Научная статья на тему 'Угловое распределение нулей случайных аналитических функций'

Угловое распределение нулей случайных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Теория функций комплексных переменных»

47
14
Поделиться
Ключевые слова
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / СЛУЧАЙНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ / СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ / УСРЕДНЕННАЯ СЧИТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ / ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Магола Мария Петровна, Филевич Петр Васильевич

Доказано, что для большинства (в смысле вероятностной меры) аналитических в единичном круге функций $f$ с неограниченной характеристикой Неванлинны $T_f(r)$ и для всех $\alpha

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Магола Мария Петровна, Филевич Петр Васильевич,

HE ANGULAR DISTRIBUTION OF ZEROS OF RANDOM ANALYTIC FUNCTIONS

It is proved, that for the majority (in the sense of probability measure) of functions $f$, analytic in the unit disk with unbounded Ne\-van\-lin\-na characteristic $T_f(r)$, and for all $\alpha

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Угловое распределение нулей случайных аналитических функций»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 122-135.

УДК 517.53

УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Аннотация. Доказано, что для большинства (в смысле вероятностной меры) аналитических в единичном круге функций / с неограниченной характеристикой Неванлинны уу (г) и дЛЯ всех а < Р < а + выполняется соотношение

где Nf (г,а,Р, 0) — усредненная считающая функция нулей / в секторе {г € С : 0 < |г| < г, а < aтga г < @}. При некоторых условиях на рост аналогичное утверждение получено и для целых функций.

Ключевые слова: аналитическая функция, случайная аналитическая функция, распределение нулей, считающая функция, усредненная считающая функция, характеристика Неванлинны.

Пусть Т>(г) = {г € С : |г| < г} для всех г € (0, 1п+ х = 1пшах{ж, 1} для каждого х € [0, и 5(г, а,0) = {г € С : 0 < |г| < г, а < г < @} для любых а,0 € К таких, что а < ¡3 < а + 2п (здесь г — то значение аргумента комплексного числа г = 0, которое принадлежит полуинтервалу [а, а + 2^)), Заметим, что = С.

Все мероморфные (в частности, аналитические) в круге функции, рассматриваемые в настоящей работе, считаем отличными от тождественно постоянных.

Используем в основном стандартные обозначения теории распределения значений ме-роморфных функций [1, 2]. В частности, если Я € (0, / — мероморфная в Т>(Я)

функция иг € (0, 'Я,), то пусть nf (г) — считающая функция полюсов /, т. е. число полюсов / с учетом их кратноетей в Т>(г), (0) = (0 + 0) гг/(г) = (г) — (0) и гг/(г,а,@) — считающая функция полюсов / в секторе (число полюсов f с учетом их кратноетей в 5 (г,а,@)), Усредненную считающую функцию полюсов, функ цию отклонения /от то, характеристику Неванлинны, максимум модуля и усредненную считающую функцию полюсов в секторе определяем согласно равенствам

Для каждого a G С положим Xf (г, а) := X(г), где X — одна из характеристик п, п, N,

m или ^ (r,a,ß,a) = п(r,a,ß), Nf (r,a,ß,a) = N i (r,a,ß) и пусть Cf (а) — первый

f—a f—а "

М.Р. Mahola, P.V. Filevych, The angular distribution of zeros of random analytic

functions.

© Магола М.П., Филевич П.В. 2012. Поступила 18 ноября 2011 г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

М.П. МАГОЛА, П.В. ФИЛЕВИЧ

ß - а

Nf (r,a,ß, 0) — Tf (г), г ^ 1,

1. Введение

отличный от нуля коэффициент в разложении Лорана функции f (г) — а в окрееноети точки г = 0,

Рассмотрим аналитическую в круге Т>(К) функцию

те

/ (г) = £ (1)

п=0

Учитывая, что для такой функции Tf (г) = га/(г), и используя (см., например, [3], с, 24) формулу Иенеена

1 С2ж

^(Г> 0)=2^Уо 1п 11(^)1^ — 1п Iе/(0)1, (2)

получаем

Ъ(г, 0) < Т,(г) — 1п |с/(0)|, г е (0, К). (3)

Кроме того, если Sf (г) = (^те0 |сга|2г2га)2, то, как следует из доказанной далее леммы 4,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Т/(г) < 1 + 1п+ 5/(г). (4)

(Верно также неравенство Tf(г) < шах {2, 1nSf (г)}; см, [4].) Следовательно, если характеристика Sf (г) ограничена на (0, К), то на этом интервале ограниченными будут также характеристики Tf (г), Nf (г, 0) и Nf (г,а,@, 0),

Отметим, что основные результаты теории распределения значений аналитических (и, более общо, мероморфных ) в круге Т>(К) функций [1,2] содержательны лишь при условии, что характеристика Tf (г) является неограниченной па (0,К), Как оказывается (см, ниже), это условие для "большинства" аналитических в Т>(К) функций равносильно условию

5/(г) ^ г^К. (5)

Класс аналитических в Т>(К) функций вида (1), для которых выполняется условие (5), обозначим через Н(К), Заметим, что Н(+ж>) совпадает с классом целых функций (отличных от тождественно постоянных).

