Угловое распределение нулей случайных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 122-135.

УДК 517.53

УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Аннотация. Доказано, что для большинства (в смысле вероятностной меры) аналитических в единичном круге функций / с неограниченной характеристикой Неванлинны уу (г) и дЛЯ всех а < Р < а + выполняется соотношение

где Nf (г,а,Р, 0) — усредненная считающая функция нулей / в секторе {г € С : 0 < |г| < г, а < aтga г < @}. При некоторых условиях на рост аналогичное утверждение получено и для целых функций.

Ключевые слова: аналитическая функция, случайная аналитическая функция, распределение нулей, считающая функция, усредненная считающая функция, характеристика Неванлинны.

Пусть Т>(г) = {г € С : |г| < г} для всех г € (0, 1п+ х = 1пшах{ж, 1} для каждого х € [0, и 5(г, а,0) = {г € С : 0 < |г| < г, а < г < @} для любых а,0 € К таких, что а < ¡3 < а + 2п (здесь г — то значение аргумента комплексного числа г = 0, которое принадлежит полуинтервалу [а, а + 2^)), Заметим, что = С.

Все мероморфные (в частности, аналитические) в круге функции, рассматриваемые в настоящей работе, считаем отличными от тождественно постоянных.

Используем в основном стандартные обозначения теории распределения значений ме-роморфных функций [1, 2]. В частности, если Я € (0, / — мероморфная в Т>(Я)

функция иг € (0, 'Я,), то пусть nf (г) — считающая функция полюсов /, т. е. число полюсов / с учетом их кратноетей в Т>(г), (0) = (0 + 0) гг/(г) = (г) — (0) и гг/(г,а,@) — считающая функция полюсов / в секторе (число полюсов f с учетом их кратноетей в 5 (г,а,@)), Усредненную считающую функцию полюсов, функ цию отклонения /от то, характеристику Неванлинны, максимум модуля и усредненную считающую функцию полюсов в секторе определяем согласно равенствам

Для каждого a G С положим Xf (г, а) := X(г), где X — одна из характеристик п, п, N,

m или ^ (r,a,ß,a) = п(r,a,ß), Nf (r,a,ß,a) = N i (r,a,ß) и пусть Cf (а) — первый

f—a f—а "

М.Р. Mahola, P.V. Filevych, The angular distribution of zeros of random analytic

functions.

© Магола М.П., Филевич П.В. 2012. Поступила 18 ноября 2011 г.

М.П. МАГОЛА, П.В. ФИЛЕВИЧ

ß - а

Nf (r,a,ß, 0) — Tf (г), г ^ 1,

1. Введение

отличный от нуля коэффициент в разложении Лорана функции f (г) — а в окрееноети точки г = 0,

Рассмотрим аналитическую в круге Т>(К) функцию

те

/ (г) = £ (1)

п=0

Учитывая, что для такой функции Tf (г) = га/(г), и используя (см., например, [3], с, 24) формулу Иенеена

1 С2ж

^(Г> 0)=2^Уо 1п 11(^)1^ — 1п Iе/(0)1, (2)

получаем

Ъ(г, 0) < Т,(г) — 1п |с/(0)|, г е (0, К). (3)

Кроме того, если Sf (г) = (^те0 |сга|2г2га)2, то, как следует из доказанной далее леммы 4,

Т/(г) < 1 + 1п+ 5/(г). (4)

(Верно также неравенство Tf(г) < шах {2, 1nSf (г)}; см, [4].) Следовательно, если характеристика Sf (г) ограничена на (0, К), то на этом интервале ограниченными будут также характеристики Tf (г), Nf (г, 0) и Nf (г,а,@, 0),

Отметим, что основные результаты теории распределения значений аналитических (и, более общо, мероморфных ) в круге Т>(К) функций [1,2] содержательны лишь при условии, что характеристика Tf (г) является неограниченной па (0,К), Как оказывается (см, ниже), это условие для "большинства" аналитических в Т>(К) функций равносильно условию

5/(г) ^ г^К. (5)

Класс аналитических в Т>(К) функций вида (1), для которых выполняется условие (5), обозначим через Н(К), Заметим, что Н(+ж>) совпадает с классом целых функций (отличных от тождественно постоянных).

Рассмотрим любое вероятностное пространство (П, А, Р), где П — некоторое множество, Р — полная вероятностная мера, а Л — а-алгебра измеримых относительно Р подмножеств П, и предположим, что па этом пространстве существует последовательность Штейнгауза (ип(и)), т. е, последовательность независимых равномерно распределенных на [0,1] случайных величин (примеры таких вероятностных пространств и соответствующих последовательностей Штейнгауза приведены в [5]), Далее вероятностное пространство и последовательность Штейнгауза считаем заданными и фиксированными.

