CC BY
0
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
УПРАВЛЕНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ НАУКИ MANAGEMENT, COMPUTER AND INFORMATION SCIENCES
Научная статья УДК 681.3+681.5
http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-3-5-11
Улучшение работы алгоритма Алексеева при решении минимаксных неоднородных задач
В.Г. Кобак, В.В. Сидоренко
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация. Исследована эффективность алгоритма Алексеева в решении минимаксных неоднородных задач с учетом вариативности упорядочивания матриц. В рамках работы проанализированы различные стратегии упорядочивания, включая убывание и возрастание минимальных элементов, а также упорядочивание по возрастанию и убыванию сумм строк матриц. Осуществлено сравнение производительности алгоритма при применении каждого из этих методов с целью определения наиболее эффективного подхода. Для оценки результативности каждого подхода проведены численные эксперименты, результаты которых зафиксированы и проанализированы. Выявлены оптимальные параметры упорядочивания матриц, которые способствуют ускорению процесса нахождения решения. На основе полученных данных представлены рекомендации по выбору метода упорядочивания матриц.
Ключевые слова: неоднородная минимаксная задача, NP-полные задачи, алгоритм Плотникова-Зверева, алгоритм Алексеева, построение дерева, отсечение ветвей
Для цитирования: Кобак В.Г., Сидоренко В.В. Улучшение работы алгоритма Алексеева при решении минимаксных неоднородных задач // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2024. № 3. С. 5-11. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-3-5-11
Original article
Improving the performance of Alexeev's algorithm for solving minimax inhomogeneous problems
V.G. Kobak, V.V. Sidorenko
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. The effectiveness of the Alekseev algorithm in solving minimax heterogeneous tasks, considering the variability of matrix ordering, has been investigated. The study analyzed various ordering strategies, including the decrease and increase of minimum elements, as well as sorting by ascending and descending sums of matrix rows. A comparison of the algorithm's performance was carried out using each of these methods to identify the most effective approach. Numerical experiments were conducted to assess the effectiveness of each approach, with results being recorded and analyzed. This work has revealed optimal matrix ordering parameters that facilitate the acceleration of the solution-finding process. Based on the findings, recommendations for selecting a matrix ordering method are presented in the article.
Keywords: inhomogeneous minimax problem, NP-complete problems, Plotnikov-Zverev algorithm, Alekseev algorithm, tree construction, branch pruning
For citation: Kobak V.G., Sidorenko V.V. Improving the performance of Alexeev's algorithm for solving minimax inhomogeneous problems. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2024;(3):5-11. (In Russ.). http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-3-5-11
© Кобак В.Г., Сидоренко В.В., 2024
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
Введение
В современном мире данные растут экспоненциально, что требует повышения эффективности их обработки. Особенную актуальность приобретает разработка и совершенствование алгоритмов для точного решения задач в многопроцессорных системах, интегрированных в глобальные сети. Такие системы являются ключевыми для решения как научных, так и прикладных задач и являются неотъемлемой частью инфраструктуры общества. Важной задачей является оптимизация распределения ресурсов, которая напрямую влияет на производительность и надежность систем, особенно в критически важных областях.
Задачи оптимизации распределения ресурсов часто классифицируются как ЫР--трудные, что делает их решение сложным для крупных систем. Алгоритмы, основанные на методе ветвей и границ, такие как алгоритм Алексеева, представляют собой ценный инструмент для нахождения точных решений. Алгоритм Алексеева позволяет эффективно управлять распределением задач в многопроцессорных системах путем оптимизации упорядочивания матриц в соответствии с заданными параметрами.
Целью данного исследования является сравнительный анализ эффективности алгоритма Алексеева при применении различных стратегий упорядочивания матриц. Анализируется, как изменение порядка элементов в матрице влияет на скорость работы алгоритма и его способность быстро находить оптимальное решение в условиях, когда требуется максимальная оптимизация процессов. Это исследование не только подчеркивает значимость выбора метода упорядочивания, но и демонстрирует преимущества использования точных методов в сложных вычислительных задачах.
Постановка задачи
Имеется система обслуживания, состоящая из п параллельных приборов (ПЭВМ, устройств, элементов операционных систем, каналов передачи данных и т.п.). На обслуживание поступает конечный детерминированный поток т требований. Возможности системы определяются матрицей Ц—(/ = 1,...,т, ] = 1,...,п), Ц -
длительность обслуживания 7-го требования ]-м прибором, оцененная аналитически или экспе-
риментально. Приборы в общем случае неидентичны, но каждое требование может быть обслужено любым прибором (в противном случае полагаем соответствующее tj = да). В каждый момент времени отдельный прибор обслуживает не более одного требования (совокупность приборов, одновременно обслуживающих одно требование, рассматривается как один прибор). Обслуживание требования, находящегося на некотором из приборов, не прерывается для передачи на другой прибор. Необходимо распределить требования таким образом, чтобы обеспечить минимальное время их обслуживания.
