Угловые и линейные меры измерений в древнее время Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528 (091) 528 (092)

Г.Н. Тетерин, М.Л. Синянская СГГА, Новосибирск

УГЛОВЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ МЕРЫ ИЗМЕРЕНИЙ В ДРЕВНЕЕ ВРЕМЯ

В данной статье рассматриваются образцовые и рабочие меры, преимущественно прямого угла, в том числе, связанные с египетским треугольником.

G.N. Teterin, M.L. Sinyanskaya

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

ROTARY AND LINEAR MEASURES IN ANCIENT TIME MEASUREMENT

This article describes the model and operating measures, mostly direct angle, including the Egyptian triangle.

Положение объекта в 3-мерном пространстве в древнее время определялось по расстоянию, удалению и с помощью углов ориентации в горизонтальной и вертикальной плоскостях. В определении двух углов ориентации фактически использовались два принципа влияния: «принцип вертикаль-горизонталь» и «принцип 4-х направлений» (ПВГ и П4Н) [1]. В основе этих принципов лежит прямой угол. Таким образом, положение объекта в пространстве определялось путем измерения расстояний и построения прямого угла.

Использование прямого угла в деятельности людей осуществлялось не только в целях ориентации в пространстве, но и в целях его в организации, в создании вторичной среды - среды обитания, которая была «прямоугольной».

Измерять расстояние человек стал, как только научился считать (около 50 тыс. лет назад). Столь же давно, в глубокой древности, человек стал использовать прямой угол в ориентации в пространстве и в хозяйственной деятельности. Важнейшими геометрическими фигурами, использовавшимися в геодезических работах, в древнее время были прямой угол и прямоугольный треугольник, а также прямая линия. Материальным воплощением этих трех фигур были геодезические измерительные устройства: мерная веревка, землемерный крест и ватерпас. Геодезическая технология вполне отвечала геометрии отмеченных фигур и геодезических инструментов, поэтому являлась прямолинейно-прямоугольной [2]. Следует заметить, что прямой угол (ПУ) стал рассматриваться как величина (п/2, 90°) примерно с середины первого тысячелетия до н.э.

В древнее время единицы измерений были преимущественно антропного происхождения (локоть, шаг, пядь). В отдельных случаях меры устанавливались с учетом циклических процессов (смена суток, погодные условия и т.п.). Такого рода циклы и ритмы природы способствовали изготовлению некоторых средств измерений.

При большой потребности в прямом угле (в измерениях, в хозяйственной деятельности) была необходимость в изготовлении образцовых и рабочих мер этого угла.

Источниками и средством построения прямого угла был как сам человек (его фигура [1,3,4]), так и внешняя среда. Требовались, очевидно, в то время не только образцовые и рабочие меры измерений, но и шаблоны - в сфере мелких хозяйственных работ (строительных и др.).

Все, что касается прямого угла (истории его использования и применения в историческом плане, в том числе в геодезии), фактически не рассматривалось. Ниже исследуется эта проблема.

На первом этапе (до V тыс. до н.э.), точность всех измерений,

Л

проводившихся им была невысокой, в пределах 10" (1:100). Поэтому мерами измерений служили средства (в плане прямого угла), предоставлявшиеся окружающей средой или фигурой человека. Последнее достаточно подробно описано в работах [1, 3, 4].

Поскольку фигура человека «прямоугольна», то она позволяет строить прямые углы (в пределах точности 1:100), в частности, при межевании земель, как это описано в работах [1,3]. Из внешней среды образцы прямого угла можно было получить путем использования принципов влияния ПВГ и П4Н. На основе ПВГ получали прямой угол в вертикальной плоскости (ватерпас), а на основе П4Н - прямой угол в горизонтальной плоскости (землемерный крест). Прямой угол с учетом П4Н можно было также получить или по движению Солнца, или по линиям равноденствий и солнцестояний. На основе этих 2-х принципов можно было получить достаточно точное значение ПУ, хотя в нем еще не было особой необходимости.

Требования к точности пространственного положения объекта в строительстве, сельском хозяйстве резко возросли (на порядок) в 5-4 тысячелетиях до н.э. Пространственное положение в данном случае характеризуется точностью определения расстояния, а также такими геометрическими параметрами, как горизонтальность, вертикальность, перпендикулярность и построением прямого угла (как фигуры). Во всех перечисленных измерениях и построениях нужны были соответствующие геодезические устройства, измерительные системы, инструменты. Кроме этого требовались соответствующие образцовые и рабочие меры.

При формировании государственной общественной системы управления потребовался единый подход в соответствующих сферах деятельности, а вместе с тем образцы мер, единые в данной системе управления (город, государство).

Линейные образцовые меры были введены в крупных древних государствах (Египет, Вавилон и др.). В Вавилоне в качестве единой меры (образцовой) использовался куб, длины ребер которого определяли

общепринятую систему линейных мер (локоть и др.), а вес заполненного водой куба определял единицу веса (мина).

На рис.1 изображен древнеегипетский сановник с линейной образцовой мерой в руке. У древних германских народов (у Кимвров и Тевтонов, до н.э.) использовалась линейная мера - мерный шток, длиною 1,2м (пара шагов). Кстати, дороги в древней Греции и Риме размечались шагами (одна миля равна 1000 пар шагов). На коленях статуи короля Гудеа (Месопотамия) была выбита мера длины.