Наряду с аналитической функцией $ е Н(К) вида (1) рассмотрим случайную аналитическую функцию

те

и (г) = ^ е сга ^. (6)

п=0

Будем говорить, что случайная аналитическая функция (6), почти наверное (п, п.), обладает некоторым свойством, если вероятность события, состоящего в том, что для функции (6) заданное свойство выполняется, равна 1,

Распределение значений функций вида (6) изучалось в работе А, К, Оффорда [6] (в случае К = 1), а также в нашей работе [7] (при К = Ограничимся формулировка-

ми результатов из [6, 7] лишь в частях, непосредственно относящихся к распределению нулей случайной аналитической функции (6), В частности, имеет место такая теорема А, К, Оффорда [6].

Теорема А. Пусть f е Н(1) — аналитическая функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) п. н.

ИШ = 1

ínSf (г)

и щ(г,а,3, 0) — т —У 1, для любых а,3 е Ш таких, что а < 3 <а + 2-к.

Следующие теоремы в случае К = +<ж> (т. е. для целых функций) доказаны в [7].

Теорема 1. Существует абсолютная, постоянная С > 0 такая, что если, К е (0, +ж] е Н ( К)

ции (6) п. н. выполняется неравенство

1nSf (г) <Ми (г, 0) + С 1пЫи (г, 0), го(ш) < г< К. (7)

Теорема 2. Пусть К е (0, +ж], / е Н(К) — аналитическая функция вида, (1), Н(х) — возрастающая к на, [х0, +ж) функция, а, (гк) — положительная возрастающая к К последовательноть. Тогда существует подпоследовательность (гкр) такая, что для, случайной аналитической функции (6) п. н.

1nSf (гкр) < (гкр, 0) + Ь,(Ыь (гкр, 0)), р> р0(ш).

Доказательства теорем 1 и 2 в случае произвольного К е (0, +ж] аналогичны доказательствам этих же теорем в случае К = +<ж, Мы приведем эти доказательства для полноты картины.

Если говорить об угловом распределении нулей аналитических в круге функций в терминах характеристик nf (г,а,3,0) или Nf (г,а,3, 0), то этот вопрос изучен сравнительно мало. Более того, задачи такого рода рассматривались в основном для целых функций [8, 9], Введя вначале некоторые определения, сформулируем один из наиболее общих результатов в этом направлении (теорема В), принадлежащий У, К, Хейману и Дж, Ф, Росси [8].

Напомним, что порядком целой функции называется величина

-— 1п1п М/ (г) Р1 = Иш -.—I-.

г^+те 1п Г

Нетрудно доказать, что в этом определении Мf (г) можно заменить на Sf (г).

Для измеримого относительно линейной меры Лебега ^множества Е С (0, +ж) границы

!1Ш МЕ П [0 г]), 11ш ^(Е П [0, г])

г^+те г ' г

называются соответственно его верхней и нижней плотностями. Если верхняя плотность равна нижней, а <1 — их общее значение, то говорят, что множество Е имеет плотность

Теорема В. Пусть f е Н(+ж) — целая функция порядка > 0 такая, что

1пМ/(г) (г), Е\ эг — +ж,

где Е\ С (0, +ж) — множество, имеющее плотность 1. Тогда, существует множество Е2 С (0, +ж), верхняя, плотность которого равна 1, такое, что для, любых а,3 е Ш, а < 3 < а + 2ж, выполняется соотношение

3 а

(г, а, 3, 0) ---—Т1 (г), Е2 эг — +ж.

Используя теоремы 1 и В, можно доказать, что если / е Н(+ж) — целая функция порядка pf > 0 вида (1), то для случайной целой функции (6) п. н, существует множество

Еш С (0, +ж), верхняя плотность которого равна 1, такое, что

в - а

Nfu (г, а, в, 0) - lnSf (г) (8)

при Еш э т —У +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к, Мы не будем останавливаться на обосновании этого факта, поскольку ниже докажем более сильное утверждение.

Основными результатами нашей работы являются следующие теоремы о распределении нулей случайных аналитических функций в углах.

Теорема 3. Пусть R S (0, +ж) u f S V(R) — аналитическая функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при г — R для, любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к.

Теорема 4. Пусть Е С (0, +ж) — неограниченное множество, а f S %(+ж) — целая, функция вида, (1), для которой

.. In Sf (г)

lim м J = +ж. (9)

ЕЭг^+<х ln г ln ln г

Тогда, для случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2-к.

