Учет наложенных внешних связей в математической модели древовидного исполнительного механизма двуногого шагающего робота Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»



УДК 681.5

Учет наложенных внешних связей в математической модели древовидного исполнительного механизма двуногого шагающего робота

А.К. Ковальчук

КОВАЛЬЧУК Александр Кондратьевич

кандидат технических наук, доцент, директор МИПК (МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Предлагается блочно-матричный способ записи математической модели древовидного исполнительного механизма двуногого шагающего робота, с учетом наложенных на него внешних связей. Данный способ позволяет получать математическую модель в форме, традиционной для моделей роботов с линейной (разомкнутой) кинематической цепью.

Ключевые слова: двуногий шагающий робот, древовидный исполнительный механизм, математическая модель.

The blochno-matrix way of record of mathematical model of the treelike executive mechanism of the biped walking robot, taking into account the external relations imposed on it is offered. The given way allows to receive mathematical model in the form traditional for models of robots with a linear (opened) kinematic chain.

Keywords: the biped walking robot, the treelike executive mechanism, mathematical model.

уравнение динамики двуногого шагающего робота, имеющего древовидную кинематическую структуру, записывается в виде [1,2]

A(q)q + B(q,q)-C(q)0 fв - H(q)0 nв = т, (1)

где

A(q) = a(0 zd )т (-(Л(0c D )) md (d0zd (E - a) +

+Лт (0cA )0zda)+D' °JdD°zda) + (E - a)( 0zd )т X (2)

XDT md (d 0 zd (E - a) + Лт( 0c/d )0 zd a);

ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй

х

Б(д,д) = а( 0г')т{ -(Л( 0с/ )) т" х

х[лт( 0е/в )Лт(0г"адй )(В- Е)+ Л х(лт (0С/В )адй0гйВ + Лт (°ел )х х((В - Е )а0 г'д)') + + 2ВЛт ( 0г" (Е - а)д " )(В - Е)] + +В'"/¿Бад"Лт(0г" )(В- Е) + Вт Л х (3) х(в0 г" а?) ' 0 /¿В} 0 г" а? + (Е - а )х х( 0г")т Вттй [лт( 0с/в )Лт х х(0г"ад" )(В- Е)+ 2ВЛт ( 0г" (Е - а)д" )х х(В-Е) + (лт(0С/в )ад"0г"В + Лт(0С/в )х

х((В- Е)а0г'д)')]0г"а?;

С(д) = а( 0г")т (В - Е)Л(0)ВТ + (4) +Вт Л(0^ )) + (Е - а)( 0г");

Н(д) = а( 0г")тВ\

(5)

где д = (дх ,д2,.. )т — обобщенные координаты исполнительного механизма, записанные в виде вектора-столбца;

дй = diag(д 1,д2,..,ды) — обобщенные координаты исполнительного механизма, записанные в виде элементов диагональной матрицы;

Л(а)Ь = а хЬ = -Л(Ь)а = Лт(Ь)а — выражение для векторного произведения;

В — матрица достижимости звеньев исполнительного механизма;

0г — блочный вектор-столбец, определяющий последовательность осей 0 , связанных

систем координат звеньев исполнительного механизма;

а — диагональная матрица, определяющая типы сочленений звеньев исполнительного механизма;

% — блочная матрица, объединяющая векторы ¡1 у, соединяющие начала систем координат /(у),пз(у) с началами основных систем координат звеньев в соответствии с взаимной достижимостью звеньев, описываемой матрицей достижимости В, (й{ у — соответствующие элементы матрицы достижимости):

г =

' ■0/

"1,1 '1

' ■0/

"2,1 '2,1

' 1,2

"

2,2 2

7 '1,2

0/

' 1,Л

"

2,^ 2,^

0/

0/"

\

,1

7 й

N ,1 N ,2

,2

й ■ 0/

N ,N ^ /

; (6)

05 = (0 0з^,..., 0— блочный вектор, объединяющий векторы , соединяющие начала систем координат /(/(')),пз(/0')) с началами

систем координат /('),пз('') (первый элемент блочного вектора з нулевой, поскольку для первого звена вектор не существует);

0е = ( 0е1т °е2т .. )т — блочный вектор, определяющий положения центров масс звеньев относительно начал их основных систем координат;

0сЛ — матрица, объединяющая векторы с г , соединяющие начала систем координат

у

звеньев /(у),т(у)с центрами масс звеньев в соответствии со взаимной достижимостью звеньев, описываемой матрицей достижимости В (й{ у — соответствующие элементы матрицы достижимости):

";(7)

0 С/в = ( й ■ 0С "1,1 с/1 й 2,1 ■ С/2,1 ¿1,2 ■ 0сС/ „ 0СС/2 ■ ^ ■ ^ 0С \ /1N 0с f2 ,N

й ■ 0 С ,2 С /М ,2 ■ dN N ^ /М у

= 01В + 0 сйБ

0 / = ( 0 /Т1 0 /• т2 О Л У

Ув \ Ув Ув Ув /

— блочная

матрица внешних сил, приложенных к звеньям исполнительного механизма со стороны окружающей среды;

0t = ( V* 0Г2т ,..., )т — блочный вектор, объединяющий векторы ^, соединяющие нача-

ла систем координат звеньев /(/), пя(/) с точками, через которые проходят равнодействующие внешних сил, приложенных к звеньям /;

Ч =( V ч ,

..., 0 п/-к ) — блочная

матрица моментов, от приведения внешних сил, приложенных к звеньям со стороны окружающей среды, к началам систем координат их звеньев-отцов, определяется в соответствии с выражением: 0п, = 00/в;

"п.