Алгоритмы решения неоднородной минимаксной задачи
Точные методы обеспечивают нахождение гарантированно оптимального решения, однако они требуют значительных вычислительных ресурсов и времени, особенно при больших размерностях задач. Эти методы включают:
1. Метод ветвей и границ. Применяется для систематического исследования всех возможных конфигураций системы через построение дерева решений. Ключевой аспект метода заключается в использовании стратегии «отсечения», которая исключает неперспективные ветви, снижая тем самым общее число проверяемых решений. Математически это можно описать через рекурсивное уравнение для определения минимаксного значения функции цели fx), которое минимизируется на каждом шаге итерации.
2. Целочисленное линейное программирование. Задачи оптимизации формулируются как система линейных уравнений и неравенств, где решение находится путем минимизации линейной целевой функции. Это позволяет точно учитывать все ограничения системы и находить глобальное оптимальное решение, что особенно важно при строгих требованиях к точности.
3. Полный перебор. Предполагает исследование всех возможных вариантов распределения задач по устройствам, что гарантирует нахождение оптимального решения, но требует значительных временных затрат, особенно при большом числе задач.
Эвристические методы предоставляют более быстрые решения и подходят для задач большой размерности, но в основном получается субоптимальное решение. Среди них выделяются:
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
1. Модели генетических алгоритмов. Генетический алгоритм имитирует процессы естественной эволюции, такие как отбор, кроссовер и мутация. Он начинается с генерации начальной популяции возможных решений и через итерационные циклы улучшает решения, стремясь к оптимальному. Генетические алгоритмы широко используются для решения разнообразных оптимизационных задач благодаря своей гибкости и эффективности в обработке сложных поисковых пространств.
2. Метод Плотникова-Зверева. Представляет собой специализированную технику оптимизации, разработанную для решения задач распределения ресурсов и управления проектами. Основной его особенностью является использование динамических правил выбора решений, основанных на текущем состоянии системы и прогнозируемых изменениях. Метод Плотникова-Зверева опирается на принципы теории вероятностей и статистического анализа для определения наилучшего возможного решения в условиях неопределенности и изменяющихся параметров задачи. Такой подход позволяет оптимизировать процессы в краткосрочной перспективе [1].
3. Пчелиный алгоритм (Bee Algorithm). Этот метод оптимизации вдохновлён поведением пчёл при поиске пищи. Алгоритм использует «пчелиных разведчиков», которые исследуют область поиска и передают информацию о «пищевых источниках» остальным членам колонии. Эффективность этого метода заключается в способности адаптироваться к изменениям в пространстве решений и находить оптимальные решения за счет коллективного взаимодействия агентов.
Кроме вышеприведенных алгоритмов, есть огромное количество алгоритмов, ориентированных на моделирование эволюции решений (муравьиные алгоритмы, ройные алгоритмы, прыжки обезьян и тп.) [2-10].
Алгоритм Алексеева
Рассмотрим основные шаги вычислительного алгоритма.
Классический алгоритм Алексеева не предполагает никаких упорядочиваний исходной матрицы, кроме упорядочивания в порядке попадания заданий в систему. Так как мы рассматриваем вариант алгоритма Алексеева, когда все задания находятся уже в системе, то данное упорядочивание не имеет никакого смысла,
поэтому изучили различные варианты упорядочивания исходной матрицы:
1. Определяем начальную нижнюю границу То, полагая z =0.
2. Увеличиваем значение z на единицу. Проверяем условие z < m. Если условие выполняется, переходим к п. 3, в противном случае - к п. 5.
3. Формируем вершины z-го уровня и оцениваем границы вариантов решения (первоначально полагаем T* = да). Выявляем вершину с наименьшей оценкой, проверяем для нее условие Tij < V. Если оно выполнено, переходим к п. 4, если нет - к п. 8.
4. Включаем выбранную вершину в решение и возвращаемся к п. 2.
5. Запоминаем решение {Nj} (j = 1, ..., n) и соответствующее значение Т* целевой функции.
6. Проверяем условие T* = To. Если оно выполняется, переходим к п. 11, в противном случае - к п. 8.
7. Исключаем из решения вершину m-го уровня ветвления.
