CC BY
18
Улучшенная генерация высших гармоник и подавление низших гармоник в рентгеновском ЛСЭ с двухчастотным ондулятором
К. В. Жуковский" Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2
Статья поступила 24.01.2018, принята к публикации 26.02.2018.
Проводится теоретическое исследование и моделирование подавления низших гармоник излучения лазера на свободных электронах (ЛСЭ) с двухчастотным ондулятором. Для этого применяется феноменологическая модель ЛСЭ, которая описывает эволюцию мощности в ЛСЭ с учетом всех основных потерь. Проводится сравнение излучения гармоник в ЛСЭ с двухчастотным плоским ондулятором и с обычным плоским ондулятором. Исследуется излучение гармоник и индуцированный ЛСЭ разброс энергии в однопроходном ЛСЭ, где низшие по отношению к п-й гармонике подавлены, например, сдвигом фазы электронов относительно фотонов на кп/п, к — четное между ондуляторными секциями. Показываются преимущества использования двухчастотного ондулятора в ЛСЭ с подавленными низшими гармониками и возможность генерации в нем мощного рентгеновского излучения высших гармоник в линейном режиме. Мощность последних может превосходить мощность основного тона обычного ЛСЭ с плоским ондулятором.
Ключевые слова: ондуляторное излучение, генерация гармоник, лазер на свободных электронах (ЛСЭ),
двухчастотный ондулятор, фазовый сдвиг.
УДК: 539.12.01. РАСЗ: 41.60 т, 41.60 т, 41.60.Ap, 41.60.Cr.
ВВЕДЕНИЕ
Синхротронное излучение (СИ) и ондуляторное излучение (ОИ) возникают при движении в магнитных полях ускоренных релятивистских зарядов с y = E/mc2 ^ 1, где y — релятивистский параметр, E — энергия электрона, m — масса электрона, c — скорость света. СИ возникает при движении заряженных частиц по круговой траектории и приходит к пользователю с ее короткого участка, а ОИ возникает при движении зарядов в пространственно-периодическом магнитном поле и собирается со всей длины ондулятора [1, 2]. Таким образом, существенная разница между СИ и ОИ заключается в длине, на которой оно формируется. Принцип действия ондулятора был предложен в 1947 г. В. Л. Гинзбургом [3], который отметил, что излучение не сгруппированного электронного пучка в ондуляторе некогерентно, а излучение электронного сгустка (микробанча), продольные размеры которого меньше длины генерируемой волны, когерентно, как и излучение от последовательности таких микро-банчей, разделенных длиной волны излучения. Ондулятор был реализован в 1951 г. Х. Мотцом (H. Motz) [4]. Строгая теория ОИ представлена, например, в [1, 5-9]. В основном интерес к ОИ в последние десятилетия стимулируется возможностью формирования когерентного ОИ и созданием лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) — устройств, в которых взаимодействие ОИ с электронами в ондуляторе вызывает их группировку на длине волны излучения. При этом происходит значительный рост интенсивности излучения и оно становится в большой степени когерентным. Обычные источники когерентного излучения — лазеры — работают на длинах волн более 200 нм. Для генерации более коротковолнового когерентного излучения трудно найти материалы с хорошим коэффициентом отражения. Для исследования физических, химических и биологических процессов на масштабе нанометра в качестве
источников излучения используют ЛСЭ. Рентгеновские ЛСЭ значительно превосходят мощность СИ в рентгеновском диапазоне [10-16].
Сама идея ЛСЭ была сформулирована Гинзбургом, который также предложил динамический ондулятор с движением электронного пучка в переменном во времени поле электромагнитной волны. Описание взаимодействия релятивистского электронного пучка в ондуляторе с излучением и теория ЛСЭ с малым коэффициентом усиления (small gain) были впервые предложены Мадэем (Madey) [17]; он также предположил, что ЛСЭ могут генерировать когерентное рентгеновское излучение. Экспериментальное подтверждение теории Мадэя было получено в [18, 19]. Кроме режима малого усиления в ЛСЭ возможен также режим большого усиления сигнала (high gain) [20-24], при котором экспоненциальный рост мощности излучения и насыщение происходят в ЛСЭ без оптического резонатора за один проход излучения. Отсутствие зеркал снимает естественное ограничение ЛСЭ по мощности и частоте, но отсутствие оптического резонатора не позволяет использовать его моды для задания структуры излучения. В ЛСЭ со спонтанным самоусилением излучения (ССИ) процесс генерации зарождается из начального шума со случайной фазой и приводит к постепенному образованию групп электронов, разделенных длиной волны излучения. На выходе такого ЛСЭ можно получить серии сверхкоротких импульсов большой пиковой мощности с хорошей пространственной когерентностью, но случайный характер начального шума обусловливает слабую временную когерентность излучения ЛСЭ ССИ. Для преодоления этого недостатка можно использовать затравочное лазерное излучение на частоте ЛСЭ. В современных ЛСЭ, работающих в рентгеновском диапазоне, требуются пучки электронов высоких энергий, а сами ЛСЭ имеют огромные размеры, что обусловливает высокую стоимость и сложность конструкции.
