CC BY
37
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 629.1.02
УГЛОВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ АВТОМОБИЛЬНОГО КОЛЕСА ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА: ФИЗИКА ПРОЦЕССА
ANGULAR DEFORMATION OF AUTOMOBILE WHEEL CAUSED BY TORQUE MOMENT: THE PHYSICS OF PROCESS
В.М. Зотов1, кандидат технических наук В.П. Хавронин1, кандидат технических наук Е.В. Балакина2, доктор технических наук, профессор Н.М. Зотов2, кандидат технических наук, доцент
V.M. Zotov, V.P. Khavronin, E.V. Balakina, N.M. Zotov
1 Волгоградский государственный аграрный университет 2Волгоградский государственный технический университет
1 Volgograd State Agricultural University
2Volgograd State Technical University
Одним из параметров, влияющих на управление и тягово-скоростные свойства колёсного транспорта, является угловая деформация в колесе, при действии на него крутильного момента. Поэтому важно знать развитие угла деформации в колесе с течением времени. Выполненные исследования показали, что процесс угловой деформации в шине автомобильного колеса под действием крутящего момента делится на три временных периода: на временном промежутке от 0 до t0 угловая деформация колеса с положительным угловым ускорением нелинейно возрастает до некоторого значения а0; на временном промежутке от t0 до t1 = 2-t0 угловая деформация колеса с отрицательным угловым ускорением нелинейно возрастает до максимального значения а1 =2-а0; при t > t1 в эластичной части колеса (шине) возникают быстро затухающие колебания угла деформации относительно величины а0, с некоторым периодом T. Значения t0 и а0, а также коэффициент затухания в и период Т затухающих крутильных колебаний в колесе зависят от величины крутящего момента Мкр, приложенного к колесу, и от динамических характеристик колеса (момент инерции I колеса, крутильная жёсткость Скр шины, нормальная нагрузка Pz на ось колеса).
One of the parameters that affect the governance and towing speed properties of wheeled transport is the angular deformation in the wheel, under the action of a torsional moment. It is therefore important to know the development of the deformation angle of the wheel over time. Accomplished studies have shown that the process of deformation in the angular vehicle wheel tire under the action of torque is divided into three time periods: on the time interval from 0 to t0 wheel angular deformation with positive angular acceleration linearly increases to a certain value a0; on the time interval from t0 to t1 = 2-t0 angular deformation of the wheel with a negative angular acceleration increases nonlinearly to a maximum value a1 = 2-a0; at t> t1 in the elastic portion of the wheel (tire) occur rapidly damped oscillation angle relative deformation value a0, with a certain period T. The values t0 and a0, as well as the attenuation coefficient P and the period T of damping torsional vibrations in the wheel depends on the magnitude of the torque Mach applied to the wheel, and the dynamic characteristics of the wheel (wheel moment of inertia I, torsional rigidity Ckr tire normal load Pz on the wheel axle).
Ключевые слова: автомобильное колесо, угловая деформация, крутящий момент, крутильная жёсткость колеса, коэффициент затухания колебаний, математическое моделирование.
Key words: automobile wheel, angular deformation, torque moment, torsional stiffness of the wheel, the coefficient of vibration damping, mathematical model.
Введение. При разгоне или торможении автомобиля в эластичной части его колёс возникают изменяющиеся во времени угловые деформации, влияющие на тягово-
скоростные свойства колёсного транспорта [1, 4, 6]. Существующие стендовые и натурные исследования [1, 2, 5, 6, 13] устанавливают лишь связь между конечным значением угла деформации в эластичной части колеса и величиной крутящего момента, что снижает ценность исследования при моделировании движения колёсного транспорта в режиме реального времени.
Целью данной работы является рассмотрение физических процессов в системе «колесо-дорога», протекающих при действии на колесо крутящего момента и разработка на их основе математической модели угловой деформации колеса как функции времени.
Материалы и методы. Для достижения поставленной цели авторы воспользовались законами физики и математики [8, 11, 12], результатами экспериментов, выполненных ими на установке по определению силовых факторов, действующих на колесо транспортного средства [10], а также результатами исследований других авторов [2, 5, 13].
