CC BY
30
Раздел I. Теоретические аспекты математического
моделирования
УДК 519.61
А.И. Сухинов, АЛ. Шишеня УЛУЧШЕНИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА Y1
-
С АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Получена улучшенная оценка параметра Yi для попеременно-треугольного метода за счет отдельного рассмотрения диагональной составляющей матрицы задачи. Приведены математические выкладки и результаты численных экспериментов в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона, а также в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона
с линейной функцией источника вида qu(x).
Численные методы; итерационные методы; попеременно-тр^гольный метод; урав-.
A.V. Shishenya, A.I. Suchinov
IMPROVEMENT ETIMATION OF Y1 FOR SSOR WITH A PRIORI
INFORMATION
In the article Yi parameter estimation was improved at the expense of separate analyzing of diagonal component of the matrix. Calculations and results of numerical experiments for Di-richlet problem of Poisson equation and Poisson equation with linear source function of qu(x) kind are given in the article.
Calculus of approximations; iteration method; SSOR; Poisson equation.
Численное решение дифференциальных уравнений математической физики методом конечных разностей проводится в два этапа. На первом осуществляется разностная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке - написание разностной схемы, на втором - решение разностных уравнений, которые представляют собой систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка . , , -ладает ленточной структурой. Для решения таких уравнений разработаны специ.
при выборе переобусловливателя позволяет ускорить сходимость процесса. Учет диагональной составляющей матрицы позволяет улучшить оценки для априорной информации и тем самым улучшить сходимость метода.
-
Ах = f (i)
с симметричной положительно определенной матрицей А — А > 0 вида А — аЕ + А, где А — Я + Я , а> 0,
ву —+А/ = /,
Т+1
(2)
Уо — v,
где матрица переобусловливателя имеет вид:
В — ^ Е + ^аЕ + ^^Е + ^аЕ + — ^ Е^ 1 + ®-|а + ®Я^^ 1 + ®-|а + ®Я*.(3)
Обычно априорная информация для ПТМ задаётся в виде постоянных 8 и Д из неравенств
* А *
8Е < А, ии < — А, где А — и + и ,
4
где и - верхнетреугольная часть матрицы А, однако в нашем случае зададим
априорную информацию константами 8 и Д,
где
8Е < А , ЯЯ <-А, 4
(4)
Здесь в качестве 8 и Д можно взять максимальное и минимальное собственные значения матрицы А, тогда получим:
(8 + а)Е < А, (5)
аД ^ ^ А , ЯЯ +—Е <—А. 4 4
(6)
Для нахождения оптимального значения параметра (О метода необходимо оценить у1 и у2 из неравенств
уВ < А < у2 В. (7)
Оценка сверху является неулучшаемой и не требует априорной информации:
В(о)- В(-о) — ( + ои)(/ + ои) -(I -ои)(/ -ои) — 2оА, В(-о)> 0, В (о) — В (-о) + 2оА > 2оА.
То есть оценка сверху имеет вид
1
У2
2а
(8)
Получим теперь оценку снизу. Воспользуемся неравенством (6): В (о) — (1 + о—а Е + (о( 1 + о—+ Я ^) + о2ЯЯ —
^' а— Г, — 2 а—'
1 + о— -о— 1 + о— -о —
2) V 2) 4у
Е + о 1 + т—[А + аЕ ) + о2^ ЯЯ* +—Д <[1 -°2 — (а + д) Е + °1 + ^ + ^ А.
Е <
Рассмотрим теперь два случая в зависимости от области изменения парамет-
ра о.
Пусть о2 — (а + Д) < 1. Воспользуемся неравенством (5):
В <|1 -о—{ос+д)\е+°1+о—+|]|А <( I1 -°2—{а+д)\-8—+w\1+о—+д|| |а.
8+а
2 4
Или после преобразования В <
То есть оценка снизу имеет вид
У1 —
^ 1 2 / 1 о
-----+ о+—
8 + а 4
V
2 8(Д-8)
8 + а + —----
8 + а
( 1 2 ( 1 со1
---------+ СОЛ-----
8 + а 4
V
V
2 ( 8(Д-8)
8 + а+ —------
8 + а
\\
//
А.
