CC BY
3
ЛИТЕРАТУРА
1. Shimizu A. and Miyaguchi S. Fast data encipherment algorithm (FEAL) // 1988. LNCS. 1988. V.304. P. 267-278.
2. Ferguson N., Lucks S., Schneier B., et al. The Skein Hash Function Family. http://www. skein-hash.info. 2009.
3. Bernstein D. J. Salsa20 Specification. https://cr.yp.to/snuffle/spec.pdf. 2005.
4. Bernstein D. J. ChaCha, a Variant of Salsa20. https://cr.yp.to/chacha/ chacha-20080128.pdf. 2008.
5. Aumasson J.-P., Meier W., PhanR.C.-W., and Henzen L. The Hash Function BLAKE. https://www.researchgate.net/publication/316806226_The_Hash_Function_BLAKE. 2014.
6. Biham E. and Shamir A. Differential cryptanalysis of DES-like cryptosystems // J. Cryptology. 1991. V.4. No. 1. P. 3-72.
7. Lipmaa H., Wallen J., and Dumas P. On the additive differential probability of exclusive-or // LNCS. 2004. V. 3017. P. 317-331.
8. MouhaN., Velichkov V., De Canniere C., and PreneelB. The differential analysis of S-func-tions // LNCS. 2011. V. 6544. P. 36-56.
9. Horadam A. F. Basic properties of a certain generalised sequence of numbers // The Fibonacci Quarterly. 1965. V.3. No.3. P. 161-176.
10. Mouha N., Kolomeec N., Akhtiamov D., et al. Maximums of the additive differential probability of Exclusive-Or // IACR Trans. Symmetric Cryptology. 2021. V.2021. No. 2. P. 292-313.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/14/8
УЛУЧШЕННЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧИСЛА k-ЭЛАСТИЧНЫХ И КОРРЕЛЯЦИОННО-ИММУННЫХ ДВОИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
К. Н. Панков
Получены улучшенные нижние и верхние оценки для числа корреляционно-иммунных порядка k и k-эластичных ((n, m, к)-устойчивых) двоичных отображений.
Ключевые слова: распределённый реестр, блокчейн, информационная безопасность, устойчивые вектор-функции, эластичные вектор-функции, корреляционно-иммунные функции.
В настоящее время использование систем распределённого реестра, основанных на технологии цепной записи данных (блокчейн) [1], становится всё более распространённым в самых различных отраслях современной цифровой экономики [2]. Пандемия COVID-19, продолжавшаяся весь 2020 год и не оконченная до сих пор, дала, согласно мнению ряда экспертов [3], дополнительный импульс развитию дистанционных доверенных сервисов, основой функционирования которых являются системы распределённых реестров, признанные в Российской Федерации, согласно [4], средством криптографической защиты информации. Как уже отмечалось в [5], в связи с расширением применения технологии блокчейн жизненно важным становится исследование информационной безопасности систем распределённого реестра, на этой технологии основанных. Одним из способов обеспечения безопасности данных в подобных системах является использование шифрования, например поточного, в связи с чем возникает задача оценки числа корреляционно-иммунных и (n, m, к)-устойчи-
вых двоичных отображений, которые могут быть использованы в системах поточного шифрования в качестве комбинирующих отображений.
Понятия корреляционной иммунности и (п, т, к)-устойчивости будем понимать в соответствии с [6], где подробно рассмотрены их свойства. Задаче оценки числа отображений и булевых функций, обладающих соответствующими свойствами, посвящён целый ряд работ, среди которых можно отметить [7- 10]. Ряд результатов был доложен автором на конференциях БГВЕСКУРТ [11-13].
