Учёт поперечных сил при вычислении прогибов балок с помощью интеграла Мора Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 692.48+539.3/ .6

УЧЁТ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОГИБОВ БАЛОК С ПОМОЩЬЮ

ИНТЕГРАЛА МОРА

Маслак АС., Попов АГ., Литвинова Э.В.

Академия строительства и архитектуры (структурное подразделение) ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 295493 РК г. Симферополь, у. Киевская, 181 E-mail: asm2@mail.ru, agp-51@mail.ru, ella_litvinova_2015@mail.ru

Аннотация. Рассматриваются вопросы учёта и исследования зависимостей величины максимальных прогибов статически определимых балок от действия поперечных сил при различных видах нагружения, различных способах закрепления и формах поперечного сечения. Определено различие между классической теорией изгиба балок и теорией Тимошенко С.П., предложившим учитывать при определении деформаций часть перемещений, вызванную явлением сдвига. Построены графики влияния различных факторов на величину относительной погрешности при вычислении максимального прогиба по классической теории изгиба и с учётом действия поперечных сил. Составлена таблица поправочных коэффициентов для уточнения величин максимальных прогибов определённых традиционным способом, учитывающим только деформации, связанные с изгибающим моментом.

Ключевые слова: статически определимые балки, прогибы, уточнение вычисления прогибов, уравнение Максвелла-Мора, метод Тимошенко.

ВВЕДЕНИЕ

При расчете конструкций на жесткость при поперечном изгибе величина перемещений точек системы зависит от многих факторов: вида расчетной схемы (опорные связи и нагрузки), свойств материала конструкций, геометрических характеристик поперечных сечений элементов конструкций, внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях при нагружении, и т.д. При определении прогибов балок в большинстве случаев учитывают только изгибающий момент, а поперечной силой пренебрегают. Цель данной работы - установить влияние поперечной силы на величину прогиба.

АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ И МЕТОДОВ

Изгиб элементов конструкций редко бывает чистым, обычно возникает поперечный изгиб, при котором в поперечных сечениях изгибаемых элементов возникают нормальные о и касательные т напряжения. Эти напряжения интегрально связаны с внутренними усилиями - изгибающим моментомМи поперечной силой Q [1-3]. Точные значения напряжений и деформаций, возникающих в материале балки, позволяют определить методы теории упругости [4-7]. Хотя эти подходы и точны, но, как правило, являются довольно сложными и

непрактичными при определении прогибов балок. Метод определения прогибов балок, предложенный С.П. Тимошенко [8], предполагает рассматривать полный прогиб балки У как сумму прогибов, рассматриваемых классической теорией изгиба и обусловленных возникающим в сечении изгибающим моментом Ум и прогибом, обусловленным только деформациями поперечного сдвига УQ, вызванного поперечной силой Q:

У = Ум + Уд.

Вертикальные перемещения оси балки при прямом поперечном изгибе можно определять при помощи интеграла Мора. При решении плоской задачи, интеграл Мора имеет вид:

А тп

l — M „ ■ dx

M„

EIz

+ I.C Qm

■ Nn ■ dx

■ EF

Qn ■dx

(1)

GF

-■n

где Дтп - перемещение по направлению «силы» Рт = 1, вызванное действием нагрузки п (группы «сил» п);

м т и м п - соответственно единичный и действительный изгибающие моменты;

Nт и N п - единичная и действительная продольные силы;

Qm и Qn - единичная и действительная поперечные силы;

П - коэффициент распределения касательных напряжений по сечению, зависящий от формы поперечного сечения балки.

В случае прямого поперечного изгиба, статически определимых балок, в соответствии с классической теорией балок, рассматриваемой в сопротивлении материалов, продольные силы отсутствуют, интеграл Максвелла-Мора принимает вид:

— Мр • dx

У = V Г М1--р-+

^•>0 1 Е1г

^Г^ QP ' ^

(2)

0

ОЕ

На практике, при вычислении прогибов балок, составляющая прогиба от поперечных сил не учитывается, а вычисляются прогибы, обу словленные изгибом [9-10].

