CC BY
9УДК 502.057
УНИФИКАЦИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ВОДЫ НА ОСНОВЕ НОРМАЛЬНОГО И СТЕПЕННОГО ЗАКОНОВ
© 2014 г. А.И. Авербух1, О.М. Розенталь2
1АНО «Институт независимых экспертиз», г. Екатеринбург 2 Институт водных проблем Российской академии наук, Москва
Ключевые слова: законы распределения, показатели качества воды, степенной закон, унификация, усеченное нормальное распределение.
Предложена унификация эмпирических распределений концентрации посторонних веществ в воде путем описания их левой и центральной частей усеченной функцией Гаусса, а правой, нередко «тяжелой» ветви - функцией степенного закона распределения. Показано, что подобная унификация А.И. Авербух О.М. Розенталь естественна в важнейших на
практике случаях повышенной изменчивости состава вод, обусловленной сочетанием случайных (штатных) и неслучайных (нештатных) факторов. На примерах речных и сточных вод показана справедливость предложенной унификации, позволяющей свести многообразие форм исследуемых функций к рациональному минимуму, тем самым способствуя выработке единых правил управления устойчивым водопользованием.
Показатели качества воды, такие как концентрация посторонних веществ - величины случайные, непредвиденным образом меняющиеся во времени и пространстве [1-3]. Отношения полученных по результатам измерений стандартных отклонений (СКО) этих показателей к их средним значениям С нередко намного превышают общепризнанную границу однородности данных, равную 0,33 [4]. Поэтому при принятии водохозяйственных решений недостаточно учитывать одну из упомянутых величин С , хотя только она, как правило, приводится в статистических сборниках [5]. Корректное водное управление предполагает учет изменчивости контролируемых показателей, что на практике затруднительно вследствие многообразия законов распределения как различных веществ в одном выбранном водном объекте, так и каждого конкретного вещества в раз-
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
ных объектах [6, 7]. Построение и исследование эмпирических функций распределения показателей состава и свойств воды могут проводиться для решения широкого круга практических задач. Таковы оценка корректности и обоснованности использования методов статистического анализа при изучении гидрохимической информации, прогноз экстремальных событий, связанных с ухудшением качества воды, установление «статистических» фильтров отбраковки некорректных результатов анализа проб воды и т. д. [6, 7]. С целью упрощения подобных работ ниже рассмотрена возможность унификации эмпирических законов распределения путем анализа формирующих их причин - факторов случайной (штатной) и неслучайной (специальной, нештатной) природы.
Вода - динамичная, химически активная среда, контролируемые показатели состава и свойств которой формируются под влиянием огромного числа независимых случайных факторов, среди которых в обычных условиях ни один не является «решающим». В таких условиях следует ожидать нормального распределения контролируемых показателей. Другие распределения возникают в ситуациях, несвойственных указанным «обычным» условиям. Например, часто используемый закон Вейбулла формируется при наличии индукционного периода (задержки «отклика» системы на воздействие), а логнормальный закон - при мультипликативном воздействии влияющих факторов, тогда как в водной матрице это воздействие явно аддитивно. Поэтому описывать эмпирические распределения следует в первую очередь нормальным законом.
На первый взгляд подобная унификация не очевидна. Это следует, например, из рис. 1, демонстрирующего многообразие распределений показателей качества природных и сточных вод. Многообразие теоретических распределений (нормального, логнормального, бимодального и т. п.), которые согласуются с эмпирическими распределениями показателей состава и свойств вод, описано в [6, 8, 9]. По приведенным в табл. 1 значениям критерия Пирсона X2 сложно выбрать какой-либо теоретический закон (нормальный Р '(с), логарифмически-нормальный Р"(с) или Вейбулла Р'"(с)) в качестве наиболее приемлемого для описания кривых рис. 1. Даже если при какой-либо доверительной вероятности Р такое описание и было бы признано приемлемым, это оказалось бы малополезно для управления водопользованием, поскольку из-за высокой вариации (соизмеримости СКО и С) удается сопоставлять лишь отрезки распределений, ограниченные со стороны малых концентраций (слева). Например, концентрация сульфат-ионов ограничена наименьшим значением 6,99 мг/дм3, так что теоретические и экспериментальные распределения можно сопоставить только в диапазоне концентраций, превышающих С -1,1 СКО. Для других случайно выбранных веществ (см. рис. 1) наименьший результат измерений контролируемых показателей оказался меньше С всего на 1,1 СКО для нефтепродуктов (наименьший экспериментальный результат
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
л н 2 о
9,1 12,0 15,0 17,9 20,8 23,8 26,7 29,6 32,5 35,5 Массовая концентрация сульфат-ионов
0,002 0,013 0,024 0,036 0,047 0,058 0,070 0,081 0,092 0,103 Массовая концентрация нефтепродуктов
л н
2 о
0,9 3,0 5,0 7,1 9,1 11,2 13,2 15,2 17,3 19,321,423,425,527,529,631,6
Массовая концентрация азота аммония
а 2
Массовая концентрация хлорид-ионов
Рис. 1. Примеры полиномов экспериментальных распределений в дифференциальной форме для сульфат-ионов (а) и нефтепродуктов (б) - р. Томь, а также азота аммония (в) и хлорид-ионов (г) - промышленно-ливневая канализация Кемеровское ОАО «АЗОТ».