а E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru
Кроме основной гармоники возможно использование высших гармоник в ЛСЭ. Так, в [25-32] были предложены ЛСЭ с усилением высших гармоник (УВГ или НОНО РБЬ), сочетающие их генерацию, умножение, усиление и излучение. Генерация высших гармоник ОИ лучше всего осуществляется в ондуляторах с дво-якопериодическим магнитным полем [33-37]; в ЛСЭ такие ондуляторы также дают преимущества в мощности гармоник [38, 39]. Далее мы покажем как с использованием имеющихся двухчастотных ондуляторов и электронных пучков с 7 « 1500 и током «1 кА можно получить нано метровое излучение пиковой мощностью « 1 ГВт в ЛСЭ длиной < 30 м. Это меньше размеров устройств, исследованных в [40-43], при этом предлагаемый нами ЛСЭ имеет большую мощность и меньшую длину волны, А « 4 нм.
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОДНОПРОХОДНОГО КАСКАДНОГО ЛСЭ
Описание работы ЛСЭ с большим усилением (high gain FEL) проводится как в одномерных, так и в трехмерных моделях (например, [10-15, 44, 45]). В одномерном случае рассматривается эволюция всех процессов в ЛСЭ только по одной координате z вдоль ондулятора ЛСЭ; исследование вопросов фокусировки и др. может быть проделано с помощью соответствующих формул [46-49] или компьютерных программ. Трехмерные модели позволяют описать эффекты аксиальной асимметрии пространственного распределения электронной плотности, фокусировку пучка и др., что в результате дает более реалистичное описание динамики ЛСЭ. Простейшее полуаналитическое описание ЛСЭ с ССИ на основе логистического уравнения было предложено Даттоли [50]. Мощность гармоники n в однопроходном ЛСЭ экспоненциально растет по координате z вдоль оси ЛСЭ до мощности насыщения
Pn,F = ("л) , при использовании ~1/9 начальной мощности Po,n [10-15]. Зависимость мощности гармоник от z может быть аппроксимирована следующим логистическим уравнением [38]:
PL,n(z)
Po,nA(n, z)
e0.223z/Zs
1 + (A(n,z) - 1)Po,n/Pn,F'
z V3z z (1)
cosh
A(n,z) = 3 +
L
%/3z z cos —-cosh ■
4.5
'"il +
2L,
2L,
0.444
где = Аи/(4эт%/3п1/3р„) — длина усиле-
ния, Zs = 1.07Ь1д1п(9РР/Род) — длина насыщения, Рр = у/2р1Ре, Аи — основной период ондулятора [м], Ре — мощность электронного пучка, ( \ 1/3 Рп = (Аикея/п)2] — параметр Пирса ЛСЭ
(например, [13, 14]), — эффективный ондулятор-ный параметр [36], /п — коэффициенты Бесселя для гармоники п ОИ (например, [38, 55]), 7 — плотность электронного тока, А/м2, % = 1.7 х 104 — значение тока Альфвена, А. Для предварительно сгруппированного пучка электронов рост мощности гармоник ЛСЭ
приближенно описывается следующим образом [51]:
PL,n(z)
Po,„F(n, z)
1 + F (n,z)
Po
0,n
Pf,,
(2)
F (n,z)
2 cosh
L
z z z — cos —--cosh ■
2L
2L
где Р0,п — начальная мощность гармоники п, поступающая из предыдущей секции ЛСЭ, или эквивалентная мощность за счет банчинга; непрерывность последнего обеспечивается ренормализацией множителем Р1,нес1/Р1,8ес2 для отличающихся друг от друга ондуляторов в соседних секциях. Линейную генерацию гармоник (1)-(2) дополняет нелинейная генерация, при которой мощность гармоник растет как п-я степень мощности основного тона [56-58] и приближенно описывается следующей логистической функцией [51]:
Qn(z)
exp(nz/Lg)
1 + (exp(nz/Ls) - 1)Pn,o/Pn,F '
(3)
где = , Р„,о = ь;Р„,р — эквива-
лентная затравочная мощность за счет банчинга, ¿3 = 8, ¿5 = 116, 6„ — индуцированные основной гармоникой ЛСЭ коэффициенты группировки, которые эволюционируют вдоль ЛСЭ таким образом: М*0 = ^„(Р1(г)/Рер1)п/2 [58], где Н^д4,5 = = {1, 1.5, 2.4, 4.3, 7.7}. Коэффициенты Н описывают более ранний рост и насыщение высших гармоник, чем в одномерных моделях, что дает согласие с экспериментом и с 3Б-симуляциями. Полная мощность излучения гармоник складывается из линейной и нелинейной составляющих: Рп = Рр,„ + Коэффициенты Бесселя /п [38] для обычного плоского ондулятора (см. (4) с й = 0), /п,х = 7п-1 (п^) — 7п+1 (п^) содержат обычные функции Бесселя 7п(е), где е = к2/4(1 + к2/2). Ранее нами было установлено [33-36], что плоский двухчастотный ондулятор с магнитным полем
d b2 P
H = (0, Ho(sin(kAz) + dsin(hkAz)), 0), kA = 2n/A„, h G Z, d, h = const,
(4)
позволяет при определенных значениях й и Н усилить гармоники спонтанного ОИ. В исследовании вынужденного ОИ в однопроходном ЛСЭ с двухчастот-ным ондулятором [55] нами были продемонстрированы большие коэффициенты группировки и соответственно большая мощность гармоник. Коэффициенты Бесселя для ондулятора (4) /„,ж = + 1П+)1(п)+