Теорема 5. Пусть f S %(+ж) — целая, функция вида, (1). (г) Если

ln Sf (г) lim —ö—= +ж, ln г ln ln Г

то для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при г — +ж для, любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к. (п) Если

um ^(r)

г^+те ln r ln ln r

то существует множество Е С (0, +ж), верхняя, плотность которого равна 1, такое, что для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к. (iii) Если

— ln Sf (г) lim f

r^+те ln T

то существует неограниченное множество Е С (0, +ж) такое, что для, случайной целой функции (6) п. н. выполняется соотношение (8) при Е э г — +ж для любых а, в S R таких, что а < в < а + 2к.

Замечание 1. Если в = а + 2к, то Nfш (г, а, в, 0) = Nfш (г, 0), Согласно теореме 1 и неравенствам (3) и (4), примененным к функции fu, п. н, имеем

Nf„ (г, 0) - lnSf (г), r — R.

Поэтому, доказывая теоремы 3-5, можем считать, что а < в < а + 2к, Кроме того, поскольку Nfш (г, а, в, 0) + Nfш (г, в, а + 2к, 0) = Nfш (г, 0), то в доказательствах этих теорем достаточно ограничиться установлением соотношения

в а

Nfu (г, а, в, 0) < (1 + о(1)) lnSf (г)

вместо соотношения (8),

lim 1 2 fУ =+ж, (10)

lim 1 f( ) = +ж, (11)

Замечание 2. Утверждение (1) теоремы 5 является непосредственным следствием из теоремы 4, Из этой же теоремы как следствие получим также утверждение (11) теоремы 5, Теорема А, как легко видеть, следует из теорем 1 и 3,

2. Вспомогательные результаты

Пусть Я € (0, г Е (0, Я) и д — аналитичеекая в круге Т>(Я) функция. Положим

£д(г) = [0 Е Е : д(Ье%в) = 0 для всех Ь Е (0, г]},

£д(Я) = [в Е Е : д(гегв) = 0 доя всех г Е (0, Я)}.

Заметим, что множество Е\£д(Я) те более чем счетное и £д(г2) С £д( г 1), если 0 < г1 < г2 < Я. Множество £д (г) является периодическим в том смысле, что 9 Е £д (г) тогда и только тогда, когда (9 + 2п) Е £д(г). Кроме того, [0, 2п)\£д(г) является конечным множеством для всех г Е (0,Я),

Предположим, что д(0) = 1, и зафиксируем произвольное 9 Е £д(г). Тогда <?(£егв) = 0 для каждого Ь Е [0, г]. Учитывая это, через ьд(£, 9) обозначим непрерывное значение аргумента функции д(Ьегв) такое, что ьд(0, 9) = 0, и положим

У, (Г, ¿0 = ^ ^д (*, 9) т

Хорошо известным является следующее утверждение (см, [8], [9], а также [3], с, 188),

Лемма А. Пусть Я Е (0, г Е (0, Я) и д — аналитическая в круге Т>(Я) функция (0) = 1

(г) для, любых а,3 Е £д(г) таких, что а < 3 < а + 2ж, верно равенство

1 1Ф

Ыд (г,а,3,0) = — 1п 1д(гегв)1(19 + Уд (г, а)-Уд (г,3);

(И) для, всех а, 3 Е Е таких, что а < 3 < а + 2ж, имеем,

Г3 1 Г г гИ

^ Уд (г, 9)гГ9 = Уо (1п 19 (гега)1- 1п 1д (1ег3) |) 1п — .

Рассмотрим любой интервал ( <р,ф) С £д(г), зафиксируем в нем некоторую точа 3 = а 5(г, ш1п[а,3}, тах[а,3}) нет нулей функции д, а поэтому

Ыд(г, ш1п[а, 3}, шах[а, 3}, 0) = 0.

Согласно утверждению (1) леммы А, имеем

2 г3

2тт

Уд (г,3 ) = Уд (Г,а) + — 1п 1д (г егв )1гГ9.

Поскольку при фпксованном а функцпя у(3) = 1п 1д(гегв)1<Г9 является непрерывной и ограниченной па каждом конечном интервале действительной оси, то Уд (г,3), как функция от 3, является непрерывной и ограниченной на интервале (<р, ф). Из приведенных соображений, а также из периодичности множества £д(г) и конечности множества [0, 2п)\£д(г) следует, что функция Уд(г,3) является непрерывной и ограниченной на £д(г).

Пусть теперь $ — любая аналитическая в круге Т>(Я) функция. Положим

( )

( )

ч (0)г ч (о,о)"

Заметим, что д(0) = 1, £f (г) = £д(г) и nf (г,а,@, 0) = пд(г,а,@, 0), Поэтому, полагая Vf (г, в) = Уд(г, в) для всех 9 € £/(г), из леммы А, как следствие, получаем следующее утверждение.