Таблица 1. Проверка соответствия эмпирических (рис. 1) и теоретических распределений
Показатель Расчетное значение %2 Табличное значение %2 (Р = 0,99)
Р '(х) Р "(х) Р "'(х)
Сульфат-ионы 8,3 1,5 73,9 9,21 (/ = 2)
Нефтепродукты 13,0 3,0 3,1 9,21 (/ = 2)
Азот аммония 290 309 17,5 83,6 20,1 (/ = 8)
Хлорид-ионы 399,5 62,7 111,8 15,1 (/= 5)
Примечание: / - число степеней свободы, / = т - к, где т - число классов разбиения, количество точек попадания в которые больше или равно 5; к - число параметров, необходимых для описания выборки.
0,0045 мг/дм3), на 1,4 СКО - для азота аммония (наименьший результат 0,36 мг/дм3) и на 0,99 СКО - для хлорид-ионов (8,78 мг/дм3). Так что значительная часть левой ветви реальных распределений переходит в область практически не измеряемых или вообще физически невозможных отрицательных значений контролируемых показателей. Само же распределение оказывается уже не симметричным и не асимптотическим, а усеченным [10], что необходимо учитывать при анализе его формы.
В свою очередь «тяжелая» правая ветвь должна рассматриваться как естественный результат влияния факторов неслучайной (нештатной) природы [11, 12], возможных «залповых» сбросов загрязняющих воду веществ [13], смывов, снеготаяния или других нежелательных природных или техногенных явлений [14].
Изложенное выше позволяет унифицировать рассматриваемые функции распределения путем сведения их многообразия к обоснованному рациональному минимуму. В частности, представленные на рис. 1 кривые следует рассматривать как результат суммарного влияния факторов случайной и неслучайной природы. Первые ответственны за гауссову составляющую распределения, усеченную со стороны малых значений показателей и имеющую плотность
№ =
( ( ег/
С -¡2а
Л >
ехр
(С - С)
2а2
где С, С и а - концентрация вещества, ее среднее значение и среднеквадра-тическое отклонение соответственно, а предэкспоненциальный множитель обеспечивает условие нормировки, при котором интеграл плотности рас-
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйств
о Рос
сии
пределения от нуля до бесконечности равен единице. Факторы неслучайной природы ответственны за «тяжелый» хвост распределения справа.
Дополнительно действуют субъективные факторы, такие как ограниченная возможность химико-аналитических лабораторий оценивать слишком малые содержания посторонних веществ в воде, вследствие чего в химико-аналитических методиках установлена нижняя граница диапазона измерений, например, на уровне половины норматива качества [15]. Использование различных методик измерений для одного и того же показателя также определяет различие в получаемых результатах измерений [14]. Немаловажен и вклад погрешности измерений, для приоритетных показателей качества природных вод составляющей в среднем ±40 % при концентрации, близкой к предельно допустимой, и Р = 0,95 [3]. Это «размывает» эмпирические распределения в интервале значений показателя, накрывающим с известной (указываемой) доверительной вероятностью действительное значение измеряемой величины [16], шириной 80 % от результата измерений.
Итоги унификации распределений действительных значений контролируемых показателей, представленных на рис. 1 с выделением их нормальной (гауссовой) составляющей, даны на рис. 2. Показано, что распределения сульфат-ионов и азота аммония удовлетворительно описываются усеченным нормальным распределением даже без учета их «размывания» из-за погреш-
0,04
0,12
л 0,08
н
Л 0,04 & С
0,00
0 5
&ГП
1 0 1 5 20 Концентрация азота аммония
25
40
0,00
0,03
5 1 0 1 5 20 Концентрация сульфат-иона
а т
тот
с ас
&
-0,02
0 0,02 0,04 0,06 0,08 Концентрация нефтепродуктов
0,00
25
20 40 60 Концентрация хлоридов
80
Рис. 2. Экспериментальные точки (растянутые с учетом погрешности измерений) и аппроксимирующие нормальные распределения.
0
Водное хозяйство России
ности измерений вероятно потому, что исследование этих веществ особенно хорошо отработано на практике. Для хлоридов и нефтепродуктов такое описание приемлемо в области менее С + 2 СКО уже с учетом «размывания».