+ н(1П+^(п) + [53] содержат обобщенные
функции Бесселя со следующим интегральным представлением [38]:
2п /
тк2(а + ^2+ез + ео
2п /
I"h)(m) = J J cos +
o
£1
£3 =
sin(2^)
4 ,
£2
d sin((h + 1)y) h(h + 1) ,
1 + keff/2
d sin((h — 1)<^>) h(h — 1) , d2 sin(2h^)
£4 =
4h3
где = к2 + к2 = Для обычного онду-
лятора d = 0. Приведенные выше формулы описывают эволюцию мощности гармоник в идеальных условиях монохроматичного не расходящегося пучка без потерь, что значительно расходится с экспериментом, как показано нами в [62, 63]. Влияние дифракции пучка можно учесть следующей феноменологической формулой [51], корректирующей параметр Пирса:
Pn ^ PD,n —
Pn
A,, An
(1+ MD,n)1/3' (l + f)
PD,n —
(4n)2p„
длина волны гармоники
Ре,п(ае, n) = 2naej ^n1/3p^ , С — 1 + 0.07 Y^ P + 0-35 £ p
Фп — (Сnl/2 +0.165p2 J e0'034^-,
Vn —
(е-ф„(ф„-0.9) + 1.57(фп - 0.9)/ФП)
(7)
(8)
1.062
Зависимость рх у от параметров Твисса и эмит-танса приведена в [52]; она довольно сложная и не меняет существа формул (7), (8); для согласованного пучка С ~ 1-02 — 1.08. Для стабильной работы ЛСЭ необходим малый разброс энергий и эмиттанс пучка: ех,у < А0/4п, ае < р/2 (например, [13, 15]). В рентгеновском диапазоне получаем ( « 1.01 — 1.04. В подавляющем большинстве случаев основной тон ЛСЭ доминирует над гармониками. Приведенные выше формулы описывают этот случай. Взаимодействие излучения с электронным банчем увеличивает разброс энергий электронов за счет индуцированного ЛСЭ вклада аРЕЬ, дополняющего начальный разброс ае 0 согласно [50].
Выясним, как меняются ранее разработанные формулы для специального случая, когда доминирует гармоника п, а основной тон тем или иным способом подавлен. В отсутствии основного тона рост мощности гармоники п вдоль оси ондулятора не ограничен насыщением основного тона и продолжается далее по г далее, пока не достигнет естественного насыщения с мощностью Рр,п — \f2pnPe, которая зна-
чительно превышает = —п (Пт-т) . С учетом
всех потерь реальная мощность окажется несколько ниже. В рамках феноменологической модели лучшее согласие с результатами 3Б-симуляций [58] и экспериментом получается с Рр,п,Б — ^(РВ,п)2РеПп/Рп. Нелинейная генерация гармоник теперь индуцируется гармоникой п и описывается формулой (3), где длина усиления Ьп,д, а не Ьд, и мощ-
(6) ность насыщения Pmxn,F,D
PF,n,D I f
Vn
где А„ =
излучения, а = пEe1J — сечение гауссова электронного пучка, Ее = тес2 — 0.51 х 106 эВ — энергия покоя электрона, Ре — мощность пучка, 7 = /0/па — плотность тока в гауссовом пучке, 10 — электронный ток. Кроме этого, нужно учесть тот факт, что высшие гармоники ОИ более чувствительны к неидеально-стям пучка и ондулятора, чем основная гармоника, что продемонстрировано нами в [53, 54]. Учет повышенной чувствительности гармоник ЛСЭ к разбросу энергий электронов произведен нами в [55]; при этом получается хорошее согласие с экспериментом и с соответствующими численными симуляциями. Разброс энергий и расходимость пучка увеличивают длину насыщения и уменьшают мощность насыщения для каждой гармоники п, Ьп,д ^ Ьп,дФ, Рп,р ^ Рп,рп. Еще лучшее согласие модели с экспериментом получено нами в [62, 63]. Оно обеспечивается следующими феноменологическими формулами:
л/т. ^ mfn
а не Рт(1). Банчинг на длине волны субгармоники т индуцируется доминирующей гармоникой п и его коэффициенты эволюционируют так: Ьтхп(г) = Нт(Рп(г)/РеРд,тхп)т/2. Ввиду малости значений параметра Пирса и Бесселя /т для высоких гармоник в обычных ондуляторах такая генерация субгармоник возможна на практике только в двухча-стотных ондуляторах, которые поддерживают высокие гармоники. Разброс энергий индуцируется доминирующей гармоникой п и записывается теперь следующим образом:
a2(z) — а,
2,0+
3
+ 2<
PD,nP0,nA(n, z)
Р ^PD,
'Pe.
1 + 1.24P0
A(n, z)| - 1
^ ' >\ P^PD.n
l Pn,F П(Ре,п)
Описанная выше улучшенная феноменологическая модель ЛСЭ учитывает все основные потери и лучше описывает эволюцию высших гармоник по сравнению с [55]. Учет подавления низших гармоник и описание мощности субгармоник отличает разработанную выше модель от использованной в [59-63] и позволяет применить ее для моделирования каскадного ЛСЭ с подавленным основным тоном, которое мы проведем с следующих разделах. Использование феноменологических параметров позволяет получить соответствие описания роста гармоник трехмерным моделям и эксперименту.