Рассмотрим любое вероятностное пространство (П, А, Р), где П — некоторое множество, Р — полная вероятностная мера, а Л — а-алгебра измеримых относительно Р подмножеств П, и предположим, что па этом пространстве существует последовательность Штейнгауза (ип(и)), т. е, последовательность независимых равномерно распределенных на [0,1] случайных величин (примеры таких вероятностных пространств и соответствующих последовательностей Штейнгауза приведены в [5]), Далее вероятностное пространство и последовательность Штейнгауза считаем заданными и фиксированными.

Наряду с аналитической функцией $ е Н(К) вида (1) рассмотрим случайную аналитическую функцию

те

и (г) = ^ е сга ^. (6)

п=0

Будем говорить, что случайная аналитическая функция (6), почти наверное (п, п.), обладает некоторым свойством, если вероятность события, состоящего в том, что для функции (6) заданное свойство выполняется, равна 1,

Распределение значений функций вида (6) изучалось в работе А, К, Оффорда [6] (в случае К = 1), а также в нашей работе [7] (при К = Ограничимся формулировка-

ми результатов из [6, 7] лишь в частях, непосредственно относящихся к распределению нулей случайной аналитической функции (6), В частности, имеет место такая теорема А, К, Оффорда [6].

Теорема А. Пусть f е Н(1) — аналитическая функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) п. н.

ИШ = 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ínSf (г)

и щ(г,а,3, 0) — т —У 1, для любых а,3 е Ш таких, что а < 3 <а + 2-к.

Следующие теоремы в случае К = +<ж> (т. е. для целых функций) доказаны в [7].

Теорема 1. Существует абсолютная, постоянная С > 0 такая, что если, К е (0, +ж] е Н ( К)

ции (6) п. н. выполняется неравенство

1nSf (г) <Ми (г, 0) + С 1пЫи (г, 0), го(ш) < г< К. (7)

Теорема 2. Пусть К е (0, +ж], / е Н(К) — аналитическая функция вида, (1), Н(х) — возрастающая к на, [х0, +ж) функция, а, (гк) — положительная возрастающая к К последовательноть. Тогда существует подпоследовательность (гкр) такая, что для, случайной аналитической функции (6) п. н.

1nSf (гкр) < (гкр, 0) + Ь,(Ыь (гкр, 0)), р> р0(ш).

Доказательства теорем 1 и 2 в случае произвольного К е (0, +ж] аналогичны доказательствам этих же теорем в случае К = +<ж, Мы приведем эти доказательства для полноты картины.

Если говорить об угловом распределении нулей аналитических в круге функций в терминах характеристик nf (г,а,3,0) или Nf (г,а,3, 0), то этот вопрос изучен сравнительно мало. Более того, задачи такого рода рассматривались в основном для целых функций [8, 9], Введя вначале некоторые определения, сформулируем один из наиболее общих результатов в этом направлении (теорема В), принадлежащий У, К, Хейману и Дж, Ф, Росси [8].

Напомним, что порядком целой функции называется величина

-— 1п1п М/ (г) Р1 = Иш -.—I-.

г^+те 1п Г

Нетрудно доказать, что в этом определении Мf (г) можно заменить на Sf (г).

Для измеримого относительно линейной меры Лебега ^множества Е С (0, +ж) границы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

!1Ш МЕ П [0 г]), 11ш ^(Е П [0, г])

г^+те г ' г

называются соответственно его верхней и нижней плотностями. Если верхняя плотность равна нижней, а <1 — их общее значение, то говорят, что множество Е имеет плотность

Теорема В. Пусть f е Н(+ж) — целая функция порядка > 0 такая, что

1пМ/(г) (г), Е\ эг — +ж,

где Е\ С (0, +ж) — множество, имеющее плотность 1. Тогда, существует множество Е2 С (0, +ж), верхняя, плотность которого равна 1, такое, что для, любых а,3 е Ш, а < 3 < а + 2ж, выполняется соотношение

3 а

(г, а, 3, 0) ---—Т1 (г), Е2 эг — +ж.

Используя теоремы 1 и В, можно доказать, что если / е Н(+ж) — целая функция порядка pf > 0 вида (1), то для случайной целой функции (6) п. н, существует множество

Еш С (0, +ж), верхняя плотность которого равна 1, такое, что

в - а

Nfu (г, а, в, 0) - lnSf (г) (8)

при Еш э т —У +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к, Мы не будем останавливаться на обосновании этого факта, поскольку ниже докажем более сильное утверждение.