-(0 п

йт1 0 пТ2 0 пт

"в "в

) — блочная

матрица внешних моментов, действующих на звенья исполнительного механизма со стороны окружающей среды;

0п'в = 0пв + — блочная матрица суммарных внешних моментов, действующих на звенья / относительно начал систем координат /(/),пя(/) их звеньев отцов;

т = (т1,т2 ,..., тм )т — матрица масс звеньев; /С = (1С ,/С ,..., ]с )т — блочная матрица тензоров инерции звеньев.

В этом выражении третье слагаемое С(д)0 /в определяется внешними силами, действующими на звенья исполнительного механизма и моментами, от приведения этих сил к началам соответствующих систем координат их звеньев отцов.

При наложенных на исполнительный механизм связях в уравнении (1) к внешним силам, моментам добавятся силы, моменты реакций этих связей. И уравнение (1) запишется в виде:

Л(д)д + Б(д,д)-С(д)0/-Ся(д)0Я, -, -И(д)(0пв + Ч ) = т,

(8)

где

Ч =( 0 Я/1 0 Я,2 ,..., 0 / )т— блочный

вектор сил-реакций связей, приложенных к звеньям исполнительного механизма;

Ч =(0 Я 1 0 К& ,..., 0 К )т— блочный вектор моментов-реакций связей, приложенных к звеньям исполнительного механизма;

N — число звеньев исполнительного механизма;

С(д) = // — транспонированная матрица

Якоби для линейных перемещений точек приложения равнодействующих внешних сил, действующих на звенья исполнительного механизма, определяется в соответствии с выражением

С(д) = а( 0г')т ((Вт - Е)Л(0^ )Вт + +Вт Л( V)) + (Е - а)( 0г')т Вт.

(9)

Здесь СЯ(д) = /уЯ — транспонированная

матрица Якоби для линейных перемещений точек приложения реакций связей, определяется в соответствии с выражением

Ск(д)=а( 0г' )т ((вт - Е)л(08й )В +

+Вт Л( 04 )) + (Е - а)( 0г' )т Вт;

(10)

— вектор, соединяющий начало системы координат звена /(/),пя(/)с точкой, через которую проходит сила реакции связи, наложенной на звено /;

0= ( 0,..., 0)т — блочный вектор, объединяющий векторы I Я для всех звеньев исполнительного механизма;

Н(д) = /* — транспонированная матрица

Якоби для угловых перемещений звеньев, которая определяется в соответствии с выражением

Н(д) = а( 0г')тВт.

(11)

Введем следующие обозначения: 0 = (0 /вт 0 п в )т — блочный вектор внешних сил, моментов, приложенных к звеньям исполнительного механизма;

Я = (Я/ Ят) — блочный вектор усилий

реакций связей, наложенных на исполнительный механизм;

Ь(д)=(С(д) Н(д)) — матрица Якоби размерностью ^2N), объединяющая матричные коэффициенты внешних сил и внешних мо-

ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй

ментов, действующих на звенья исполнительного механизма;

Ьк (д) = (СЯ (д) Н (д)) — матрица Якоби размерностью N ( 2N), объединяющая матричные коэффициенты сил и моментов реакций связей, наложенных на звенья исполнительного механизма.

С учетом введенных коэффициентов, уравнение (8) запишется в следующем виде:

А(д)д + Б(д,д) - Ь(д)0 ^ - Ьк (д)0 Я = т. (12)

В процессе движения исполнительного механизма могут изменяться как количество наложенных связей, так и вид уравнений описывающих эти связи. Связи можно разделить на кинематические и геометрические. Первые определяются тем, что задаются уравнения кривых, по которым двигаются характерные точки исполнительного механизма. Вторые определяются зависимостями внешних усилий, приложенных к роботу, как функций от координат характерных точек исполнительного механизма и их производных. В общем случае, эти функции могут быть существенно нелинейные.

Выводы

Предложен блочно-матричный способ записи математической модели динамики древовидного исполнительного механизма двуногого шагающего робота с учетом наложенных на него внешних связей.

Достоинство данного способа состоит в том, что он позволяет получить математическую модель для древовидного исполнительного механизма в форме, традиционной для моделей роботов с линейной (разомкнутой) кинематической цепью.

Литература

1. Ковальчук А.К., Кулаков Д.Б., Семенов С.Е. Блоч-но-матричные уравнения движения исполнительных механизмов роботов с древовидной кинематической структурой // Известия вузов. Машиностроение. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. № 12. С. 5—21.

2. Ковальчук А.К., Кулаков Д.Б., Семенов С.Е. Математическое описание кинематики и динамики исполнительных механизмов роботов с древовидной кинематической структурой // Известия вузов. Машиностроение. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. № 11. С. 13—25.

Статья поступила в редакцию 02.06.2011 г.