2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ
МОЩНОСТИ ГАРМОНИК РЕНТГЕНОВСКОГО ЛСЭ С ДВУХЧАСТОТНЫМ И ОБЫЧНЫМ ОНДУЛЯТОРАМИ
С помощью гармоник ОИ двухчастотных ондуляторов, можно получить мягкое рентгеновское излучение в ЛСЭ с электронным пучком относительно невысоких энергий и низкой частотой затравочного лазера. Для генерации мягкого рентгеновского излучения в нано-метровом диапазоне используем параметры ондулятора
SPARC, k — 2.133, Аи1 — 2.80 см, электроны энергии E « 0.77 ГэВ и для двухчастотного ондулятора выберем h — 3, d — 0.7, чтобы усилить высшие гармоники [36, 53, 54]. Некоторые данные моделирования приведены в Приложении 1. На рис. 1 линиями 2, 3, 5 показана эволюция мощности гармоник ЛСЭ с двухча-
стотным ондулятором с полем (4), линиями 1, 4, 6 — ЛСЭ с обычным плоским ондулятором с k — 2.133, Аид — 2.80 см (Приложение 2), 8 — основная гармоника ЛСЭ с плоским ондулятором с k — 0.355, Аид — 0.933 см (Приложение 4), 7 — основная гармоника ЛСЭ с плоским ондулятором с k — 0.9, Аид — 1.25 см (Приложение 3).
2
n
2
i = x,y
М
Рис. 1. Рост мощности гармоник по длине ЛСЭ с двухча-стотным ондулятором с к = 2.133, Аи,1 = 2.80 см, К = 3, й = 0.7 (линии 2, 3, 5); с обычным ондулятором, с к = 2.133, Аид = 2.80 см (линии 1, 4, 6); основной тон обычного ондулятора с к = 0.356, Аи,1 = 0.93 см, соответствующего второму периодическому полю двухчастотного ондулятора (линия 8); и основной тон плоского ондулятора с к = 0.90, Аи,1 = 1-25 см (линия 7)
При этом энергии электронных пучков, естественно, выбраны так, чтобы частоты соответствующих гармоник ондуляторов совпадали: основная гармоника 2 с длиной волны Ап=1 = 20.6 нм, третья гармоника 3 — с Ап=з = 6.9 нм, пятая гармоника 5 — с Ап=5 = 4.1 нм. Штриховые синие линии соответствуют основному тону с Ап=1 = 4.1 нм ЛСЭ с обычными плоскими ондуляторами. Сравнительный анализ поведения мощности гармоник ЛСЭ с двухчастотным ондулятором с к = 2.133, АиД = 2.80 см, К = 3, d = 0.7 (линии 2, 3, 5 на рис. 1) и с обычными ондуляторами (линии 1, 4, 6, 7, 8) показывает очевидные преимущества двухчастотного ондулятора. Обычный ондулятор с основным полем двухчастотного ондулятора 7, 8 дает мощную основную гармонику 2, короткую длину насыщения ^ 23 м, но слабые высшие гармоники 4 и 6, которые индицируются основным тоном в нелинейном режиме после 18 м. На длине 18 м мощность гармоник двухчастотного ондулятора превышает мощность соответствующих гармоник обычного ондулятора в ^ 103 раз (3, 4, 5, 6 на рис. 1). Используя обычный ондулятор с коротким периодом и полем, соответствующим второму периодическому полю двухчастотного ондулятора, получаем излучение его основной гармоники 7 на длине волны пятой гармоники двухчастотного ондулятора и высокую мощность насыщения ^ 50 МВт. Однако длина усиления и насыщения в этом случае оказывается на ^ 50% больше, чем у ЛСЭ с двухчастотным ондулятором: 40 м вместо 25 м (рис. 1). На длине 20 м мощность пятой гармоники двухчастотного ондулятора больше в 103 раз (ср. 5 и 8 на рис. 1). ЛСЭ с обычным ондулятором с оптимальными параметрами для генерации основного тона на Ап=1 = 4.1 нм, к = 0.9, Аид = 1.25 см имеет большую мощность насыщения, чем мощность насыщения гармоник ЛСЭ с двухчастотным ондулятором, но в линейном режиме до 20 м гармоники двухчастотного ондулятора мощнее на один — два порядка (ср. 5 и 7 на рис. 1). Мощность насыщения пятой гармоники двухчастотного ондулятора ^ 2 МВт достигается на ^ 23 м (5 на рис. 1);
в ЛСЭ с обычным ондулятором она достигается на 33 м (8 на рис. 1). Кроме того, как показано в [55], для высших гармоник коэффициент группировки электронов в пучке с малым разбросом энергии = 0.0001 эволюционирует, следуя за коэффициентом группировки для основной частоты ЛСЭ, и лазерный эффект для гармоник получается во многом за счет группировки на их длинах волн Ап, а не только на длине А0. Для обычного ондулятора, где все в основном определяется ростом мощности первой гармоники, коэффициенты группировки для высших гармоник имеют меньшие значения, чем для двухчастотного, и они растут слабо, вплоть до нелинейного роста мощности этих гармоник, индуцированного основным тоном. В ЛСЭ с УВГ, где усилитель-излучатель настроен на высшую гармонику группирователя, использование двухчастотного ондулятора-группирователя электронов дает значительные преимущества в мощности линейной генерации гармоник и группировке на из длинах волн, что позволяет эффективно использовать его и в каскадных ЛСЭ [59-63].
3. УСИЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ГАРМОНИК ЛСЭ ПОДАВЛЕНИЕМ ОСНОВНОГО ТОНА
Выше мы показали, что в ЛСЭ с двухчастотным ондулятором можно получить значительную мощность высших гармоник, однако в процессе экспоненциального роста мощности основная гармоника ЛСЭ доминирует над высшими и определяет индуцированный ЛСЭ разброс энергий электронов. Насыщение высших гармоник наступает с насыщением основного тона ЛСЭ или несколько ранее ([30, 57] и др.). Чтобы получить максимальную мощность высших гармоник ЛСЭ, можно подавить излучение основного тона, например с помощью фильтров или путем наложения фазового сдвига, например в 2п/п или 4п/п между электронами и фотонами в линии последовательно установленных ондуляторов [64, 65]. Такая разфазировка положения микробанчей электронов и волны фотонного импульса на кп/п, где к = 2,4,6..., не затрагивает процесс лазерного излучения на гармонике п, и последняя может доминировать в спектре ЛСЭ [64, 65]. Ослабление основной частоты ЛСЭ также уменьшает индуцированный ЛСЭ разброс энергии, который теперь зависит от роста мощности гармоник, а не от основного тона.
Нами впервые смоделировано подобное конструктивное решение применительно к двухчастотному ондулятору, в котором происходит сильный рост высших гармоник, не индуцированный основным тоном. В частности, расфазировка электронов и фотонов на 2п/5 не препятствует группировке электронов на длине волны пятой гармоники п = 5 и на ней можно получить интенсивное лазерное излучение, в то время сдвиг фаз на 2п/5 нарушает группировку электронов на длинах волн других гармоник [64, 65].
Мы выбрали тот же двухчастотный ондулятор, что и в предыдущем примере на рис. 1 и пучок электронов с 7 = 1507 с малым разбросом энергии = 0.0001, и током ^ 1 кА, типичным для современных ЛСЭ [10, 11, 16]. Некоторые данные моделирования приведены в Приложении 5, результат графически представлен на рис. 2. Как видно на рис. 2, подавление основной гармоники позволяет пятой гармонике ЛСЭ
с двухчастотным ондулятором продолжать рост значительно дальше. Насыщение основного тона более не ограничивает мощность пятой гармоники с длиной волны Ап=5 = 4.1 нм. Начиная с длины ^ 22 м в обычном ЛСЭ наступает насыщение пятой гармоники, а в ЛСЭ с подавленными низшими гармониками мощность пятой гармоники растет вплоть до 29 м и достигает насыщения на 1 ГВт (сплошная синяя линия на рис. 2), превосходя на два порядка соответствующую мощность насыщения ^ 10 МВт той же гармоники в обычном ЛСЭ с двухчастотным ондулятором. Учет шума банча не меняет поведения гармоник в конце ЛСЭ, а большая начальная мощность уменьшит длину ЛСЭ.
Более того, в ЛСЭ с двухчастотным ондулятором с подавленными низшими гармониками (например, разфазировкой электронов и фотонов) пятая гармоника (сплошная синяя линия на рис. 2), не будучи ограничена основным тоном, становится доминирующей (сплошная синяя линия на рис. 2) и задает индуцированный разброс энергий в ЛСЭ. Кроме того, она способна сама генерировать высшие по отношению к ней гармоники, подобно тому как главная гармоника в обычном ондуляторе генерирует гармоники в нелинейном режиме. Нами показано, что с пучком электронов с разбросом энергии а£ = 0.0001 в конце ЛСЭ возможна нелинейная генерация мощной третьей субгармоники с мощностью насыщения ~ 2.6 МВт (сплошная фиолетовая линия на рис. 2) за счет доминирующей в ЛСЭ пятой гармоники. Это невозможно при наличии мощного основного тона в ЛСЭ (пунктирные линии на рис. 2), так как высшие гармоники имеют малую начальную мощность и ограниченный основным тоном рост.
На рис. 3 на левом графике показана эволюция разброса энергии по длине ЛСЭ с двухчастотным ондулятором с подавленной основной гармоникой (сплошная линия) и в случае, когда основной тон, как обычно, доминирует (штриховая линия). Притом что мощность пятой гармоники в обоих случаях растет одинаково до ~ 20 м (ср. сплошную и пунктирную синие линии на рис. 2), а индуцированный ЛСЭ разброс энергий в случае подавленного основного тона значительно меньше на 18-27 м (правый график на рис. 3). Более того, на длине 22.5 м, соответствующей насыщению пятой
Рис. 2. Рост мощности гармоник ЛСЭ с двухчастотным ондулятором. Рост мощности излучения в ЛСЭ с подавленными 1-й и 3-й гармониками показан сплошными, в обычном ЛСЭ — пунктирными линиями
гармоники обычного ЛСЭ, индуцированный разброс энергии в ЛСЭ с подавлением низших гармоник фазовым сдвигом оказывается почти в восемь раз меньше, чем в обычном ЛСЭ (правый график на рис. 3).
