CC BY-NC
40
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-1-S-I-153-161 УДК 620.178.3
Г.Б. Крыжевич, А.Р. Филатов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
УЧЕТ МНОГООСНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ УЗЛОВ СОЕДИНЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ МОРСКОЙ ТЕХНИКИ ПРИ РАСЧЕТАХ ИХ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ
Объектом работы являются конструкции морской техники из сталей и легких сплавов, эксплуатируемые при циклическом нагружении. Источниками информации о напряженно-деформированном состоянии (НДС) их узлов являются результаты математического моделирования процессов нагружения и деформирования или тензометриро-вания натурных объектов. Целью работы является разработка рекомендаций по расчету усталостной прочности конструкций на основе перехода от сложной математической модели многоосного нагружения в критических точках узлов с быстрой выработкой усталостного ресурса к упрощенному описанию НДС на основе рационального назначения расчетных параметров (напряжений), входящих в критерии усталостного разрушения. Эффективность такого назначения характеризуется уровнями трудоемкости и точности выполнения расчетов усталостной прочности. Трудоемкость расчетов, как правило, резко снижается при переходе к рассмотрению одноосного напряженного состояния взамен трехосного.
Ключевые слова: конструкции морской техники, разрушение усталостное, усталостный ресурс, сложное напряженное состояние.
Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2019-1-S-I-153-161 UDC 620.178.3
G.B. Kryzhevich, A.R. Filatov
Krylov State Research Center, St. Petersburg, Russia
TAKING INTO ACCOUNT MULTI-AXIALITY OF LOADS ON MARINE STRUCTURES IN THEIR FATIGUE STRENGTH CALCULATIONS
This paper studies marine structures made of steels and light alloys and exposed to cyclic operational loads. Stress-strain parameters of their joints were taken from mathematical simulations of loads and strains or from actual strain gauging data. The aim of this study is to develop recommendations on fatigue strength calculations: specifically, how to quite the complex mathematical model of multi-axial loading at critical structural points with fast fatigue wear in favour of a simplified stressstrain state description based on optimal assignment of design parameters (stresses) in fatigue failure criteria. Preferability of this approach depends on case-specific requirements to calculation accuracy and timeframes. Uniaxial description of stressed state instead of the three-axial one enables much faster calculation with acceptable drop in accuracy. Keywords: jack-up rig, fatigue life, fatigue strength, hot points, service life. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Специфика расчетов долговечности конструкций морской техники
Усталостные повреждения обычно возникают на свободных поверхностях узлов конструкций мор-
ской техники (МТ), моделируемых оболочечными или пластинчатыми конечными элементами, находящимися в условиях либо плоского напряженного состояния, либо плоской деформации. В большинстве ситуаций такой подход к моделированию при-
Для цитирования: Крыжевич Г.Б., Филатов А.Р. Учет многоосности нагружения узлов соединения конструкций морской техники при расчетах их усталостной прочности. Труды Крыловского государственного научного центра. 2019; Специальный выпуск 1: 153-161.
For citations: Kryzhevich G.B, Filatov A.R. Taking into account multi-axiality of loads on marine structures in their fatigue strength calculations. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019; Special Edition 1: 153-161 (in Russian).
Г.Б. Крыжевич, А.Р. Филатов. Учет многоосности
нагружения узлов соединения конструкций морской техники при расчетах их усталостной прочности
годен для расчетного анализа усталостных повреждений и, несмотря на наличие определенной степени трехосности напряженного состояния в зонах развития усталостных повреждений, рекомендован действующими стандартами, требованиями классификационных обществ и МАКО для выполнения расчетов усталостной долговечности [1-6]. Однако, при наличии толстолистовых элементов конструкций и при использовании при этом нетрадиционных конструктивно-технологических приемов оформления узлов (как это наблюдается в конструкциях сварных штевней судов ледового плавания и в узлах соединения трубчатых элементов нефтегазодобывающих платформ) необходим учет трехосности напряженного состояния в узлах. Именно в подобных зонах часто возникают и развиваются усталостные повреждения. Вместе с тем в упомянутых выше стандартах, требованиях классификационных обществ и рекомендациях МАКО нет приемлемых рекомендаций по такому учету.