Целью данной работы является определение влияния прогиба, вызванного сдвигом, т.е. действием поперечных сил и уточнение величины прогибов в зависимости от формы и размеров поперечного сечения балки, типа её закрепления и характера нагрузки.

При действии на длинные балки постоянной жёсткости нагрузок общего типа разница прогибов с учётом поперечной силы и без неё пренебрежимо мала - меньше 2%. Однако эта ошибка может оказаться серьезной, если балка короткая или на нее действуют приложенные на небольшом расстоянии друг от друга силы, противоположные по направлению.

Хорошую аппроксимацию точных значений перемещений можно получить с помощью сравнительно простой поправки к классической теории балок.

Для выяснения влияния формы поперечного сечения балки на величину максимального

прогиба, рассмотрим балку на шарнирных опорах круглого, прямоугольного и двутаврового поперечного сечения, нагруженную

сосредоточенной силой в середине балки (схема 1):

1) для того, чтобы вывести формулу полного прогиба, найдем значения изгибающих моментов и поперечных сил для балок в данной схеме:

У = —• Е1

( гЬ/2 Ех X ,

---dx +

к

0 2 2

¡■ь Е (Ь - х) (Ь - х)

Ь/2

2

ЕА

Г

0

¡.ь Е 1

Г---(—^х

¡Ь/2 2 2

Ь/2 Е 1 ,

---dx +

'0 2 2

гЬ Е ГЬ/2 2

2

•п

dx

(3)

2) согласно расчётам, приведённым в источнике 1, коэффициент распределения касательных напряжений по двутавровому сечению

п :

А

А„

где А - площадь поперечного сечения двутавра;

АстеНки - площадь поперечного сечения стенки двутавра;

10

для круглого сечения п = — и для прямоугольного п = 1,2.

Вычислим составляющие прогиба, вызванные изгибом ДМ и сдвигом ДQ. Построим графики

зависимости--100% от величины приведённой

ЛQ

длины балки к, равной отношению длины балки Ь к

высоте поперечного сечения к; к = Ь (рис. 1).

к

Принимаем к одинаковым для всех сечений балки.

+

1

ю'

300

юта

270 240

210

РКк) ш КЦк) 120

г

\

\

п \

\ \

\ \ \

о

1 2 3

9 10 11 12 13 14 15 16 П 18 19 20

к

Рис 1. Погрешность АМ ■ 100% в прогибах балки прямоугольного, круглого и двутаврового сечений

Ад

На построенных графиках (рис. 1) видно, что наибольшее влияние поперечные силы оказывают при вычислении прогиба двутавровой балки, т. е. чем более тонкостенный профиль поперечного сечения, тем большее влияние деформации сдвига оказывают на величину полного прогиба. В дальнейшем рассмотрим именно такие сечения балок.

Определим прогибы для простых случаев нагружения двутавровых балок и построим

графики зависимости Дд/ДМ в % от к, где к = — (к

к

- высота поперечного сечения двутавровой балки) Рассмотрим следующие схемы нагружения

Схема 1

Схема 2

Схема 3

Схема 4

Схемы нагружения 1 и 2 - балка расположена на двух шарнирных опорах: в первом случае сосредоточенная сила, приложена в середине, а во втором - на всей длине балки равномерно распределенная нагрузка.

Схемы нагружения 3 и 4 - балка жестко защемлена: в одном случае на свободном конце приложена сосредоточенная сила, в другом - на всей длине балки действует распределенная нагрузка.

Для каждого случая, найдены значения изгибающих моментов и поперечных усилий от единичной силы и от действительной нагрузки, как это было сделано для случая с сосредоточенной силой.

