CC BY
55УДК 514.85
УЛИТКА ПАСКАЛЯ LIMACON OF PASCAL
Долгов Д. П., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск dolgov.mitia2016@yandex.ru
Аннотация. В работе рассматривается Улитка Паскаля, её частные случаи, построение, а также её свойства и применение.
Ключевые слова: улитка Паскаля, декартов овал, конхоида, эпитрохоида, кардиоида.
Abstract. The paper deals with limacon of Pascal, its special cases, construction, as well as its properties and application.
Key words: limacon of Pascal, Cartesian oval, conchoid, epitrochoid, cardioid.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Алтай в рамках научного проекта № 20-413-040003 р_а.
Улитка Паскаля - плоская алгебраическая кривая 4-го порядка [3]; конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её. Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалему современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды [1].
1. Даны: Точка O (полюс), окружность K диаметра OB = a (рис. 1), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок l. Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки PM1 = PM2 = l. Геометрическое место точек M1, M2 (жирная линия на рисунке 1) называется улиткой Паскаля [2].
2. Уравнение в прямоугольной системе (начало координат - в полюсе О ось ОХ направлена по лучу OB):
Это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса О, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рисунке 1.
1. Уравнение в полярной системе (О - полюс, ОХ - полярная ось):
p = acos(p+ I, где ср0 < ср < <р0+2л.
Параметрические уравнения:
у
L"
4
Рисунок 1 - Построение Улитки Паскаля
3. Особенности формы. Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку:
1) в точке О (если последняя принадлежит улитке);
2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками a = OB и l = AB = BC.
1) Когда l: (a < 1), то линия 1 жирная и для нее l: а = 1 : 3 улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке О, образуя две петли: внешнюю OHA^Gq и внутреннюю ОН С^О'О-
(р - 0 соs<p - - - sin <р -
ее
Угловой коэффициент касательных в узловой точке:
а
Для построения касательных достаточно провести хорды ОЭ, ОЕ длины ; в окружности К. Наиболее удаленным от оси точкам С, Н внешней петли отвечает значение:
С05 ф = -
.
Наиболее удаленным точкам О' >Н внутренней петли - значение:
со$<р -
4а
Соответствующее значение полярного радиуса:
pG< = а ■ созф^ + i =
.
2) Когда 1га = 2 (линия 2 на рис. 1), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча ОХ сменяется пии ляяем в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам I, N отвечают значения:
.
Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной». Термин введен Кастиллоном в 1741 г.
3) Когда 1 < к а < 2 (линия 3; для нее .';а = 4-3 ), улитка Паскаля - замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси
точкам 1',Л" отвечает значение =——^—Лишившись точки возврата, улитка приобретает
взамен точки перегиба Я.ф которым отвечает значение = — — Угол Д0(?: = 2тг— 2<рК)
под которым отрезок виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до 2агссоз1^-; этому значению соответствует 1-,а = \ 2. При дальнейшем увеличении 1-. а угол I?0<? убывает, стремясь к нулю при 1-. а 2.
4) При = 2 точки перегиба, сливаясь с вершиной С, пропадают (причем кривизна в точке С становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях!; п > 2 (линия 4; для нее 1-.а = 7:3). Наиболее удаленным от оси точкам V, ДГ'отвечает значе-
COS<p =
-\12 + Ва2~1
ние 4 а
4. Свойство нормали. Нормаль улитки Паскаля в ее точке (см. рис. 2) проходит через точку N основной окружности К, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.
5. Построение касательной. Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M соединяем последнюю с полюсом О. Точку N основной окружности К, диаметрально противоположную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке.
Проводя прямую MT, перпендикулярную MN, получим искомую касательную.
Рисунок 2 - Свойство нормали
2. Радиус кривизны в точках A, C, O:
Последнее выражение предполагает, что I < а (при i > д точка О обособлена от улитки). В частности, для кардиоиды (J = а точки О и С совпадают):
4
.
3. Площади. Площадь S описываемая полярным радиусом улитки при полном обороте:
5 = (±а2 + *г}тг 5 = -™-
' . Для кардиоиды: 2 . Площадь кардиоиды равна шестикратной площади основного круга.
