Универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли, часть 2: суперслучай Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Morris P.D. Chebyshev subspaces of Li with linear metric projection //J. Approx. Theory. 1980. 29. 231-234.

2. Бородин П.А. О линейности оператора метрического проектирования на чебышевские подпространства в пространствах Li и C // Матем. заметки. 1998. 63, № 6. 812-820.

3. Ando T. Contractive projections in Lp spaces // Pacif. J. Math. 1966. 17, N 3. 391-406.

4. Pee-kee Lin. Remarks on linear selections for the metric projection //J. Approx. Theory. 1985. 43. 64-74.

5. Cheney E.W., Wulbert D.E. The existence and unicity of best approximation // Math. scand. 1969. 24. 113-140.

6. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1970.

7. Randrianantoanina B. Contractive projections in nonatomic function spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. 123, N 6. 1747-1750.

Поступила в редакцию 20.10.2008

УДК 512.554

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР ЛИ,

ЧАСТЬ 2: СУПЕРСЛУЧАЙ А. В. Михалев1, И. А. Пинчук2

В первой части работы исследуются универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли, изучаются условия существования таких расширений. Цель данной работы — некоторое уточнение предыдущих результатов, а также перенос этих результатов на суперслучай.

Ключевые слова: конформная супералгебра Ли, универсальное центральное расширение, ядро универсального центрального расширения.

In the previous part of this study we considered universal central extensions of Lie conformal algebras and conditions for existence of such extensions. The aim of this paper is some refinement of previous results and extension of these results to Lie conformal superalgebras.

Key words: Lie conformal superalgebra, universal central extension, kernel of a universal central extension.

В статье авторов [1] исследуются универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли, изучаются условия существования таких расширений. Цель данной работы — некоторое уточнение результатов из [1] и перенос этих результатов на суперслучай.

Пусть k — поле нулевой характеристики. Напомним (см. [2-4]), что конформная супералгебра Ли — это Z2-градуированное k-линейное пространство C = Cg ® Ci, в котором задано линейное отображение D : C ^ C и определено счетное множество билинейных операций ©, таких, что для любых однородных элементов a,b,c Е C выполняются условия:

1) a © b = 0 при всех n ^ N(a,b), где N(a,b) — некоторое целое неотрицательное число, зависящее от a и b;

2) D(a © b) = D a © b + a © D b;

3) D a © b = -na (n—j b (причем D a © b = 0);

4) a © b = (—l) a"X] (—1)n+s+j D (s) (b (n+S a) (условие антикоммутативности);

s^0

m

5) a © (b © c) = E О (a (5b) m+n—S c + (-1)1 "II bIb © (a © c) (супертождество Якоби).

s=0 S

1 Михалев Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mikhalev@cnitmath.msu.ru, mikhalev@shade.msu.ru.

2Пинчук Иррина Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей алгебры, элементарной математики и мето-

дики преподавания математики Моск. гос. обл. ун-та, e-mail: irenepin@yandex.ru.

(Как обычно, здесь Б ^ = Цг при г ^ 0; а £ Сщ, где |а| €

Из определения следует, что на супералгебре С определена функция N : С х С — Ъ+, которая называется функцией локальности.

Гомоморфизм конформных супералгебр Ли С1 и С2 — это й-линейное отображение / : С1 — С2, сохраняющее градуировку и удовлетворяющее следующим двум условиям:

/(а © Ь) = /(а) © /(Ь) для всех а,Ь £ С1, п £ Z+;

/ о Б 1 = Б 2 о /, где Б 1, Б 2 — ассоциированные линейные отображения конформных супералгебр Ли.

Замечание 1. Если существует гомоморфизм / : С1 — С2 , то функции локальности Nc1 и N02 соответственно супералгебр С1 и С2 связаны неравенством

N01 (а, Ь) ^ N02 (/(а),/(Ь)) (1)

для всех а,Ь £ С1.

Элемент а £ С называется центральным, если а © С = 0 для всех п £ Ъ+; центр 2(С) конформной супералгебры Ли С — это множество всех ее центральных элементов.

Пара, состоящая из конформной супералгебры Ли Я и сюръективного гомоморфизма ф : Я — С, называется центральным расширением конформной супералгебры Ли С, если ядро гомоморфизма ф лежит в центре алгебры Я. Следовательно, определена короткая точная последовательность конформных супералгебр Ли

0 —► Кег ф —► Я —— С —► 0,

в которой Кег ф © Я = 0 для всех п £ Ъ+.