После аналогичных расчетов мы получаем соответствующие значения прогибов для каждой схемы:

Т. к. в уравнениях (4) параметры Е, д, Ь, Е, О, 12, А, п - постоянные и одинаковые для всех участков балки и зависят от исходных данных: упругих свойств материала; геометрии поперечного сечения; вида нагрузки и места определения прогиба, относительная погрешность определения прогиба за счет сдвига может быть записана для каждого рассматриваемого случая в следующем виде, учитывая, что Ь = кк:

1.

ДQ1 _ ЕЬ -п-48Е1

Ш1 4ОА • ЕЬ

Е к

О А Ь

= 12 •— •-• Л== 12-П.

Е Л п О А к2 к2

2.

ДQ2 дЬ •п •384Е/

Д^

8ОА •БдЬ4

Е 12 п Е 12 П 1 = 9.6-------- 9.6--------;

О А Ь2

О А к2 к2

У =

Е •Ь Е•Ь

48Е12 4ОА

•п;

У2 = ^ + ИЫ п;

384Е/, 8ОА

Уз =

Е •Ь Е •Ь

(4)

3ЕЕ

ОА

п;

У4 = ^+^ п;

8Е12

2ОА

Рассмотрим влияние размеров поперечного

ДМ 1АА0/

сечения на величину погрешности 100% при различных видах нагружения и закрепления балок.

3 да = еь•п• зшг = 3л =

ДМ,

ОА •ЕЬ

з

О А Ь2

= 3 Е Е л. ±.

О А к2 к2'

4 Д& = дЬ2 •п•8Е/2 = ^Е.Е, Л =

ДN4 2ОА • дЬ

= 4. Е.Е. п. ±

О А к2 к2'

О А Ь2

(5)

Взяв нужные геометрические характеристики сечений двутавров (ГОСТ 8239-89) №№ 10, 20, 30, 40, Ст.3: Е = 2^105 МПа; G=8•104 МПа, построим интересующие нас графики.

2

+

+

По графикам (рис. 2) видна зависимость для балок одинаковой длины Ь, чем больше номер двутавра, тем больше влияние поперечных сил в вычислении прогибов, и с увеличением длины балки при постоянной высоте попречного сечения составляющая прогиба от сдвига стремится к нулю.

Наибольшая погрешность

ДМ

дё

•100%

возникает при вычислении прогибов шарнирно опёртой балки с сосредоточенной силой в середине - схема № 1.

Используя полученные данные для определения точных значений прогибов, вычислим

поправочный коэффициент п к прогибам, найденным традиционным способом, без учёта поперечных сил

У = Ум-п,

где Ум - прогиб от действия изгибающих моментов;

У - полный прогиб балки, следовательно: ДМ + Д0 Д0

п =

ДМ

= 1 + -

ДМ

(6)

С данной таблицей, можно без труда вычислить полный прогиб балки, зная только его составляющую от изгиба.

Таблица 1.Уточняющие коэффициенты п для первой схемы нагружения

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Двутавр № 10 12,553 4,638 2,617 1,910 1,582 1,404 1,297 1,227 1,180 1,145

Двутавр № 20 14,800 4,450 2,533 1,863 1,552 1,383 1,282 1,216 1,170 1,138

Двутавр № 30 13,344 4,109 2,382 1,777 1,497 1,345 1,254 1,194 1,154 1,124

Двутавр № 40 12,768 3,942 2,308 1,736 1,471 1,327 1,240 1,184 1,145 1,118

к 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Двутавр № 10 1,120 1,101 1,086 1,074 1,065 1,057 1,050 1,045 1,040 1,036

Двутавр № 20 1,114 1,096 1,082 1,070 1,061 1,054 1,048 1,043 1,038 1,035

Двутавр № 30 1,103 1,086 1,074 1,063 1,055 1,049 1,043 1,038 1,034 1,031

Двутавр № 40 1,097 1,082 1,070 1,060 1,052 1,046 1,041 1,036 1,033 1,029

Рассмотрим на примере определение максимального прогиба балки по схеме № 1.

