CC BY
38
УДКМУЛЛЛ
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ПРОСТЫХ ЦИКЛОВ ЗАДАННОЙ ДЛИНЫ В ПРОСТОМ ГРАФЕ ДЛЯ СЛУЧАЕВ ДЛИН ЦИКЛ 08, РАВНЫ X 8,9, 10
А Б TTIyirHHO
Омсю/fi согудсрстзочмый юсхнтеский университет, s. Омск, Россия
Аннотация Праолемп вычисления количества простых циклов заданной длины в графе является классической математической задачей. Проблема рассматривается на примере простых графов. Направление решения проблемы - получение универсальных формул. Представлен базовый алгоритм получения универсальной формулы для подсчета количества простых циклов в простом графе. Приведен пример p;<uuibi а.иоршма. Полечены \ниверса.1ьные формулы для длин ииклиь. меньших идиннлдиаш. Универсальная формула для количества простых циклов длины 8 представлена б графической записи, ллп xiни циклов, равных 9 d символьной.
Клншгкыг глина — ирш и»П hiik.i, тшгк циклон
I ВВЕДЕНИЕ
Проблема вычисления количества простых циклов заданной длины в графе является классической математической задачей. Начало выделешея данной проблемы молодо датировать 1952 годом [1]. Проблема вычисле кия количества простых пиклов заданной длины в графе связана со многими другими классическими математическими задачами, так. например, задача определения гамнлыонсвосгк графа является частным случаем задачи подсчета количества простых циклое в графе длины, равной количеству вердшн графа. В настоящее время задача не решена.
Существуют два основных подхода к решепшо задачи: нахождение количества простых цнклоэ задашюй длины к К11НЦ1ГГНПМ ц:яфг и молучгикг уникг]я'я.1ьной ijxipuyjiM нычиелгник ммингпм iijkktimx циклок к графе.
Направление нахождения количества простых циклов заданной длкны в конкретном графе, в большинстве своем, сводится к построению алгоритмов для решения проблемы для специальных классов графов (ввиду особых свойств специальных классов графов удастся построил, более эффективный алгоритм решения задачи). К данному направлению, в случае произвольных графов, можно отнести следующие работы: [2], [3]. [4], [3], [6]? [7]. [8]. [5]. Описашпле методы и алгоритмы в работах основаны па переборе бозмомллх щшлов графа задай
ЮИ ДЛИНЫ СЧиОЖНШТК ял I П{1И i VOK .'tKl'IIOHf И |иалкни или Плички к нгй
В случае решения задачи для специальных классов графов возможно снижение сложности вычисления. Так. для двудольных графов сушсствуют переборные алгоритмы поиска количества простых циклов заданной длины: алгерэтм леленцов [10]. алгоритм передачи сообщений [ 11], алгоритм цепей [12]. поиск с возвратом [3].
Второе направление получение универсальных формул для подсчета количества простых циклов заданной длины {К кпцгно к риГмпак [I] [13],[14] [11], [Iß). [17] [18], [19], [?0], [/1] [??] ОпуГшиммннныг к :fmx ри(х>-тех результаты содерхсгт формулы подсчета цш<лоо длины < 8: формулы для длил циклов, равных 3, Л, 5. 6. представлены в [23]. [24]. а для длины никла, равной 7. в [22]. [25]. Формулы для длин циклов больших 7 в литературе не встречаются.
Цель работы предъявить универсальные формулы для нахождения количеств« простых циклов заданной длины в графе для длин циклов равных 8. 9, 10. В работе представлен алгоритм получения универсальных формул и его графическая шлерпретацнл. Формула для вычнелеппя количества щшлов длины 8 в простом графе | ргуц тклгнл к фифичесном кидг. ф ир му л л ^яин циклон jmhhkix 9 — к гимк-.и кипи ханжи Дня длины циклов равной J 0 формул?, также получена, но ввиду её обьема (160 слагаемых) в тексте работы отсутствует. Все заинтересованные липа могут получить данную формул:/', обратившись по электронной почте.
