CC BY
6Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 3. С. 461-471. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 517.9 М8С 2010: 37G35
Универсальное двумерное отображение и его радиофизическая реализация
А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, М. В. Поздняков, Ю. В. Седова
Предложено простое двумерное отображение, параметрами которого являются непосредственно след и якобиан матрицы возмущений неподвижной точки. На плоскости параметров оно демонстрирует основные универсальные бифуркационные сценарии: переход к хаосу через удвоения периода, картину квазипериодических колебаний и языков Арнольда. Продемонстрирована возможность реализации такого отображения в радиофизическом устройстве.
Ключевые слова: отображения, бифуркации, квазипериодические явления
Введение
Двумерные отображения важны для многих приложений, поскольку могут представлять собой сечения Пуанкаре трехмерных потоков. В свою очередь, известно большое число радиофизических, биофизических систем, моделей популяционной биологии и т.д., которые описываются трехмерными потоками [1—5]. Бифуркации двумерных отображений подробно изучены [6-8]. Одним из интересных феноменов в таких отображениях является
Получено 27 февраля 2012 года После доработки 16 апреля 2012 года
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-02-00342-а и гранта Правительства РФ для гос. поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых (№ 11.G34.31.0039).
Кузнецов Александр Петрович
alkuz@rambler.ru
Кузнецов Сергей Петрович
spkuz@rambler.ru
Седова Юлия Викторовна
sedovayv@rambler
Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН 410019, Россия, г. Саратов, ул. Зеленая, д. 38
Поздняков Михаил Валерьевич mpozdnyakov@yandex.^
Саратовский государственный технический университет им. Ю.А.Гагарина 410054, Россия, г. Саратов, ул. Политехническая, д. 77
бифуркация рождения инвариантной кривой — бифуркация Неймарка-Сакера, с наличием которой ассоциируется целый круг явлений, таких как возникновение резонансных циклов, структура языков Арнольда и т.д. Наиболее популярный в литературе пример двумерного отображения — отображение Эно — характеризуется постоянным якобианом и не демонстрирует такую бифуркацию. В [9-12] предложена определенная модификация отображения Эно (generalized Henon map), которая приводит к возникновению бифуркации Неймарка-Сакера. Еще один возможный путь построения необходимого отображения состоит в использовании двумерных потоков с бифуркацией Андронова-Хопфа, для которых производные по времени заменяются конечными разностями. Такой подход приводит, например, к отображению Богданова (Bogdanov map), предложенному и исследованному в [13-15]. Мы предлагаем еще один вариант отображения, который логическим образом вытекает из двухпараметрического бифуркационного анализа. В этом случае параметрами отображения являются непосредственно след и якобиан матрицы возмущений (матрицы Якоби), что обеспечивает, в определенной мере, универсальность свойств отображения. Такой подход рассмотрен в разделе 1 настоящей статьи. Предлагаемое отображение (как и упоминавшиеся выше примеры) является, однако, формально построенной конструкцией. Поэтому важным является вопрос о его возможной физической реализации. Этот вопрос обсуждается в разделе 2, где предложена радиофизическая схема, которая демонстрирует необходимый тип поведения, и приведены результаты моделирования ее динамики с применением программного пакета Multisim [16, 17].
1. Бифуркации двумерных отображений и универсальная модель
Двумерное отображение в общем случае задается соотношениями
хп+1 — / (хп,Уп),
Уп+1 — 9(хп ,Уп)-Оно может иметь неподвижные точки (хо,Уо), такие, что
хо — / (хо,уо), Уо — 9(хо,Уо)-
(1.1)
(1.2)
Характер устойчивости неподвижной точки определяется матрицей Якоби системы (1.1), вычисленной в такой точке:
м—('X/у). и.,
\9х 9у)
Собственные числа этой матрицы представляют собой мультипликаторы отображения и ¡2, для которых справедливо соотношение
¡2 - Бр + 3 — 0, (1.4)
где Б и 3 — след и якобиан матрицы возмущений (1.3).
Бифуркации двумерных отображений удобно представить на плоскости след-якобиан (Б,3). В этом случае получается достаточно полная, а главное, универсальная картина
бифуркаций [4, 18]. На плоскости (S, J) имеет место характерный «треугольник устойчивости», показанный на рисунке 1. Его стороны отвечают основным бифуркациям коразмерности один [6]:
а) касательная бифуркация (fold), ц = +1: 1 — S + J = 0;
б) бифуркация удвоения периода (flip), ц = —1: 1 + S + J = 0;
в) бифуркация Неймарка-Сакера: J = 1.