Лемма В. Пусть Я € (0, г € (0, Я), f — аналитическая в круге Т>(Я) функция. Тогда, существует непрерывная ограниченная на, множестве £f (г) функция V} (г, в) такая, что:

(г) для, любых а,Р € £f (г) таких, что а < ¡3 < а + 2ж, верно равенство

Щ(г,а,/3, 0) = 1п Ц(гегв)И — ^ 1п |сг(0)| + V;(г,а) — V;(г,0);

(И) для, всех а,0 € Ш таких, что а < ¡3 < а + 2ж, имеем,

С13 1 ГТ г гН

^ (т, д)М = -у (1п 11(1еП1 — 1п |¡(1 е*)|)1п -Нам будут нужны следующие две теоремы Р, Неванлипны (см., например, [2], с, 27-28, 55).

Теорема С. Пусть Я € (0, г € (0, Я) и / — мероморфная в круге Т>(Я) функция. Тогда, для каждого а € С верно неравенство

Т (г, а) — Т)(г)| < 1п+ а + 1п2 + 11п |(а)||.

Теорема И. Пусть Я € (0, г € (0, Я), к > 1 — любое число, такое, что кг < Я, и / — мероморфная в круге Т>(Я) функция. Тогда,

1 Г

- 1п+М/ (Ь)сИ<С (ВД (кг),

г .70

С( к) > 1 к

Теорема С (первая основная теорема распределения значений мероморфных функций)

С

круге функций доказательства идентичны.

Следующую лемму, в которой через у обозначаем линейную меру Лебега, будем использовать в дальнейшем для обоснования применений классической теоремы Фубини,

Лемма 1. Пусть Я € (0, +<х>] и f — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида, (1). Тогда, для случайной аналитической функции (6) имеем:

(%) для, любого фиксированного г € (0, Я) функция к(ш, в) = 1п |(гегв)| является, интегрируемой на множестве К = П х [0, 2^] относительно меры Р х у;

(И) для, любых фиксированных в € [0, 2ж) и г0,г € (0, Я) такт;, что г0 < г, функция 1(ш, ¿) = 1п |(íегв)| является, интегрируемой на множестве Ь = П х [г0, г] относительно меры Р х у.

Доказательство. Пусть (еп) — некоторая убывающая к 0 действительная последовательность, / — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида (1) и С/(г) = |сп1 гп. (^ Положим кп(ш, в) = 1п(|(гегв)| + еп). Поскольку

1п < кп (ш, в) < 1п(С; (г) + £п)

для всех (ш, 9) Е К, то функция кп(ш, 9) является ограниченной, а поэтому и интегрируемой на К, Применяя теорему Фубини и формулу Иенсена (2), для каждого п получаем

/ кп(ш, 6)с1(Р х,)=/ ( Г 1п(| и (тегв )| + е,п)(19)(1Р > ¿К Jп ^0 /

> [ ( Г 1п | и (гегв)1с19)с1Р = 2тт/ (Щш (г, 0) + 1п ^ (0)1)с1Р > Jп \J0 / Jп

> 2п 1п | с} (0)|^ Р = 2и 1п | с} (0) |.

п

Тогда по теореме Б, Леви граничная функция к(ш, 9) = lim кп(ш, 9) будет интегрируемой

на К относительно меры Р х ß.

(ii) Положим 1п(и, t) = ln(| fu(tегв)| + еп). Поскольку

ln £п < L(u, t) < ln( Gf (r) + £n)

для всех (и, t) E L, то фикция 1п(и, t) является ограниченной, а поэтому и интегрируемой на L. Пусть к > 1 — некоторое фиксированное число такое, что кг < Я. Применяя теорему Фубини, а также теоремы D и С, для каждого п получаем

[ln(u, t)d( Р Xß)=i ffln(| fu (te* )| + £n)dt] dP >

JL Jn \Jr0 /

> In (£ Ь I A (i )И) äP = - Jn (jT In ^ ät) äp > >- /(/

Jn \J0 / Jn

ln+ Mi_ (t)dt) dP > -rC(k) f Tu (kr, 0)dP > ) Jn

>-rC( k) i (Tf„ ( кr) + ln 2 + I ln ICf (0)||)dP >

> -r C ( k) (ln+ Gf (kr) +ln2 + | ln | Cf (0)II)dP = n

= -r C( fc)(ln+ Gf (kr) +ln2+ | ln |Cf (0) ||).

Следовательно, по теореме Б, Леви граничная функция 1(ш, t) = lim 1п(ш, t) является интегрируемой на L относительно меры P х ß. □

Следующая лемма принадлежит А, К, Оффорду [6],

Лемма С. Существует абсолютная постоянная C0 > 0 такая, что еели Я E (0, f — а,политическая, в круге V(Я) функция вида (1), А E А, P(А) < z E С и IzI = г < Я, то для, случайной аналитической функции (6) верно равенство

f ln |f„(z)IdP = P(A)(lnSf (r) - r/lnP(А)),

JA

где г/ — постоянная, для, которой -C0 < rq < 6.