Итак, в ЛСЭ с двухчастотным ондулятором с подавленным основным тоном благодаря значительному, по сравнению с обычным ондулятором, усилению гармоник в линейном режиме, которое происходит независимо от основного тона и не ограничено им, удается получить пятую гармонику с мощностью, превышающей мощность основного тона обычного ондулятора, настроенного на частоту пятой гармоники двухчастот-ного ондулятора. Кроме того, индуцированный разброс энергий в ЛСЭ с подавленными низшими гармониками значительно ниже по сравнению с обычным.
ВЫВОДЫ
При помощи феноменологической модели ЛСЭ с учетом основных потерь мы сравнили эволюцию мощности гармоник однопроходных ЛСЭ с обычным и с двухчастотным ондуляторами. Сравнение работы ЛСЭ с обычным плоским ондулятором и с двухча-стотным плоским ондулятором показало значительные преимущества последнего в генерации и излучении гармоник в линейном режиме независимо от излучения основного тона ЛСЭ. Разница в мощности излучения гармоник в ЛСЭ с обычным плоским и с двухчастот-ным ондуляторами на одинаковой длине ЛСЭ составляет до 102 раз.
Используя подавление низших гармоник ЛСЭ, например с помощью сдвига фазы электронов относительно фотонов между секциями ондуляторов на 2п/п, можно повысить максимальную мощность гармоники п в ЛСЭ. Мы впервые продемонстрировали, что в ЛСЭ с двухчастотным ондулятором и с пучком электронов высокого качества можно сделать пятую гармонику доминирующей. При этом ее излучение происходит независимо от основного тона в линейном режиме и ее мощность насыщения повышается до 100 раз. Например, с электронами с 7 = 1500 и током ^ 135 А можно получить 125 МВт на длине волны Ап=5 ^ 4 нм на 28 м, а с током 1 кА получаем 1 ГВт излучения на той же длине волны (рис. 2). Эта мощность больше, а длина насыщения короче, чем соответствующие величины для основной гармоники ЛСЭ с обычным ондулятором, работающим на той же длине волны.
Нами продемонстрировано, что в компактном ЛСЭ длиной ~ 28 м с двухчастотным ондулятором и подавленными низшими гармониками возможна генерация мощной, 2.6 МВт, третьей субгармоники на длине волны Ап=5хз = 1.37 нм (сплошная фиолетовая линия на рис. 2) за счет доминирующей пятой гармоники. Это невозможно при наличии мощного основного тона в обычном ЛСЭ даже с двухчастотным ондулятором.
Кроме того, нами показано, что в однопроходном ЛСЭ с подавленными низшими гармониками разброс энергии, определяемый в нашем случае пятой гармоникой двухчастотного ондулятора, оказывается до восьми раз меньше, чем в обычном ЛСЭ, где доминирует основной тон. Разница в индуцированном ЛСЭ разбросе энергии максимальна на длине насыщения пятой гармоники в обычном ЛСЭ.
со 0.00050
Ю
0.00030
0.00020 0.00015
0.00010
15
z, м
10 15 20
z, м
Рис. 3. Эволюция разброса энергий электронов в ЛСЭ по его длине: пунктирные линии соответствуют обычному ЛСЭ, сплошные линии — ЛСЭ с подавленными низшими гармониками. На графике справа — отношение разброса энергий в обычном
ЛСЭ к разбросу в ЛСЭ с подавленными низшими гармониками.
Таким образом, фильтрация и подавление низших гармоник, например за счет фазового сдвига электронов и фотонов на кп/п, к = 2,4,6,... еще более повышает эффективность двухчастотного ондулятора в ЛСЭ и позволяет получить мощное доминирующее излучение гармоники п в рентгеновском диапазоне, достигающее мощности 1 ГВт с электронным током 1 кА. Рассмотренные компактные ЛСЭ с генерацией высших гармоник представляют альтернативу большим и дорогостоящим установкам типа Х-ББЬ [66] и др.
Авторы благодарят профессора А. В. Борисова, профессора В.Ч. Жуковского, профессора А. Н. Васильева и ведущего научного сотрудника А. Е. Лобанова за полезные обсуждения.
Приложение 1
Некоторые данные моделирования излучения ЛСЭ на 20.6 нм с двухчастотным ондулятором (рис. 1):
/ = {0.685, 0.526,0.421}, рп = {0.0012, 0.0011, 0.0010}, 7 = 1507, Ре = 104 ГВт, 3 = 9.96 х 109 А/м2,
а = 4.31 х 10
— 9 м2 M ,
/о = 135 А,
ае = 0.0001, С = 1.07, к = 2.133, К = 3, d = 0.7, Аи = 2.8 см, = 26 м, Ьёат = 1.1 м, Ап = 1 = 20.6 нм, Ап=3 = 6.9 нм, Ап=5 = 4.1 нм.
Приложение 2
Некоторые данные моделирования излучения ЛСЭ на 20.6 нм с обычным плоским ондулятором с периодом 2.8 см (рис. 1):
/ = {0.799, 0.330,0.201}, рп = {0.0014, 0.0008, 0.0006}, 7 = 1492, Ре = 104 ГВт, 3 = 9.96 х 109 А/м2, а = 4.36 х 10-9 м2, /0 = 136 А, ае = 0.0001, С = 1.07, к = 2.133, Аи,1 = 2.8 см, Ь8 = 23 м, Ьёащ = 1.0 м, Ап=1 = 20.6 нм, Ап=3 = 6.9 нм, Ап=5 = 4.1 нм.