IL ПОСТА! ЮЗКА ЗАДАЧИ
Пугтъ G гтрогтгй граф с п й^ртпияями А его матрица гмежногти си ее матричные элементы (я;/ = 1 если игр шин м i,j (-МГЖНК1, — 0, «тли нг гмглны, rig — О iliu.yA — 0,..., Л ц:иф fira iirrr.ih) Ннгдгм об-лчнянгниг Ca(G) - количество простых циклов длины 5 в графе G [26]. D таких обозначениях простым циклом будет обе-
опачаться выражение ><, I. -*■ ¿,, если псе сердишь: охлнчиы друг от друга. Соответствен
НС1, «"ЛИ Г.ущгпку«! ЩИX"ГНИ ЦИКЛ .ИЛИНЫ П, 1X1 1|»|ф МКЛНГШ 1НМИ.1ЫОЖ1КК1М
Произведение матрнчных элементов матрицы А равно 1. сслн существует путь. проходя-
щий через верпппш ¿^¿^ ¿х+1, п равно 0, если такого пути не существует. По определению след матрицы равен
и-А* - £ " ".VI
«
н дает число циклов (не обязательно простых) длины с, умноженное на 25. Коэффициент 2з получается из того
фик ги. 41X1 ЦИКЛЫ, 11[Ч»Х*1ЛИ1ЦИГ НГ|1ИХ «ДНИ И ТГ ЖГ КГрШИЬМ Н1> НЙНИН:1Н>1 Н [)И:(НМК КГрШИНИЧ нг. [»ггличи-
ются. и, кроме тоге, циклы. отл1гчзюшнеся направлением обхода тел же не различаются.
Вм1ДКП.1 11<1НМ1РГ М()ДИ(}|ИЦИ|К)Кг1ННЫЙ ГЛГД МИ11>ИЦМ /.г4'*[?V»]
ггА* = а^Л:, - *г,гА (1)
Выражение [1] соответствует количеству простых цилтсв в графе, умноженному на коэффициент 2г. Количество простых цкклев длины з е графе (7. соответственно. будет вычисляться:
Г,(Я) - ГгА'/?.ы (?)
Т/1КИМ С»б$И:ЧОМ, ЛЛЦМЧЛ 1ШД[-ЧГГЛ ЧИСЛИ ||]М>Г1МХ ЦИК.ПШ ^¡,0») к «рифг (7 ГКО/ШИН К |:|).|учгНИК1 ф(1])\|у]|М .41:«
вычисления моднфнинрованного следа (1). Неравенства ¡, / ^ в формуле (1) называются препятствиями 126]. Основной прием для избавления от препятствий заключается в применении равенства:
М-В/ (3)
Для Ьолсс компактней записи универсальной формулы понадобится слсдуюшсс равенство:
-Щ ВГ;
где I - матрица, все элементы которой равны единице
Соответственно, ставится задача разработки алгоритма и получения универсальных формул зычислсння количества простых циклов длин, больших 7.
