CC BY
23
Вопросы теории пластичности
УЧЕТ НАКОПЛЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ РАСЧЕТЕ ВИСЯЧИХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
А.А.СВЕНТИКОВ, канд. техн. наук, доцент
A.M. БОЛДЫРЕВ, д-р техн. наук, профессор, член-корр. РА4СН
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Одним из важных факторов, существенно влияющих на напряженно- деформированное состояние строительных конструкций, является возникновение в них пластических деформаций. При изучении висячих систем задача осложняется тем, что в данных конструкциях кроме физической нелинейности необходимо учитывать и геометрическую нелинейность. В настоящее время практически неизвестны исследования затрагивающие данные вопросы, что определя-
_____________— -------------с.---
ы амvajionu^iD nav, 1 илщ^п uauuidi. f «
В качестве основного метода расчета висячих стержневых систем будем использовать метод конечных элементов в форме метода перемещений. При этом задача расчета конструкции в матричном виде формулируется следующем
образом: Kr = P, (1)
где К,г,Р - глобальная матрица жесткости конструкции, вектора перемещений и нагрузки.
Зависимость между напряжениями и деформациями в материале висячих конструкций без учета предыдущих загружений запишем в виде кусочно-линейной функции с упрочнением (рис.1, а) [1]:
А - линейная стадия: sj <Sf, 07 = Е- ej. (2)
Б - упруго-линейная стадия:
eu~et £и ~£t ai=E-ei (l-a£), (4)
где E,ai,si - модуль упругости, напряжение и относительная деформация материала гибкой нити; аи,а^,£и,Е{ - предел временного сопротивления, предел текучести и соответствующие им относительные деформации; Е(- секущий модуль упругости; сто - начальные напряжения соответствующие нулевым деформациям; ае - мера пластических деформаций (отношение секущего модуля упругости к начальному, О ^ а£ < 1). При напряжениях до предела текучести напряженно-деформированное состояние нити является упругим, а при превышении - упруго-пластичным. После чего происходит разрушение конструктивного элемента по критерию прочности.
Для повторных загружений введем следующее допущение [1]: в упруго-пластической стадии деформирования материала разгрузка от достигнутой точки диаграммы (07 - г/) будет осуществляться по упругой зависимости (рис.1,а) и при последующих нагружениях деформационный процесс будет подчиняться данной новой зависимости (рис. 1, б).
Для первого появления остаточных деформаций можно записать:
si=sr+£y; (5) ey=ai/E-, (6) er =ej ~sy = е/-<т//E. (7)
а) б)
Рис. 1. Диаграммы деформирования материала
а - деформирование при первом накоплении остаточных деформаций; б - первая остаточная диаграмма; в - деформирование при повторном накоплении остаточных деформаций; г - повторная остаточная диаграмма
Для каждого следующего превышения предела текучести (накопления деформаций) будет уточняться диаграмма деформирования путем увеличения остаточных деформаций
е'г=ег+ Ае\, (8)
где £г уточненные остаточные деформации элемента.
Данный процесс будет продолжаться до некоторого предельного значения остаточных деформаций е"р (предельные остаточные деформации элемента, возникающие при разгрузке от временного сопротивления аи ) (рис.1, г) [1].
Исходя из введенных допущений, запишем следующую зависимость для деформации материала с учетом истории нагружения:
А - условно линейная стадия:
I I I
ег <е{ <£!, щ = Е(ех-ег) (7)
Б - упруго-линейная стадия:
I ! I
ех>ех агег--;-+-Ге1 (8)
£и ~£1 £и~
Исходя из анализа полученных зависимостей (7), (8) и соответствующих (Ьоомул (21. (31 (41 видно учет истооии пеАопмипования заключается в коппек-тировке деформаций при вычислении напряжений в упругой стадии.
Для характеристики остаточных деформаций в элементах строительной
глигтпчлгимн ПОЙПЙАЛ о ПА тпялшмй ь'Л'агЪЛмгтАит иси/лтттт^итла по/Ьлт^апий Р.. •
2 «и^КИ У^у IV!! 1 А 1 ¿V 1VI Л.ХШ-МА Д V V р ШиЦ1 III V/ у- ,
Сг1=е"г18?р- (9)
т
сг = £с„-/т, (10)
/=1
где т - число элементов в группе.
При разгрузке конструктивная система будет получать некоторое промежуточное состояние, зависящее от накопленных остаточных деформаций. Данное состояние будет являться начальным для последующих повторных загружений конструкции. Однако при расчете многоэлементных конструкций данный подход является невыгодным из-за необходимости переформирования системы разрешающих уравнений (глобальной матрицы жесткости).