Основными результатами нашей работы являются следующие теоремы о распределении нулей случайных аналитических функций в углах.

Теорема 3. Пусть R S (0, +ж) u f S V(R) — аналитическая функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при г — R для, любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 4. Пусть Е С (0, +ж) — неограниченное множество, а f S %(+ж) — целая, функция вида, (1), для которой

.. In Sf (г)

lim м J = +ж. (9)

ЕЭг^+<х ln г ln ln г

Тогда, для случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2-к.

Теорема 5. Пусть f S %(+ж) — целая, функция вида, (1). (г) Если

ln Sf (г) lim —ö—= +ж, ln г ln ln Г

то для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при г — +ж для, любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к. (п) Если

um ^(r)

г^+те ln r ln ln r

то существует множество Е С (0, +ж), верхняя, плотность которого равна 1, такое, что для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к. (iii) Если

— ln Sf (г) lim f

r^+те ln T

то существует неограниченное множество Е С (0, +ж) такое, что для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к.

Замечание 1. Если в = а + 2к, то Nfш (г, а, в, 0) = Nfш (г, 0), Согласно теореме 1 и неравенствам (3) и (4), примененным к функции fu, п. н, имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Nf„ (г, 0) - lnSf (г), r — R.

Поэтому, доказывая теоремы 3-5, можем считать, что а < в < а + 2к, Кроме того, поскольку Nfш (г, а, в, 0) + Nfш (г, в, а + 2к, 0) = Nfш (г, 0), то в доказательствах этих теорем достаточно ограничиться установлением соотношения

в а

Nfu (г, а, в, 0) < (1 + о(1)) lnSf (г)

вместо соотношения (8),

lim 1 2 fУ =+ж, (10)

lim 1 f( ) = +ж, (11)

Замечание 2. Утверждение (1) теоремы 5 является непосредственным следствием из теоремы 4, Из этой же теоремы как следствие получим также утверждение (11) теоремы 5, Теорема А, как легко видеть, следует из теорем 1 и 3,

2. Вспомогательные результаты

Пусть Я € (0, г Е (0, Я) и д — аналитичеекая в круге Т>(Я) функция. Положим

£д(г) = [0 Е Е : д(Ье%в) = 0 для всех Ь Е (0, г]},

£д(Я) = [в Е Е : д(гегв) = 0 доя всех г Е (0, Я)}.

Заметим, что множество Е\£д(Я) те более чем счетное и £д(г2) С £д( г 1), если 0 < г1 < г2 < Я. Множество £д (г) является периодическим в том смысле, что 9 Е £д (г) тогда и только тогда, когда (9 + 2п) Е £д(г). Кроме того, [0, 2п)\£д(г) является конечным множеством для всех г Е (0,Я),

Предположим, что д(0) = 1, и зафиксируем произвольное 9 Е £д(г). Тогда <?(£егв) = 0 для каждого Ь Е [0, г]. Учитывая это, через ьд(£, 9) обозначим непрерывное значение аргумента функции д(Ьегв) такое, что ьд(0, 9) = 0, и положим

У, (Г, ¿0 = ^ ^д (*, 9) т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Хорошо известным является следующее утверждение (см, [8], [9], а также [3], с, 188),

Лемма А. Пусть Я Е (0, г Е (0, Я) и д — аналитическая в круге Т>(Я) функция (0) = 1

(г) для, любых а,3 Е £д(г) таких, что а < 3 < а + 2ж, верно равенство

1 1Ф

Ыд (г,а,3,0) = — 1п 1д(гегв)1(19 + Уд (г, а)-Уд (г,3);

(И) для, всех а, 3 Е Е таких, что а < 3 < а + 2ж, имеем,

Г3 1 Г г гИ

^ Уд (г, 9)гГ9 = Уо (1п 19 (гега)1- 1п 1д (1ег3) |) 1п — .

Рассмотрим любой интервал ( <р,ф) С £д(г), зафиксируем в нем некоторую точа 3 = а 5(г, ш1п[а,3}, тах[а,3}) нет нулей функции д, а поэтому

Ыд(г, ш1п[а, 3}, шах[а, 3}, 0) = 0.

Согласно утверждению (1) леммы А, имеем

2 г3

2тт

Уд (г,3 ) = Уд (Г,а) + — 1п 1д (г егв )1гГ9.

Поскольку при фпксованном а функцпя у(3) = 1п 1д(гегв)1<Г9 является непрерывной и ограниченной па каждом конечном интервале действительной оси, то Уд (г,3), как функция от 3, является непрерывной и ограниченной на интервале (<р, ф). Из приведенных соображений, а также из периодичности множества £д(г) и конечности множества [0, 2п)\£д(г) следует, что функция Уд(г,3) является непрерывной и ограниченной на £д(г).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть теперь $ — любая аналитическая в круге Т>(Я) функция. Положим

( )

( )

ч (0)г ч (о,о)"

Заметим, что д(0) = 1, £f (г) = £д(г) и nf (г,а,@, 0) = пд(г,а,@, 0), Поэтому, полагая Vf (г, в) = Уд(г, в) для всех 9 € £/(г), из леммы А, как следствие, получаем следующее утверждение.