Ш.ТЬОУИМ
Рассматриваемый ниже алгоритм получения универсальных формул для случая простых графов будем пазывать базовым. В данном алгоритме графы задаются в вид? мату или смежности. Получение модифпцпро клнною слг*.ди шэшюша на Iцюмгдург удалении ирпнипкий (гклгйки дкух нм мелных чгршии) Риггмпфиы такую процедуру: пусть ребро с весом ( 1) (препятствие) соответствует матричному элементу. находящемуся в -й строке и з/-й столбце. Склейка -й и /-Й вершины заключается в прибавлении к 1-й строке ^-й и прибавлении к ¿-му столбцу У-го. Затем ¡-я строка н -н столбец из матрицы смсжностя удаляются. Все ненулевые диагональные элементы матрицы заменяются нулями. Сложение происходит согласно следующей арифметике:
•>+0-0. С—1—1,0+С-1)—1,1+1-1,1+(-1)-1, (-1)+(-1)—1, т.е. двойные ребра заменяются одинарными. и если две вершины становятся смежными, то соответствующее
1П1ГИЧИ1КИГ уДЛЛМГМГМ
Базовый алгоритм имеет рекурсивный характер и па каждой итерации модифицируется массив: К К — К'1,Х2,--.). Каждый элемент этого массива соответствует одному слагаемому в формуле для модифицированного слсда н представляет собой кортеж: К{ = {с:,И{}. в котором первый элемент с, целое число, второй элемент Н, взвешенный граф. Формула (1). соответственно, примет вид:
?гА° с^Л) (4)
Граф О будем называть базовым графов, графы Н формальными.
При инициализации алгоритма создается массив КК = {{1, б0"}"}, где базовый граф. Алгоритм заканчивает свою работу, когда все формальные графы II. не будут иметь ребер отрицательного веса. Опишем одну итерацию алгоритма, состоящую из двух шагов.
Шаг 1. Для каждого кертежа К = {с, 6} массива КК совершим следующую процедуру: если формальный граф Н ае содержит ребер отрицательного веса, то оставляем этот кортеж е массиве КК без изменений н переходим к обработке следующего кортежа, в противном случае в массив КК включаем два элемента: К1 = {с, Н^, Л', = (—г. Я,}. Здесь формальный граф Я1 получается нз графа Н путем з'даления одного ребра отрицательного веса, граф 11 2 получается пз графа II путем склейки двух вершин, инннлентных выбранному ребру-. Затем переходим к рассмотрению следующего кортежа. После обработки всех элементов массива переходим к следующему шагу.
ТТТиг ? РлчоПкгм кгг мнп#пш1 гкцииикннх ц^фок нхоцнщи* к кн]пгжи мистик* КК, на к л ж ты ичпмпрф-ных графов и оставим в этом массиве только те кортежи, граоы которых являются представителями классов, модифицируя прк этом числозые коэффициенты. А именно, пусть графы Пх,11г. ...в соответствующих кортежах К, — (с,, И, ], К, — [с-/, Ну], .. попарно иземорфиы. Заменяем в массиве КК все эп: кортежи одним эле мен юм К — {сх + —
Так как на каждой шерацш! из базового граоа удаляется одно ребро отрицательного веса то число итера кий равни 5(б — 3)/2. чш сишвсплъусх ксличеову
Приведем простейпп-ш пример работы алгоритма на примере вычнеленпя модифицированного следа для длины пихта четыре $ = 4:
1. КК = «1^» =(1, {(I, 2)(2. Ш 4)(4,1X1.3)(2,4)}>.
2.КК= [\1СЛ},{ сиСл}\=[\: |(1,2)(2,ЗХ-\ 4X4,1X2.4))К
(-1. {(]. 2X2,4)(1.4)) (2, А)]}.
3.КК= <{1.С_0}. < с_сЗ,,в_2}.{ с_3,6_ЗП =
{{1, {(1, 2)(2, 3)(3. 4)(4, 1))К {-1, ((1,2X2. 4X1,4)Х2,4))}<-1, {(1, 2X2,4)(1, 4))}}}.
4. КК = {{1,Оп), {-с, {~с.„С7}, {-сМ, {сА.Сл}} ={{1, «1, 2X2, 3X3, 4X4. 1)}}, {-1, {(1, 2X2, 4) (М)»Н-1, {(1.4ХК4))}} {1, {(! ./)}}}
5.КК= {{1.69}, {-с^.СЛ, {-с2,С2}^ <-с3.С3}, {с4,С4}} =
{{1, {(1, 2X2, 3X3, 1X1, 1»К {-2, ((1,2X2.1X1,'!))» > {1, {(1,2)}}}.