Лемма 2. Пусть C0 > 0 — постоянная из леммы, С, Я E (0, г E (0, Я), f — аналитическая, в круге V(Я) функция вида (1) и х > 0. Тогда, для случайной аналитической функции (6) верно неравенство

P (Nfш (г, 0) < - ln |cf (0)| +ln Sf (г) -х) < 3е

х

"Со

n

Доказательство. С учетом формулы Иенсена (2), примененной к функции достаточно оценить вероятность события

А = {2^/^ 1п I и (г егв )И < 1п (г) — х | .

Пусть з € {0,1, 2} В, = Р (ш0(ш) € [3, Щ)), А, = П П В,. Тогда Р(В,) = а поэтому Р(А]) < 1 < 1. Используя определение события А, лемму 1, теорему Фубини и лемму С, получаем

Р(А3)(1nSf (г) — х) = ! (1п8}(г) — х)(1Р >1 (¿^ 1п |¡ш(гегвАР =

I Г21Г1Г \ 1 р2тг

II

2, Г {I<г "> ь Г

1п I¡ш(ге сШ> Р(А])(1nSf (г) + С 1пР(А,-))йв

Р (А, )(1п Sf (г) + С01пР (А,)),

откуда имеем Р(А,) < е с'о. Следовательно, Р(А) = Р(А,) < 3е со, Лемма 2 доказана, □

Лемма 3. Пусть С0 > 0 — постоянная из леммы, С, Я € (0, г0,г € (0, Я), г0 < г, а,Р € Ш / — аналитическая в круге V(Я) функция вида (1) и х > 0. Тогда, для случайной аналитической функции (6) верно неравенство

Р ОС(1п«"— 1п |/и^)01пи >х) <3ех'р {—(б + е^1п2 .

Доказательство. Рассмотрим событие

А = {/" (Ш I^^е1№)1 — Ш 1^^)1) Ш 77 >х),

и пусть ] € {0,1, 2} В, = Р (ш0(ш) € [3, 3++1)), А, = П П В,. Тогда Р(В,) = а поэтому Р(А,) < 1 < 1. Используя определение события А, лемму 1, теорему Фубини и лемму С, получаем

хР (А,) < ^ ( £ (1п I и (г еЩ— 1п | и (г ег* )|) 1п ^ ¿Р =

Г 1п |и(Iега)^Р — ( 1п |и(Iег[31п — < >г0 \-JAj 3А^ у ь *

Г Г ^

< ( Р (А, )(1п Sf (*) — 61пР (А,)) — Р (А, )(1nSf (1) + С01пР (А, )))1п7 -

1

= Р(А,)(—6 — С0)1пР(А,) ■ -1п2 -,

2 Г0

откуда имеем

Р (А,) < ехр <( —

{ (6 + С0 ) 1п2 ,

Р(А) = V Р(А,) < 3 ехр < —-2х 2 I

( ) и ( ') < ч (6 + С0)1п2

(6 + С0)1п2 £

□

Лемма 4. Пусть Т С [0, 2ж\ — измеримое множество, Я Е (0, г Е (0, Я) и / — аналитическая в круге Т>(Я) функция вида, (1). Тогда,

2- ^ 1п+ |/(гег*< 1 + 1п+ ^(г), (12)

где -(Т) — мера Лебега множества, Т.

Доказательство. Пусть £ = [в Е Т : |/(гегв)| > 1}, Если -(£) = 0, то неравенство (12) является тривиальным. Если же -(£) > 0, то, используя (см., например, [10], с, 58) неравенство Иенеена

1 Г 1п |¡(гег*)|2^ < 1п (^ I/(гег*)|2^

-(£ ) Л

и равенство Парееваля

р2ж

/ и (гегв )12д,в = 2к ¡%(г), 'о

получаем

¿X 1п+ IПгегв )1М = 1к\£ 1п I/()№ < ^ Ь( IПгегв )|2^) <

' < ^ ш (т ¡0' I' ся2-) = ^ ш ^ + # (0.