Таким образом, в реальных узлах конструкций МТ мы практически всегда имеем дело с многоосным нагружением, характеризуемым тензором напряжений В общем случае в процессе непропорционального нагружения три главные оси тензора напряжений могут поворачиваться
в глобальной лагранжевой (материальной) системе координат, что оказывает существенное влияние на процесс накопления и развития усталостных повреждений. В частном случае, при пропорциональном нагружении, поворот главных осей тензора не происходит. Нагружение, близкое к пропорциональному, часто возникает в корпусе судна, например, при его статическом деформировании в условиях волнения по форме, близкой к форме основного тона упругих колебаний, и вибрации корпуса с частотой основного тона, вызванной динамическими нагрузками. Непропорциональное нагруже-ние возникает в корпусе судна, например, при одновременном деформировании (статическом или динамическом) по разным формам собственных упругих колебаний, причем значимыми являются две (или более) обобщенные координаты, соответствующие разным формам.
Для конструкций нефтегазодобывающих платформ более характерно непропорциональное нагружение, вызываемое деформированием конструкций по нескольким формам собственных колебаний. В качестве примера такого нагруже-ния рассмотрим процесс изменения напряжений в верхних (в районах соединения опор с корпусом платформы) и нижних (в районах соединения
опор с башмаками) частях опор самоподъемной плавучей буровой установки (СПБУ) «Арктическая» (рис. 1).
На этот процесс сильное влияние оказывает вызываемое волнением деформирование по трем низшим собственным формам упругих колебаний платформы (рис. 2). Соответствующие им собственные частоты находятся в диапазоне от 0,33 до 0,48 Гц. Первая и вторая собственные формы колебаний представляют собой преимущественно горизонтальные перемещения корпуса вдоль взаимно перпендикулярных осей и изгиб трех опор установки во взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях. Третья форма собственных колебаний связана с вращением корпуса вокруг вертикальной оси и изгибом опор, причем изгиб каждой из трех опор происходит в разных вертикальных плоскостях. В конечном итоге в местах соединений стержней ферменной конструкции опоры между собой и с башмаком наблюдается сложный полигармонический процесс изменения напряжений. Для него характерно различное соотношение нормальных и касательных напряжений в различные моменты времени, что говорит о непропорциональности нагружения.
Даже в относительно простом случае пропорционального нагружения усталость при трехосном напряженном состоянии в настоящее время представляет собой, прежде всего, обширную область научных исследований, а их результаты позволяют пока говорить о приближенных приемах анализа явления усталости. При наличии трехосности напряженного состояния рекомендуется выполнять конечноэлементное моделирование узлов конструкций МТ с использованием объемных элементов. В результате конечноэлементного расчета для каждой критической точки (КТ), в которой имеется потенциальная возможность появления трещины, можно построить реализации трех главных напряжений о^/), о2(/) и о3(/). Из реализаций этих напряжений на основе принятого критерия усталостного разрушения необходимо сформировать реализацию расчетного напряжения ор(/) или реализацию вектора расчетных напряжений сгр(£).
Таким образом, решение задачи учета трехос-ности напряженного состояния в КТ при анализе развития усталостных повреждений состоит в правильном выборе критерия разрушения и алгоритма вычисления соответствующего ему расчетного напряжения.
По результатам анализа работ [8-12], в которых представлены наиболее известные в настоящее время методы оценки усталостной прочности элементов
при сложном напряженном состоянии, можно выделить следующие основные методы, в той или иной степени апробированные для подобных расчетов:
■ метод абсолютных максимальных главных напряжений;
■ метод знаковых эквивалентных (по Мизесу) напряжений;
■ метод знаковых касательных напряжений;
■ метод критической плоскости.
Ниже приведен краткий критический анализ представленных методов.
Метод абсолютных максимальных главных напряжений
Предполагается, что в результате конечноэлемент-ного расчета с использованием пластинчатых или, что лучше, объемных элементов для каждой из анализируемых КТ конструкции сформирована реализация вектора главных напряжений с компонентами dO), o2(t) и озО).
Процедура определения абсолютных максимальных главных напряжений иллюстрируется с помощью рис. з и табл. 1:
Cabs (0 = ^3 ('), если| °3 (t )|>|°1 (t )|,
иначе aabs (t ) = Oi (). (1)
Специфика способа абсолютных максимальных главных напряжений состоит в том, что размахи нормальных напряжений оцениваются консервативно, чем обеспечивается определенное занижение последующих оценок усталостной долговечности рассматриваемых КТ. Необходимо также принимать во внимание, что термин «абсолютные» в данном случае не исключает учета знаков главных напряжений.