Рассмотрим автомобильное колесо с неподвижной осью вращения на недефор-мированной опорной поверхности (рисунок 1). В некоторый момент времени на ось колеса начинает действовать постоянный по величине и направлению крутящий момент Мкр. В результате диск колеса поворачивается на угол а(^) и в эластичной части колеса (шине) развивается угловая деформация. При этом относительно внешнего наблюдателя реперные точки А, В, С смещаются в положение А\, В\, С\.
Рисунок 1 - Динамика автомобильного колеса с неподвижной осью вращения на недеформированной поверхности: Ръ -нагрузка на ось колеса, нормальная к поверхности опоры; N - реакция опоры; Мкр - крутящий момент, приложенный к колесу; а - угол поворота диска колеса; Мсж - момент упругих сил в области сжатия эластичной части колеса; Мраст - момент упругих сил в области растяжения эластичной части колеса; Яя - динамический радиус колеса; г - радиус диска колеса; а - угловая скорость диска колеса
Будем считать, в первом приближении, что деформационные процессы, протекающие в пятне контакта ЕК колеса с поверхностью опоры, пренебрежимо малы. То-
гда относительно пятна контакта ЕК в продольном сечении колеса на участке A1B1CDK наблюдается деформация сжатия, а на участке A1B1BC1CDEA - деформация растяжения. В эластичной части колеса возникает деформационный момент упругих сил -Мупр(У), противодействующий внешнему крутящему моменту Мкр. Результирующий момент определится уравнением:
M(t) = Мр - Мупр(t), (1)
Так как деформационные процессы в колесе зависят от угла поворота диска, то будем определять угловую деформацию автомобильного колеса через угол поворота диска a(t). В соответствии с законами упругой деформации и принятой терминологией [1, 3, 8, 6], момент упругих сил в колесе можно определить формулой:
Мупр = Ср -a(t), (2)
где Скр - крутильная жёсткость эластичной части колеса.
Таким образом, уравнение (1) с учётом (2) примет вид:
M(t) = Мр - Ср • a(t), (3)
В соответствии со вторым законом Ньютона [8], результирующий момент М() вращает колесо с некоторым угловым ускорением е:
* )=MM1,
I
где I - момент инерции колеса относительно оси поворота.
По определению, угловое ускорение е, угловая скорость m и угол поворота а связаны формулами [8]:
da da s = —, a =—, dt dt
и уравнение (3) преобразуется к виду:
da (t)_ Мкр - Скр ■ a(t)
dt I
(4)
Решим дифференциальное уравнение (4) относительно переменной а(/). Результаты. Преобразуем левую часть первого уравнения (4) в соответствии с законами математики и физики:
da da da da dt da dt da
и приведём это уравнение к виду:
Г Мр Ср ■ a(t ) Л
a ■ da =
■da, (5)
ч I I у
Проинтегрируем левую и правую части дифференциального уравнения (5) по соответствующим переменным:
a2 Мкр Скр a2(t) — = —— ■ a(t )--—--— + const1,
В начальный момент времени t=0 угловая скорость частиц колеса ю=0, угол поворота диска колеса а=0, поэтому для выполнения полученного равенства необходимо, чтобы Тогда функция т(() примет вид:
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ф (t) = ^ 1 • (2 • Мр • a(t) - Ср • a\t) ). (6)
^ da
Так как ф = —, то, подставив в (6) и разделив переменные, получим:
dt
da il ,
= J - • dt. (7)
p• Мр •a(t)-Ср-a2(t) V/
Проинтегрировав левую и правую части дифференциального уравнения (7) по соответствующим переменным [11], получим:
a(t ) = f-
í í
1 — cos i V
V
С
• t + const2
/
w
J J
В начальный момент времени t=0 угол поворота диска колеса а=0, поэтому для выполнения равенства необходимо, чтобы const2=0. Тогда функция а(/) примет вид:
a(t ) = -^JL
(
(
1 - cos
С
Л")
t
(8)
JJ
2 7
или с учётом тригонометрических преобразований (1 — C0S7 = 2 • sin — ):
a(t ) = 2м- sin^ t
Ср U-/
(9)
Обсуждение. Определим физический смысл функции (9) и границы её применимости.