Лемма В. Пусть Я € (0, г € (0, Я), f — аналитическая в круге Т>(Я) функция. Тогда, существует непрерывная ограниченная на, множестве £f (г) функция V} (г, в) такая, что:

(г) для, любых а,Р € £f (г) таких, что а < ¡3 < а + 2ж, верно равенство

Щ(г,а,/3, 0) = 1п Ц(гегв)И — ^ 1п |сг(0)| + V;(г,а) — V;(г,0);

(И) для, всех а,0 € Ш таких, что а < ¡3 < а + 2ж, имеем,

С13 1 ГТ г гН

^ (т, д)М = -у (1п 11(1еП1 — 1п |¡(1 е*)|)1п -Нам будут нужны следующие две теоремы Р, Неванлипны (см., например, [2], с, 27-28, 55).

Теорема С. Пусть Я € (0, г € (0, Я) и / — мероморфная в круге Т>(Я) функция. Тогда, для каждого а € С верно неравенство

Т (г, а) — Т)(г)| < 1п+ а + 1п2 + 11п |(а)||.

Теорема И. Пусть Я € (0, г € (0, Я), к > 1 — любое число, такое, что кг < Я, и / — мероморфная в круге Т>(Я) функция. Тогда,

1 Г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- 1п+М/ (Ь)сИ<С (ВД (кг),

г .70

С( к) > 1 к

Теорема С (первая основная теорема распределения значений мероморфных функций)

С

круге функций доказательства идентичны.

Следующую лемму, в которой через у обозначаем линейную меру Лебега, будем использовать в дальнейшем для обоснования применений классической теоремы Фубини,

Лемма 1. Пусть Я € (0, +<х>] и f — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) имеем:

(%) для, любого фиксированного г € (0, Я) функция к(ш, в) = 1п |(гегв)| является, интегрируемой на множестве К = П х [0, 2^] относительно меры Р х у;

(И) для, любых фиксированных в € [0, 2ж) и г0,г € (0, Я) такт;, что г0 < г, функция 1(ш, ¿) = 1п |(íегв)| является, интегрируемой на множестве Ь = П х [г0, г] относительно меры Р х у.

Доказательство. Пусть (еп) — некоторая убывающая к 0 действительная последовательность, / — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида (1) и С/(г) = |сп1 гп. (^ Положим кп(ш, в) = 1п(|(гегв)| + еп). Поскольку

1п < кп (ш, в) < 1п(С; (г) + £п)

для всех (ш, 9) Е К, то функция кп(ш, 9) является ограниченной, а поэтому и интегрируемой на К, Применяя теорему Фубини и формулу Иенсена (2), для каждого п получаем

/ кп(ш, 6)с1(Р х,)=/ ( Г 1п(| и (тегв )| + е,п)(19)(1Р > ¿К Jп ^0 /

> [ ( Г 1п | и (гегв)1с19)с1Р = 2тт/ (Щш (г, 0) + 1п ^ (0)1)с1Р > Jп \J0 / Jп

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

> 2п 1п | с} (0)|^ Р = 2и 1п | с} (0) |.

п

Тогда по теореме Б, Леви граничная функция к(ш, 9) = lim кп(ш, 9) будет интегрируемой

на К относительно меры Р х ß.

(ii) Положим 1п(и, t) = ln(| fu(tегв)| + еп). Поскольку

ln £п < L(u, t) < ln( Gf (r) + £n)

для всех (и, t) E L, то фикция 1п(и, t) является ограниченной, а поэтому и интегрируемой на L. Пусть к > 1 — некоторое фиксированное число такое, что кг < Я. Применяя теорему Фубини, а также теоремы D и С, для каждого п получаем

[ln(u, t)d( Р Xß)=i ffln(| fu (te* )| + £n)dt] dP >

JL Jn \Jr0 /

> In (£ Ь I A (i )И) äP = - Jn (jT In ^ ät) äp > >- /(/

Jn \J0 / Jn

ln+ Mi_ (t)dt) dP > -rC(k) f Tu (kr, 0)dP > ) Jn

>-rC( k) i (Tf„ ( кr) + ln 2 + I ln ICf (0)||)dP >

> -r C ( k) (ln+ Gf (kr) +ln2 + | ln | Cf (0)II)dP = n

= -r C( fc)(ln+ Gf (kr) +ln2+ | ln |Cf (0) ||).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Следовательно, по теореме Б, Леви граничная функция 1(ш, t) = lim 1п(ш, t) является интегрируемой на L относительно меры P х ß. □

Следующая лемма принадлежит А, К, Оффорду [6],

Лемма С. Существует абсолютная постоянная C0 > 0 такая, что еели Я E (0, f — а,политическая, в круге V(Я) функция вида (1), А E А, P(А) < z E С и IzI = г < Я, то для, случайной аналитической функции (6) верно равенство

f ln |f„(z)IdP = P(A)(lnSf (r) - r/lnP(А)),

JA

где г/ — постоянная, для, которой -C0 < rq < 6.