Центральное расширение (и, ф) называется универсальным, если для любого другого центрального расширения (Я,ф) алгебры С существует единственный гомоморфизм Н: и — Я, такой, что фН = ф, т.е. коммутативна диаграмма

0 -► Кег ф -► и ——- С -► 0

и

0 -► Кег ф -► Я ——- С -► 0.

Центральное расширение (Я, ф) конформной супералгебры Ли С называется расщепляющимся, если существует гомоморфизм в: С — Я, такой, что фв = гйс (в называется сечением).

Как и в [1], будем называть коммутантом С (2+ С конформной супералгебры Ли С идеал в С, порожденный всеми © -ми произведениями. В случае, когда С=С (2+ С, конформную супералгебру С будем называть совершенной.

В [1] изучались универсальные центральные расширения конформных супералгебр Ли для случая, когда С2 = 0. Полученные там результаты нуждаются в некоторых уточнениях.

При формулировке основного результата статьи [1] по умолчанию предполагалось, что все исследуемые гомоморфизмы определены, т.е. функции локальности конформной алгебры Ли и ее центральных расширений согласованы в смысле условия (1). Уточним полученные результаты и приведем их формулировки для случая конформных супералгебр Ли. Результаты статьи [1] будут получаться из них естественными изменениями.

Лемма 1. Если (и,ф) и (Я,ф) — два центральных расширения конформной супералгебры Ли С, каждое центральное расширение супералгебры и расщепляется и для всех а,Ь £ С

^(ф-1 (а),ф-1 (Ь)) ^ ^(ф-1 (а),ф-1 (Ь)), (2)

то существует гомоморфизм Н : и — Я, такой, что фН = ф.

Доказательство. Для доказательства построим гомоморфизм Н. Пусть В = и ® Я — конформная супералгебра Ли, в которой

(П1,Т1) © (П2,Т2) = (щ © «2,Г1 © Г2), Б(и,т) = (Бц и, Бе т),

где и, Щ, Щ £ и; Т,Т1,Т2 £ Я; Бц и Бе — линейные отображения в конформных супералгебрах и и Я соответственно. Тогда Т = {(и,т)\ф(и) = ф(т)} — подалгебра в супералгебре В. Очевидно, что определен гомоморфизм п : Т — и условием п(и, т) = и и (Т, п) — центральное расширение конформной супералгебры Ли и.

По условию леммы центральное расширение (Т, п) расщепляется, сечение в : и — Т определяется условием

в(и) = (и,г). (3)

Зададим отображение Н : и — К условием Н(и) = г, где г определяется из условия (3). Так как в — гомоморфизм, то отображение Н определено корректно.

Покажем, что Н — гомоморфизм конформных супералгебр Ли. Для и1 ,и2 £ и и п £ Ъ+, обозначив в (иг) = (иг,гг), (г = 1, 2), имеем

в(и1 © и2) = (и1 © и2 ,г), Н(и1 © и2) = г.

С другой стороны,

в(и1) © в(и2) = (и1,Г1) © (и2,Г2) = (и1 © П2,Г1 © Г2),

т.е. Н(и1) © Н(и2) = г1 © г2.

Из определения Т получаем, что ф(и1 ©и2) = ф(г) = ф(г1 ©г2), т.е. (и1 ©и2,г) = (и1 ©и2,г1 ©г2), откуда следует, что Н(и1 ©и2) = Н(и1) © Н(и2).

Аналогично нетрудно показать, что отображение Н перестановочно с действием линейных отображений В конформных супералгебр Ли и и К и сохраняет градуировку. Следовательно, Н — гомоморфизм конформных супералгебр и и К. □

Лемма 2. Если (и,ф) и (К,ф) — два центральных расширения конформной супералгебры Ли С, для которых выполняется условие (2), и и — совершенная конформная супералгебра Ли, то существует не более одного гомоморфизма Н : и — К, такого, что фН = ф.

Доказательство. Существование гомоморфизма Н : и — К обеспечивается леммой 1. Для доказательства единственности такого гомоморфизма сравним два гомоморфизма Нг : и — К (г = 1,2) и убедимся в том, что они равны.

Введем обозначения для элементов а,Ь £ и: Нг(а) = аг, Нг(Ь) = Ьг. Имеем

ф(а1) = ф(Н (а)) = фН1 (а) = ф(а) = фН2 (а) = ф(Н2(а)) = ф(а2), откуда а1 = а2 + га, где га £ Кег ф. Аналогично Ь1 = Ь2 + гь, где гь £ Кег ф. Тогда для п £ Ъ+

Н1(а © Ь) = Н1 (а) © Н1 (Ь) = а1 © Ь1 = (а2 + Га) © Ь + гь) =

= а2 ©Ь2 = Н2(а) ©Н2(Ь) = Н2(а©Ь).