Для исключения данных промежуточных состояний используем идею фиктивных нагрузок (метода упругих решений) [1]. При этом под фиктивной будем понимать нагрузку, вызывающую в элементах исходной расчетной схемы деформации эквивалентные остаточным.
Первоначально по остаточным деформациям определяется вектор отпорных усилий Ыге в элементах конструкции. Затем, суммируя данные усилия по координатным осям (степеням свободы узлов) находится вектор фиктивных нагрузок Рге . После чего выполняется поверочный расчет исходной системы. В том случае если найденные фиктивные перемещения /у будут равны остаточным перемещениям гг (определяются путем суммирования остаточных деформаций по координационным осям), то дальнейший расчет конструкции осуществляется с учетом найденной фиктивной нагрузки.
Неравенство перемещений указывает на наличие в системе остаточных напряжений. В этом случае по разнице перемещений ту - г, используя описанную выше последовательность определяются дополнительные фиктивные нагрузки Рге/ . Таким образом, матричная формулировка метода конечного элемента для расчета систем с учетом накопления деформаций будет иметь следующий вид:
= Р + + (11)
В общем случае зависимость между перемещениями концевых закреплений гибкой нити и продольным усилием в ней записывается в следующем виде [2]:
А =
Н1 Е-А
г2'3
24 Н
Г
(12)
где А - перемещение концевых закреплений нити; Н - распор нити; g - поперечная нагрузка (погонный вес нити); / - пролет нити; Е - модуль упругости материала нити; А - площадь поперечного сечения нити.
Для упрощения анализа конструктивных систем примем, что провисания гибких нитей незначительны и ими можно пренебречь (используем только гибкие стержни малой и средней длины) [2, 3]. На рис. 2 представлен график деформирования предложенной модели упруго-пластичной гибкой нити.
Учитывая, что нити всегда находятся в условиях центрального растяжения, продольные усилия в упруго-пластичной нити будут определяться следующей
1) Зона «А» - зона конструктивной нелинейности:
А <0; Н = 0.
2) Зона «Б» - зона упругих деформаций:
0< А < А/; # = -у^'Д»
(13)
(14)
где А/ - перемещения концевых закреплений соответствующие достижению напряжений в материале нити расчетному сопротивлению по пределу текучести.
и
Е-А
упругая (линейная) модель нити
упруго-пластичная модель нити
Д
7
Зона А
Рис.2. Модель деформирования упруго-пластичной гибкой нити
3) Зона «В» - зона пластичных деформаций:
А,<А<ДМ; # = —у—А-О-а^), (15)
где Аи - перемещения концевых закреплений соответствующие достижению напряжений в материале нити расчетному сопротивлению по временному сопротивлению.
4) Зона «Г» - зона разрушения:
Ди<Л; Я = 0. (16)
Для апробации предложенного алгоритма были выполнены тестовые расчеты двух висячих систем. Первой конструкцией являлась висячая система с вертикальными подвесками (рис. 3), имеющая следующие основные параметры: пролет £ = 100м, стрела провеса/= 12.5м (Д, = 1/8), осевая жесткость несущей нити ЕАК= 12-106 кН, изгибная жесткость балки жесткости EJ6 = 2-107 кН-м, интенсивность постоянной нагрузки ^ = 20 кН/м [2].
Характеристики материала гибких нитей принимались по рекомендациям для проектирования висячих конструкций и по результатам натурных исследований стальных канатов [5,6]: временное сопротивление 1400 МПа, условный ппелел текучести 750 МПа. относительное удлинение после пазпывя 3%. мо-
Г"г~-"------V ------ - -- ------7----- - — - ----------- ------- !----(------ - ■ -7 ----
дуль упругости 1.6-105 МПа.
Вторая конструкция: висячая система с треугольной решеткой (рис. 4) со следующими основными параметрами: пролет Ь — 160м, стрела провеса у'= 20м (//Ь = 1/8), осевая жесткость несущей нити ЕАК = 9-105 кН, изгибная жесткость балки жесткости - 2-106 кН-м, интенсивность постоянной распределенной нагрузки 9 = 6 кН/м. Характеристики материала гибких элементов использовались те же, что и в первом тестовом примере.
а) I '" =3 р
............. повторное нагружение значительных отклонений
нагружение с появлением значительных отклонений
Рис.3. Висячая система с вертикальными подвесками
а - схема загружения; бг - расчетная схема висячей системы; в - график изменения максимальных прогибов системы
Обе висячие конструкции рассчитывалась на несимметричную временную равномерно распределенную нагрузку интенсивностью р.
Расчет на однократную нагрузку выявил следующие три основные этапы деформирования висячих систем.