Для прогноза нештатных ситуаций, ответственных за «хвосты» справа, полезно использование степенных законов [17], основанных на гипотезе о линейной зависимости логарифмов значений «выбросов» от логарифмов частоты их появления, как это было отмечено для геологических процессов. При этом незаметные оператору или малозаметные изменения, постепенно накапливаясь и достигая некоторого предельного уровня, создают нештатные ситуации, каковыми могут быть обрушения берегов природных водных объектов, залповые сбросы сточных вод [13], снеготаяние, смывы [14] и т. д. с «аномальным» увеличением содержания посторонних веществ в воде и появлением указанных «хвостов». Динамичность действительных значений показателей качества воды описывается преимущественно нормальным законом распределения с возможным правосторонним «хвостом». Такое распределение представляет функцию, состоящую из двух частей:
- описываемую законом Гаусса или усеченным законом Гаусса (для значений показателя, не превышающих С + 2 СКО);
- описываемую степенным законом (для значений показателя, превышающих С + 2 СКО) при наличии правостороннего тяжелого «хвоста».
И хотя количество «аномальных» результатов измерений значений, образующих «хвост», может быть невелико (для азота аммония на рис. 1в только 5 %, для хлоридов на рис. 1г - 3 %), все же именно на них следует в первую очередь указать специалисту, ответственному за устойчивое водопользование.
Для проверки подчиненности «хвостов» исследуемых эмпирических распределений степенному закону были рассчитаны и сопоставлены с табличными значениями коэффициенты корреляции |г| между логарифмами значений контролируемых показателей и логарифмами частот, с которыми эти значения появляются (табл. 2). Гипотеза о подчиненности «хвостов»
Таблица 2. Результаты расчета коэффициента корреляции
Показатель |г| Табличное гтабл при Р = 0,99
Сульфат-ионы 0,73 0,96 / = 3)
Нефтепродукты 0,72 0,99 / = 2)
Азот аммония 0,89 0,77 / = 8)
Хлорид-ионы 0,89 0,59 /= 16)
Примечание: /- число степеней_свободы, / = т - 2; т - число интервалов разбиения диапазона значений, превышающих С + 2СКО.
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
исследуемых эмпирических распределений степенному закону принимается, если рассчитанное значение коэффициента корреляции превышает табличное значение на заданном уровне вероятности Р = 0,99.
Как видно, лучшая корреляция, а следовательно, подчиненность степенному закону, наблюдается для концентрации азота аммония и хлорид-ионов, распределения которых характеризуются наиболее «тяжелыми хвостами». Например, при средних колебаниях значений концентрации хлорид-ионов в диапазоне 20-60 мг/дм3 появляются значения на уровне 100-160 г/дм3 (до 10,5 СКО) фактически залповые сбросы. То же для азота аммония: при преобладающей концентрации не выше 10 мг/дм3 наблюдаются значения на уровне 30 мг/дм3 (до 6,5 СКО). При этом максимальные концентрации сульфат-ионов и нефтепродуктов ограничиваются 4 СКО и 3,5 СКО соответственно, т. е. эмпирические распределения здесь не имеют «тяжелого хвоста», не соответствуют степенному закону и, с учетом «размывания» распределения за счет погрешности измерений могут быть описаны усеченным законом Гаусса. Параметры степенного закона распределения могут быть найдены методом наименьших квадратов или одним из способов, описанных в [17].
Подход, основанный на частичном соответствии эмпирического распределения контролируемого показателя нормальному закону распределения, а точнее - соответствия в ограниченном диапазоне значений измеряемой величины, рассмотрен, например, в [18].
В [19] показано, что при решении задач оценки соответствия экстраполяция результатов статистического моделирования целесообразна путем состыковки нормального распределения с распределением Парето в ситуации, когда эмпирический закон распределения совпадает с нормальным, и аппроксимировать целесообразно «хвосты» распределений. Такой подход отличается от подхода, рассмотренного в [20], где показано, что результат измерения объемной активности радона следует характеризовать смесью двух распределений, например, смещенного распределения Вейбулла-Гне-денко и распределения минимального значения или смещенного распределения Вейбулла-Гнеденко и двойного показательного распределения.
Таким образом, состыковка нормального распределения с одним из известных распределений принята в настоящее время при проведении оценки соответствия и представляется достаточно перспективной для описания эмпирических распределений изменения контролируемых показателей. Подобный подход позволяет достаточно адекватно описать эмпирическое распределение. С другой стороны, он дает возможность использовать преимущества нормального закона распределения, в частности, развитый математический аппарат, основанный на нормальном законе распределения.