Рис. 1. СПБУ «Арктическая» [7]
После построения в соответствии с принятым алгоритмом (1) реализации абсолютных максимальных главных напряжений оаЬ5(/), соответствующей процессу эксплуатационных нагрузок, дальнейший расчет усталостной долговечности выполняется по процедуре, принятой для элементов, работающих в условиях простого одноосного напряженного состояния.
Метод знаковых эквивалентных напряжений
Этот метод основан на результатах экспериментальных исследований, позволяющих утверждать, что для металлических материалов в случае пропорционального нагружения сведение трехосного напряженного состояния к одноосному с использованием псевдонормы тензора, порожденной критерием прочности Губера-Мизеса (нормируется только девиаторная часть тензора), почти всегда приводит к консервативной оценке усталостной долговечности. Знаковые эквивалентные
■ф
чзснчв O.-IHO I
а) б) в)
Рис. 2. Формы изгиба опор СПБУ «Арктическая», соответствующие первой (а), второй (б) и третьей (в) формам собственных колебаний на акватории с глубиной 30 м
Г.Б. Крыжевич, А.Р. Филатов. Учет многоосности
нагружения узлов соединения конструкций морской техники при расчетах их усталостной прочности
Абсолютные максимальные главные напряжения
ai^ h \ h л
t
CT3N
Продолжительность цикла нагружения
Рис. 3. Процессы изменения во времени главных напряжений а-|(0 (верхняя двухцветная кривая), аз(0 (нижняя двухцветная кривая) и абсолютных максимальных главных напряжений (красные линии): и и tз - моменты времени, соответствующие равенству |ал | = |а3|
напряжения с использованием этой псевдонормы определяются по формуле
< (t ) = sing (t ) 2 S (t): S (t),
(2)
где S - тензор-девиатор; sign - функция знака эквивалентных напряжений, для выбора которого наибольшее употребление нашли два правила: соответствия знаку наибольших по абсолютной величине главных напряжений (1) (первое, более употребительное правило)
sing (t ) = sgn cafc (0 = н44, (3)
* abs
(t)
сматриваемых КТ считаются известными реализации главных напряжений оД/), о2(/) и о3(/).
Алгоритм метода знаковых эквивалентных напряжений состоит в следующем.
1. На основе реализаций главных напряжений 01(1), о2(0 и о3(0 строится реализация эквивалентных напряжений:
Jeq
(t ) =
|[ai (t) - о2 (i)] + [о2 (0 - 03 (i)] + |+ [03 (t) - Oi (t)]2
2
(4)
и соответствия знаку гидростатических напряжений 51§п(/) = 5§п[1г(о(/))] (второе правило). Нормы тензоров упругих и пластических деформаций определяются аналогично (2) с учетом эффективного коэффициента Пуассона.
При рассмотрении этого метода, как это предполагалось и ранее, на основе результатов конечно-элементного расчета с использованием пластинчатых или объемных элементов для каждой из рас-
2. Следуя первому правилу выбора знаков, для получения знаковых напряжений эквивалентным напряжениям оед(/) присваивается знак абсолютных максимальных главных напряжений (1) (знак наибольших по абсолютной величине главных напряжений). Например, при реализациях процессов о1(/) и о3(/), изображенных на рис. 3, отрицательный знак следует «приписать» эквивалентным напряжениям только на интервале времени от /1 до /3.
Перестраиваемая таким образом реализация эквивалентных напряжений превращается в реализацию знаковых эквивалентных напряжений, которая используется для последующего расчета усталостной долговечности рассматриваемого элемента конструкции. Причем предполагается, что этот элемент работает в условиях простого одноосного напряженного состояния.
Метод знаковых касательных напряжений
В данном методе максимальным касательным напряжениям (по критерию Треска-Сен-Венана) приписывается знак абсолютных максимальных главных напряжений (1):
°Теаг () = (О' |>1 (0-(0], (5)
где выполнено умножение на коэффициент 2 с целью согласования этого метода с методом абсолютных максимальных главных напряжений для случая одноосного напряженного состояния.
Таблица 1. Оценка размахов абсолютных максимальных главных напряжений по значениям напряжений ат и а3
Моменты времени to ti t2 t3 t4 Размах
Наибольшие главные напряжения 200 120 90 140 220 220 - 90 = 130
Наименьшие главные напряжения 40 -120 -220 -140 20 40 - (-220) = 260
Абсолютные максимальные главные напряжения 200 120 -220 140 220 220 - (-220) = 440
Последующий расчет усталостной долговечности выполняется по процедуре, принятой для элементов, работающих в условиях простого одноосного напряженного состояния.