Дано: сечение балки - двутавр № 20; к = 20 см; Ь = 220 см.

Определяем приведенную длину Ь 220

к = — =-= 11. По строке для двутавра № 20 при

к 20

к = 11 находим п = 1.114.

Прогиб от изгиба УМ =

П3

48£7

полный прогиб

У = Умп =- 1,114, т. е. прогиб будет больше

48ЕГ

ВЫВОДЫ

Из практики применения балок в строительстве известно, что балки с приведенной

длиной к = — = 8-12 встречаются довольно часто.

Погрешность при определении прогибов статически определимых стальных балок в этих случаях составляет 7-20 %, что значительно превышает допустимую погрешность при расчёте балок на жесткость [11-12].

расчётного по классической теории балок на 11,4 %.

Дано: сечение балки - двутавр № 30; к = 30 см; Ь = 220 см.

Определяем приведенную длину

Ь 220

к = — =-= 7,3. По строке для двутавра № 30 при

к 30

к = 7,3, используя метод линейной интерполяции, находим п = 1,24: к = 7 - п = 1,254; к = 8 - п = 1,194.

Полный прогиб У = Утп=

1,24, т. е.

48Е1г

прогиб будет больше расчётного по классической теории балок на 24 %.

По результатам приведённых выше исследований, можно сделать следующие выводы:

- форма поперечного сечения балки влияет на погрешность при определении прогибов. Для тонкостенных сечений влияние сдвига больше, чем для массивных;

- с увеличением высоты поперечного сечения к при одинаковой длине балок Ь, влияние сдвига возрастает;

- с увеличением длины балок Ь при одинаковой высоте к , влияние сдвига уменьшается. Т. е. чем короче и выше балка, тем большая погрешность возникает при вычислении прогибов;

- величина влияния сдвига зависит от способа закрепления балки. Для балкок на шарнирных опорах, погрешность при определении прогиба больше, чем для жёстко защемлённых одним концом;

- величина погрешности зависит от упругих свойств материала, а именно от соотношения

р тг

модулей упругости и сдвига —. При относительно

G

низком значении модуля сдвига, например древесина, сдвиговая податливость конструкции возрастает. Например, для строительных сталей

G

= 2,5-4, для древесины вдоль волокон

F

— = 18-25;

G

- величина поправки на сдвиг зависит от формы сечения, т. к. от неё зависит величина коэффициента распределения касательных напряжений по сечению п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дарков, А.В. Сопротивление материалов: Учебник для втузов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. -М.: АльянС, 2014. - 624 с.

2. Горшков, А.Г. Сопротивление материалов: Учеб. Пособие / А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин. - М.: Физматлит, 2005. - 544с.

3. Каримов, И. Сопротивление материалов [Электронный ресурс] / Электронный учебный курс для студентов очной и заочной форм обучения. - Режим доступа: ЬИрУ/^^^. soprotmat.ru. - Загл. с экрана.

4. Андреев, В.И. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности: Учебник / В.И. Андреев - М.: ИНФРА-М, 2014. -638 с.

5. Доннелл, Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. Под ред. Э.И. Григолюка / Л.Г. Донелл - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 568 с.

6. Липовцев, Ю. Прикладная теория упругости / Ю. Липовцев, М. Русин. - М.: Дрофа, 2008. - 321 с.

7. Саргсян, А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов: Учебник для вузов / А.Е. Саргсян. - М.: Высшая школа, 2000. - 286 с.

8. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов. Том I. Элементарная теория и задачи / С.П. Тимошенко. - M.: Наука, 1965. - 368 с.

9. Кирсанов, М.Н., Формулы для расчета прогиба балочной многорешетчатой фермы / М.Н. Кирсанов, А.Н. Маслов // Строительная механика и расчет сооружений. - M.: Научно-исследовательский центр «Строительство», 2017. -С. 6-10.