Так как супералгебра и порождается всеми а © Ь, то Н1 = Н2. □

Лемма 3. Если в центральном расширении (и, ф) конформной супералгебры Ли С супералгебра и не является совершенной, то найдется такое центральное расширение (К, ф) супералгебры С, для которого существует не менее двух гомоморфизмов ¡г : и — К, таких, что ф}'г = ф.

Доказательство. Если и не является совершенной конформной супералгеброй Ли, то факторал-гебра и/и (2+ и = 0 и канонический гомоморфизм V : и — и/и (2+ и не равен тождественно нулю. Нетрудно проверить, что конформная супералгебра Ли К = С ® и/и (2+ и с гомоморфизмом ф : К — С, заданным условием ф(с, V) = с, является центральным расширением конформной супералгебры Ли С.

Существуют по крайней мере два различных гомоморфизма ¡г : и — К, которые определяются так:

¡1(и) = (ф(и), 0); ¡2(и) = (ф)Ми)). □

Лемма 4. Если (Ш, ¡л) — центральное расширение совершенной конформной супералгебры Ли и, то коммутант Ш (2+ Ш супералгебры Ш является совершенной конформной супералгеброй, которая отображается на всю конформную супералгебру и.

Доказательство. Так как и — совершенная конформная супералгебра Ли, то любой элемент и £ и имеет вид и = ^ (=1 аг<п^ Ьг, где аг,Ьг £ и. Обозначим через -ш,аг ,Ьг прообразы при ¡л в Ш элементов и,аг,Ьг соответственно. Тогда

к к к ¡(■) = и = ^ аг © Ьг = ^ ¡(аг) © ¡л(Ьг) = ¡(^ аг © Ьг),

г=1 г=1 г=1

а это означает, что коммутант Ш (2+ Ш отображается на всю конформную супералгебру Ли и. Отсюда получаем, что любой элемент ■ £ Ш имеет вид ■ = + г^, где £ Ш (2+ Ш, г^ £ Кег¡л. Из последнего соотношения непосредственно следует совершенность коммутанта конформной супералгебры Ли Ш. □

Лемма 5. Если (и, ф) — универсальное центральное расширение конформной супералгебры Ли С, то любое центральное расширение (Ш, ц) супералгебры и, для которого Ыц(«1,42) ^ Ыщ(ц-1 («1),ц-1(«2)) при всех П\,П2 £ и, расщепляется.

Доказательство. В условиях леммы построим отображение ф : Ш — С, где ф = фц:

Ш ^^ С

и-и.

Тривиально проверяется, что ф сохраняет операции. Кроме того, поскольку ф и ц — гомоморфизмы, для всех П\,П2 £ и выполняются неравенства

Ыи (п\,П2 ) ^ Ыс (ф(«1 ),ф(«2 )), Ыщ (ц (п\),ц («2)) ^ Nи («1 ,П2),

откуда

Ыщ(ц-1(т),ц-1 («2)) ^ Ыс(ф(щ),ф(«2))

и ф — гомоморфизм конформных супералгебр Ш и С.

Далее, из определения гомоморфизма ф и из супертождества Якоби, примененного к произвольным однородным элементам Wl,W2 £ Ш и Wo £ Кегф:

т /т\

Wo ( ^ @ W2) = ^ I ) (Wo (5 wl) W2 + ( —1)' " @ (wo @ W2),

8=0 ^ 8 '

следует, что ядро гомоморфизма ф содержится в центре конформной супералгебры Ли Ш. Все это свидетельствует о том, что (Ш, ф) — центральное расширение супералгебры Ли С.

Из универсальности расширения (и, ф) следует, что существует единственный гомоморфизм 8 : и — Ш, для которого фв = ф. Непосредственно проверяется, что цв = \(1и. □

Лемма 6. Любая конформная супералгебра Ли С имеет центральное расширение (К,ф). Доказательство. Будем рассматривать конформную супералгебру Ли С как множество образующих. Зафиксируем функцию Ы : С х С — Ъ+ так, чтобы выполнялось неравенство

Ы(а, Ь) > Ыс(а, Ь). (4)

Тем самым мы задаем категорию СОМЕ(С, Ы) конформных супералгебр Ли, которые порождаются множеством С так, что для любых а,Ь £ С а @ Ь = 0 при всех п ^ Ы(а, Ь). Так же как в [3], можно показать, что в этой категории существует свободная конформная супералгебра Ли ¥.