1. Угол деформации а0 колеса, при котором крутящий момент скомпенсирован внутренним моментом упругих сил, можно определить из уравнения (3): при М(^) = Мкр - Мупр ^о) =0 имеем
М,,
кр
С,
(10)
кр
Подставив выражение (10) в функцию (9), получим соответствующий этому углу момент времени
t0 =
ж
/
С,
кр
2. Так как в функции (9)
sin
V
С
4-/
[0; 4
(11)
то максимальный угол а1 де-
формации колеса не превышает величины:
2-М
a ^
кр
С
кр
Соответствующий этому углу момент времени ti равен:
ao =
2
t
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
tj = п-
^Г (13)
Скр
3. Подставляя значение угла (12) в уравнение (3), найдём результирующий момент на колесе при t=t1:
М
М«) = Мкр - 2• Ср-^ = -Мр, (14)
Скр
Под действием отрицательного результирующего момента -Мкр эластичная часть колеса раскручивается в обратном направлении. В соответствии с выражением (8) в колесе возникают колебания угла поворота диска относительно а0, с собственной частотой колебаний
®о =
С
. (15)
4. В силу гистерезисных потерь в эластичной части колеса [7] колебания угла поворота быстро затухают, и устанавливается равновесное состояние с углом деформации а0. В соответствии с законом затухающих колебаний [8] угол поворота a(t) диска колеса на временном промежутке t > t1 можно описать функцией вида:
a(t) =а0 + (а2 -а0)• • (t -12))• cos(yj0)2o - /32 • (t -12)), (16)
где в - коэффициент затухания упругих колебаний в эластичной части колеса; (t2; а2) - точка фазового пространства, в которой совпадают значения функций (9) и (16), а также их первые производные.
На основании сделанных выше допущений и рассуждений, с учётом экспериментальных данных, приведённых в работах [2, 7, 6], коэффициент затухания можно определить выражением:
Р =
С
(17)
5. Крутящий момент Мкр не должен превышать противодействующему ему моменту силы трения покоя Fтр в пятне контакта ЕК [5, 10]:
Мр <¥тр-Яд = ?•Р2-Яд, (18)
где ц - коэффициент трения покоя в пятне контакта; Pz -нагрузка на ось колеса, нормальная к поверхности опоры; Rд - расстояние от оси колеса до поверхности опоры (динамический радиус колеса).
В противном случае возникает проскальзывание колеса в пятне контакта колеса с опорой, и предложенная математическая модель требует уточнений.
6. На рисунке 2, в соответствии с уравнениями (9) и (16), представлен график разви-
тия угловой деформации шины автомобильного колеса при действии на него крутильного
момента. Точка сшивки графиков уравнений определяется равенством значений функций
(9), (16) и значений их производных в момент времени t2, при условии t2>t1:
С^п С^л С
а = а, —9 = —16 при £ = ^ >£. (19)
9 16 сИсИ
0.032
0.028
0,024
0.020
0,016
к 0.012
0,008
0.004
0.00
/
/
/ ураЕ нение (16)
/
/
1
У1 тавпсн ие С9)
ООО 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32
время, с
Рисунок 2 - Зависимость угла деформации в шине колеса от времени при действии на колесо крутящего момента: Начальные данные [1]: модель шины 3.50-5; Мкр =30 Н-м; Р2=800 Н; Скр=1860 Н-м/рад;
Т=0,9кг-м2; Яд=0,09 м; ^=0,4; Мтрпок = 28,8Н-м.
Расчётные данные: а0=0,0161 рад; ¿0=0,0346 с; а1=0,0323 рад; ^=0,0691 с;
Ш0 =45,461 Гц; в=22,730 с-1; ¿2-0,0864 с; а2-0,0275 рад.; 4таб ~0,28 с
Как видно из графика, при заданных начальных условиях стабилизация угла деформации шины наступает при ¿стаб ~0,28 с.