Рис. 1. Треугольник устойчивости двумерных отображений на плоскости след-якобиан матрицы возмущений.
Вершины треугольника соответствуют простейшим бифуркациям коразмерности два [6]:
а) резонанс 1 : 1, R\, когда fii = = +1: S = 2, J = 1;
б) резонанс 1 : 2, R2, когда fii = ^2 = —1: S = —2, J = 1;
в) бифуркация fold-flip, ff, когда fii = +1, ^2 = —1: S = 0, J = —1.
В силу универсальности картины на плоскости (S,J), привлекательной является идея построить отображение, для которого след и якобиан были бы непосредственно регулируемыми параметрами. Сконструируем сначала соответствующее линейное отображение:
xn+l = Sxn У^ .
= (!-5) yn+l - Jxn-
Оно имеет неподвижную точку в начале координат. Матрица Якоби в этой точке имеет вид
м =( S —11). (L6)
Таким образом, параметры S и J действительно являются следом и якобианом матрицы Якоби. Добавим простейшую квадратичную нелинейность вида (x2 +y2). Тогда отображение примет вид
xn+l - Sxn yn (xn + yn),
Уп+1 = Jxn — jr(Xn + yn)-
(Множитель 1/5 введен для более удобного представления результатов.)
Понятно, что картина основных бифуркаций неподвижной точки xo = yo =0 отображения (1.7) будет точно отвечать «треугольнику устойчивости» на рисунке 1. Для более
полной характеристики свойств отображения (1.7) используем метод карт динамических режимов [4]. Соответствующая карта на рисунке 2 получена следующим образом: в каждой точке плоскости параметров (Б,3) численно определялся период цикла отображения (1.7), и эта точка окрашивалась в определенный цвет в соответствии с полученным периодом. Периоды основных режимов указаны на карте. Кроме того, белым цветом обозначены квазипериодические режимы Q, черным — хаос С, лазурным — гиперхаос СН. Для визуализации этих режимов дополнительно рассчитывались ляпуновские показатели системы; при этом квазипериодическим режимам соответствует один нулевой и один отрицательный показатель, хаосу отвечает один положительный показатель, а гиперхаосу — два положительных показателя. Серым цветом и буквой Б обозначена область убегания траекторий на бесконечность.
-2.5 5 2.5
(а)
1.9
-2.1 Я 1.5
(Ь)
Рис. 2. Карта динамических режимов двумерного универсального отображения (а) и ее увеличенный фрагмент (Ь) в окрестности линии бифуркации Неймарка-Сакера МБ.
На рисунке 2а оказывается визуализированным «треугольник устойчивости». Правая граница треугольника на карте отвечает касательной бифуркации с жестким переходом на другой режим. В рассматриваемом случае это область устойчивости другой неподвижной точки. Левая граница треугольника отвечает бифуркации удвоения периода, причем возможен полный фейгенбаумовский каскад с переходом к хаосу. Отметим, что небольшой отрезок (верхняя часть) этой границы отвечает не удвоению периода, а жесткому переходу через мультипликатор -1. На рисунке хорошо видна точка, в которой линия удвоения превращается в линию жесткого перехода.
Верхняя граница треугольника устойчивости соответствует бифуркации Неймарка -Сакера МБ. На рисунке 2Ь показана в увеличенном виде картина языков Арнольда, выстроенных вдоль этой линии. Можно видеть, что языки погружены в область квазипе-
риодических режимов. С ростом параметра ., отвечающего за превышение над порогом бифуркации Неймарка-Сакера, в области перекрытия языков Арнольда возникает хаос, а затем и гиперхаос.
Найдем числа вращения ш на линии бифуркации Неймарка-Сакера. В соответствии с (1.4), при .1 = 1 для мультипликаторов имеем /л = 5/2 ± г-\/1 — ¿>2/4. Тогда =
= (\/4 — Ь'2)/Ь. С учетом определения числа вращения «> = arg^í/27Г, легко получаем связь следа матрицы Якоби 5 с числом вращения ш:
5 = 2ео8(2^ш). (1.8)
Таким образом, при движении вдоль линии бифуркации Неймарка-Сакера . = 1 число вращения меняется от значения ш = 1/2 при 5 = —2 до ш = 0 при 5 = 2.