10. Попова, И.Ю. Определение перемещений в предварительно нагруженных железобетонных балках / И.Ю. Попова // Международная научно-техническая конференция «Проблемы энергетики, природопользования, экологии». Брянская государственная сельскохозяйственная академия, 2008. - С. 171-176.

11. Чемодуров В.Т. Методы системного анализа в проектировании технических систем / В.Т. Чемодуров, Ю.С. Кузьмина // Строительство и техногенная безопасность, 2013. № 46. - С. 36-43.

12. Narayanan, S. Space Structures: Principles and Practice / S. Narayanan. - U.K., Essex, Brentwood: Multi-Science Publishing Company, 2006. - 844 p.

REFERENCES

1. Darkov A.V. strength of materials: Textbook for technical colleges / V. A. Darkov, G. S. Spiro. -Moscow: Alliance, 2014. - 624 p.

2. Gorshkov, A. G. mechanics of materials: Proc. Manual / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. Shalashilin. - Moscow: Fizmatlit, 2005. - 544c.

3. Karimov, I. Resistance ofmaterials [Electronic resource] / Electronic training course for full-time and part-time students. - Access mode: http://www Oh. soprotmat.ru Oh. - Zagle. from the screen.

4. Andreev, VI Resistance of materials with the basics of the theory of elasticity and plasticity: Textbook / VI Andreev - M.: INFRA-M, 2014. - 638 p.

5. Donnell, L. H.: Beams, plates and shells. Per. from English. Under the editorship of E. I. Grigolyuk / L. G'donnell. - M.: Science. Main edition of physical and mathematical literature, 1982. - 568 p.

6. Lipovtsev, Yu. Applied theory of elasticity / Yu Lipovtsev, M. Rusin. - Moscow: Drofa, 2008. - 321 p.

7. Sargsyan, A. E. Resistance ofmaterials, theory of elasticity and plasticity. Fundamentals of theory with examples of calculations: Textbook for

universities / A. E. Sargsyan. - Moscow: Higher school, 2000. - 286 p.

8. Timoshenko, S. P. mechanics of materials. Volume I. Elementary theory and problems / S. p. Timoshenko. - M.: Science, 1965. - 368 p.

9. Kirsanov, Mn, Formulas for calculating the deflection of a multi-beam beam beam truss / M. N. Kirsanov, An Maslov / / Construction mechanics and calculation of structures. - M.: research center "Construction", 2017. - P. 6-10.

10. Definition of displacements in pre-loaded reinforced concrete beams / I. Yu. Popova / /

international scientific and technical conference "problems of energy, nature management, ecology". Bryansk state agricultural Academy, 2008. - Pp. 171176.

11. Chemodurov V. T. Methods of system analysis in designing of technical systems / V. T. Chemodurov, Y. S. Kuzmin // Construction and technogenic safety, 2013. No. 46. - P. 36-43.

12. Narayanan, S. Space Structures: Principles and Practice / S. Narayanan. - U. K., Essex, Brentwood: Multi-Science Publishing Company, 2006. - 844

ACCOUNTING OF TRANSVERSAL FORCES AT CALCULATION OF DEFLECTIONS OF BEAMS BY MEANS OF THE MOHR'S INTEGRAL Maslak AS., Popov AG., Litvinova E.V.

Summary. Questions of account and research of dependences of size of the maximal deflections of statically determinate beams on action oftransversal forces at different types ofa loading, various ways offixing and forms of a transverse section are considered. The difference between the classical theory ofa bend ofbeams and Tymoshenko S.P. theory, suggested considering the part of movements caused by the shift phenomenon when determining deformations is defined. Schedules of influence of various factors at a size of the relative accuracy are constructed at calculation ofthe maximal deflection according to the classical theory of a bend and taking into account action of transversal forces. The table of correction factors for specification of sizes ofthe maximal deflections determined by the traditional way considering only deformations, the bound to a moment of deflection is made.

Keywords: statically determinate beams, deflections, specification of calculation of deflections, Maxwell-Mohr's equation, Tymoshenko's method.