7. На рисунке 3 представлен график изменения угла поворота рулевого колеса со временем при испытании «рывок руля», полученный экспериментально [1]. Данный процесс является аналогом исследуемого нами процесса угловой деформации колеса. В соответствии с теорией подобия в механике [9], качественное совпадение физических процессов и соответствующих графиков на рисунках 2 и 3 подтверждает верность наших рассуждений и адекватность реальному процессу предложенной математической модели (совокупность уравнений (9) и (16)) угловой деформации шины колеса под действием крутящего момента.
1.396
I
СЗ1
ц
§ 1:047 и
§ 0,872
<и
I
в 0,698 н о л
§ 0,523 к в о
& 0,349
0.174.
0,000
0,00 0,50 1,00 Времяс 1,50 2,00 2,50
Рисунок 3 - Зависимость угла поворота рулевого колеса от времени при испытании
«рывок руля» [1]
Заключение. На основании проведённого исследования можно сделать следующие выводы:
• математическая модель процесса угловой деформации автомобильного колеса с неподвижной осью вращения на недеформированной опорной поверхности при действии на колесо крутящего момента Мкр описывается совокупностью уравнений (9) и (16), при условии выполнения неравенства (18). Переход от уравнения (9) к уравнению (16) происходит в момент времени ¿2, при котором выполняются условия (19);
• на промежутке времени от 0 до ¿0 деформация колеса происходит с положительным угловым ускорением (формулы (4) и (9));
• на промежутке времени от ¿0 до ¿1 деформация колеса происходит с отрицательным угловым ускорением (формулы (4), (9));
• в момент времени ¿1 деформация а1 в колесе имеет максимальное значение, в два раза превышающее величину деформации а0, регистрируемую в экспериментах;
• при I > ¿1 в эластичной части колеса происходят быстро затухающие колебания угла деформации относительно величины а0 и, начиная с момента ¿2, описываются формулой (16). На момент времени ¿стаб деформация колеса стабилизируется на отметке а0. Значение установившейся угловой деформации а0 колеса зависит от его динамических характеристик (момент инерции I и крутильная жёсткость Скр) и от величины крутящего момента Мкр;
• качественное и количественное (с учётом погрешностей измерений и вычислений) совпадения результатов нашего исследования с экспериментальными данными других авторов и основными положениями теории подобия указывает на адекватность предложенной математической модели реальному процессу.
Библиографический список
1. Балакина, Е.В. Устойчивость движения колёсных машин [Текст] / Е.В. Балакина, В.М. Зотов. - Волгоград: ИУНЛ ВолГТУ, 2011. - 464 с.
2. Будько, В.В. Стенд для исследования качения колеса в тормозном режиме [Текст] / В.В. Будько, Н.М. Зотов и др. // Наземные транспортные средства. Межвузовский сборник научных трудов. - Волгоград: РПК «Политехник», 1999. - С. 149-152.
3. ГОСТ 17697-72 Автомобили. Качение колеса. Термины и определения [Текст]. -М.: Стандартинформ, 1973. - 23 с.
4. Зотов, В.М. Оценка влияния внешней среды на качение автомобильного колеса по дороге с твёрдым покрытием. [Текст] / В.М. Зотов, В.М. Плешаков // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2012. -№3(27). - С. 315-318.
5. Иларионов, В.А. Коэффициент сцепления шин с дорогой и безопасность движения [Текст]: учебное пособие / В.А. Иларионов, И.К. Пчелин, Е.И. Калинин // МАДИ. - М., 1989. - 77 с.
6. Левин, М.А. Теория качения деформируемого колеса [Текст] / М.А. Левин, Н А. Фуфаев. - М.: Наука, 1989. - 272 с.
7. Оценка интенсивности гистерезисных процессов в колесе при торможении [Текст] / Н. М. Зотов, В.М. Зотов, Г.П. Кранцов, В.Г. Миронов, Д.П. Клешнёв, А.В. Непорада // Материалы 7-го симпозиума НИИ шинной промышленности. - М., 1996. - С. 70-74.
8. Савельев, И. В. Курс физики [Текст] : учеб. пособие для вузов : в 3 т. Т. 1 : Механика. Молекулярная физика / И. В. Савельев. - 3-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2007. - 352 с.
9. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике [Текст] / Л.И. Седов. -М.: Наука, 1981. - 448 с.
