CC BY
45
УДК 535.42
УЛУЧШЕНИЕ РАЗРЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИЛЬТРОВ
© 2010 Д. А. Савельев1, С. Н. Хонина2
1Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет), 2Институт систем обработки изображений РАН
Приведены результаты исследования по улучшению разрешения при использовании пространственной фильтрации. Используются пространственные фильтры Торалдо, вихревая фазовая пластина, теневой фильтр. Для уменьшения пятна рассеивания используется конический аксикон. Приводятся результаты экспериментов при использовании вышеназванных фильтров. Показана эффективность пространственной фильтрации для улучшения разрешения.
Пространственный фильтр, оптическая система, фильтр Торалдо, вихревой фильтр, теневой фильтр, аксикон, числовая апертура.
В последние годы в связи с развити- добиться улучшения разрешения путём ем нанотехнологии, клеточной медицины уменьшения пятна рассеивания. Исполь-возрос интерес к проблемам улучшения зовалась изображённая на рис. 1 систем-разрешения в оптике. В настоящее время ная установка и фильтр с изображённой достигнута реализация сверхразрешения структурой (рис. 2) - данная структура порядка нескольких нанометров в изо- фильтра с чередованием 0-п впервые была бражениях биообъектов при использова- предложена Торалдо [1]. нии ближнепольных и атомных микроскопов, но обработка изображения занимает длительный срок и всё более востребованы оптические микроскопы, позволяющие визуализировать структуру в целом. В данной работе проводятся исследования различных оптических установок и типов пространственных фильтров для улучшения разрешения.
1. Фильтры Торалдо
В работе мы используем несколько вариантов оптических схем. Первая из них - для исследования пространственных фильтров Торалдо [1].
Фазовые пространственные фильтры используются, чтобы оптимизировать осевое распределение интенсивности и увеличить глубину фокуса для оптического захвата. С использованием данного вида фильтра ожидаемая глубина фокуса может быть в несколько раз больше, чем в оригинальной системе, и размер пятна рассеивания будет меньшим [2, 3]. Для нас актуальным является то, что использование данного типа фильтров позволяет
290
Аподизатор
Линза Оптический диск
Рис. 1. Оптическая схема с фильтром Торалдо в качестве аподизатора
Рис. 2. Структура фильтра Торалдо
Нормализованное амплитудное распределение в плоскости фокусировки пучка имеет следующий вид:
G(p, u) = ехр(ф) х
j=1
xfj rJ0(pr)хexp[-(l/2)iur2]dr,
Jrj-i
(1)
где r - радиальная координата плоскости зрачка линзы; фj, j=1,...,N- определяет фазу зоны j на плоскости зрачка. Радиальная позиция каждой зоны задана {r} = rj,
j=0,...,N, где ro = 0, р и u - приведённые радиальные и осевые координаты соответственно:
р = (2лД)( NA) R, (2)
u = (2пД)( NA)2 Z, (3)
где R и Z - радиальные и осевые координаты в плоскости изображения; NA (Numerical Aperture) - числовая апертура линзы: NA = r0 / f, где r0 - радиус оптической
апертуры системы и f - фокусное расстояние оптической системы.
Когда число фазовых переходов в фильтре от нуля до Ж равно двум (рис. 2), осевое распределение интенсивности зависит от двух коэффициентов - числа Штреля:
S = [Ga ФЬ (0,0 V Ga=b=o(0,0)]2 =
= [1 - 2(a2 - b2)]2
и внутреннего радиуса фильтра b.
Численные эксперименты выполнялись в соответствии с оптической схемой, приведённой в [2]. Амплитуда входного пучка полагалась равномерной в круге с приведённым радиусом, а вид фазовых фильтров Торалдо показан в первом столбце табл. 1. Во втором и третьем столбцах показаны результаты преобразования Фурье:
k
(4)
G(u, v) = — f f g (x, y)
J
x
x exp
- f (xu + yv)
(5)
dxdy.