Метод критической плоскости
Метод критической плоскости имеет несколько модификаций. Все они достаточно сложны и трудоемки, поэтому в инженерных расчетах применяются, как правило, в исключительных случаях с использованием различных программных пакетов, например [9], в котором представлены основные зависимости и процедуры вычисления расчетных напряжений и усталостной долговечности рассматриваемого элемента.
Метод критической плоскости обычно рекомендуется использовать при непропорциональном нагружении зон концентрации напряжений. Экспериментально установлено, что форма пути нагружения сильно влияет на накопление усталостных повреждений (табл. 2).
Для КТ, которые обычно расположены на свободной поверхности элемента конструкции, не подверженного поверхностным нагрузкам, характерно такое напряженное состояние, когда одно из главных напряжений равняется нулю, а соответствующее ему главное направление ориентировано по нормали к поверхности (т.е. получается двухосное напряженное состояние). Два других главных направления лежат в плоскости, касательной к свободной поверхности. Ориентация каждой плоскости, являющейся кандидатом на роль критической, определяется углом ф между ее нормалью и осью xлокальной системы координат (рис. 4).
Напряжение на каждой плоскости-кандидате определяется по формуле:
Сф( ) =
() + C „ (t) Cx ()-C „ (t)
+ т (t) sin 2ф. (6)
2 2 Последующий расчет усталостной долговечности выполняется по процедуре, принятой для элементов, работающих в условиях простого одноосного напряженного состояния.
Общий подход, принятый в различных модификациях метода критической плоскости, можно сформулировать следующим образом:
■ выполняются оценки напряженного состояния и усталостной долговечности для каждой из возможных плоскостей отказа, содержащих рассматриваемую КТ (обычно шаг по углу ф составляет не более 10°);
■ по результатам оценок выбирается наиболее критическая плоскость, имеющая наименьшую долговечность.
В некоторых разновидностях метода критической плоскости при формулировке критериев усталостного
Рис. 4. Вычисление нормальных напряжений в методе критической плоскости
Таблица 2. Относительная долговечность полых цилиндрических образцов из стали 304 и алюминиевого сплава 6061 по данным ^ ^Ь! при 5 вариантах (а, б, в, г, д) пути непропорционального нагружения на плоскости (отнесенная к долговечности при пропорциональном нагружении, равной 17 500 циклов для стали и 2050 циклов для алюминия) при равных размахах деформаций (для стали при растяжении 0,50 % и сдвиге 0,87 %; для алюминия при растяжении 0,57 % и сдвиге 0,98 %)
Г.Б. Крыжевич, А.Р. Филатов. Учет многоосности
нагружения узлов соединения конструкций морской техники при расчетах их усталостной прочности
разрушения учитывается взаимодействие между различными компонентами напряжений при оценке повреждаемости материала. При этом в ряде случаев используются специальные зависимости для вычисления расчетных напряжений, входящих в критерии разрушения. Некоторые из этих зависимостей учитывают кинематическое упрочнение материала (модели Соци-Беннантина (Socie-Bannantine), Ванг-Брауна (Wang-Brown), Данг Вана (Dang Van) [8, 9, 12]. Выбор критериев разрушения зависит от типа материала (пластичный или хрупкий), типа нагрузки, механизма распространения усталостной трещины и т.д.
Сравнение методов оценки усталостной прочности
Справедливость сделанных выводов можно наглядно продемонстрировать на примере их практического применения для расчета усталостной долговечности опор СПБУ «Арктическая» (табл. 3). При сравнении результатов расчетов ресурса метод критической плоскости рассматривается в качестве эталонного, поскольку он в наибольшей мере учитывает факторы, влияющие на усталостную долговечность узлов МТ.