10. Способ определения силовых факторов, действующих на колесо транспортного средства [Текст] : патент 2539847 РФ, МПК G01M17/013, G01L5/16. / ЕВ. Балакина, Н.М. Зотов, В.М. Зотов, А.П. Федин; ВолгГТУ. - 2015.
11. Dwight, H.B. Tables of integrals and other mathematical data: fourth edition. / H.B. Dwight. - New York: the Macmillan Company, 1961. - p. 228.
12. Kamke, E. Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen [Text]. / von Dr. E. Kamke - Leipzig: 1967. - p. 575.
13. Grzesikiewicz, W. Modelowanie i badania eksperymentalne przyczepnosci hamowanego kola [Text]. / W. Grzesikiewicz, J. Pokorski, B. Szwabik. // Przeglad Mechaniczny. - 2003. - №10. -Warzsawa, s. 73-78.
Reference
1. Balakina, E. V. Ustojchivost' dvizheniya koljosnyh mashin [Tekst] / E. V. Balakina, V. M. Zotov. - Volgograd: IUNL VolGTU, 2011. - 464 s.
2. Bud'ko, V. V. Stend dlya issledovaniya kacheniya kolesa v tormoznom rezhime [Tekst] / V. V. Bud'ko, N. M. Zotov i dr. // Nazemnye transportnye sredstva. Mezhvuzovskij sbornik nauchnyh trudov. - Volgograd: RPK "Politehnik", 1999. - S. 149-152.
3. GOST 17697-72 Avtomobili. Kachenie kolesa. Terminy i opredeleniya [Tekst]. -M.: Standartinform, 1973. - 23 s.
4. Zotov, V. M. Ocenka vliyaniya vneshnej sredy na kachenie avtomobil'nogo kolesa po doroge s tvjordym pokrytiem. [Tekst] / V. M. Zotov, V. M. Pleshakov // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2012. - №3(27). -S. 315-318.
5. Ilarionov, V. A. Kojefficient scepleniya shin s dorogoj i bezopasnost' dvizheniya [Tekst]: uchebnoe posobie / V. A. Ilarionov, I. K. Pchelin, E. I. Kalinin // MADI. - M., 1989. - 77 s.
6. Levin, M. A. Teoriya kacheniya deformiruemogo kolesa [Tekst] / M. A. Levin, N. A. Fufaev. - M.: Nauka, 1989. - 272 s.
7. Ocenka intensivnosti gisterezisnyh processov v kolese pri tormozhenii [Tekst] / N.M. Zotov, V. M. Zotov, G. P. Krancov, V. G. Mironov, D. P. Kleshnjov, A. V. Neporada // Materi-aly 7-go simpoziuma NII shinnoj promyshlennosti. - M., 1996. - S. 70-74.
8. Savel'ev, I. V. Kurs fiziki [Tekst] : ucheb. posobie dlya vuzov : v 3 t. T. 1 : Mehanika. Molekulyarnaya fizika / I. V. Savel'ev. - 3-e izd., ster. - SPb. : Lan', 2007. - 352 s.
9. Sedov, L. I. Metody podobiya i razmernosti v mehanike [Tekst] / L. I. Sedov. - M.: Nauka, 1981. - 448 s.
10. Sposob opredeleniya silovyh faktorov, dejstvuyuschih na koleso transportnogo sredstva [Tekst] : patent 2539847 RF, MPK G01M17/013, G01L5/16. / E. V. Balakina, N. M. Zotov, V. M. Zotov, A. P. Fedin; VolgGTU. - 2015.
11. Dwight, H.B. Tables of integrals and other mathematical data: fourth edition. / H.B. Dwight. - New York: the Macmillan Company, 1961. - P. 228.
12. Kamke, E. Differentialgleichungen: L?sungsmethoden und L?sungen [Text]. / von Dr. E. Kamke - Leipzig: 1967. - P. 575.
13. Grzesikiewicz, W. Modelowanie i badania eksperymentalne przyczepnosci hamowanego kola [Text]. / W. Grzesikiewicz, J. Pokorski, B. Szwabik. // Przeglad Mechaniczny. - 2003. - №10. -Warzsawa, S. 73-78.
E-mail: zvmitn@yandex.ru