Во втором столбце - амплитуда комплексного распределения в фокальной
плоскости (изображения инвертированы), а в третьем столбце - сечение амплитуды.
Исследования проводились при различных параметрах фазового фильтра а и Ь. Как видно из результатов, показанных в табл. 1, можно достичь уменьшения размера фокального пятна в 1,14 раза (12,5%) с ростом боковых лепестков до уровня не более 30% от значения в центре.
2. Вихревая и низкочастотная/высокочастотная фильтрация
Вторая из рассмотренных оптических схем - классическая четырёхфокус-ная система - показана на рис. 3, где А -
входная плоскость, А - выходная плоскость, Ь - сферическая линза, А2 - плоскость фильтра, / - фокусное расстояние линзы.
А, \L а2 az А3
. / / , \ f J, f ,
Рис. 3. 4/-система В качестве точечных источников использовались гауссовы пучки:
^ = ехр(-((х-Хо)2 + (у - у)2)/Ч2), (6)
как одиночные (рис. 4а), так и парные, близко расположенные (рис. 46).
Рис. 4. Входное изображение одиночного (А) и двойного (В) гауссовых пучков
В качестве фильтра использовалась вихревая фазовая пластинка [4]:
Ут (р,р) = ехр(т^) (7)
в сочетании с фильтром высоких частот [5], он же теневой фильтр. Также для теневого фильтра производилось усечение
высоких частот. Следовательно, по сути, производилось кольцевое диафрагмирование пространственного спектра.
Были проведены исследования зависимости размера центрального пятна на выходе оптической 4/-системы от внешнего и внутреннего радиусов кольцевой диафрагмы в спектральной плоскости. Также исследовалась возможность разрешения в такой системе двух близкорасположенных гауссовых источников. Моделирование выполнялось с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье с дополнением
нулями, которое позволяет детально прописывать выходное распределение.
Результаты моделирования изображения гауссового пучка (6) а = 0,15 (рис. 4а) с помощью 4/-системы при использовании теневых фильтров показаны в табл. 2: фильтрация в спектральной плоскости показана в первом столбце, амплитуда выходного распределения после прохождения системы и её сечение показаны во втором и третьем столбцах соответственно.
Распределение на входе
Амплитуда в фокусе
Сечение амплитуды в фокусе
Без фильтра (а=0, Ь=0)
0,008 0,006
0,004
0,002
0
-1 19 39 59 79 99 119
Фильтр: а=0,4; Ь=0
0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0
-1 19 39 59 79 99 119
Фильтр: а=0,58; Ь=0,3
-1 19 39 59 79 99
-1 19 39 59 79 99
Фильтр: а=0,62; Ь=0,35
Таблица 1. Исследование действия пространственного фильтра Торалдо
Таблица 2. Использование теневого фильтра в спектральной плоскости при изображении одиночного гауссового пучка с а = 0,15
Спектральная плоскость (амплитуда)
Выходная плоскость (амплитуда)
Сечение амплитуды в выходной плоскости
\
\
\
\
/ \
,0078125 -0,0078125 0,9921875
-0,5078125
0,4921875
\
\
\
и
. 1 . — —^ ___
,0078125 -0,0078125 0,9921875
-0,5078125
0,4921875
Л
\
\
Л \Л
_ V ХЛЧ
,0078125 -0,0078125 0,9921875
-0,5078125
0,4921875
Измеряемыми характеристиками на выходе оптической системы были: радиус центрального пятна до первого нуля (ХЯ) и диаметр центрального пятна по ровню полуспада от максимального значения (Б^НМ). Зависимости этих характеристик от внешнего радиуса диафрагмы в спектральной плоскости Я показаны на рис. 5. По графикам зависимости ХЯ и
FWHM от Я, видно, что улучшение разрешения для теневого фильтра составило: по ХЯ - в 2,72 раза, по FWHM - в 1,7 раза.
