами частиц г и у.

Для пространственно-однородных изотропных систем (объемные жидкости в отсутствие внешних полей и вдали от ограничивающих поверхностей) (^(я)^ б^Оь). Все структурные

(ближний порядок) и термодинамические параметры выражаются только через двухчастичную

функцию распределения (/"12), параметрически

„ N з

зависящую от приведенной плотности п — —(Г,

где о - характерный размер частицы [2].

Существующие в настоящее время численные методы позволяют вычислять эту функцию

с высокой степенью точности (~ 2%), хотя ряд принципиальных вопросов не решен до сих пор.

Пространственно-неоднородные системы (жидкость в контакте с твердой поверхностью) описываются двумя функциями распределения - б^) и ^гОъ^). Граничным условием является переход вдали от ограничивающей поверхности к объемной жидкости:

Гх ^оо

Иш е12(?1,?2)=4°)(г12). (1)

12 =11 -?2|=СОШ1

Знание этих функций позволяет рассчитать микроструктуру жидкости - локальную плотность и ближний порядок, а также все макроскопические характеристики: поверхностное натяжение, адсорбцию, расклинивающее давление и т. п.

Непосредственное решение уравнений для функций многих переменных, даже в случае простых систем сферически-симметричных молекул, требует большого объема численных расчетов. Упростить задачу можно, если вместо двухчастичной функции использовать в соответствии с условием (1) ее граничное значение ^л'Ок) для объемной жидкости - так называемое синглетное приближение [3]. В результате получается замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения С1 (/0, описывающей профиль локальной плотности = вблизи твердой поверхности. Численное решение уравнения приведено в работах [3-6] .