На первом этапе висячие конструкции имеют неизменяемую расчетную схему без возникновения пластических деформаций. В конце данного этапа в висячей системе с треугольной решеткой происходит переформирование расчетной схемы за счет выключения из работы конструкции части «сжатых» гибких элементов.
На втором этапе происходит возникновение и нарастание пластических деформаций в элементах изучаемых систем. В конце второго этапа возникает так называемый пластический шарнир и происходит повторное переформирование расчетной схемы конструкции.
В настоящей работе учет развития пластических деформаций изучались путем приложения временных нагрузок в следующей последовательности: первоначально прикладывалась максимально возможная нагрузка, все последую-
ТТТТТА ГТАПТЛкПИТ IO Ж Ю Г^ГЧЛ ГО I/TI ЛЛЛТОПТТЯПИ <Л О/. AT ПЙМОЛиОТТО TTLUAU UOPtlXfOb'TI li^nv HVDlUpniMV иш lyyjivrt vvviuwiiuin /v vi i iC (yu viiu 1Ш1Ш1 vii um y*j v"v«i.
Результаты тестовых расчетов показали, что при интенсивности начальной нагрузки порядка 70-75 % от нагрузки возникновения пластического шарнира в висячих системах происходило пластическое переформирование расчетной схемы, а при дальнейших повторных нагружениях (порядка 200) процесс деформирования не имел значительных отклонений: разница по перемещениям
а) С
б)
ÄÄ2
7W:
в)
р (кН/м)
- конструктивно нелинейный расчет
переформирование рабочей расчетной схемы
пластичный шарнир
физически нелинейный расчет
f (м(1/Ь))
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 (1/400) (1/200) (1/133) (1/100) (1/80)
повторное нагружение значительных отклонений нагружение с появлением значительных отклонений
Рис.4. Висячая система с треугольной решеткой
а - схема загружения; б - расчетная схема висячей системь в - график изменения максимальных прогибов системы
составляла менее 1%. При этом относительные прогибы составляли 1/250 1/180 L, что существенно выше соответствующих значений традиционных стальных конструкций.
Данный факт указывает на высокую надежность к восприятию повторных нагрузок висячих систем.
При первоначальном загружении висячих систем выше 75% от уровня образования пластического шарнира при каждом последующем повторном нагру-жении наблюдались значительные (более 5 %) изменения в процессе деформирования конструкции. При этом максимальный уровень коэффициентов накопления деформаций Сг\ для отдельных элементов конструкции составлял 0,55 ■*■ 0,60, а суммарный коэффициент Сг в несущих нитях и подвесках имел значение
л тс . л 1с__к____________________ л лс^л сс
u,z,j ~ v,jj, а в иалаал i i\u w и — •
Данные результаты указывают на преобладающую роль в накоплении деформаций в висячих системах балочных конструкций.
Приведенные выше исследования подтвердили существенное влияние на напряженно-деформированное состояние висячих конструкций пластических деформаций, а также указали на необходимость учета накопления остаточных деформаций при возникновении в данных системах относительных прогибов более 1/250 L.
Литература
1. Илюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. - М.: Физматгиз, 1959. -371с.
2. Качурин В.К., Брагин А.В., Ерунов Б.Г. Проектирование висячих и вантовых мостов. - М.: Транспорт, 1971. - 280 с.
3. Стрелецкий Н.Н. Решетчатые комбинированные системы мостов. - М.: Строй-издат, 1953.-219 с.
4. Свентиков А.А. Нелинейный расчет висячих стержневых конструкций// Пространственные конструкции зданий и сооружений: (Исследование, расчет, проектирование и применение): Сб. статей. - Вып. 8/ Ассоциация «Пространственные конструкции»; Белгородская государственная технологическая академия строительных материалов. - Белгород: изд. БелГТАСМ, 1996. - С. 72-82.
5. Рекомендации по выбору типов и расчету прочности стальных канатов, применяемых в строительных металлических конструкциях. - ЦНИИпроектстальконструкция им. Мельникова, Москва, 1991. - 32 с.
6. Дядькин С.Н., Николаев В.А., Мартов Б.Д. Выбор канатов в качестве вант для автодорожного моста через Обь в районе Сургута// Транспортное строительство. -1999.-№10.-С.21-27
ACCOUNT OF DEVELOPMENT OF PLASTIC DEFORMATIONS IN VIEW OF NONLINEAR ANALYSIS OF HANGING ROD STRUCTURES
Sventikov A.A., Boldirev A.M.
Matrix calculation of hanging rod structures in view of finite element method is presented. Geometrical and physical nonlinearities are taken into consideration. The test analyses of two hanging one span structures with vertical ties and with triangular lattice were performed for approbation of the offered algorithm.