Лемма 2. Пусть C0 > 0 — постоянная из леммы, С, Я E (0, г E (0, Я), f — аналитическая, в круге V(Я) функция вида (1) и х > 0. Тогда, для случайной аналитической функции (6) верно неравенство

P (Nfш (г, 0) < - ln |cf (0)| +ln Sf (г) -х) < 3е

х

"Со

n

Доказательство. С учетом формулы Иенсена (2), примененной к функции достаточно оценить вероятность события

А = {2^/^ 1п I и (г егв )И < 1п (г) — х | .

Пусть з € {0,1, 2} В, = Р (ш0(ш) € [3, Щ)), А, = П П В,. Тогда Р(В,) = а поэтому Р(А]) < 1 < 1. Используя определение события А, лемму 1, теорему Фубини и лемму С, получаем

Р(А3)(1nSf (г) — х) = ! (1п8}(г) — х)(1Р >1 (¿^ 1п |¡ш(гегвАР =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I Г21Г1Г \ 1 р2тг

II

2, Г {I<г "> ь Г

1п I¡ш(ге сШ> Р(А])(1nSf (г) + С 1пР(А,-))йв

Р (А, )(1п Sf (г) + С01пР (А,)),

откуда имеем Р(А,) < е с'о. Следовательно, Р(А) = Р(А,) < 3е со, Лемма 2 доказана, □

Лемма 3. Пусть С0 > 0 — постоянная из леммы, С, Я € (0, г0,г € (0, Я), г0 < г, а,Р € Ш / — аналитическая в круге V(Я) функция вида (1) и х > 0. Тогда, для случайной аналитической функции (6) верно неравенство

Р ОС(1п«"— 1п |/и^)01пи >х) <3ех'р {—(б + е^1п2 .

Доказательство. Рассмотрим событие

А = {/" (Ш I^^е1№)1 — Ш 1^^)1) Ш 77 >х),

и пусть ] € {0,1, 2} В, = Р (ш0(ш) € [3, 3++1)), А, = П П В,. Тогда Р(В,) = а поэтому Р(А,) < 1 < 1. Используя определение события А, лемму 1, теорему Фубини и лемму С, получаем

хР (А,) < ^ ( £ (1п I и (г еЩ— 1п | и (г ег* )|) 1п ^ ¿Р =

Г 1п |и(Iега)^Р — ( 1п |и(Iег[31п — < >г0 \-JAj 3А^ у ь *

Г Г ^

< ( Р (А, )(1п Sf (*) — 61пР (А,)) — Р (А, )(1nSf (1) + С01пР (А, )))1п7 -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

= Р(А,)(—6 — С0)1пР(А,) ■ -1п2 -,

2 Г0

откуда имеем

Р (А,) < ехр <( —

{ (6 + С0 ) 1п2 ,

Р(А) = V Р(А,) < 3 ехр < —-2х 2 I

( ) и ( ') < ч (6 + С0)1п2

(6 + С0)1п2 £

Лемма 4. Пусть Т С [0, 2ж\ — измеримое множество, Я Е (0, г Е (0, Я) и / — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида, (1). Тогда,

2- ^ 1п+ |/(гег*< 1 + 1п+ ^(г), (12)

где -(Т) — мера Лебега множества, Т.

Доказательство. Пусть £ = [в Е Т : |/(гегв)| > 1}, Если -(£) = 0, то неравенство (12) является тривиальным. Если же -(£) > 0, то, используя (см., например, [10], с, 58) неравенство Иенеена

1 Г 1п |¡(гег*)|2^ < 1п (^ I/(гег*)|2^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-(£ ) Л

и равенство Парееваля

р2ж

/ и (гегв )12д,в = 2к ¡%(г), 'о

получаем

¿X 1п+ IПгегв )1М = 1к\£ 1п I/()№ < ^ Ь( IПгегв )|2^) <

' < ^ ш (т ¡0' I' ся2-) = ^ ш ^ + # (0.