Тогда определен гомоморфизм т : ¥ — С, а также С = ¥/Кег т. Конформная супералгебра Ли и = ¥/Кег т (2+ ¥ с гомоморфизмом ф : и — С, заданным условием ф(/ + Кег т (%+ ¥) = / + Кегт для всех / £ ¥, является центральным расширением конформной супералгебры Ли С. □

Пусть С — конформная супералгебра Ли. Обозначим через К (С, Ы) класс всех центральных расширений (Ш, ф) конформной супералгебры Ли С, удовлетворяющих условию

М(а, Ь) > Мщ(ф-1(а),ф-1 (Ь)) (5)

для любых а,Ь £ С. Здесь функция Ы задается условием (4). Справедлива теорема об универсальном центральном расширении конформной супералгебры Ли.

Теорема. Для того чтобы конформная супералгебра Ли С имела универсальное центральное расширение в классе всех центральных расширений К(С,Ы), удовлетворяющих условию (5), необходимо и достаточно, чтобы супералгебра С была совершенна. Для того чтобы центральное расширение (и, ф) из данного класса центральных расширений оказалось универсальным, необходимо и достаточно, чтобы супералгебра и являлась совершенной и любое ее центральное расширение в данном классе расщеплялось. Ядро такого расширения Кег т канонически изоморфно второй группе гомологий Н2С конформной супералгебры Ли С с коэффициентами в тривиальном модуле к.

Доказательство. Важным моментом для данной теоремы является доказательство существования универсального центрального расширения в данном классе центральных расширений.

Если конформная супералгебра Ли С обладает универсальным центральным расширением, то она является совершенной как гомоморфный образ совершенной конформной супералгебры Ли.

Пусть теперь конформная супералгебра Ли С совершенна. Рассмотрим центральное расширение (Е/Кег т (2+ Е,ф), построенное при доказательстве леммы 6. Из его построения следует, что условие (5) выполняется, следовательно, оно принадлежит классу К(С, N) центральных расширений в условии теоремы. Так как конформная супералгебра Ли С совершенна, то по лемме 4 коммутант алгебры Е/Кег т (2+ Е является совершенной конформной супералгеброй Ли и отображается на всю супералгебру С. Ясно, что

(Е/Кег т (|+ Е) (|+ (Е/Кег т (|+ Е) ^ Е (|+ Е/Кег т © Е.

Введем обозначение Е (2+ Е/Кег т (2+ Е = Т. Покажем, что (Т,ф) — универсальное центральное расширение конформной супералгебры Ли С в классе центральных расширений К(С, N).

Пусть (Ш, ф) — любое центральное расширение из данного класса. Построим гомоморфизм Н : Т — Ш. Для любого с £ С существует такой элемент ■ £ Ш, что ф(-ш) = с. Рассмотрим отображение Н : С — Ш по закону Н(с) = ■ + /Кег ф. Очевидно, что отображение Н определено корректно и не зависит от выбора ■ш. Так как С С Е, Е — свободная супералгебра и выполнено условие (5), то существует гомоморфизм Н' : Е — Ш, для которого Н'(с) = Н(с). Построенным гомоморфизмом Н' : Е — Ш индуцируется гомоморфизм Н : Е/Кег т (2+ Е) — Ш. Ограничивая его на коммутант Т, мы получаем требуемый гомоморфизм, что доказывает универсальность центрального расширения (Т,ф). □

Назовем универсальное центральное расширение конформной супералгебры Ли С в классе всех центральных расширений К(С, N) ^универсальным центральным расширением и обозначим его (и(^), ).

Далее будем рассматривать конечные совершенные конформные супералгебры Ли С, т.е. такие, которые являются конечно-порожденными к[В]-модулями (см., например, [5]). Пусть В — множество образующих супералгебры С как к[В]-модуля. Обозначим Nв = max{N(а, Ь)}, где а,Ь £ В. Для всех N ^ Nв рассмотрим описанные выше классы центральных расширений К(С, N) и зафиксируем ^универсальные центральные расширения (и) в этих классах.

Пусть Nв ^ N < Nj, (и), (и(Nj) — соответствующие универсальные центральные расширения в классах К(С, N) и К(С, Nj). Ясно, что центральное расширение (и) лежит в классе K(C,Nj), следовательно, определен гомоморфизм

п%> : и N) — и (N1).