В реау.1ыгис ра6<лы аширлхма получаем массив. солсрлаший универ^а.1ьную формулу для нол-счеха количества простых циклов длины 4 в простом графе. Соответствующая формула была также получена авторами РЧ Ш [^]ИД1»
В ходе получения модифицированного следа матрицы было установлено, что формулу (4) можно представить е графическом виде, если формальные графы зарисовать в явном виде [в виде графов). Так, известной ф(1|1мулг л'» моднфиц^мжиннога м-1ц:и 1Ы к глучаг* д.1ины цикла, |:;-кнгй пчш [/6], [1Я], [2.3]. [75]
trA1 = (1,2)(2,3)(ЗЛ)(4,5)(5Д) + 5(1,2X2,3)(3,1) - S(l,2)(i^)(M)(2,3) = trA[5 + 5trA* -S{diagA3,diagA2)
можно поставить в соответствие следующее выражение:
2-'Л 'Л 1
tr =
/
/
— п
/
/
+ б
О)
Рис. 1. Модифицированный след матрицы для случая 5 = 5
IV. РЬЗУ.1ЫА1Ы ЭКСНЫ'ИМШ'ШВ Б системе символьных вычислении \\го1£гаш МаЙгешаГка была разработана программная реализация базового алгоритма получения универсальной формулы для подсчета количества простых циклов заданной длины в простом графе. Л ходе экспериментальных вычислении были получены универсальные формулы для длин цнк-
лов. меньших 11. Формулы для длил циклов ЗУ соответствуют универсальным формулам, представлешшм в работах [181. Г231Г251 Г221Л11Л131Л241.
11кжс приведены универсальные формулы для длин циклов, равных 3. 9. которые ранее в литературе не иршкшшшсь. В целях визмо/ыисш н<илшшою ангиша униьсрсальная формула для длнны ьниш. равною 8. формула прелстаялеча и графическом виде-
1-2-Л-4 1-2--4 1->-3-4
I I \ / I / \ \
ЧА*= \ 1 \ / & / \ «
8-7-6-б 7-В 5
5
1-2--4
5-.>-7
12 3 12 3 12 3 4 12 3 4
+ 3 I + 12 I I I + 4 I / \ +24 \ /'
II/ \ \ /
6-5-4 6-5-4 5 6 В-Ь
-2-Л I-2-Л
$ | | | 4 В
ъ-о а 6-ь-1
•1
•2--)
- (Н
\
-V
I
/' V
Ч\ + * / \
4 3
и
I-?.-Я
5 4
-?-.1
/1 / I
+ 161 / \ 4 21 / \ + Г; / I /
3 4
ч /
I-2-3
6 3 4 5--О
3 1-2-3 1 ■
/ " "72 I/ \| -*\\\/ *22
•> Л 5 4
\/
I \ ~ ^ I
»-4 Л-4
+ 272
I -9-$
\1/ 1
- А
-4
/-з
16
1% 1--ш Г\ -12 /I
2 — 3 I" 5
5 1
2-
+ - 73
3-4
1-2 -2--3
I I "\ | /' *
4-Л 4--Г»
+ 46
1
3-1
1
4-72 / | - - 112 - 12 | .