Осталось учесть, что наибольшее значение функции у(х) = 11п ^ на интервале (0, равно □

3. Доказательства теорем

Доказательство теорем,ы, 1. Пусть С, С\, С2 — произвольные фиксированные числа та" Ох

О

кие, что С > С2 > С! > С0, где С0 > 0 — постоянная из леммы С,£ = С1 > 1 а { Е Н(Я)

аналитическая функция вида (1),

Поскольку в;(г) ^ г ^ Я, то уравнение 1п в;(г) = к, как уравнение относительно г, имеет для каждого целого к > к0 > 1 единственное решение на интервале (0,Я), Обозначим это решение через гк. Тогда гк ^ Я, к ^ го, и 1п в;(гк) = к, к > к0. Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6) и пусть

^ = (гк, 0) < - 1п | С; (0)| +1п в; (Гк) - С! 1п1п в; (Гк )} , к> ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

По лемме 2 имеем

, ч Г С! 1п1п вг (Гк Л 3 Р(Ак) < 3ехр|--с* } = ¥

а поэтому ^^ ко Р(Ак) < Согласно лемме Бореля-Кантелли, п, н, выполняется лишь конечное число событий Ак. Следовательно, п, н,

(Гк, 0) > - 1п |Сг(0)| + 1п5/(Гк) - С! 1п 1п в;(Гк), к > Ь(ш),

откуда легко получаем

1пв;(Гк) (Гк, 0) + С2 ЬЛ^ (Гк, 0), к >к2(ш). (13)

Если для некоторого ш Е П имеет место (13) иге [гк, гк+!), к > к2(ш), то

1п^ (г) < 1п в; (Гк+!) = 1п в; (Гк) + 1 < (Г, 0) + С2 1п (Г, 0) + 1, к > к2(ш).

Понятно, что тогда п, н, выполняется (7), Теорема 1 доказана, □

Доказательство теорем,ы, 2. Пусть f Е Н(Я) — аналитическая функция вида (1), к(х) — возрастающая к на [х0, ^^^шция, С0 > 0 — постоянная из леммы С, а (гк) —

положительная возрастающая к Я последовательность. Не уменьшая общности, будем считать, что к(х) < х > х0.

Пусть 7(х) — возрастающая к на [х1, функция такая, что

7(х) = к (11пх) — 1п |с, (0)| для всех х > хь Понятно, что тогда существует подпоследовательность (гкр) последовательности (гкX для которой ехр | — ''' | < ^ Р > р1 > 1-Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6) и пусть

Л = ^(Гкр, 0) < — 1п |С,(0)| + 1nSf(гкр) — (гкр))} , р> Р1.

По лемме 2 имеем Р(Ар) < 3ехр | — ^^^'' | < р2, а поэтому Р(Ар) < Соглас-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

но лемме Бореля-Кантелли, п. н. выноотяется л™ конечное число событий Ар. Следо-

вательно, п, н,

(Гкр, 0) > 1nSf (Гкр) — к (\lnSf (Гкр)) , Р> Р2(ш). (14)

Учитывая, что к(х) < х > х0, го (14) п. н. получаем 1п Sf (гкр) < (гкр, 0), р > р3(ш), а поэтому, воспользовавшись (14) еще раз, п, п. имеем

1nSf (Гкр) < ^ (Гкр, 0) + к (11п Sf (Гкр )) < (Гкр, 0) + (Гкр, 0))

для всех р > р0(ш). Теорема 2 доказана. □

Доказательства теорем 3, 4- Пусть Я Е (0, а $ Е 'Н(Я) — аналитическая функция вида (1). Зафиксируем некоторое г0 Е (0,Я). Уравнение 1пSf (г) = к, как уравнение относительно г, имеет на интервале (г0, Я) для каждого к > к0 > 1 единственное решение, которое обозначим через гк. Тогда гк | Я, к ^ го, и 1п Sf (гк) = к, к > к0. Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6). Пусть а,0 Е О и

Г г гН

Хш (г,а,0) = ] (1п | и (1еЩ— 1п | /ы (*е*)|) 1п

Воспользовавшись леммой 3, для события

Ак =1^ХШ(г-к,а,0) > (6 + Со)1п^(Гк) 1п2 , к > ко,

получаем Р (Ак) < 3ехр {—21n1nSf (гк)} = а поэтому ^Ск=коР (Ак) < Соглас-

Ак

образом, п. п.

Хш(гк,а,р) < (6 + С0)1п^,(гк) 1п2 —, к >к1(ш,а,0). (15)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

Поскольку множество пар (а,0) таких, что а,0 Е О, является счетным, то, воспользовавшись свойством счетной аддитивности вероятностной меры, можем сделать следующий вывод: вероятность события А, состоящего в том, что для любых а,0 Е О выполняется

1

Зафиксируем произвольное ш Е А, а также любые а,0 Е К такие, что а < 0 < а + 2п (см. замечание 1). Положим е0 = 6(а + 2^ — 0) > 0 и зафиксируем любое е Е (0, е0). Тогда для всех (,г/ Е [а — 3е, 0 + 3е] таких, что ( < г/, будем иметь г/ < ( + 2п.