5. Длина дуги улитки Паскаля в общем случае не выражается через элементарные функции.
Ф
S — 4й Silt —
Для кардиоиды длина s дуги, отсчитываемой от вершины А (ф = 0): 2. Длина всей кардио-
иды составляет 8а, т.е. равна восьмикратному диаметру основного круга.
6. Связь с окружностью. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных на касательные к окружности радиуса r с центром В из какой-либо точки О, есть улитка Паскаля. Если точка О лежит в плоскости окружности В, то полюсом улитки пии ется О, основная окружность строится на отрезке OB = а как на диаметре; постоянный отрезок I, откладываемый на полярном луче, равен радиусу r окружности В.
Когда точка О лежит на окружности В, улитка Паскаля является кардиоидой.
Свойства:
Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды.
Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:
.
При а - площадь внутренней петли при вычислении считается дважды [1].
Улитки Паскаля находят широкое применение в технике. Производство кулачков вращающихся с постоянной угловой скоростью, у которых профиль вычерчен по улитке, а центр вращения расположен в ее полюсе. Выполнив толкатель в виде стержня с острием или роликом, сообщим ему перемещение по исходящей из полюса прямой. Мы получим движение, подчиняющееся гармоническому закону, с плавным нарастанием скорости от нуля к середине хода толкателя и таким же плавным ее снижением к концу хода.
Библиографический список:
1. Улитка Паскаля. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki (дата обращения 23.12.2019). - Текст: электронный.
2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / И. Я. Выгодский. - URL: http://know.sernam.ru/dict_math.php?id=519 (дата обращения 23.12.2019). - Текст: электронный.
3. Дружкова, Т. А. Улитка Паскаля как интегральная кривая квадратичного дифференциального уравнения / Т. А. Дружкова, Е. А. Сиротина // Вестник Нижегородского университета имени Н. И. Лобачевского. - № 13. - С. 120-125.
УДК 372. 851
МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ METHODOLOGICAL PROBLEMS OF STUDYING THE DERIVATIVE IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
Ветрова А. В., студент Колосова В. В., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск vetrova_alyona777@mail.ru, vika_kolosova@mail.ru
Аннотация. В данной статье рассматриваются методические проблемы изучения производной в школьном курсе.
Ключевые слова: производная, первообразная, касательная, кривая.
Abstract. This article discusses the methodological problems of studying the derivative in a school course.
Key words: derivative, antiderivative, tangent, curve.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Алтай в рамках научного проекта № 20-413-040003 р_а.
По данным 2019 года, обучающиеся 11 классов, которые сдавали профильную математику в качестве выпускного экзамена, согласно статистико-аналитическому отчету о результатах государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования [1], в группе не преодолевших минимальный балл задания номер семь уровня сложности Б оказалось 68,84% участников тестирования. Это говорит о том, что на данный момент существует острая необходимость повышения количества обучающихся, которые способны благополучно решить задачи этой категории.
В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» широко представляется данная тема [2]. В основе изучения производной изучаются такие понятия, как предел последовательности, предел функции, определение производной, уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной. Также в этом курсе присутствуют две теоремы. Первая утверждает о непрерывности необращённой в нуль функции f и сохранении ее знака на заданном интервале (a, b), а вторая о том, что касательная к графику функции f дифференцируемой в точке x0 проходит через точку (x0, f) и имеет угловой коэффициент f (x0) [3]. Перед изучением нового материала обучающиеся обязательно должны вспомнить и сформулировать понятия, изученные ранее. К ним относятся: линейная функция, элементарная функция, приращения функции и аргумента. Важной составляющей закрепления темы являются задачи на определение монотонности функции, нахождения промежутков возрастания и убывания, на применение геометрического смысл производной, на применение производной к исследованию функций и построению графиков.
Эти важные теоремы имеют глубокий математический смысл, а значит они полезны для решения задач этого блока из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ [3; 4].
Как только обучающиеся запомнили необходимые понятия и теоремы, можно приступать к решению задач. Приведем несколько примеров задач на применения геометрического смысла производной и производной к исследованию функций.
Пример 1. На рисунке (см. рисунок 1) изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; -4), C (-2; -4) (см. рисунок 2).
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу АСВ. Ответ: 2.