Многие водохозяйственные решения были бы более надежными при статистическом анализе результатов измерений контролируемых показате-
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
лей качества воды с использованием эмпирических функций распределения полученных лабораториями массивов данных. При этом целесообразен метод унификации эмпирических функций распределения путем рассмотрения их формы как результата влияния факторов случайной (штатной) и неслучайной (нештатной) природы. Под воздействием первых формируется нормальный закон распределения, возможно, усеченный, как на рис. 2, вследствие соизмеримости С и СКО. Под влиянием вторых - преимущественно «тяжелый» правый хвост, позволяющий контролировать аномально высокие уровни загрязнения воды - особые события, образно обозначенные в литературе по качеству управления «черными лебедями» [21]. При условии устойчивого водопользования «черные лебеди» встречаются нечасто. И если причины их появления выясняются, то это позволяет принимать необходимые технологические или экологические решения. Унификация законов распределения может быть полезна для выработки единообразных правил водопользования, в частности, путем системного наблюдения за «черными лебедями» мира водных отношений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Walker D. Accuracy and precision in sampling water// ISO Focus. 2006. № 6. Р. 21-24.
2. Сибагатуллина А.М., Мазуркин П.М. Измерение загрязненности речной воды (на примере малой реки Малая Кокшага). М.: Изд-во «Академия естествознания», 2009. 72 с.
3. Розенталь О.М., АвербухА.И. Введение в квалиметрию воды // Водные ресурсы. 2013. Т. 40. № 4. С. 1-16.
4. Авербух А.И., Дмитрук В.И. Опыт организации контроля качества воды на КОАО «АЗОТ» // Методы оценки соответствия. 2012. № 7. С. 24-29.
5. Водные ресурсы и водное хозяйство России: стат. сборник. М.: НИА-Природа, 2010. 380 с.
6. Лепихин А.П., Возняк А.А. Статистические функции распределения гидрохимических показателей качества воды поверхностных водных объектов // Водное хозяйство России. 2012. № 4. С. 21-32.
7. Долгоносов Б.М., Власов Д.Ю., Дятлов Д.В., Сураева Н.О., Корчагин К.А. Статистические характеристики изменчивости качества воды, поступающей на водопроводную станцию // Инженерная экология. 2004. № 3. С. 2-20.
8. Лепихин А.П., Мирошниченко С.А. Особенности задания «фоновой» концентрации в естественных водотоках // Водное хозяйство России. 2002. Т. 4. № 3. С. 247-262.
9. Банникова О.А., Бычкова Е.Н. К вопросу об установлении региональных нормативов качества воды // Водное хозяйство России. 2011. № 6. С. 54-68.
10. Clemen R.T. Making Hard Decisions: an Introduction to Decision Analysis. Brooks. Cole Publishers. 1996.
11. ГОСТ Р 51292-2000. Вода. Общие требования к отбору проб. Введ. 21.04.2000. № 117-ст
12. НВН 33-5.3.01-85 «Нормативы водного надзора. Инструкция по отбору проб для анализа сточных вод». Утв. 13.06.1985. № 223.
13. ГОСТ 25150-82. Канализация. Термины и определения. Введ. 24.02.1982. № 805.
14. Долгоносов Б.М., Корчагин К.А. Экстремальные гидрохимические явления в речной системе в период снеготаяния // Водное хозяйство России. 2013. № 4. С. 20-31.
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
15. ГОСТ Р 8.613-2006. Государственная система обеспечения единства измерений. Методики количественного химического анализа проб вод. Общие требования к разработке. Введ. 26.10.2005. № 264-ст.
16. ПМГ 96-2009. Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления. Введ. 05.04.2010. № 59-ст.
17. Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics // Journal of Modern Mathematics Frontier. 2012. V. 1 No. 1 P. 21-28.
18. Кузнецов А. Г., Александровская Л.Н. Непараметрические методы «измерения» малых рисков в задачах оценки соответствия требований к безопасности автоматической посадки самолетов нормам летной годности // Труды Московского института электромеханики и автоматики (МИЭА). 2011. № 3. С. 2-11.
19. Кузнецов А.Г., Александровская Л.Н. Методы «измерения» малых рисков в задачах оценки соответствия требованиям к безопасности // Методы менеджмента качества. 2011. № 3. С. 48-53.
20. Полосин В.Г., Тертычная С.В. Методика разделения статистических данных для смеси двух распределений на примере результатов измерения объемной активности радона // Изв. вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. № 4. С. 79-86.
21. Taleb N.N. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. New York: Random House, 2007. 370 p.
Сведения об авторах:
Авербух Алла Израйлевна, главный специалист, АНО «Институт независимых экспертиз», 620010, г. Екатеринбург, а/я 267; e-mail: allaaver@mail.ru
Розенталь Олег Моисеевич, д-р техн. наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт водных проблем Российской академии наук, 117971, Москва, ул. Губкина, 3; e-mail: orosental@rambler.ru
Водное хозяйство России № 2, 2014
Водное хозяйство России