I 2-3 2
Рис. 2. Модифицированный след матрицы для случая 5 = 3
Ввиду того, что универсальная формула вычисления количества простых циклов длины 9 содержит 58 слагаемых (неизомерфных классов графов), она представлена в компактном виде через индексы вершин:
1148(1,2X1,3)(23)-П4б(1^)(1!ЗХ1,-4X2,3)+504<1,2)(1,3)(1,4X1,5)(2,3>-
54(1ДХ13)(1,4)(1;5Х1,6Х2,3)-1296(1да,3)(154)(23Х2,4)+252(1ДХиК1де,3)(2г4^
288(1,2X1=3X1,4)(1,5X2,3X2,4)-Зб(1,2Х1.4)(1Д)(1»®>(2!3)С2,4)+
336(1,2X1,3X1,4)(1,5Х2,ЗХ2,4)(2^)-72(и)(1да,4)(1г5Х1,6X2,3)(2,4X2,5)-
156(1,2X1,3X1,4X2,3X2,4X3,4)+171 (1,2X1.5X2,3X2,4X3,4)+
180(1,2X1,3X1,5X2,3X2,4X3,4)-18(1,2Х1,5)(1,6)С2,3)(254)(3,4)+
72(1,2)(13Х1,4)(1,5X2,5X3,4)+б84(1,2X1,4)(1^(2,3)(2г5)(3,4)+
324(1,2X1,3X1,4)(1,5)(2,3X2,5)(3,4)-18(и)(1Д)(1,6)(2,3)(2,5ХЗ,4)-
v.0 2)0 №W ШЮЛ)-' «О 7.)(1 ,3)(1,4)(i ,5X1 W.Wir
27( 1 _2}( 1.3)( 1:5)( 1,6X2,3X2,5)(2,б)(3?4>+99(1 Д)( 1:4)( 1,5)(2,3)(2,4)(3,4)(3? 5)-
>4(12X15X1.6)(2,ЗХ2ЛХЗЛ)СЗ.Ь)-'ЩДХК4Х1.i>)(lA)(2.3X2.6X3.4X3.5)-
48(1 ?X1 vO .4X1 7X14X1 /.X? 3X? 4)<4,5)+
81(U}(lT5X2:3)(34)(4,5)-lL7(l,2}(lT5Xl:6)(2.3X3,4)a5)+
18( 12X1-5X1.6}(1,7)(2.3Х3.4)С4,!>)-2'/С1 2X11.6)(2,3)(2.i)(3.4)(4,5)-
171 (1 ?)(1,3)(1,5X1 />X?,00 4X4,^-9(1,7)(1 ДО 3)(? /Г»П 4)(4 5)-
36(U}(1T5)(1:6)(2.3X2,6X3,4X4,5)-144(1.2)(l,3)(L,5)^,6X2,3X2,5X3,4X4,5)-
18(12X1.6X1.7X2.3X2.5X2.6X3.4X4.5) 127(UX1.5)(1.6)(1.7)(2.3X2.6)(2.7)(3.4X4.5) I
36(U)(157X23X2,5X2,6X2,7)(3,4X4,5)-27(UX1:3X1^(2,3X2,6)(3,4X3,5X4,5)-
36(12X15X1.6X2,3)(3.4X3.6)C4,b)+9(IJX1.6)(lJX2JXi,4X3.5)(3.6K4.5)+
9(17X1 4)0.5X3 6X4,5)+9(1 ?X> Ж*/0(1 TX^.^ 4)(1,6X3 7)(4 5)+
27(U}(1,7:.(2:3)(2,5)(2,6X3,4)(3,5)(3,7X4,5>+9(1,2X1,6X1,7X2,3)(3:4)(4.5)(4,6)+
L Ж12X1-6)(1.7)(2,3)(2.4X2.5)(3.4)(Ь. 5H6C.1.2)(Д - AX2 J ]Г2,4](2.Ь)(2.6)(2.7)(3,4)Сэ.6)+
9(1.^X1 ДЮ 4)(4.5)(5 6)+9(1 ?)(i ,7)(?.ЗХг0(^,4Х4.5Х5/.)+
27(UX1,6)(L7)(2,3)(2,7X3,4)(4,5)(5,б>+9С1,2Х1,7X2^)(2,7X34X3,6)(4.5)(5,6)+
27(12X1. ;X2.3)(2,6)i 3,4X3. /)С4,Ь)(.Ь.5Н9С l,2)f.l. AX2J](3,4}(4.bX5.6)(6.7 b
9(17Ю ,7Х1,ЯХ/ЯХг4)(4 5)(5 6Х6 7)-9С ,?.)(1 «Х^Ж^ТХ^ЮО^^Жб-Т)-
9(1,2X1,8X2,ЗХЗИХЗ:7)(3,8X4,5X5,6)С6,7)ЧЧ1ДХ1,9)(23ХЗ,'1Х'1,5X5,6)C6,7X7,8X8^1
Универсальная форхгула для длины циклов, разной 10. также получена, но ввиду ее объема (160 нензоморф-иых классов графов) в тексте не пригодится.