В силу единственности гомоморфизмов п^ для любых Nв ^ N < Nj < Nk выполняются равенства

N N мк N -1 пм1 пмк = п мк, п N = гЛи №).

Таким образом, доказано

Следствие 1. Если С — конечная совершенная конформная супералгебра Ли, то система ее N-универсальных центральных расширений образует обратный спектр над множеством Z+.

Замечание 2. Условие (2) в лемме 1 является существенным.

В качестве иллюстрации этого факта можно привести следующий пример. В работе авторов [6] строится конформная алгебра Стейнберга 81с(д, А), которая является центральным расширением конформной алгебры Ли Сд(А) = к[В] ®кд(А), где д — простая комплексная алгебра Ли, А — коммутативная и ассоциативная к-алгебра с единицей (подробное описание упомянутых конформных алгебр см. в [6]). Здесь же показывается, что алгебра 81с(д, А) совершенна и любое ее центральное расширение расщепляется. Однако существует центральное расширение (К, ф) конформной алгебры Ли Сд(А), для которого гомоморфизм Н : 81с(д,А) — К не существует. Пусть А = к, конформная алгебра Ли К является к[В]-модулем:

К = к[Б] ®к дфке, Ве = 0. Операции © определяются в К так:

{1 ® [а, Ь], если п = 0; (а,Ь)е, если п = 1; 0, если п ^ 2.

Здесь а,Ь £ д, (-|-) — форма Киллинга на д. Гомоморфизм ф : К — к[В] ®к д определяется как проекция К на к[В] ®кд параллельно ке. Можно проверить, что такое расширение (К, ф) не удовлетворяет условию (2), и именно это не позволяет определить гоморморфизм Н : 81с(д,А) — К.

В заключение авторы выражают благодарность П. С. Колесникову за сделанные им замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михалев А.В., Пинчук И.А. Универсальные центральные расширения конформных алгебр Ли // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 26-31.

2. Kac V. Vertex Algebras for Beginners. University Lecture Series. Vol. 10. Providence, RI: AMS, 1996.

3. Roitman M. On free conformal and vertex algebras //J. Algebra. 1999. 217. 496-527.

4. Zelmanov E. Conformal algebras // The Concise Handbook of Algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. 326-330.

5. D'Andrea A., Kac V. Structure theory of finite conformal algebras // Selecta Math. 1998. 4. 377-418.

6. Михалев А.В., Пинчук И.А. Конформные алгебры Стейнберга // Матем. сб. 2005. 196, № 5. 31-52.

Поступила в редакцию 25.10.2008

УДК 519.72

ПОСТРОЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ СО СЛОЖНЫМИ

КОНЕЧНЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ

А. Ю. Румянцев1

Строятся бесконечные последовательности нулей и единиц, удовлетворяющие определенным ограничениям (не содержать подслов определенного вида или данных битов в данных позициях и т.п.). Рассматриваются вероятностные подходы к построению таких последовательностей с применением леммы Ловаса, а также их переформулировка на языке колмогоровской сложности и теории случайности по Мартин-Лефу.

Ключевые слова: колмогоровская сложность, префиксная сложность, последовательность, подпоследовательность, комбинаторика, вероятность.

We construct infinite sequences of zeros and ones under some restrictions (not to contain subwords of some definite type or definite bits at definite positions or so on). This paper concerns probabilistic methods of constructing such sequences with application of Lovasz Local Lemma and their Kolmogorov complexity reformulation.

Key words: Kolmogorov complexity, prefix complexity, sequence, subsequence, combinatorics, probability.

Вероятностный метод доказательства существования можно переформулировать так: берем случайную последовательность (в смысле алгоритмической теории вероятностей, т.е. определения Мартин-Лефа [1]) и проверяем, что она удовлетворяет всем ограничениям.

Связь случайности по Мартин-Лефу и колмогоровской сложности демонстрирует теорема Левина-Шнорра.

Теорема 1 (Левин-Шнорр). Последовательность и случайна по Мартин-Лефу тогда и только тогда, когда для некоторого с и для любого целого положительного числа п выполнено неравенство

КР(и([0,п))) ^ п — с.

Здесь KP обозначает префиксную сложность, [0,n) обозначает промежуток {0,1,2,...,n — 1}, а w([0,n)) есть n-битовое начало последовательности.

1 Румянцев Андрей Юрьевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: azrumyan@mail.ru.