Вид наиболее слабого (в отношении усталостной повреждаемости) узла опорных конструкций СПБУ, представляющего собой соединение пяти трубчатых элементов, показан на рис. 6. Усталостная долговечность определялась с помощью четырех методов не только в одной, наиболее повреждаемой точке, которая для всех методов оказалась одинаковой, а в нескольких точках (точнее, в конечных элементах), охватывающих наиболее повреждаемую область
Таблица 3. Расчетный ресурс опор СПБУ
Метод расчета Расчетный усталостный ресурс (в годах) Погрешность метода по отношению к методу критической плоскости
Метод абсолютных
максимальных главных 28,4 16,4 %
напряжений
Метод знаковых эквивалентных 35,2 -3,6 %
напряжений
Метод знаковых касательных 22,8 32,9 %
напряжений
Метод критической плоскости 34 0 %
узла. Во всех исследуемых точках наблюдалась различная степень непропорциональности нагружения, которая определяется по формуле [9]:
KNP = yj ASPECT + OFFSET2, (7) где
ASPECT = V (8)
OFFSET = D /2 STRMAX; (9)
I\, I3 - главные моменты инерции облака расчетных точек нагружения в пространстве (о^с^с^) (рис. 5) такие, что I\ > I2 > I3; STRMAX - расстояние от самой удаленной точки до начала системы координат (рис. 5); D - расстояние от главной оси вращения MINAX, соответствующей главному моменту инерции I3, до начала системы координат (рис. 5).
Для демонстрации влияния непропорциональности нагружения на рис. 7, 8 показаны графики погрешностей методов абсолютных максимальных главных напряжений, знаковых эквивалентных напряжений и знаковых касательных напряжений по отношению к методу критической плоскости, построенные по выделенным на рис. 6 конечным элементам, в зависимости от реализуемого в этих элементах коэффициента непропорциональности нагружения (7), а также в зависимости от ориентации критической плоскости. Из этих графиков видно, что: ■ разница между результатами, полученными методом знаковых касательных напряжений и знаковых эквивалентных напряжений, близка к постоянной и слабо зависит от непропорциональности нагружения;
C.G.
Рис. 5. Облако расчетных точек нагружения в пространстве (стхх,стуу,стху)и его главная ось вращения М!1\1ДХ, соответствующая наименьшему главному моменту инерции 13
MIN АХ
STRMAX
в)
Рис. 6. Распределения повреждений по узлу (а) опорной конструкции, построенные методом абсолютных максимальных главных напряжений (б), методом знаковых эквивалентных напряжений (в), методом знаковых касательных напряжений (г) и методом критической плоскости (д)
■ при слабой непропорциональности (< 5 %) метод абсолютных максимальных главных напряжений совпадает с методом знаковых касательных напряжений, при сильной непропорциональности (> 10 %) этот метод совпадает с методом знаковых эквивалентных напряжений, а в промежутке наблюдается своеобразный переход;
■ по сравнению с методом критической плоскости метод знаковых касательных напряжений всегда завышает оценку повреждений, а метод знако-
д)
вых эквивалентных напряжений с ростом непропорциональности переходит из области занижения в область завышения оценки повреждений. Из всех методов учета трехосности напряженного состояния в узлах соединения элементов конструкций при расчетах их усталостной прочности в большинстве случаев следует отдавать предпочтение методу знаковых эквивалентных напряжений. Этот метод при циклическом нагружении, близком к пропорциональному, имеет хорошую физическую основу, удобен для практического применения и поз-
Г. Б. Крыжевич, А. Р. Филатов. Учет многоосности
нагружения узлов соединения конструкций морской техники при расчетах их усталостной прочности
Рис. 7. Погрешности методов абсолютных максимальных главных напряжений (синий цвет), знаковых эквивалентных напряжений (рыжий цвет) и знаковых касательных напряжений ( серый цвет) по отношению к методу критической плоскости, построенные в зависимости от коэффициента непропорциональности нагружения, а также их линейные (короткий пунктир) и кубические (длинный пунктир) регрессии. Отрезки линий соединяют расчетные точки
Рис. 8. Погрешности методов абсолютных максимальных главных напряжений (синий цвет), знаковых эквивалентных напряжений (рыжий цвет) и знаковых
касательных напряжений ( серый цвет) по отношению к методу критической плоскости, построенные в зависимости от угла ф ориентации критической плоскости , а также их линейные (короткий пунктир) и кубические (длинный пунктир) регрессии. Отрезки линий соединяют расчетные точки
воляет получать достаточно точные результаты. Вместе с тем следует отметить, что при непропорциональном нагружении КТ узлов конструкций более точные результаты могут быть получены с помощью метода критической плоскости.
Заключение
На основе выполненного обзора можно сделать следующие выводы.