V. Оьсу.ад~киь уьзулыашв Рассмотрим универсальную формулу для подсчета количества простых циклов длины S в простом графе. ирг,'1<~1иклгннук» КЫШГ Г]М|]1ИМГГКИЙ КИД ■■¡шггякигния |[юруу.1м IHHMIJnrr Gr.i ipy,!^ ниЙ'1 v. нгпхгичлгмый [70], [26] граф при коэффициенте 22.
Данный граф яелягтся полным графом со степенью вершин, рпеной трем Кг (универсальная формула для длин циклов равных 9 также ссдержкг нестягиваемые графы). Как было показано в [20], [26]. именно нестягиваемые полные графы ее степеш.:о вершин больше двух определяют сложность вычислехшя значены формулы. Подробно тема нес тягиваемых графов освещена в [13]. [20]
Представленные формулы для случая 5 = S, 9 можно упростить, записав их в матричном виде, подобно 5. Именно матричная запись формул позволяет свести сложность зычислсння значения по формуле к сложности КЫЧИГЛГНИ* ЧНИЧГНИМ суммы К фс;1>Му.1Г 4, 1ЧММКГП гкуим^гй нг:ч>1 инигмому ip.njly
VI13ЫЕОЛЫ К ЗАКПОЧЕНИЕ
В качестве вывода следует отмеппь, что приведенный базовый алгоритм получения универсальной формулы вычнелешм ко.-nrcecira простых цшлов заданной длины в простом графе позволил получить универсальные формулы для длин пнклоз. меньших 11. В тем числе универсальные формулы для длин циклов, разных 8. 9.10. ранее в литературе не встречающихся. Формула для вычисления количества циклов длины 8 в простом графе представлена в графическом ваде, формула для длнн циклов, равшлх 9 в символьной записи. Для длшдл цнк лов. равной 1С. формула также пелучена. но веилу её обьема (160 слагаемых) е тексте работа отсутствует.
СПИСОК ЛШГГАТУШ
1. Ross LC.. Harare F. On the Determination of Redundancies in bociometnc Chains Psychometrika, 1952, vol. 17. ш» 195-708
2. Welch J.T Jr. A Mechanical Analysis of the Cyclic Structure of Undirected Linear Graphs. Journal of the ACM, 1У66. vol. 13. no. 2. pp. 205 21U.
3. Tiernan J C. An Ecient Search Algorithm to Find the Elementary Circuits of a Graph. Communications of the ACM. 1970, vol. 13, no. 12, pp. 722-726.
4. Mateti P.. Deo N. On Algorithms for Enumerating All Circuits of a Graph. SIAM Journal on Computing. 1976. vol. 5, no. 1. pp. 90-99.
5. Tarjan R. Enumeration of the Elementary Circuits of a Directec Graph SIAM Journal on Computing. 1973, vol. 2. no. З.рр 211-216.
6. Gibbs N.E. Algorithm 492: Generation of All the Cycles of a Graph from a Set of Basic Cycles. Communications of the ACM, 1975. vol. IS. no. 6, p. 310.