Обозначим через Уп множество двоичных векторов размерности п. Корреляционная иммунность и к-эластичность (или (п, т, к)-устойчивость) двоичного отображения / (а) = (/ (а) , /2 (а) ,... , /т (а)) : Уп " Ут, согласно [6], сводится к обладанию этими свойствами всеми ненулевыми линейными комбинациями координатных функций (компонентами [14]). В [15, 16] получены асимптотические оценки числа корреляционно-иммунных и (п, т, к)-устойчивых двоичных отображений с точностью до оценок мощности множества специального вида К** (т, N):
К** (т, N) ={"" = (г/, 0 = 3 С (1,... , т}, I С (1,... , п}, |/1 ^ к) е (^-1 )* :
VIУв е{1,...,т}У£ е Ут ( Е (-1)(г>^(/))г/ = о)),
VС{1,...,т}, ' '
«е/
где —1 — кольцо вычетов по модулю 2т-1; фт (3) — индикаторный вектор множества 3 С (1,..., т} [17].
Если использовать обозначение [8]
м (п,к) = Е (п
«=0 V в
то легко показать, что
К** (т, N) = (К (т))м(п'к)
где
К (т) = "" = (г/, 0 = 3 С (1,... ,т}) е 1 )2т-1
Ув е{1,...,т}У£ е Ут Е (-1)^ (/)) г/ = о).
т
/ С{1,...,т}, «е/
В [15] найдены точные значения мощности множества К (т) при т е (1, 2, 3, 4} и верхние и нижние оценки при т ^ 5:
т - 1 ^ 1о§2 |К (т)| ^ (т - 2) 2т - т + 3.
Последний результат удалось улучшить:
Теорема 1. Во введённых обозначениях при т ^ 5 выполняется т2 - т - 12 + 17 ^ 1о§2 |К (т)| ^ (т - 215) 2т - т + 3.
2 °21 у 71 ^ 16,
Обозначим через Я (п, т, к) множество всех (п, т, к)-устойчивых (к-эластичных) двоичных отображений из всех т-мерных двоичных функций от п переменных,
а через К (п,т, к) —множество всех корреляционно-иммунных порядка к двоичных отображений из Вт
Для упрощения записи удобно ввести следующее обозначение:
T (n, m, k) = (2m - 1) ^ Г + M (n, k) logM/П
п — к /п\ „ „. . ,Ч1 /п к) + М (п,к^^/2
Используя теорему 1, легко доказать
Следствие 1. Пусть при всех достаточно больших п для произвольного 0 < 7 < < 1/3 выполняется неравенство к (5 + 2к^2п) + 6т ^ п (1/3 — 7). Тогда существует п0, такое, что для любых £1,е2 > 0, п > п0 верны неравенства
т2 — т — 12 1
+ 17J M (n, k) - £1 ^ log2 |R [n, m, k] | - m2n + T (n, m, k) ^ ^ ((16m - 47) 2m-4 - m + 3) M (n, k) + £2.
Следствие 2. Пусть при всех достаточно больших п для произвольного 0 < 7 < < 5/18 выполняется неравенство к (5 + 2^2п) + 6т ^ п (5/18 — 7). Тогда существует п0, такое, что для любых е1;е2 > 0, п > п0 верны неравенства
т2 т 12
-2-+ 17) М (п, к) — £1 ^
п + 1 Т1^ п Л ,от ^ , 1
^ log2 |K (n, m, k) | - m2n - ---kj (2m - 1) + m2m-1 + T (n, m, k) ^
^ ((16m - 47) 2m-4 - m + 3) M (n, k) + £2
Полученные в следствиях 1 и 2 результаты улучшают оценки, полученные ранее
в работах [11, 12, 16, 18].
ЛИТЕРАТУРА
1. МР 26.4.001-2018 «Термины и определения в области технологий цепной записи данных (блокчейн) и распределенных реестров» М.: Технический комитет по стандартизации «Криптографическая защита информации», 2018. 10 с.