В работах [4, 5] было показано, что вихревой фильтр (7) действует аналогично теневому фильтру. В табл. 3 приведены результаты моделирования при использовании в спектральной плоскости вихревого фильтра в сочетании с теневым.
2Я, пике
60 40 20
Р\¥НМ, пике 20 15 10 5
а) 0 4 6 12 19 23 31 36 42 46 52 Я, пике б) 0 4 6 12 19 23 31 36 42 46 52 Я,пике
Рис. 5. Зависимости ХЯ (а) и ЕШИИ (б) от внешнего радиуса диафрагмы в спектральной плоскости Я
Таблица 3. Использование в спектральной плоскости вихревого фильтра в сочетании с теневым при изображении одиночного гауссового пучка с а = 0,15
Спектральная плоскость (амплитуда)
Выходная плоскость (амплитуда)
Сечение амплитуды в выходной плоскости
-1,0078125 -0,0078125 0,9921875 -0,5078125 0,4921875
-1,0078125 -0,0078125 0,9921875 -0,5078125 0,4921875
0,3 0,2
0,1 0
А А
\ i
\
¡ \
' V 1 V v
,0078125 -0 ,0078125 0,9921875
-0,5078125
0,4921875
Как видно из табл. 3, действие вихревого фильтра кардинально искажает изображение гауссового пучка, превращая световое пятно в кольцо. Таким образом, использование вихревых фильтров в изображающих системах нужно использовать с учётом такого эффекта и скорее для выполнения определенных операций обработки изображений [6].
В табл. 4 приведены результаты исследования возможности разрешения двух близкорасположенных гауссовых источников при использовании в спектральной плоскости теневого фильтра совместно с вихревым. Из результатов видно, что при увеличении Я наблюдается появление новых центральных пиков, чего не происходит при одиночном гауссовом пучке (табл. 3).
3. Аксикон
Известно, узкий кольцевой спектр соответствует бесселевым пучкам [7], которые также можно производить с помощью аксиконов [8].
Аксикон - это оптический элемент, формирующий конический волновой фронт, комплексная функция аксикона описывается формулой: exp(-ikyp), где у - соответствует числовой апертуре акси-кона, которая связана с углом наклона лучей к оптической оси в, Y= sin в . При использовании рефракционного аксикона с углом при вершине конуса а и показателем преломления материала, из которого изготовлен аксикон, n - параметр Y=a(n -1).
Таблица 4. Использование в спектральной плоскости теневого фильтра при изображении двух близкорасположенных гауссовых источников с а = 1
Спектральная
плоскость (амплитуда)
Выходная плоскость (амплитуда)
Сечение амплитуды в выходной плоскости
-1,0078125 -0,0078125 0,9921875 -0,5078125 0,4921875
0,2 Л Л
0,1
л 1
п ____ Л1 Чу—ч.—___
-1,0078125 -0,0078125 0,9921875
-0,5078125
0,4921875
-1,0078125
-0,5078125
0,0078125
0,9921875 0,4921875
0,06 0,04
0,02 О
и
УУУч^
-1,0078125 -0,0078125 0,9921875 -0,5078125 0,4921875
Применение аксиконов для улучшения разрешения оптических систем связано с тем фактом, что аксикон формирует световое пятно меньшего размера, чем сферическая линза с той же самой числовой апертурой [9].
В данном разделе для моделирования использовалась оптическая схема, приведенная на рис. 6: аксикон и идущие после него две линзы с различными фокусными расстояниями, которые используются в теневых микроскопах [10]. В качестве входного поля использовался круг с равномерной амплитудой радиусом Я = 0,2 мм, до-
полненный нулевыми значениями в квадратной матрице размером 2 мм х 2 мм (число отсчетов 256 х 256). После прохождения аксикона полученные распределения подавались на вход системы из двух линз с разными фокусными расстояниями - такими, чтобы образовывать требуемую систему. В дальнейшем ограничимся тем, что будем просто указывать фокусные расстояния соответствующих линз (для первой - /1, для второй - f2). Фокус второй линзы должен быть меньше, чем первой [10].