Осталось учесть, что наибольшее значение функции у(х) = 11п ^ на интервале (0, равно □

3. Доказательства теорем

Доказательство теорем,ы, 1. Пусть С, С\, С2 — произвольные фиксированные числа та" Ох

О

кие, что С > С2 > С! > С0, где С0 > 0 — постоянная из леммы С,£ = С1 > 1 а { Е Н(Я)

аналитическая функция вида (1),

Поскольку в;(г) ^ г ^ Я, то уравнение 1п в;(г) = к, как уравнение относительно г, имеет для каждого целого к > к0 > 1 единственное решение на интервале (0,Я), Обозначим это решение через гк. Тогда гк ^ Я, к ^ го, и 1п в;(гк) = к, к > к0. Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6) и пусть

^ = (гк, 0) < - 1п | С; (0)| +1п в; (Гк) - С! 1п1п в; (Гк )} , к> ^

По лемме 2 имеем

, ч Г С! 1п1п вг (Гк Л 3 Р(Ак) < 3ехр|--с* } = ¥

а поэтому ^^ ко Р(Ак) < Согласно лемме Бореля-Кантелли, п, н, выполняется лишь конечное число событий Ак. Следовательно, п, н,

(Гк, 0) > - 1п |Сг(0)| + 1п5/(Гк) - С! 1п 1п в;(Гк), к > Ь(ш),

откуда легко получаем

1пв;(Гк) (Гк, 0) + С2 ЬЛ^ (Гк, 0), к >к2(ш). (13)

Если для некоторого ш Е П имеет место (13) иге [гк, гк+!), к > к2(ш), то

1п^ (г) < 1п в; (Гк+!) = 1п в; (Гк) + 1 < (Г, 0) + С2 1п (Г, 0) + 1, к > к2(ш).

Понятно, что тогда п, н, выполняется (7), Теорема 1 доказана, □

Доказательство теорем,ы, 2. Пусть f Е Н(Я) — аналитическая функция вида (1), к(х) — возрастающая к на [х0, ^^^шция, С0 > 0 — постоянная из леммы С, а (гк) —

положительная возрастающая к Я последовательность. Не уменьшая общности, будем считать, что к(х) < х > х0.

Пусть 7(х) — возрастающая к на [х1, функция такая, что

7(х) = к (11пх) — 1п |с, (0)| для всех х > хь Понятно, что тогда существует подпоследовательность (гкр) последовательности (гкX для которой ехр | — ''' | < ^ Р > р1 > 1-Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6) и пусть

Л = ^(Гкр, 0) < — 1п |С,(0)| + 1nSf(гкр) — (гкр))} , р> Р1.

По лемме 2 имеем Р(Ар) < 3ехр | — ^^^'' | < р2, а поэтому Р(Ар) < Соглас-

но лемме Бореля-Кантелли, п. н. выноотяется л™ конечное число событий Ар. Следо-

вательно, п, н,

(Гкр, 0) > 1nSf (Гкр) — к (\lnSf (Гкр)) , Р> Р2(ш). (14)

Учитывая, что к(х) < х > х0, го (14) п. н. получаем 1п Sf (гкр) < (гкр, 0), р > р3(ш), а поэтому, воспользовавшись (14) еще раз, п, п. имеем

1nSf (Гкр) < ^ (Гкр, 0) + к (11п Sf (Гкр )) < (Гкр, 0) + (Гкр, 0))

для всех р > р0(ш). Теорема 2 доказана. □

Доказательства теорем 3, 4- Пусть Я Е (0, а $ Е 'Н(Я) — аналитическая функция вида (1). Зафиксируем некоторое г0 Е (0,Я). Уравнение 1пSf (г) = к, как уравнение относительно г, имеет на интервале (г0, Я) для каждого к > к0 > 1 единственное решение, которое обозначим через гк. Тогда гк | Я, к ^ го, и 1п Sf (гк) = к, к > к0. Рассмотрим случайную аналитическую функцию (6). Пусть а,0 Е О и

Г г гН

Хш (г,а,0) = ] (1п | и (1еЩ— 1п | /ы (*е*)|) 1п

Воспользовавшись леммой 3, для события

Ак =1^ХШ(г-к,а,0) > (6 + Со)1п^(Гк) 1п2 , к > ко,

получаем Р (Ак) < 3ехр {—21n1nSf (гк)} = а поэтому ^Ск=коР (Ак) < Соглас-

Ак

образом, п. п.

Хш(гк,а,р) < (6 + С0)1п^,(гк) 1п2 —, к >к1(ш,а,0). (15)

о

Поскольку множество пар (а,0) таких, что а,0 Е О, является счетным, то, воспользовавшись свойством счетной аддитивности вероятностной меры, можем сделать следующий вывод: вероятность события А, состоящего в том, что для любых а,0 Е О выполняется

1

Зафиксируем произвольное ш Е А, а также любые а,0 Е К такие, что а < 0 < а + 2п (см. замечание 1). Положим е0 = 6(а + 2^ — 0) > 0 и зафиксируем любое е Е (0, е0). Тогда для всех (,г/ Е [а — 3е, 0 + 3е] таких, что ( < г/, будем иметь г/ < ( + 2п.