Отметим некоторые особенности внутреннего устройства основных языков Арнольда. На рисунке 3 показан в увеличенном виде язык периода 4. Можно видеть, что на верхней границе устойчивости резонансного 4-цикла возникает разрыв области существования цикла периода 8. В этой области граница устойчивости 4-цикла оказывается линией вторичной бифуркации Неймарка-Сакера N52. На базе цикла периода 4 возникает новая инвариантная кривая, так что на фазовом портрете можно наблюдать появление характерных овалов из каждого элемента 4-цикла. Можно отметить также возникновение внутри области квазипериодической динамики специфических областей периодических режимов, которые не контактируют с линией вторичной бифуркации Неймарка-Сакера.
Аналогичная картина, включающая вторичную бифуркацию Неймарка-Сакера, реализуется и на основе цикла периода 8 при выходе из области существования такого цикла, расположенной на рисунке 3 справа. Эта часть зоны периода 8 является маленькой «копией» языка периода 4, тогда как для левой области периода 8 наблюдается более традиционное устройство плоскости параметров с непрерывными линиями удвоений периода.
0 -0.2 -0.4
-0.6 ^ ° -0.8 . V . . -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Рис. 3. Язык Арнольда периода 4 и характерный фазовый портрет, иллюстрирующий вторичную бифуркацию Неймарка-Сакера.
2. Радиофизическая реализация универсального отображения
Отображение (1.7) фактически представляет собой хотя и удобный для анализа, но абстрактный, искусственно сконструированный объект. Было бы интересно представить примеры физических систем, которые при соответствующей интерпретации динамических переменных описываются отображением такого типа. Отметим, что отображение необратимое, и поэтому для потоковых систем оно может соответствовать только лишь приближенному описанию в терминах сечения Пуанкаре (размерности больше 2). При этом динамика в двух измерениях, ассоциирующаяся с переменными х, У, должна сопровождаться сильным сжатием фазового объема по остальным направлениям пространства состояний. Ниже рассмотрен пример неавтономной системы в виде электронной схемы с периодическим внешним воздействием, для которой отображение (1.7) возникает при стробоскопическом описании преобразования мгновенного состояния за период.
Имея в виду разработку электронного устройства, естественно обратиться к средствам схемотехнического моделирования, среди которых удобным и популярным является программный продукт МиШвш [16, 17].
При построении схем возможны два методически разных подхода, хотя грань между ними несколько условная. Один состоит в конструировании физической системы, обладающей интересующим типом динамического поведения, на основе радиотехнических элементов — колебательных контуров, активных элементов типа транзисторов, источников напряжения, элементов обратной связи и т. п. Второй опирается на идеологию по возможности точного воспроизведения исходных уравнений на базе элементов, применяемых в технике аналогового моделирования, таких как интеграторы, умножители, сумматоры и пр. При построении схемы, которая описывалась бы уравнениями (1.7), естественно взять за основу второй подход.
Обратимся к схеме, показанной на рисунке 4. Она содержит источник синусоидального напряжения У4 (частота 5 кГц), под действием которого периодически открываются и закрываются четыре электронных ключа 11-14. Время, соответствующее одной полной итерации отображения, будет равно периоду изменения напряжения У4. Параметры Б и 3 задаются с помощью потенциометров И1 и И2 и отвечают величинам напряжения, контроль которых осуществляется с помощью вольтметров ХММ1 и ХММ2.
В течение одного полупериода, когда замкнуты ключи J2 и J3, напряжение на конденсаторе С1 через повторитель на операционном усилителе иб и резистор И13 передается (копируется) на конденсатор С2. Аналогичным образом, напряжение на конденсаторе С3 через повторитель и5 и резистор И14 копируется на конденсатор С4. (Резисторы И13, И14 служат для ограничения тока зарядки конденсаторов С2 и С4.) Результирующие напряжения, установившиеся к концу данного полупериода на конденсаторах С2 и С4, полагаем задающими динамические переменные хп и Уп. (Соответствующие точки на схеме помечены как X и У.)
На втором полупериоде ключи J2 и J3 разомкнуты, а Л и 14 замкнуты. При этом происходит заряд конденсаторов С1 и С3 до напряжений, отвечающих значениям переменных на следующем шаге согласно формулам (1.7). Умножители напряжения А2 и А3 формируют напряжения, равные —0.1хп и —0.1уп, которые поступают на вход суммирующего инвертора на операционном усилителе Щ. Выходное напряжение, определяющееся выражением
(2.1)
Рис. 4. Принципиальная схема электронного устройства, динамика которого описывается отображением (1.7).