■ Метод критической плоскости является, по существу, безальтернативным средством определения усталостного ресурса конструкций МТ, подверженных непропорциональному ци-
клическому нагружению (при коэффициенте непропорциональности > 10 %). Как уже отмечалось выше, методы критической плоскости-достаточно сложны и трудоемки, поэтому в инженерных расчетах применяются крайне редко (в тех случаях, когда непропорциональность циклического нагружения отчетливо выражена).
■ Метод абсолютных максимальных главных напряжений следует рекомендовать с большой осторожностью для расчетов на усталость конструкций МТ при циклическом нагружении, близком к пропорциональному, по следующей
причине. Учет в реализации абсолютных максимальных главных напряжений минимальных (как правило, отрицательных) главных напряжений приводит к существенному росту разма-хов этого процесса и к весьма консервативным оценкам долговечности, часто совершенно неприемлемым.
■ Метод знаковых касательных напряжений не следует рекомендовать для применения в расчетах на усталость элементов конструкций МТ при сложном напряженном состоянии по причине явной сверхконсервативности получаемых оценок усталостной долговечности.
■ Приемлемым при расчетах усталостной долговечности элементов конструкций МТ при сложном напряженном состоянии следует считать метод знаковых эквивалентных напряжений, дающий консервативную оценку ресурса при циклическом нагружении, близком к пропорциональному. При таком нагру-жении этот метод имеет хорошую физическую основу, удобен для практического применения и позволяет получать достаточно точные результаты при коэффициенте непропорциональности < 10 %. Поскольку локальное напряженное состояние в КТ элементов конструкций МТ в большинстве случаев может быть хотя бы приближенно представле-нов виде одноосного напряженного состояния или пропорционального двухосного напряженного состояния, применение метода знаковых эквивалентных напряжений научно обосновано и представляется вполне рациональным.
Библиографический список
1. The International Association of Classification Societies Fatigue assessment of ship structures. London: IACS Limited, 1999.
2. The International Association of Classification Societies Common Structural Rules for Bulk Carriers and Oil Tankers. London: IACS Limited, 2014.
3. ISO 19902:2007 Petroleum and natural gas industries -Fixed steel offshore structures. Geneva: ISO, 2007.
4. ГОСТ Р ИСО 19906. Нефтяная и газовая промышленность. Сооружения арктического шельфа. М.: Стандартинформ, 2010.
5. Российский морской регистр судоходства Правила классификации и постройки морских судов. СПб: РМРС, 2018.
6. Российский морской регистр судоходства Правила классификации, постройки и оборудования ПБУ и МСП. СПб: РМРС, 2018.
7. СПБУ «Арктическая» проект 15402М // АО «ОСК»: [сайт]. URL: http://www.aoosk.ru/products/spbu-arkticheskaya-proekt- 15402m/ (дата обращения: 03.12.2018).
8. Стрижиус ВЕ. Методы расчета на усталость элементов авиационных конструкций при много-осном нагружении // Научный вестник МГТУ ГА. 2013. № 187. С. 65-73.
9. nCode DesignLife - CAE Fatigue Analysis Software // HBM Prenscia: [сайт]. URL: https://www.ncode.com/ products/designlife-cae-fatigue-analysis (дата обращения: 05 11 2018).
10. Bishop N., Sherratt F. Finite element based fatigue calculations. Glasgow: NAFEMS, 2000.
11. Dang Van K., Cailletaud G., Flavenot J., Le Douaron A., Lieurade H. Criterion for High Cycle Fatigue Failure Under Multiaxial Loading. - In Biaxial and Multiaxial Fatigue. London: Mechanical Engineering Publications, 1989, pp. 459-478.
12. Dang Van K., Griveau B., Message O. On a New Multiaxial Fatigue Limit Criterion: Theory and Application. -In Biaxial and Multiaxial Fatigue. London: Mechanical Engineering Publications, 1989, pp. 479-496.
Сведения об авторах
Крыжевич Геннадий Брониславович, начальник сектора, д.т.н., профессор, ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, г. Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Телефон: +7 (812) 415-46-74. E-mail: g_kryzhevich@ksrc.ru. Филатов Анатолий Романович, научный сотрудник, аспирант, ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, г. Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44. Телефон: +7 (812) 415-48-21. E-mail: st024540@student.spbu.ru.
Поступила / Received: 28.02.19 Принята в печать / Accepted: 08.04.19 © Коллектив авторов, 2019