Аксикон Линза Выходная
плоскость
Рис. 6. Изображающая система с аксиконом Таблица 5. Исследование оптической системы с
Зафиксируем фокусы первой (/1 = 400 мм) и второй (/2 = 100 мм) линз и будем варьировать только параметр ак-сикона ку= а . Изображения, полученные после второй линзы, приведены в табл. 5, из которой видно, что применение акси-кона позволяет улучшить разрешение в изображающей системе из двух линз.
Выходная плоскость (амплитуда)
Сечение амплитуды в выходной плоскости
5Е-06 4Е-06 ЗЕ-Об 2Е-06
1Е-06 0
-1,0078125
А_А.
^-|ПППГ1Г.....пЛ
-0,0078125
ь*
а = 0 (соответствует отсутствию аксикона)
-0,5078125 0,4921875
FWHM составляет в сечении 6 пиксел
0,9921875
6Е-06 4Е-06
2Е-06 0
1
\
А--------У
-1,0078125
-0,0078125
а = 5
-0,5078125 0,4921875
FWHM составляет в сечении 5 пиксел
0,9921875
8Е-06 6Е-06
4Е-06
2Е-06 0
-1,0078125
-0,0078125
а = 10
-0,5078125 0,4921875
FWHM составляет в сечении 4 пиксела
0,9921875
Заключение
В работе были рассмотрены три оптических системы и несколько пространственных фильтров. Проведенные исследования показывают, что наилучшие результаты получены при использовании фильтра Торалдо и теневого фильтра. Для теневого фильтра улучшение составило:
по ХЯ - в 2,72 раза, по FWHM - в 1,7 раза. Для фильтра Торалдо в 1,1 раза и 1,14 раз соответственно, для аксикона по FWHM улучшение составило 1,43 раза. В дальнейших исследованиях перспективным видится использование аксикона. Таким образом, была подтверждена возмож-
ность улучшения разрешения при использовании пространственной фильтрации.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF PG08-014-1), грантов РФФИ 10-07-00109-а, 10-07-00438-а и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ НШ-7414.2010.9.
Библиографический список
1. Toraldo di Francia, G. Degrees of freedom of an image [Text] / G. Toraldo di Francia // J. Opt. Soc. Am. 1969. - Vol. 59, No. 7.- P. 799-804.
2. Wang, H. High focal depth with a pure-phase apodizer [Text] / H. Wang, F. Gan. // Applied optics. - 2001. - Vol. 40, No. 31. - P. 5658-5662.
3. Cox, I.J. Reappraisal of arrays of concentric annuli as superresolving filters [Text] / I.J. Cox, C.J.R. Sheppard, T. Wilson // Optical Society of America. - 1982. -Vol. 72, No. 9. - P. 1287-1291.
4. Ritsch-Marte, M Singular optics for novel biomedical tools [Text] / M. Ritsch-Marte, S. Bernet, A. Jesacher, S. Furhapter, C. Maurer, A. Schwaighofer. -Conference on Coherence and Quantum Optics, June 2007.
References
1. Toraldo di Francia, G. Degrees of freedom of an image [Text] / G. Toraldo di Francia // J. Opt. Soc. Am. 1969. -Vol. 59, N 7.- P. 799-804.
2. Wang, H. High focal depth with a pure-phase apodizer [Text] / H. Wang, F. Gan. // Applied optics. - 2001. - Vol. 40, N 31. - P. 5658-5662.
3. Cox, I.J. Reappraisal of arrays of concentric annuli as superresolving filters [Text] / I.J. Cox, C.J.R. Sheppard, T. Wilson // Optical Society of America. -1982. - Vol. 72, N 9. - P. 1287-1291.
4. Ritsch-Marte, M Singular optics for novel biomedical tools [Text] / M. Ritsch-Marte, S. Bernet, A. Jesacher,
5. Crabtree, K. Optical processing with vortex-producing lenses [Text] / K. Crabtree, J.A. Davis, I. Moreno // Applied Optics. - 2004. - Vol. 43, No. 6. - P. 13601367.