7. Johnson. D.В. Finding All the Elementary Circuits of a Directed Graph. SIAM Journal on Computing. 1975, vol. 4, no. l .pp. 77-84
S. Szwarcter J.L.. Lauer P.E. A Search Strategy for the Elementary Cycles of a Directed Graph. BIT Numerical Mathematics 1976. vol. 16, no. 2, pp. 192-204
9. Sys lo M.M. An Ecient Cycle Vector Space Algorithm for Listing All Cycles of a Planar Graph. SIAM Journal on Computing 1981, vol. 10, no 4,pp 797-808.
10. Halford T.R_, Chugg K M. An Algorithm for Counting Short Cycles in Bipartite Graphs. IEEE Transactions on Information Theory. 2006. vol 52. no 1, pp. 287—292.
11. Karimi M.. Bamhashemii A.H. A Message-Passing Algorithm for Counting Short Cycles in a Graph. 2010 IEEE Information Theory Workshop (ITW 2010, Cairo). 2010, pp. 1—5. Full version http://arxiv.org,,abs/l()Q4.3966.
12. Nguyen D. V., Chilappagan S.K.. Marcellm M. W., Vasic B.V. LDPC Codes from Latm Squares Free of Small Trapping Sets. CoRFL 2010, vol. abs/1008.4177, http://anriT.arg/abe/1008.+177.
13. Alon N.. Yuster R.. Zwick U. Finding and Counting Given Length Cycles // Algonthniica. March 1997. Vol. 17. N. 3. P. 209-223.
14. Хоменко H.FL, Головко Л.Д. Выделение ш графа его частей некоторых типов и подсчет нх количества. Украинский математический журнал, 1972, том 24, № 3, стр. 385396.
15. Хоменко Н.П., Шевченко Е.Н. К проблеме выделения и подсчета Укр. мат. жури. 1978. 30. № 2. С. 201211.
16. Воропаев А.Н., Перепечко С.Н. Количество простых циклов фиксированной длины в неориентированном графе. Явные формулы в случае малых длин. Письма в журнал Физика элементарных частнц и атомного ядра, принято к публикации.
17. Perepechko S.N., Voropaev A_N_ The Number of Fixed Length Cycles in an Undirected Graph Explicit Formulae in Case of Small Lengths. International Conference sMatheniatical Modeling and Computational Physic sL Book of Abstracts. Dublin : .TTtvR, 2009. pp. 14S-149.
18. Воропаев A. H. Вывод явных формул для подсчета циклов фиксированной длины в неориентированных графах//Информационные процессы. 2011. Т. 11. № 1. С. 90-113.
19. А. Н. Воропаев. Подсчет циклов в двудольных графах с длиной менее грех обхватов // Информационные процессы, 2011, Т. 11. №4, С. 500-509.
20. А. Н. Воропаев. Кратности сумм в явных формулах для подсчета циклов фиксированной длины в неориентированных графах // Прикладная дискретная математика. 2011. №4 (14), С. 42-55.
21. А. М. Караваев. А Н Воропаев Эффективность распараллеливания явных формул для подсчета коротких циклов в графе // Труды ПаВТ'2010, С. 486-497
22 А_ Н. Воропаев. Вывод формул для количества циклов фиксированной длины в графах ладьи // Ученые записки Петрозаводского государственного университета: Естественные и технические науки. 2012, № 8(129). С. 109-111.
23. Нагшу F.. Manvel В. On the Number of Cycles in a Graph // Matematicty casopis. 1971. Vol. 21, N. 1.
P. 55-63.
24. Chang Y.C., Fu H.L. The Number of 6-Cycles ill a Graph. The Bulletin of the Institute of Combinatorics and Its Applications. 2003: vol. 39: pp. 27-30.
25. Nazanm Movariaei // On the Number of Cycles in a Graph. 2015. arXiv:1405.6272v3
26. Астахов M С Широков И В.. Шутенко А.В. Вывод формулы для подсчета числа простых циклов в простом графе // Аппроксимация логических моделей, алгоритмов и задач АЛМАЗ'2: тез. докл. Междунар. конф. Омск: Изд-во ОМГТУ. 2015. С. 6-10