2. Блокчейн-революция в банках и финансовых институтах. Отчет. М.: MINDSMITH, 2020. https://mindsmith.io/blockchain-finance/
3. Колонка MINDSMITH: Блокчейн в зените лета. 6 августа 2020 года. https://ict. moscow/ news/blockchain-trends-mindsmith/
4. Елистратов А., Маршалко Г. Б., Светушкин В. Подводные камни сертификации блок-чейн-решений // Открытые системы. СУБД. 2019. №1. С. 19.
5. Pankov K. Enumeration of Boolean mapping with given cryptographic properties for personal data protection in Blockchain Data Storage // Proc. 24th Conf. Open Innovations Assoc. FRUCT, Moscow, Russia, 2019. P. 300-306.
6. Логачев О. А., Сальников А. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2012.
7. Денисов О. В. Асимптотическая формула для числа корреляционно-иммунных порядка k булевых функций // Дискретная математика. 1991. №2. С. 25-46.
8. Денисов О. В. Локальная предельная теорема для распределения части спектра случайной двоичной функции // Дискретная математика. 2000. №1. С. 82-95.
9. Canfield E. R., Gao Z., Greenhill C., et al. Asymptotic enumeration of correlation-immune Boolean functions // Cryptogr. Commun. 2010. No. 1. P. 111-126.
10. Potapov V. N. A lower bound on the number of boolean functions with median correlation immunity // 16th Int. Symp. "Problems of redundancy in information and control systems", Moscow, Russia, 2019. P. 45-46.
11. Панков К. Н. Уточнённые асимптотические оценки для числа (n, m, к)-устойчивых двоичных отображений // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. №10. С.46-49.
12. Панков К. Н. Уточнённые асимптотические оценки для числа корреляционно-иммунных двоичных функций и отображений // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2018. №11. С. 49-52.
13. Панков К. Н. Рекуррентные формулы для числа k-эластичных и корреляционно-иммунных двоичных отображений // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2019. №12. С. 62-66.
14. Carlet C. Vectorial Boolean functions for cryptography // Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engineering. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 134. N.Y.: Cambridge University Press, 2010. P. 398-472.
15. Панков К. Н. Асимптотические оценки для чисел двоичных отображений с заданными криптографическими свойствами // Математические вопросы криптографии. 2014. №4. С. 73-97.
16. Pankov K. N. Improved asymptotic estimates for the numbers of correlation-immune and k-resilient vectorial Boolean functions // Discr. Math. Appl. 2019. No. 3. P. 195-213.
17. Сачков В. Н. Курс комбинаторного анализа. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2013. 336 с.
18. Панков К. Н. Улучшенные асимптотические оценки для числа корреляционно-иммунных и k-эластичных двоичных вектор-функций // Дискретная математика. 2018. №2. С. 73-98.
УДК 519.719.2 Б01 10.17223/2226308Х/14/9
О СПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО 2£-РАВНОМЕРНЫХ ПОДСТАНОВОК НА Е22т
Д. Б. Фомин
Рассмотрены способы построения дифференциально 2£-равномерных подстановок на для случая т ^ 3. Предложенный подход излагается с использованием так называемого Ти-представления функций и обобщает известный способ построения дифференциально 4-равномерных подстановок поля F22 т с применением подстановки обращения ненулевых элементов поля.
Ключевые слова: S-Box, подстановка, дифференциальная равномерность, Ти -представление.
Исследование способов построение нелинейных биективных преобразований с заданными криптографическими характеристиками является актуальной и сложной задачей. Одним из известных подходов, позволяющих строить нелинейные преобразования с достаточно высокими криптографическими характеристиками и допускающие эффективную программную и аппаратную реализацию, является использование подстановок, имеющих декомпозицию.
Пусть Е2 = (0,1} —поле из двух элементов с операциями сложения «+» и умножения «•»; (ЕП, +) = ((«о, а1,... , ап-1) : « е Е2,г = 0, ...,п - 1} — арифметическое векторное пространство размерности п. Задав специальным образом операцию умножения на множестве ЕП, можно определить поле Е2п, состоящее из 2п элементов. Везде