6. Ананьин, М.А. Моделирование оптической обработки изображений с использованием вихревого пространственного фильтра [Текст] / М.А. Ананьин, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. -2009. - Том 33, № 4. - С. 466-472.
7. Durnin, J. Diffraction-free beams [Text] / J. Durnin, J.J. Miceli, Jr., and J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. - 1987. -V. 58. - P. 1499-1501.
8. Mcleod, J.H. The Axicon: A New Type of Optical Element [Text] / J.H. Mcleod // Journal of the optical society of America. - 1954. - Vol. 44, No. 8. - P. 592597.
9. Хонина, С.Н. Исследование применения аксиконов в высокоапертур-ной фокусирующей системе [Текст] / С.Н. Хонина, С.Г. Волотовский // Компьютерная оптика. - 2010. -Т. 34, № 1. -С. 35-51.
10. Lei, M. Multifunctional darkfield microscopy using an axicon [Text] / M. Lei, B. Yao // Journal of Biomedical Optics. -2008. - Vol. 13, No. 4. - P. 044024-1 -044024-4.
S. Furhapter, C. Maurer, A. Schwaighofer. - Conference on Coherence and Quantum Optics, June 2007.
5. Crabtree, K. Optical processing with vortex-producing lenses [Text] / K. Crabtree, J.A. Davis, I. Moreno // Applied Optics. - 2004. - Vol. 43, N 6. -P. 1360-1367.
6. Ananin, M.A. Modelling of optical processing of images with use of the vortical spatial filter [Text] / M.A. Ananin, S.N. Khonina, // Computer optics. - 2009. -Vol. 33, N 4. - P. 466-472. - [in Russian].
7. Durnin, J. Diffraction-free beams [Text] / J. Durnin, J.J. Miceli, Jr., and J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. - 1987. -Vol. 58. - P. 1499-1501.
8. Mcleod, J.H. The Axicon: A New Type of Optical Element [Text] / J.H. Mcleod // Journal of the optical society of America. - 1954. - Vol. 44, N 8. - P. 592597.
9. Khonina, S.N. Investigation of axicon application in high-aperture focusing system [Text] / S.N. Konina, S.G. Vo-
lotovsky // Computer optics. - 2010. -Vol. 34, N 1. - P. 35-51. - [in Russian].
10. Lei, M. Multifunctional darkfield microscopy using an axicon [Text] / M. Lei, B. Yao // Journal of Biomedical Optics. -2008. - Vol. 13, No. 4. - P. 044024-1 -044024-4.
IMPROVEMENT OF THE RESOLUTION ON THE BASIS OF USE OF SPATIAL FILTERS
© 2010 D.A. Savelyev1, S.N. Khonina2
!Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov
(National Research University) 2Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences
Researches on resolution improvement at use of a spatial filtration are given. Spatial filters such as Toraldo, the vortex phase plate, the shadow filter are used. For reduction of a spot of confusion conical axicon is used. Results of experiments are given at use of the above-named filters. Efficiency of a spatial filtration for resolution improvement is shown.
Spatial filter, optical system, Toraldo filter, vortex phase plate, shadow filter, axicon, numerical aperture.
Информация об авторах
Савельев Дмитрий Андреевич, бакалавр по направлению «прикладная математика и информатика». Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет). Область научных интересов: оптическая и цифровая обработка изображений, дифракционная оптика. E-mail: d.a.savelev@mail.ru.
Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник. Институт систем обработки изображений РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru.
Savelyev Dmitry Andreevich, the bachelor of applied mathematics and computer science. Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). Area of research: optical and digital image processing, diffractive optics. E-mail: d.a.savelev@mail.ru.
Khonina Svetlana Nikolaevna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, leading researcher. Image Processing Systems Institute of the Russian Academy Sciences. Area of research: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulating, optical and digital image processing. E-mail: khonina@smr.ru.