Пусть а! Е (а - 3е,а - 2е), 0! Е (а - £,а), а2 Е (¡3,13 + е), 02 Е (¡3 + 2е,3 + 3е) — фиксированные рациональные числа. Используя лемму В и неравенство (15), получаем

Ь ■= (^ (Гк, в)-У;ш (Г0, в))йв = Хш(г к, а!, ¡!) < С! 1п1п Б;(гк) 1п2 ^,

2К Г'0

г/32 1

-к := / (^ (Гк, 0) -У;ш (Г0, в))(Ю = -—Хш(Гк,32,а2) > ./«2 2К

> -С! 1n1nS/ ( Г к )1п2 —, ' Г0

для всех к > к2, где С! = ЦО? к2 = тах[к!(ш, а!,3!), к!(ш, ¡2, а2)}. Из теоремы о среднем, примененной к интегралам 1к и а также го неравенств ¡! -а! > е и 02 -а2 < 3е, следует существование чисел (к, щ Е £(г) таких, что (к Е [а!,3!) щ Е [а2,02\ и

^ (Гк, Ск) -У;ы (Г0, Ск) < С ЫпБ; (Гк )1п2 ^,

£ Г0

У^ (г'к, Щ ) -У;Ш (Г0, щ) > - С 1п 1п (г'к )1п2 —

3 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

для каждого к > к2. Отсюда, поскольку У;ш(г0, в), как функция от 9 является ограниченной на £^(г), имеем

У^ (гк, (к) - У;ш (Гк, Щ) < — 1п 1п Б; (Гк)1п2 —, к> кз.

£ Г0

Поэтому, используя леммы В и 4, получаем

(Гк ,а,3, 0) (Гк, (к, Щ, 0) =

= ^¡^ 1п IЬ(Гкеге- ^^ 1п |ч(0)| + У;ш(Гк, Ск) - ^(Гк, ш) <

< 1 + 1п в, (гк) + 3С! 1п1п б, (гк) 1п2 Г± <

2 е 2к £ г0

< 3 - а+ 6 1п Б; (Г к ) + 4С! 1п 1п Б; (г к )1п2 у, к > к 4. (16)

Заметим также, что из равенства

1п Б; (Гк+!)=1пБ; (Гк ) + 1, к > к0, (17)

вытекают неравенства

(гк ,а,3, 0) (г ,а,3, 0) (г к+!,а,3,0)

1пБ;(г к ) + 1 < 1п Б; (Г) < Ьв;^) - 1 , ^ ^' rк+!\, к > ^ ^ Если Я Е (0, +го), то из (16), воспользовавшись произвольностью е Е (0,е0), имеем

цт (,,,0,0,0) < ¡-а к—те 1п Б; (Гк) 2к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Тогда из (19) и (18) следует, что

— (г ,а,33, 0) < 3-а г-ти 1п (г) 2тт .

С учетом замечания 1, теорема 3 доказана.

Рассмотрим теперь случай, когда f — целая функция (Я = Пусть Е С (0, —

неограниченное множество. Тогда из условия (9) следует трансцендентность функ-

У(г) = является возрастающей к на (а, Поскольку (г) — максимум

модуля трансцендентной целой функции д(г) = Iсп12%2п■> т0 функция у(г) = 1п^^

также является возрастающей на (а, + го). Тогда ^^< ^ы^^1 ^ для всех к > к5. Вспоминая, что 1п 5/(гк) = к, к> к0, получаем

к + 1

1п Гк+1 < 1пГк, к > к5. (20)

1п Б/ (О

1п2 г 1п 1п Б/(г) Легко видеть, что условие (9) равносильно условию

У(т) = ТТУТГ^-^. (21)

lim у(г) = +го. (22)

ЕЭг^+те

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть F = W^0[rkp, г^^] является объединением всех тех из отрезков [гк, гк+1], к > к0, для которых [ г к, Tk+i] ПЕ = 0. Заметим, что тогда для всех доетаточ но больших г Е Е имеем: г Е F.

Из (17), (20) и (22) получаем

lim у (г) = +го. (23)

F Эг^+те

Учитывая (23), из (16) в силу произвольности е Е (0, е0) имеем

lim < ß-a lim ^K+i.*.ß.0) < ,3-a

р^+те ln bf (Гкр) 2п р^+те ln bf (Гкр+i) 2тт

Тогда из (24) и (18) следует, что

lim Nu (г ,a,ß, 0) < ß-a. F Эг^те ln Sf (r) ~ 2n

F Е

поэтому, согласно замечанию 1, теорема 4 доказана. □

Доказательство теоремы, 5. Утверждение (i) следует из теоремы 4 при Е = (0, +го), ( )

теоремы 4 утверждение (И), достаточно доказать, что из условия

lim у(г) = +го, (25)

г^+те

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которое равносильно условию (10), следует существование множества Е С (0, +го), верхняя плотность которого равна 1, и для которого выполняется (22), а поэтому и (9).