подается на вход двух суммирующих инверторов на операционных усилителях Щ и и2. На другие два входа инвертора Щ1 подано напряжение —0.1Бхп с выхода умножителя А1 и напряжение Уп через повторитель Щ3. В результате на выходе Щ при указанных на схеме номиналах резисторов получается напряжение
Пт = "I? " " тт; К + Уп) = Бхп - Уп - (4 + У1)- (2.2)
Что касается инвертора Щ2, то к его второму входу приложено напряжение —0.13уп с выхода умножителя А4. В результате на выходе Щ2 получаем напряжение
^ ^ 1
ит = (~0.иуп) - ^ (а£ + у1) = .1хп - -(х1 + у1).
(2.3)
Как можно видеть, формулы (2.2) и (2.3) соответствуют выражениям (1.7) для величин хп+1 и Уп+1. Эти напряжения обеспечивают заряд конденсаторов С1 и С3, причем для ограничения тока зарядки служат резисторы И15 и И16. После этого, на очередном периоде изменения напряжения источника У4, реализуется следующая итерация отображения (1.7), и так далее. Следует заметить, что при запуске схемы должны быть обеспечены ненулевые начальные условия; например, заданием начального напряжения на конденсаторе С1 и/или С2.
Обратимся к иллюстрациям динамики системы, полученным в результате схемотехнического моделирования. При его проведении использовались двухлучевой осциллограф и анализатор спектра программного продукта МиНлэш. Входное напряжение Щх для од-
ного канала осциллографа снимается с точки X, а для второго иу — с точки У. Вход анализатора спектра подключался к точке X.
На рисунке 5 в левой колонке показаны осциллограммы напряжений их и иу при значениях параметров . и 5, иллюстрирующие различные режимы динамики системы: цикл периода 2 (а), цикл периода 4 (Ь), хаос, возникший в результате каскада удвоений периода (с). Также представлены квазипериодический режим (ё), хаос (е) и гиперхаос (£), возникающие в области разрушения квазипериодической динамики. Следует подчеркнуть, что
Рис. 5. В левой колонке — осциллограммы напряжений в точках X и Y, полученные при моделировании динамики схемы, приведенной на рисунке 4, в программной среде МиШвш. В правой колонке приводятся спектры сигнала в точке X в логарифмическом масштабе.
режимы динамики, наблюдаемой при схемотехническом моделировании, находятся в хорошем соответствии с отображением (1.7), что говорит об адекватности предложенной схемы. В правой колонке показаны соответствующие спектры. Видно, что периодическим и квазипериодическим режимам отвечают дискретные спектры, причем во втором случае количество спектральных составляющих больше — наряду с основными составляющими присутствуют всевозможные комбинационные частоты. В режимах хаоса и гиперхаоса наблюдается сплошной спектр. На рисунке не приведены из-за их тривиальности осциллограммы, которым на плоскости параметров отвечает внутренность треугольника устойчивости: здесь система демонстрирует устойчивое состояние равновесия, и временные зависимости представлены горизонтальными линиями.
На рисунке 6 показаны фазовые портреты, которые получаются переключением осциллографа в режим без временной развертки, когда два подаваемых на вход напряжения соответствуют горизонтальному и вертикальному отклонению луча. Поскольку основной интересной особенностью системы является присутствие бифуркации Неймарка-Сакера, здесь приводятся результаты для аттракторов, возникающих за порогом этой бифуркации. Параметр .] принят равным 1.2, а параметр 5 изменяется от одной диаграммы к другой, что соответствует движению слева направо вдоль горизонтальной линии на плоскости параметров. На этой линии в зависимости от величины 5 реализуются квазипериодические (а, с, е, £) или периодические (Ь, ё) режимы, поскольку соотношение основных частот изменяется в примерном соответствии с изменением аргумента комплексного мультипликатора на границе бифуркации Неймарка-Сакера. В языках синхронизации соотношение частот остается фиксированным. Самый широкий и легко наблюдаемый язык отвечает периоду 3 (см. рис. 6Ь).
Х(В) ] =
Рис. 6. Фазовые портреты аттракторов, возникающих за порогом бифуркации Неймарка-Сакера, построенные по результатам моделирования схемы, приведенной на рисунке 4, в программной среде МиШвш. Параметр J остается одним и тем же, а параметр 5 увеличивается от одной диаграммы к другой, начиная с некоторого отрицательного значения.