Мера ПУ в геодезических работах в литературе, применительно к древнему времени, не рассматривалась. Соответственно, не излагались требования и применяемые меры при построении и выполнении геометрических условий: горизонтальности, вертикальности и перпендикулярности. Создание рабочих мер, в плане осуществления и выполнения перечисленных геометрических параметров и условий, осуществлялось с учетом принципов влияния ПВГ и П4Н. Принцип ПВГ позволял контролировать и осуществлять условие вертикальности и горизонтальности (ватерпас и др.), а принцип П4Н позволял создавать образцовые и рабочие меры построения ПУ (простейшим из такого рода устройств являлся землемерный крест). На основе принципов ПВГ и П4Н в древнее время вполне могли получать как образцовые, так и рабочие меры. Образцовые меры устанавливались в определенном месте, например на ровной горизонтальной площадке, где мог устанавливаться достаточно длинный отвес (гномон) или проведены линии равноденствий и солнцестояний (или линии движения теней Солнца в течении суток).

Прототип ПУ мог представляться как в деревянном, так и в веревочном исполнении. В «веревочном варианте» в отличии от образцов, полученных на основе принципов ПВГ и П4Н (как описано выше) легко выполняется путем построения «египетского треугольника» со сторонами 3, 4, 5 единиц длины -Пифагорова тройка чисел. Эта тройка определяет прямоугольный треугольник (ПУ между катетами в 3, 4 ед. дл.). Если обозначить стороны треугольника через a, Ь, c, где a, Ь - катеты, с- гипотенуза, то согласно теореме Пифагора, для

2 , и 2 2

прямоугольного треугольника: a + Ь = c .

В египетском треугольнике использовались различные наборы троек пифагоровых чисел, в том числе 3, 4, 5. Эти тройки чисел можно определить по формуле: а=2^1, Ь=2п(п+1), c=2n2+2n+1, где п - целое число. В другом варианте некоторый ряд пифагоровых троек чисел можно обозначить как т, пЬ, п^ т.е.: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15... Египетский треугольник широко использовался в древнем Египте при строительстве пирамид. В частности, в архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков локтей. Египетский треугольник использовался также в Вавилоне.

«Веревочный» шаблон ПУ в качестве рабочей меры использовался как в сельском хозяйстве (при межевании), так и при строительстве.

Для получения образцовых мер в древнее время могли применяться гномоны. В качестве таких вполне подходили обелиски, воздвигавшиеся в древнем Египте достаточно часто. Обелиск (гномон) играл роль отвеса, а площадка служила горизонтальной плоскостью. С другой стороны, обелиск мог вполне подходить для реализации П4Н с учетом суточного движения Солнца или построения линий равноденствий или солнцестояний.

Существует два «теоретических» метода построения ПУ, не зависящих от внешней среды и от принципов влияния. Эти методы определяются теорией геометрии (планиметрии) и суть их такова:

1. С помощью циркуля и линейки можно построить вписанный треугольник в окружность, одна из сторон которого является диаметром этой окружности. Тогда при вершине треугольника противолежащей диаметру получится прямой угол (п/2), т.е. получится прямоугольный треугольник (рис. 2).

2. Второй метод построения ПУ сводится к построению прямоугольного треугольника на местности, стороны которого характеризуются одной из групп пифагоровых троек чисел, например, 6, 8, 10 ед.дл. (рис. 3). «Веревочный» вариант прямоугольного треугольника может быть получен и вне рамок пифагоровых чисел. Это могло быть осуществлено по трафарету, шаблону двух перпендикулярных линий.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Точность вынесенного прямого угла (его построения) могла вполне

2 4

соответствовать точности измерений древнего времени (10" - 10"), особенно при возведении сложных сооружений, таких как египетские пирамиды, храмы, дворцы. Оба метода «циркульный» и «пифагоровых троек» использовались при «разбивке» сооружений и при межевании.

Интересно отметить, что геометрию древнего времени часто характеризовали как геометрию циркуля и линейки. Аналогично и геодезию

этого времени можно определять как геодезию мерной веревки, землемерного креста и ватерпаса, или точнее можно определить геодезию как науку о построении (измерении) прямых линий и прямых углов. Позднее, в Новое время, геодезия стала наукой о линейно-угловых измерениях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тетерин Г.Н. Феномен и проблемы геодезии. - Новосибирск: СГГА, 2009. - 96с.

2. Тетерин Г.Н. История геодезии (до ХХв.). - Новосибирск: Альянс Регион, 2008. - 300 с.

3. Тетерин Г.Н. Древние измерительные системы и два принципа влияния (ПВГ и П4Н) [Текст] / Тетерин Г.Н., Тетерина М.Л. // «ГЕ0-Сибирь-2009» V Междунар. Выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. - Новосибирск: СГГА, 2009. - С. 123-124.

4. Тетерин Г.Н. Феномен прямого угла и прямиоугольности в геодезии [Текст] / Тетерин Г.Н., Синянская М.Л. // «ГЕ0-Сибирь-2010» VI Междунар. Выставка и науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. - Новосибирск: СГГА, 2010. - С. 48-51.

© Г.Н. Тетерин, М.Л. Синянская, 2011