Пусть а! Е (а - 3е,а - 2е), 0! Е (а - £,а), а2 Е (¡3,13 + е), 02 Е (¡3 + 2е,3 + 3е) — фиксированные рациональные числа. Используя лемму В и неравенство (15), получаем

Ь ■= (^ (Гк, в)-У;ш (Г0, в))йв = Хш(г к, а!, ¡!) < С! 1п1п Б;(гк) 1п2 ^,

2К Г'0

г/32 1

-к := / (^ (Гк, 0) -У;ш (Г0, в))(Ю = -—Хш(Гк,32,а2) > ./«2 2К

> -С! 1n1nS/ ( Г к )1п2 —, ' Г0

для всех к > к2, где С! = ЦО? к2 = тах[к!(ш, а!,3!), к!(ш, ¡2, а2)}. Из теоремы о среднем, примененной к интегралам 1к и а также го неравенств ¡! -а! > е и 02 -а2 < 3е, следует существование чисел (к, щ Е £(г) таких, что (к Е [а!,3!) щ Е [а2,02\ и

^ (Гк, Ск) -У;ы (Г0, Ск) < С ЫпБ; (Гк )1п2 ^,

£ Г0

У^ (г'к, Щ ) -У;Ш (Г0, щ) > - С 1п 1п (г'к )1п2 —

3 0

для каждого к > к2. Отсюда, поскольку У;ш(г0, в), как функция от 9 является ограниченной на £^(г), имеем

У^ (гк, (к) - У;ш (Гк, Щ) < — 1п 1п Б; (Гк)1п2 —, к> кз.

£ Г0

Поэтому, используя леммы В и 4, получаем

(Гк ,а,3, 0) (Гк, (к, Щ, 0) =

= ^¡^ 1п IЬ(Гкеге- ^^ 1п |ч(0)| + У;ш(Гк, Ск) - ^(Гк, ш) <

< 1 + 1п в, (гк) + 3С! 1п1п б, (гк) 1п2 Г± <

2 е 2к £ г0

< 3 - а+ 6 1п Б; (Г к ) + 4С! 1п 1п Б; (г к )1п2 у, к > к 4. (16)

Заметим также, что из равенства

1п Б; (Гк+!)=1пБ; (Гк ) + 1, к > к0, (17)

вытекают неравенства

(гк ,а,3, 0) (г ,а,3, 0) (г к+!,а,3,0)

1пБ;(г к ) + 1 < 1п Б; (Г) < Ьв;^) - 1 , ^ ^' rк+!\, к > ^ ^ Если Я Е (0, +го), то из (16), воспользовавшись произвольностью е Е (0,е0), имеем

цт (,,,0,0,0) < ¡-а к—те 1п Б; (Гк) 2к

Тогда из (19) и (18) следует, что

— (г ,а,33, 0) < 3-а г-ти 1п (г) 2тт .

С учетом замечания 1, теорема 3 доказана.

Рассмотрим теперь случай, когда f — целая функция (Я = Пусть Е С (0, —

неограниченное множество. Тогда из условия (9) следует трансцендентность функ-

У(г) = является возрастающей к на (а, Поскольку (г) — максимум

модуля трансцендентной целой функции д(г) = Iсп12%2п■> т0 функция у(г) = 1п^^

также является возрастающей на (а, + го). Тогда ^^< ^ы^^1 ^ для всех к > к5. Вспоминая, что 1п 5/(гк) = к, к> к0, получаем

к + 1

1п Гк+1 < 1пГк, к > к5. (20)

1п Б/ (О

1п2 г 1п 1п Б/(г) Легко видеть, что условие (9) равносильно условию

У(т) = ТТУТГ^-^. (21)

lim у(г) = +го. (22)

ЕЭг^+те

Пусть F = W^0[rkp, г^^] является объединением всех тех из отрезков [гк, гк+1], к > к0, для которых [ г к, Tk+i] ПЕ = 0. Заметим, что тогда для всех доетаточ но больших г Е Е имеем: г Е F.

Из (17), (20) и (22) получаем

lim у (г) = +го. (23)

F Эг^+те

Учитывая (23), из (16) в силу произвольности е Е (0, е0) имеем

lim < ß-a lim ^K+i.*.ß.0) < ,3-a

р^+те ln bf (Гкр) 2п р^+те ln bf (Гкр+i) 2тт

Тогда из (24) и (18) следует, что

lim Nu (г ,a,ß, 0) < ß-a. F Эг^те ln Sf (r) ~ 2n

F Е

поэтому, согласно замечанию 1, теорема 4 доказана. □

Доказательство теоремы, 5. Утверждение (i) следует из теоремы 4 при Е = (0, +го), ( )

теоремы 4 утверждение (И), достаточно доказать, что из условия

lim у(г) = +го, (25)

г^+те

которое равносильно условию (10), следует существование множества Е С (0, +го), верхняя плотность которого равна 1, и для которого выполняется (22), а поэтому и (9).