V
чу1
))
(9)
Пусть о2 — (а + Д) > 1. Воспользуемся неравенством (Д + —Е > А:
.2 а
4
В <
1 -о2 —(а+Д) 4 '
Е + о
г — ДлЛ
1 + о
<
1 -о2 —(а+Д) 4
1
а+Д
V
• + о
\ 2 + 4УУ
А <
1 + о
V V
а Д 2 4
А —
'/У
1 о , дХ
----+ о +—(а + Д)
а+Д 4 у '
А.
То есть оценка снизу имеет вид
К
{ 1 о \ 1
----+ о+—(а + Д)
а + Д 4 v ’
(10)
Итерационный параметр о найдём из следующего условия:
V
/ (о) — —~ ^ ш1п.
VI
Рассмотрим функцию f (о) на промежутке СО й
■Ja(a + Д)
.
при со й min
V
■у] (а2 + 2aS + SA)’ + А)
Далее будет показано, что
2 2
реальных задачах
й
^а(а + А) + 2aS + £а)
Функция f (о) на промежутке СО>
возрастает при
Ґ
со> max
a + Д ^a— + Д) ) ^a(a + Д)
V
достигает минимума при
^Ja(a + Д)
. Таким образом, функция f (о)
О
Л|a(a + Д)
Yl (—) =
1 1 - + -
v-г
sJa + Д yfa
1 О)\ А\ 1
+ —+—(a+Д) = — 4
V
1 і д
l+W1+—
a
(11)
^г)
. -
метода имеет место равенство
YY=1
Yl 4
IД + —+ S + a S + a \ Д + a
1
+.
г
(14)
y2 y2
И, хотя в общем случае неравенство — < — выполняется не всегда, но на
Yi fi
практике величина (i3) часто оказывается меньше.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона с линейной функцией источника:
qu =Au + f, u = и,
\r r
где q = const, тогда аппроксимация этого уравнения конечными разностями имеет вид
г
г
г
в
г
г
г
г
г
Уі+и - 2 Уі.і + У-і.і , у і. 1+1 - 2 Уі.і + у і. 1-1 , е
УУ‘ =—1—-г------------1+—------------г—- + Лу. ( 1)єа,
К К (15)
Уі. 1 =М,.1. (і.1 )еГн.
Здесь А — дЕ + А , А — Л1 + Л 2, где Л1, Л 2 - матрицы операторов вторых разностных производных по X и у соответственно. В этом случае априорная информация имеет вид
О 4 • 2
О = — 81П
К2
Пгг
л 4 2
А = —— 008
К
V 2 у
Ґ -Г- Л
42 + —Г- 81П
г 2
пН„
V 2 у
пК
4 2
+ —г 008
г 2
ПКУ
V 2 У
(16)
При разностной аппроксимации задач, в частности задач теплопроводности , -
ничение вида
' 1 Л
д = О Чігну
Учтем этот факт и при проведении численного эксперимента. Предполо-1
ЖИМ, ЧТО д = ■ == .
А2+к2
Далее приведена таблица зависимости числа узлов от количества итераций.
Количество узлов по каждому направлению Количество итераций (стандартная нижняя оценка для ПТМ) п1 Количество итераций (улучшенная нижняя оценка для ) п2 Ускорение П1/П2
10 18 15 1.2
20 32 26 1.2
30 45 33 1.4
40 57 39 1.5
50 68 44 1.5
60 79 49 1.6
70 88 54 1.6
80 97 58 1.7
90 106 63 1.7
100 114 67 1.7
Идея выделения диагональной составляющей матрицы с целью улучшения оценок параметров метода может быть применена и в случае, когда явно такая составляющая отсутствует. Представим матрицу А системы (1) в виде А — аЕ + А , где А — А - аЕ, А > 0. Пусть А — Я + Я*, где Я - верхнетреугольная часть матрицы А . Если для матрицы А выполняются неравенства 8Е < А < ДЕ , то
(О - а)Е < А < (А - а)Е, а<О.