8. Уменьшаем значение z на единицу. Проверяем условие z = 0, если условие выполнено, переходим к п. 11, в противном случае - к п. 10.
9. Исключаем из решения вершину z-го уровня. Полагаем соответствующий ей элемент равным да. Восстанавливаем элементы (z + 1)-й
строки матрицы и возвращаемся к п. 4.
10. Выводим результаты решения и заканчиваем процесс [6].
Пример работы алгоритма Алексеева
Проиллюстрируем работу алгоритма. Пусть задана матрица производительности (в условных единицах) размером 5x3 (табл. 1).
Таблица 1 Table 1
Исходные данные для поиска оптимального
распределения Initial data for finding the optimal distribution
i *kJ T k t +T. lk lk 5X k
1 2 3
1 6 5 4 0 4 4 23
2 5 5 5 0 5 5 19
3 8 5 6 0 5 5 14
4 6 5 7 0 5 5 9
5 4 8 7 0 4 4 4
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
Положим kj = 5 ( j = 1, 2, 3). Определим начальную нижнюю границу по формуле
Г 23
Т0 = тах;8| = 8 . Сформируем вершины
первого уровня ветвления (г = 1, г = 3). Получим три варианта загрузки системы (табл. 2).
Таблица 2 Table 2
Пошаговые результаты алгоритма Step-by-step results of the algorithm
Уровень Вер-
ветвления шина N2 N3 Tz Tz T Tzi
z Zi
0 0 Ф Ф Ф 0 0 0 8
11 1 Ф Ф 6 0 0 7
1 12 Ф 1 Ф 0 5 0 8
13 Ф Ф 1 0 0 4 8
21 1;2 Ф Ф 11 0 0 11
2 22 1 2 Ф 6 5 0 9
23 1 Ф 2 6 0 5 9
31 1;3 2 Ф 14 5 0 14
3 32 1 2;3 Ф 6 10 0 10
33 1 2 3 6 5 6 10
41 1;4 2;3 Ф 12 10 0 12
4 42 1 2;3;4 Ф 6 15 0 15
43 1 2;3 4 6 10 7 10
51 1;5 2;3 4 10 10 7 10
5 52 1 2;3;5 4 6 18 7 18
53 1 2;3 4;5 6 10 14 14
Оценим эти варианты. Для этого по табл. 1 найдем
5
£ Ч = 19>таХА + % ) = 5.
к=2
2<к <5
Вершинам первого уровня соответствуют
TJ = т1 = 6, TJ = т2 = 5, T,1 = T1 = 4 .
J3 1 ' J2 2 ' J3 3
Отсюда
T11 = max 11(0 + 0 +19);6;5^ = б), T12 = max <¡^(0 + 5 +19);5;5 j = 8,
нижней границы целесообразно округлять в большую сторону до ближайшего целого числа, поэтому примем Тц = 7 и Т13 = 8.
Полагаем активной первую вершину и переходим к формированию второго уровня при г = 2, г = 3. Определим загрузку приборов. Для
вершины 21 получим Т = тг 1 + х^ 1 = ^ 1 + Ц 1 = 11, Т22 = 0, Т32 = 0. Вершине 22
соответствует загрузка Т12 = Т, 1 = 6, Т22 = 2 = {17 2 + ~ Т2 = 5
T3 = 0. Аналогично для вершины 23 получим T2 = 6, T22 = 0, T32 = 5.
Оценки нижних границ для полученных вариантов следующие:
T21 = max {(0 + 0 +11 +14)/3;11;5} = 11, T22 = max {(0 + 5 + 6 +14)/3;6;5}* 9, T23 = max {(0 + 4 + 6 +14)/3;6;5}* 9.
Из них выбираем вершину с оценкой Г22. Третьему уровню соответствует загрузка системы.
Определим оценку T31. Имеем
T3 = 14, T23 = 5, T33 = 0, T3 = 6, T23 = 10, T33 = 0, T3 = 6, T23 = 5, T33 = 6.
5
T3 = 0, T3 = 5, T3 = 14, У X, = 9,
71 ' 72 ' J3 ' ^ '
i=4
m.axA + \) = 9, z = 3, r = 2.
4<k <5
3
T13 = max j 1(0 + 4 +19);4;5 j = 7|.
Поскольку исходные данные примера представлены целыми числами, любому допустимому решению отвечают целочисленные значения Т. В таких случаях дробную оценку
Получим Т = max{(0 + 5 + 9)/2;11;5} = 11.
Аналогично определили Т32 = 9 и Т33 = 9.