Приложение 3
Некоторые данные моделирования излучения ЛСЭ с основной гармоникой на 4.1 нм с обычным плоским ондулятором с периодом 1.33 см (рис. 1):
/п = {0.923, 0.188, 0.055}, рп = {0.0006,0.0002, 0.0001}, 7 = 1507, Ре = 103.95 ГВт, 3 = 9.96 х 109 А/м2, а = 4.31 х 10-9 м2, /0 = 135 А, ае = 0.0001, С = 1.07, к = 0.9, АиД = 1.33 см,
Ls = 34 м, L
gain
1.2 м, An=1 = 4.1 нм.
Приложение 4
Некоторые данные моделирования излучения ЛСЭ с основной гармоникой на 4.1 нм с обычным плоским ондулятором с периодом 0.93 см (рис. 1):
/п = {0.985, 0.044, 0.003}, рп = {0.0003, 4 х 10-5, 5 х 10-6}, 7 = 1098, Ре = 104 ГВт, 3 = 9.96 х 109 А/м2,
а = 5.92 х 10
—9 м2, м,
/о = 185 А,
ае = 0.0001, С = 1.07, к = 0.356, АиД =0.93 см, = 40 м, Ьёа1П = 1.4 м, Ап=1 =4.1 нм.
Приложение 5
Некоторые данные моделирования излучения ЛСЭ на 4.1 нм с двухчастотным ондулятором с подавлением основного тона сдвигом фазы электронов и фотонов между секциями (рис. 2):
/п = {0.685, 0.526, 0.421}, рп = {0.0014,0.0012, 0.0010}, 7 = 1507, Ре = 800 ГВт, 3 = 9.96 х 109 А/м2, а = 3.3 х 10-8 м2, /о = 1039 А, ае = 0.0001, С = 1.07, к = 2.133, К = 3, d = 0.7, Ро = 1 Вт, Аи = 2.8 см, = 25 м, = 29 м, Ьёа1П = 1 м, Ап=1 = 20.6 нм, Ап=3 = 6.9 нм, Ап=5 = 4.1 нм, Ап=5хз = 1.37 нм, РП= 5 = 1.0 ГВт, РД= 5хз = 2.6 МВт.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Багров В. Г., Бисноватый-Коган Г. С., Бордовицын В. А. Теория излучения релятивистских частиц. М.: Физматлит, 2002.
2. Багров В. Г., Тернов И.М., Холомай Б. В. Излучение релятивистских электронов в продольном периодическом электрическом поле кристалла. Томск: ТФ СО АН СССР, 1987.
3. Гинзбург В. Л. // Изв. АН СССР (Физика). 1947. 11. С. 1651.
4. Motz H, Thon W., Whitehurst R.N.J. // Appl. Phys. 1953. 24. Р. 826.
5. Арцимович Л. А., Померанчук И. Я. // ЖЭТФ. 1946. 16. С. 379.
6. Тернов И.М., Михайлин В. В., Халилов В. Р. Синхротрон-ное излучение и его применения. М.: Изд-во МГУ, 1980.
7. Алферов Д.Ф., Башмаков Ю.А. Бессонов Е.Г.// ЖТФ. 1974. 18. С. 1336.
8. Алферов Д.Ф., Башмаков Ю.А., Черенков П. А. // УФН. 1989. 157. C. 389
9. Alexeev V.I., Bessonov E. G. // Nucl. Instr. Meth. A. 1991. 308. С. 140.
10. McNeil B. W.J., Thompson N. R. // Nature Photonics. 2010. 4. Р. 814.
11. Pellegrini C., Marinelli A., Reiche S. // Rev. Mod. Phys. 2016. 88. 015006.
12. Huang Z, Kim K.J. // Phys. Rev. ST-AB. 2007. 10. 034801.
13. Saldin E.L., Schneidmiller E.A., Yurkov M.V. The Physics of Free Electron Lasers. Springer, Singapore, 2000.
14. Bonifacio R., Pellegrini C., Narducci L. // Opt. Comm. 1984. 50. P. 373.
15. Schmuser P., Dohlus M., Rossbach J., Behrens C. Springer Tracts in Modern Physics. 258. Springer, 2014.
16. Pellegrini C. // Phys. Scr. 2016. 2016. 014004.
17. Madey J.M.J. // J. Appl. Phys. 1971. 42. P. 1906.
18. Elias L.R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1976. 36. P. 717.
19. Deacon D.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 1977. 38. P. 892.
20. KrollN.M., McMullin W.A. // Phys. Rev. A. 1978. 17. P. 300.
21. Colson W.B. // Nucl. Instrum. Meth. A. 1997. 393. P. 82-85.
22. Sprangle P., Smith R.A. // Phys. Rev. A. 1980. 21. P. 293.
23. Bonifacio R., Pellegrini C., Narducci L.M.// Opt. Comm. 1984. 50. P. 373.
24. Kim K.J., Xie M. // Nucl. Instrum. Meth. A. 1993. 331. P. 359-364.
25. Yu L.-H. et.al. // Science. 2000. 289. P. 932.
26. Yu L.-H. // Phys. Rev. A. 1991. 44. P. 5178.
27. Saldin E. L., Schneidmiller E. A., Yurkov M. V. // Opt. Comm. 2002. 202. P. 169.
28. Shaftan T., Yu L.-H. // Phys. Rev. E. 2005. 71. 046501.
29. Li He-Ting, Jia Qi-Ka // Chinese Physics C. 2013. 37. 028102.
30. Deng Hai-Xiao, Dai Zhi-Min // Chinese Physics C. 2013. 37. 102001.
31. Deng Hai-Xiao, Dai Zhi-Min // Chinese Physics C. 2010. 34. P. 1140.
32. Ling Zeng et al. // Chinese Physics C. 2016. 40. 098102.
33. Жуковский К. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2015. №4. С. 18.