Нечего доказывать, если граница А := lim y(f) равна + го. Пусть А < +го, а (Ап) —

г^+те

произвольная возрастающая к +го последовательность точек из интервала ( А, +го). Учитывая, что функция у (г) является непрерывной на (а, +го), и используя (25), легко обосновать существование возрастающих к +го последовательностей (sn) и (гп) таких, что а < s0 < r0 < si < г\ < ..., у( sn) = 4Ап, у( гп) = Ап, а также Ап < у (г) < 4Ап для всех г Е [8п, гп] и каждого п > 0, Положим Е = U^L0[$п, гп]. Понятно, что тогда выполняется

Е 1

но, поскольку функция

h(r)

ln Sf

ln ln Sf (r)

является возрастающей на (b, +го), то

1 2 1 2 h( гп) h( Зп) 3h( 5п) Ol 2 \

ln Гп - ln Зп = ---41— > —гг— = 3 ln вп, п > По.

Ап 4Ап 4Ап

Отсюда получаем sn < ЛтП-, п > п0. Следовательно,

— ß(E П [0, г]) — ß(E П [sra, rn]) lim - > lim -=

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г—+те f n—те Tn

= Jim ^O^rnlnD > um = 1,

n—те rn n—те rn

E 1

Перейдем к доказательству утверждения (iii). Пусть f G H(R) — целая функция вида (1), для которой выполняется условие (11), а (рк) — возрастающая последовательность натуральных чисел. Из условия (11) следует существование возрастающей к +го> после-( к)

> ¡к, к > 0. (26)

In Гк

Положим E = {г0, г\,... }.

Рассмотрим случайную целую функцию (6), Пусть a,ß G Q, а Хш(r,a,ß) — случайная величина, которая была введена нами при доказательстве теоремы 3, Для событий

Вк = {хш (r-к ,a,ß) > (6 +Со) In Рк In2 ^J , к > 1,

по лемме 3 получаем Р(Вк) < а поэтому Р(Вк) < Согласно лемме Бореля-

— к

Вк

Хш(Гк,a,ß) < (6 +Со) InРк In2 —, k>ki(u,a,ß). (27)

о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В

ящего в том, что для любых a,ß G Q выполняется неравенство (27), равна 1,

Зафиксируем произвольное ш G В, а также любые a,ß G R такие, что а < ß < а + 2тг. Положим е0 = 1 (а + 2n — ß) > 0 и зафиксируем некоторое е G (0,е0), Пусть С = Ц^. Используя неравенство (27) по аналогии с тем, как использовалось неравенство (15) в доказательстве теоремы 3, легко доказать существование чисел (к, г/к G £ ^ (г) таких, что Ск G (а — 3е,а), щ G (ß,ß + 3е) и

(гк, Ск) — (Гк, щ) < — In рк In2 —, к > *2.

£ Го

Поэтому, воспользовавшись леммами В и 4, получаем

Nfш (Гк, а, ß, 0) < ß — а + 6g In Sf (Гк) + — InРк In2 ^, к> h,

2n £ г0

откуда, учитывая (26) и произвольность е G (0, е0), имеем

— ^ (г ^ß, 0) = Iim Nfш (г к ^ß, 0) < ß-a. ЕЭг—+те In Sf (г) к—те In Sf (Гк) 2ж

Согласно замечанию 1, утверждение (iii) доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейман У. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 288 с.

2. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функции. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. A.A. Kondratvuk, I.P. Kshanovskyv On the logarithmic derivative of a meromorphic function // Mat. Stud. V." 21, № 1. 2004. P. 98Л00.

5. Кахан Ж.П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 304 с.

6. А.С. Offord The distribution of the values of a random function in the unit disk // Studia Math. V. 41. 1972. P. 71-106.

7. M.P. Mahola, P.V. Filevvch The value distribution of a random entire function // Mat. Stud. V. 34, № 2. 2010. P. 120-128. *

8. W.K. Havman, J.F. Rossi Characteristic, maximum modulus and value distribution // Trans. Amer. Math. Soc. V. 284, № 2. 1984. P. 651-664.

9. W.K. Havman Angular value distribution of power series with gaps // Proc. London Math. Soc. (3). V. 24. 1972. P. 590-624.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

Мария Петровна Магола,

Институт прикладных проблем механики и математики

им. Я. С. Подетригача НАН Украины,

ул. Научная, З-б,

79060, Львов, Украина

E-mail: marichka_stanko@ukr.net

Петр Васильевич Филевич, Львовский национальный университет

ветеринарной медицины и биотехнологий им. С. 3. Гжицкого, ул. Пекарская, 50, 79010, Львов, Украина E-mail: filevych@mail.ru

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.