* Д-а (Д-а)
ЯЯ +а-------Е <±------- А,
4 4
(17)
(18)
т.е. (-а) и (А-а) - максимальное и минимальное собственные значения оператора А . Оценка для у2 даётся формулой (8). Оценим у1 :
в (а)
Ґ
Е + а
V
а
— Е + Я
V 2
= Е
ґ \ 2 /
1 л а 1
1 + а—
2
+ а
■ у
уу
і а 1 + а—
2
Е + а
а
— Е + Я
V2 у у
( + Я* ) + а2 ЯЯ* =
1 - аа2 — V 4
с
+ а
а
1 + а
V 2
а
у
.2 Д
Рассмотрим случай, когда 1 - аа — < 0. Используем неравенство
4
ДЕ > А:
В (а) = Е ^ 1 - аа2 Д j + а^1 + а^О^Я + Я* + аЕ) + а2 ^ЯЯ* + а
Д\
а
Д[1 -аа + а\ 1 + а— \ + а'
1 2 Д^1 ,
—+а+а— А.
Д 4)
В этом случае
. Д-а
а
Д-а
а
Е <
а
А =---а — + а + а — + а-а — А =
ЇІ
1
,2
Д
+ а + а V Д 4
(19)
1 2 Д
—+а+а — О 4
л-1
. Очевидно, у1 >У1,
У
Обычная оценка имеет вид у1 — т.е. полученная оценка лучше. Оптимальный параметр о получим из условия
V
/ (о) — —~ ^ т1п.
VI
На промежутке о > .---- функция / (о) имеет
>/аД
_/ ч 1 1 оД 2
/ (о) —-------I----I----и достигает минимума в о —
вид
2аД 2 8
у[аК
Положим о
4—Д
, :
Гг
1 2 1
---1--1= +----
Д ыаД а
Л-1 —
, У2
4
■ —8
где д — —,
Д
1 —1+ П — \ Р 1 -п
\
д + 4д + 6 + 4д-2 + 8
+
д + 4%-2 1д ■^'Д-2 ■^у^-2
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона:
Ди — - /,
и — и.
\у Г
После дискретизации получим сеточное уравнение:
У+1, j - 2 У, ] + У -1, j , У, ]+1 - 2 у;, j + У, ] -1
н2
■+■
— -£,j, (,j )е
о
н ’
(20)
(21)
(22)
(23)
Оценим количество итераций, необходимых для решения полученного СЛАУ, с точностью £.
г ПН ^ . 8 2 (Пгл
Пусть
г пН л
8 8 • 2 8 — —Г 81П н2
V 2 у
82 Д — — 008 н2
V 2 у
тогда
V 2 у
2-----Н , и согласно (21) имеем:
4
8
: 1 + -
8Н
4 + П _ 2 "1 +ПН1 _ 2н
пН 2 п 2
2
2
1п
т
V р Р
= 4пК.
1п
Итак, требуемое число итераций равно П0 (ё) =---------. Для сравнения ко-
4лк
/о \
1п
личество итераций в случае обычных оценок равно Й0 (е) = ■
V е )
2пг
т.е. улучше-
ние оценки позволяет сократить число итераций в 2 раза, что подтверждается численными экспериментами.
Далее приведена таблица зависимости числа узлов от количества итераций.
Количество узлов по каждому направлению Количество итераций ( П) П1 Количество итераций (улучшенная оценка Гг) П2 Ускорение П1/П2
10 20 12 1.7
20 41 23 1.8
30 64 34 1.9
40 87 46 1.9
50 111 58 1.9
60 135 70 1.9
70 161 83 1.9
80 186 96 1.9
90 212 109 1.9
100 239 122 2.0
Рис. 1. Количество итераций, необходимых для решения сеточных уравнений попеременно-тр^гольным методом при использовании стандартной оценки у1 : 1 - улучшенной оценки /1 ; 2 - в зависимости от числа узлов сетки
Щ/П2 2т
Рис. 2. График, показывающий во сколько раз меньше итераций необходимо при использовании улучшенной оценки у1 по сравнению со стандартной Y1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А.А., Николаев Е.С Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.
2. Самарский А А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
3. Коновалов AM. К теории попеременно-треугольного итерационного метода // Сибирский математический журнал. Май-июнь, 2002. - Т. 43. № 3. - C. 552-572.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: sukhinov@gmail.com.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 88634310599.
Шишеня Александр Владимирович E-mail: primat-55-alex@yandex.ru.
Тел.: 8928322282; +79081761837.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sukhinov@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
Shishenya Alexander Vladimirovich
E-mail: primat-55-alex@yandex.ru.
Phone: 8928322282; +79081761837.