Дальнейшее ветвление приводит к решению Щ = {1; 5}, Щ2 = {2; 3}, Щ3 = {4} со значением целевой функции Т*= тах {10; 10; 7} = 10.
Для проверки оптимальности полученного решения следует попытаться его улучшить ветвлением из вершин с оценками Т12 = 8, Т13 = 8 и Т23 = 9.
После проверки выявлено, что при Т12 = 8 результат вычислений выдал худший результат Т* = 12, при Т13 = 8 значение Т* = 11, а при Т23 = 9 результат Т* = 10 остался неизменным. Следовательно, изначальное решение является одним из оптимальных.
Процесс поиска оптимального распределения в виде дерева показан на рис. 1 .
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
Входные параметры вычислительного эксперимента
Для оценки скорости работы алгоритма Алексеева проведено исследование с использованием серии экспериментов. В качестве объекта исследования выбраны матрицы различных размерностей (MxN), включая 15x3, 17x3, 19x3, 21x3, 23x3, 25x3, 27x3, 30x3, 15x4, 17x4, 19x4, 21x4, 23x4, 25x4, 27x4, 30x4. Для каждой размерности подготовлено 50 уникальных матриц, что позволило обеспечить обширную выборку для анализа.
Исследование проводилось при следующих условиях:
- время выполнения каждого задания варьировалось в пределах от 10 до 45 единиц времени;
- для каждого размера матрицы рассчитаны результаты по 250 экспериментам, что включало применение пяти видов упорядочивания для каждой из 50 матриц;
- по завершении вычислений для каждой размерности фиксировалось среднее время, затраченное на решение задачи при каждом виде упорядочивания.
Целью эксперимента являлось не только определение скорости работы алгоритма Алексеева, но и сравнение эффективности различных стратегий упорядочивания в контексте задач оптимизации. Это позволило выявить наиболее продуктивный подход для минимизации времени решения задачи в условиях заданных размерностей и условий испытаний. Результат работы эксперимента представлен в табл. 3.
Таблица 3 Table 3
Результат вычислительного эксперимента с различными видами упорядочивания
Рис. 1. Процесс поиска оптимального распределения в виде дерева
Fig. 1. The process of searching for optimal distribution represented as a tree
Постановка вычислительного эксперимента
Для определения, какое из упорядочиваний матрицы загрузки приводит к более быстрому результату, проведен большой вычислительный эксперимент, так как аналитически получить результат крайне затруднительно. Вычисления проведены на вычислительной машине со следующими характеристиками:
1. Процессор: AMD Ryzen 5 3500^ with Radeon Vega 2.10 GHz.
2. Видеокарта: встроенная графика в процессор.
3. Оперативная память: DDR4 16 GB.
4. Операционная система: Windows 10 Домашняя.
N M Без упорядочивания Упорядочивание по убыванию минимальных элементов строк Упорядочивание по возрастанию минимальных элементов строк Упорядочивание по убыванию сумм строк матрицы Упорядочивание по возрастанию сумм строк матрицы
3 15 00:00:00.1590849 00:00:00.1576080 00:00:00.1459328 00:00:00.0674371 00:00:00.2674284
4 15 00:00:00.8566093 00:00:00.7014829 00:00:00.9629122 00:00:00.3108851 00:00:01.9184225
3 17 00:00:00.2389029 00:00:00.2640577 00:00:00.1668172 00:00:00.1084620 00:00:00.3013516
4 17 00:00:01.2935552 00:00:01.0151288 00:00:01.3131311 00:00:00.4012885 00:00:02.5024241
3 19 00:00:00.3850136 00:00:00.5269990 00:00:00.3379750 00:00:00.1972892 00:00:00.5922968
4 19 00:00:02.0167355 00:00:01.6500603 00:00:02.2621457 00:00:00.5443415 00:00:04.1435985
3 21 00:00:00.5771182 00:00:00.6927376 00:00:00.6281564 00:00:00.2659294 00:00:00.9919120
4 21 00:00:03.4986955 00:00:03.9041613 00:00:04.4084883 00:00:01.0198882 00:00:08.4850168
3 23 00:00:00.7676806 00:00:01.0284457 00:00:00.7304731 00:00:00.3592460 00:00:01.3228497
4 23 00:00:06.3823342 00:00:06.6295035 00:00:07.1370625 00:00:01.5636703 00:00:15.7968677
3 25 00:00:01.0278307 00:00:01.3590434 00:00:00.8927733 00:00:00.4077277 00:00:01.7418810
4 25 00:00:07.5180456 00:00:08.0922270 00:00:09.9376512 00:00:01.9670209 00:00:21.4378470
3 27 00:00:01.3790511 00:00:02.0091743 00:00:01.2312172 00:00:00.5849421 00:00:02.1442820
4 27 00:00:11.7061764 00:00:13.2418457 00:00:16.3981908 00:00:02.6043156 00:00:36.2557142
3 30 00:00:06.9072911 00:00:11.0285861 00:00:06.4411422 00:00:02.3000004 00:00:08.3767682
4 30 00:01:34.8726564 00:01:32.92932960 00:02:11.0728935 00:00:19.9987473 00:05:19.1743587
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
Заключение
Исходя из полученных результатов, можно заключить, что упорядочивание исходной матрицы загрузки в порядке убывания сумм строк всегда приводит к уменьшению времени оптимального решения, причем для рассмотренных вычислительных экспериментов минимальная разница в 1,5 раза. Данное упорядочение позволяет существенно упростить проектирование сложных систем разработчикам.