Заключение
В настоящей работе предложено двумерное отображение, параметрами которого служат непосредственно след и якобиан матрицы возмущения вблизи неподвижной точки. Карта режимов и карта ляпуновских показателей такого отображения демонстрирует на плоскости этих параметров характерный «треугольник» устойчивости, составленный из отрезков прямых в виде линий касательной бифуркации, удвоения периода и линии бифуркации Неймарка-Сакера, а также систему языков Арнольда с характерным внутренним устройством, включая вторичные бифуркации Неймарка-Сакера. Предложенное отображение допускает радиофизическую реализацию в виде электронной схемы, функционирование которой продемонстрировано путем схемотехнического моделирования с помощью программного пакета Multisim. Такую схему можно использовать для экспериментов, имеющих целью накопление опыта практического исследования динамических феноменов, которые ассоциируются с переходами к хаосу, включающими бифуркации рождения квазипериодических режимов.
Список литературы
[1] Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.
[2] Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312с.
[3] Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Либроком, 2009. 320 с.
[4] Кузнецов С. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 356 с.
[5] Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.
[6] Kuznetsov Yu. A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998. 614 pp.
[7] Meijer H. G. E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps: PhD Thesis. Utrecht Univ., 2006 (http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2006-1204-200716/index.htm).
[8] Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. New York: Springer,
2003. 843 pp.
[9] Gonchenko V. S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H. G. E. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies // SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2005, vol.4, no. 32, pp. 407-436.
[10] Гонченко С. В., Стенькин О. В., Шильников Л. П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантых торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиниче-скими касаниями // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, №1, с. 3-25.
[11] Гонченко С. В., Гонченко А. С. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла // Нелинейная динамика, 2007, т. 3, №4, с. 423-443.
[12] Kuznetsov Yu. A., Meijer H. G. E., van Veen L. The fold-flip bifurcation // Internat. J. Bifur. Chaos,
2004, vol. 14, no. 7, pp. 2253-2282.
[13] Arrowsmith D.K., Cartwright J.H. E., Lansbury A. N., Place C.M. The Bogdanov map: Bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // Internat. J. Bifur. Chaos, 1993, vol.3, no.4, pp. 803-842.
[14] Сухаревский В. В. Оценка температуры и плотности частиц в слабодиссипативной теории Колмогорова - Арнольда - Мозера // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия, 2006, №2,
15] Богданов Р. И., Богданов М. Р. Слабодиссипативная версия теории Колмогорова - Арнольда -Мозера: Теория и практика расчетов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008, т. 48, №3,
с. 7-9.
с. 473-490.
[16] Макаренко В. В. Моделирование радиоэлектронных устройств с помощью программы NI Multisim // Электронные компоненты и системы (Киев) VD MAIS, 2008, №1, с. 50-56; №2, с. 51-57; №3, с. 44-51; №4, с. 44-51; №6, с. 46-53; №7, с. 54-59; №8, с. 46-56; №9, с. 65-69; №12, с. 47-52.
[17] Варзарев Ю.Н., Иванцов В. В, Спиридонов Б. Г. Моделирование электронных схем в системе Multisim. Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2008. 81 с.
[18] Thompson J. M. T., Stewart H. B. Nonlinear dynamics and chaos: Geometrical methods for engineers and scientists. Chichester: Wiley/Blackwell, 1986. 376 pp.
Universal two-dimensional map and its radiophysical realization
Alexander P. Kuznetsov1, Sergey P. Kuznetsov2, Mikhail V. Pozdnyakov3, Julia V. Sedova4
1,2'4Kotel'nikov's Institute of Radio-Engineering and Electronics of RAS, Saratov Branch Zelenaya 38, Saratov, 410019 Russia 3 Saratov State Technical University Polytechnicheskaya 77, Saratov, 410054, Russia
1alkuz@rambler.ru, 2spkuz@rambler.ru, 3mpozdnyakov@yandex.ru, 4sedovayv@rambler.ru
We suggest a simple two-dimensional map, parameters of which are the trace and Jacobian of the perturbation matrix of the fixed point. On the parameters plane it demonstrates the main universal bifurcation scenarios: the threshold to chaos via period-doublings, the situation of quasiperiodic oscillations and Arnold tongues. We demonstrate the possibility of implementation of such map in radiophysical device.
MSC 2010: 37G35
Keywords: maps, bifurcations, phenomena of quasiperiodicity
Received February 27, 2012, accepted April 16, 2012
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 3, pp. 461-471 (Russian)