34. Zhukovsky K. V. // J. Electromagn. Wave. 2015. 29. P. 132.
35. Zhukovsky K. // J. Electromagn. Wave. 2014. 28. P. 1869.
36. Zhukovsky K. // Laser Part. Beams. 2016. 34. P. 447.
37. Mishra G., Gehlot M., Hussain J.-K. // Nucl. Instrum. A. 2009. 603. P. 495.
38. Dattoli G., Mikhailin V. V., Ottaviani P. L., Zhukovsky K. // J. Appl. Phys. 2006. 100. 084507.
39. Dattoli G., Mirian N. S., DiPalma E., Petrillo V. // Phys. Rev. ST-AB. 2014. 17. 050702.
40. Shintake T. // Nature Photonics. 2008. 2. P. 555.
41. YuL.-H. et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. 91. 074801.
42. McNeil B. // Nature Photonics. 2008. 2. P. 522.
43. Tiedtke K. et al. // New J. Phys. 2009. 11. 023029.
44. Seddon E.A. et al. // Rep. Prog. Phys. 2017. 80. P. 115901.
45. Saldin E.L. et al. // New J. Phys. 2010. 12. P. 035010.
46. Quattromini M. et al. // Phys.Rev ST-AB. 2012. 15. 080704.
47. Walker R. P. // Nucl. Instrum. Meth. A. 1993. 335. P. 328.
48. Винокуров Н.А., Левичев Е. Б. //УФН. 2015. 185. С. 917.
49. Onuki H., Elleaume P. Undulators, wigglers and their applications, Taylor & Francis. New York, 2003.
50. Dattoli G., Ottaviani P. L. // Opt.Comm. 2002. 204. P. 283.
51. Dattoli G., Ottaviani P. L., Pagnutti S. // J. Appl. Phys. 2005. 97. P. 113102.
52. Dattoli G., Giannessi L., Ottaviani P. L., Ronsivalle C. // J. Appl. Phys. 2004. 95. P. 3206.
53. Zhukovsky K. // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B, 2016. 369. P. 9.
54. Zhukovsky K. // Opt. Comm. 2015. 353. P. 35.
55. Zhukovsky K., Potapov I. // Laser Part. Beams, 2017. 35. P. 326.
56. De Martini F. Laser Handbook, edited by W.B. Colson, C. Pellegrini and A. Renieri (North-Holland, Amsterdam), 1990. 6. P. 195.
57. Bonifacio R., De Salvo L., Pierini P. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A. 1990. 293. P. 627.
58. Huang Z., Kim K.-J. // Phys. Rev. E. 2000. 62. P. 7295.
59. Zhukovsky K. // EPL. 2017. 119. P. 34002.
60. Жуковский К. В. // Изв. вузов. Физика. 2017. 60, №9. C. 155.
61. Жуковский К.В. // Изв. вузов. Физика. 2018. 61, № 2. С. 67.
62. Zhukovsky К. // J. Phys. D. 2017. 50. 505601.
63. Zhukovsky К. // J. Appl. Phys. 2017. 122. 233103.
64. McNeil B.W. J., Robb G.R.M., Poole M.W., Thompson N. R. // Phys. Rev. Lett. 2006. 96. 084801.
65. Schneidmille, E.A., Yurkov M.V. // Phys. Rev. ST-AB. 2012. 15. 080702.
66. Altarelli M. et al. // European XFEL Annual Report No. XFEL.EUAR-2016. 2016.
Improved Generation of Higher Harmonics and Suppression of the Lowest Harmonics in an X-Ray FEL with a Two-Frequency Undulator
K.V. Zhukovsky
Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.
Theoretical research and simulation of the suppression of the lowest harmonics of free-electron laser radiation (FEL) with a two-frequency undulator was carried out. A phenomenological model of an FEL that describes the evolution of power in an FEL considering all the main losses was used. Radiation of harmonics in an FEL with a two-frequency flat undulator is compared with the radiation of harmonics in an FEL with an ordinary flat undulator. Radiation of harmonics and the FEL-induced energy spread in a single-pass FEL, where harmonics that are lower with respect to the nth harmonic are suppressed, for example, by a shift of the electron phase relative to photons by kn/n, k = even, between the undulator walls were investigated. The advantages of using a two-frequency undulator in an FEL with suppressed lowest harmonics and the possibility of generating high-power X-ray radiation of higher harmonics in a linear mode are illustrated. The power of the higher harmonics can exceed the pitch power of an ordinary FEL with a flat undulator.
Keywords: undulator radiation, harmonic generation, free-electron laser (FEL), two-frequency undulator, phase shift. PACS: 41.60 m. 41.60 m, 41.60.Ap, 41.60.Cr. Received 24 January 2018.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2018. 73, No. 5. Pp. 462-469.
Сведения об авторах
Жуковский Константин Владимирович — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.