Нечего доказывать, если граница А := lim y(f) равна + го. Пусть А < +го, а (Ап) —

г^+те

произвольная возрастающая к +го последовательность точек из интервала ( А, +го). Учитывая, что функция у (г) является непрерывной на (а, +го), и используя (25), легко обосновать существование возрастающих к +го последовательностей (sn) и (гп) таких, что а < s0 < r0 < si < г\ < ..., у( sn) = 4Ап, у( гп) = Ап, а также Ап < у (г) < 4Ап для всех г Е [8п, гп] и каждого п > 0, Положим Е = U^L0[$п, гп]. Понятно, что тогда выполняется

Е 1

но, поскольку функция

h(r)

ln Sf

ln ln Sf (r)

является возрастающей на (b, +го), то

1 2 1 2 h( гп) h( Зп) 3h( 5п) Ol 2 \

ln Гп - ln Зп = ---41— > —гг— = 3 ln вп, п > По.

Ап 4Ап 4Ап

Отсюда получаем sn < ЛтП-, п > п0. Следовательно,

— ß(E П [0, г]) — ß(E П [sra, rn]) lim - > lim -=

г—+те f n—те Tn

= Jim ^O^rnlnD > um = 1,

n—те rn n—те rn

E 1

Перейдем к доказательству утверждения (iii). Пусть f G H(R) — целая функция вида (1), для которой выполняется условие (11), а (рк) — возрастающая последовательность натуральных чисел. Из условия (11) следует существование возрастающей к +го> после-( к)

> ¡к, к > 0. (26)

In Гк

Положим E = {г0, г\,... }.

Рассмотрим случайную целую функцию (6), Пусть a,ß G Q, а Хш(r,a,ß) — случайная величина, которая была введена нами при доказательстве теоремы 3, Для событий

Вк = {хш (r-к ,a,ß) > (6 +Со) In Рк In2 ^J , к > 1,

по лемме 3 получаем Р(Вк) < а поэтому Р(Вк) < Согласно лемме Бореля-

— к

Вк

Хш(Гк,a,ß) < (6 +Со) InРк In2 —, k>ki(u,a,ß). (27)

о

В

ящего в том, что для любых a,ß G Q выполняется неравенство (27), равна 1,

Зафиксируем произвольное ш G В, а также любые a,ß G R такие, что а < ß < а + 2тг. Положим е0 = 1 (а + 2n — ß) > 0 и зафиксируем некоторое е G (0,е0), Пусть С = Ц^. Используя неравенство (27) по аналогии с тем, как использовалось неравенство (15) в доказательстве теоремы 3, легко доказать существование чисел (к, г/к G £ ^ (г) таких, что Ск G (а — 3е,а), щ G (ß,ß + 3е) и

(гк, Ск) — (Гк, щ) < — In рк In2 —, к > *2.

£ Го

Поэтому, воспользовавшись леммами В и 4, получаем

Nfш (Гк, а, ß, 0) < ß — а + 6g In Sf (Гк) + — InРк In2 ^, к> h,

2n £ г0

откуда, учитывая (26) и произвольность е G (0, е0), имеем

— ^ (г ^ß, 0) = Iim Nfш (г к ^ß, 0) < ß-a. ЕЭг—+те In Sf (г) к—те In Sf (Гк) 2ж

Согласно замечанию 1, утверждение (iii) доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейман У. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 288 с.

2. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функции. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с.

4. A.A. Kondratvuk, I.P. Kshanovskyv On the logarithmic derivative of a meromorphic function // Mat. Stud. V." 21, № 1. 2004. P. 98Л00.

5. Кахан Ж.П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 304 с.

6. А.С. Offord The distribution of the values of a random function in the unit disk // Studia Math. V. 41. 1972. P. 71-106.

7. M.P. Mahola, P.V. Filevvch The value distribution of a random entire function // Mat. Stud. V. 34, № 2. 2010. P. 120-128. *

8. W.K. Havman, J.F. Rossi Characteristic, maximum modulus and value distribution // Trans. Amer. Math. Soc. V. 284, № 2. 1984. P. 651-664.

9. W.K. Havman Angular value distribution of power series with gaps // Proc. London Math. Soc. (3). V. 24. 1972. P. 590-624.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

Мария Петровна Магола,

Институт прикладных проблем механики и математики

им. Я. С. Подетригача НАН Украины,

ул. Научная, З-б,

79060, Львов, Украина

E-mail: marichka_stanko@ukr.net

Петр Васильевич Филевич, Львовский национальный университет

ветеринарной медицины и биотехнологий им. С. 3. Гжицкого, ул. Пекарская, 50, 79010, Львов, Украина E-mail: filevych@mail.ru