Список источников
1. Плотников В.Н., Зверев В.Ю. Методы быстрого распределения алгоритмов в вычислительных системах // Техническая кибернетика. 1974. № 3.
2. Повышение эффективности алгоритма Плотникова-Зверева по различным критериям / В.Г. Ко-бак, В.М. Поркшеян, А.Г. Жуковский, К.В. Подрез // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2023. № 3. С. 5-15. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2023-3-5-15
3. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн; под ред. Л.Н. Красножан. М.: Вильямс, 2013. 1328 с.
4. Полиномиальное время // [СГУ]. URL: http://rain. ifmo.ru/cat/view.php/theory/algorithm-analysis/np-co mpleteness-2004 (дата обращения: 15.05.2024)
5. Кононов А.В. Актуальные задачи теории расписаний: вычислительная сложность и приближенные алгоритмы: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2014. 196 с.
6. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука; 1987. 250 с.
7. Нейдорф Р.А., Кобак В.Г., Красный Д.Г. Модификация алгоритма распределения в неоднородной системе обработки информации. М.: Научное знание: Новые реалии, 2007. Вып. 2. 212 с.
8. Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. М.: Радио и Связь, 1983. 272 с.
9. Конвей Р.В., Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975.
10. Панфилов И.В., Половко А.М. Вычислительные системы. М.: Сов. радио, 1980.
References
1. Plotnikov V.N., Zverev V.Y. Methods for rapid distribution of algorithms in computing systems. Technical Cybernetics. 1974;(3). (In Russ.)
2. Kobak V.G., Porksheyan V.M., Zhukovsky A.G., Podrez K.V. Improving the effeciency of the Plotnikov-Zverev algorithm by various criteria. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki= Bulletin ofHigher Educational Institutions. North CaucasusRegion.TechnicalSciences. 2023;(3):5-15. (In Russ.) DOI:10.17213/1560-3644-2023-3-5-15.
3. Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C. Algorithms: Construction and Analysis. Moscow: Williams; 2013. 1328 p. (In Russ.)
4. Polynomial time. Available at: http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/algorithm-analysis/np-completeness-2004. (accessed 15.05.2024)
5. Kononov A.V. Current problems in scheduling theory: computational complexity and approximate algorithms. Doct. Sci. (Phys.-Math.) thesis abstract. Novosibirsk; 2014. 196 p.
6. Alekseev O.T. Comprehensive application of discrete optimization methods. Moscow: Nauka; 1987. 250 p.
7. Neidorf R.A., Kobak V.G., Krasny D.G. Modification of the distribution algorithm in a heterogeneous information processing system. Moscow: Scientific Knowledge: New Realities; 2007. Issue 2. 212 p. (In Russ.)
8. Golovkin B.A. Calculation of characteristics and planning ofparallel computing processes. Moscow: Radio and Communication; 1983. 272 p. (In Russ.)
9. Conway R.W., Maxwell W.L., Miller L.W. Theory of Scheduling. Moscow: Nauka; 1975. (In Russ.)
10. Panfilov I.V., Polovko A.M. Computational Systems. Moscow: Soviet Radio; 1980. (In Russ.)
Сведения об авторах
Кобак Валерий Григорьевичв - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», valera33305@mail.ru
Сидоренко Виталий Васильевич - студент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», playhardgopro29@gmail.com
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 3
Information about the authors
Valeriy G. Kobak- Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», valera33305@mail.ru
Vitaliy V. Sidorenko - Student, Department «Software of Computer Facilities and Automated Systems», playhardgopro29@gmail.com
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 10.06.2024; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 25.06.2024; принята к публикации / acceptedfor publication 27.06.2024.
