Учет эффекта проскальзывания при движении тонкодисперсного материала в лопастном аппарате Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

2. Нигматулин Ф.И. Основы механики гетерогенных сред. 4. Зайцев А.И., Сидоров В.Н., Бытев Д.О. Оборудование М.: Наука. 1978. 336 с. для нанесения оболочек на зернистый материал. М. 1997.

3. Капранова А.Б., Зайцев А.И., Бушмелев А.В. Изв. 272 с. вузов. Химия и хим. технология. 2006. Т. 49. Вып. 3.

С. 78 -81.

Кафедра теоретической механики

УДК 621.867.4-492.2

А.Б. Капранова, А.И. Зайцев, О.И. Кузьмин

УЧЕТ ЭФФЕКТА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОНКОДИСПЕРСНОГО МАТЕРИАЛА В ЛОПАСТНОМ АППАРАТЕ

(Ярославский государственный технический университет) e-mail: kap@yars.free.net

На основе модели Олройда, определяющей объемный расход неньютоновской жидкости, ламинарно истекающей из капилляра, исследуется эффект проскальзывания тонкодисперсного материала в рабочем объеме центробежного аппарата. Предложен метод учета коэффициента проскальзывания для движения сыпучей среды при математическом моделировании процесса деаэрации порошков в уплотнителе с криволинейными лопатками.

Процесс деаэрации тонкодисперсных порошков как двухфазных смесей «твердые частицы - газ» с высокой степенью уплотнения (более 20%) может осуществляться тремя известными способами - механическим, пневматическим и вибрационным [1]. При математическом моделировании процесса механического уплотнения необходимо учитывать эффект пристенного скольжения, например, в шнековых или лопастных аппаратах [2].

В настоящей работе предлагается метод определения коэффициента проскальзывания порошков при движении материала в ячейке аппарата с криволинейными лопатками как отношение эффективной скорости скольжения продукта к единице касательного напряжения. Данная ячейка ограничена двумя цилиндрическими поверхностями - стенки корпуса аппарата и внутреннего цилиндра с закрепленными на ней лопатками, и двумя криволинейными лопатками. Вращение диска аппарата вызывает прижатие порошка к од-

ной из стенок криволинейной лопатки в каждой ячейке и движение материала к стенке корпуса.

Например, пристенное скольжение наблюдается в случаях течения разреженных газов, течения жидкостей между пористыми проницаемыми поверхностями или неньютоновских жидкостей.

Предлагаемый метод определения коэффициента проскальзывания основан на модели Олройда для объемного расхода при истечении неньютоновской жидкости из капилляра в условиях ламинарного установившегося течения [3, 4]

/Т/Г к гЦ

где Т = ГТЯ/ Я, /(тк ) = ск>5 / йг,

Ул. — Р(Т]{)11( - скорость скольжения порошка.

Коэффициент пропорциональности может быть постоянным в широком интервале изменений касательных напряжений [5].

Ячейка уплотнителя ограничена двумя ци-

линдрическими поверхностями с радиусами Г0 и

Ио с центром в точке О для внутреннего цилиндра и диска соответственно, а также поверхностями лопаток М]Мг и ЫМь, которые определяются с помощью выражений в цилиндрической системе координат

Те= Г01 со%(ве- вох) + -у/го128т2(0е - вох)- р2 ,(2)

тк=Г01 С0$6к+ у1го128т26к-р2, (3)

где г0<Ге<Ко, вМ2<ве< вм\, Го < 6к < Як,

Ома ^0к < вмз ■

При этом считается, что центр окружности, задающей форму криволинейной лопатки и имеющей радиус р, находится в точке ()\. отстоящей от центра диска О на расстоянии ()()] = /о,. а угловая координата точки 0\ равна до\ — 2ж / N, где N - число лопаток уплотнителя.

Следовательно, объемный расход при истечении продукта можно представить в виде

ксоа2о □ .V

V = ■

(4)

где к - высота лопатки; а20 - начальное значение порозности; а2п - порозность порошка в рассматриваемый момент времени; А^ - изменение площади, занимаемой материалом в ячейке аппарата за некоторый промежуток времени At; А 0 - изменение угловой координаты за тот же промежуток At.

Предполагается, что выполняется закон сухого трения у стенки лопатки

ТК\ = /сгг| , (5)

где

(7 г

. - радиальная компонента тензора напря-

жений на лопатке; коэффициент пропорциональности /есть коэффициент внешнего трения.

Зависимость С7Г

от значения ОС2е опре-

элемента в цилиндрической системе координат получена следующая связь между порозностью и деформациями с, и Сп

а2=а2о1{\-8в-£к\ (7)

где а20 - начальное значение порозности [7].

Используя следующее соотношение между величинами порозности а2, а также окружной и радиальной скоростями, соответствующими движению твердой фазы уг , ув как следствие уравнения неразрывности

2 (ОГУг (9Л

Vr - Уг0а20 / а2, V* = --—» (8)

кг + 2уг

где параметр к = feg /(соЯо); коэффициент /е есть коэффициент внешнего трения движения сыпучей среды о поверхность диска; и выражение для угловой компоненты скорости

где = РтК\е1ге,

уравнение (1) преобразуется к виду

ксоа20 1

~~ ->2

(9) (10)

( ........ (П)

7гК5тКа2еиО Я1

Причем используемые в (11) константы задаются следующими выражениями

1 Сз -4(С1 -С4)-(4С1 +С2 -С3)Д£-С&4.з2, (12)

«28 — -

а2е 2(С2+2С4В4£)

1 д/

С\ = +-«20-

2

со

2 \ 1-Д,-—£3

* У

ДД 16*20 ;

„ _ ВдВ\\С(20 „ , „ _ В9В11СС2О п _

^2 —-^3 —-£з —

Ао)п 4Д0 4®ИД

ВА=кК,1уг„ = , До

(13)

(14)

(15)

Я

деляется на основе модели уплотнения порошков в ячейке аппарата. Порошок представляется в виде дисперсной смеси двух фаз, одна из которых -твердые частицы. Для описания поведения таких смесей используются методы гетерогенных сред [6]. Предполагается линейная связь между деформациями и напряжениями

Ы / 1 тш с-Ы г\ Ы \ \

сг/ =а2(л£2 о -2/лег ), (6)

где а2 - порозность порошка; X и ¡л - коэффициенту к1 1 Г>Ы

ты Ламэ; е2 - тензор деформации; о - символ Кронекера.

С учетом уравнения неразрывности для газообразной фазы и формулы для определения

Коэффициент /3 определяется из уравнения (11) по экспериментальным данным о степени уплотнения порошка.

Считается, что в начальный момент времени сыпучий материал занимает всю площадь ячейки

(17)

где Бк0 и 8Г0 - соответственно площади диска радиусом Ио и основания внутреннего цилиндра радиусом Г0

8Ко = я Яо , 8го =7ГГо. (18)

Пусть при вращении ячейки с угловой скоростью СО за некоторый промежуток времени

е

А^! порошок сместится к одной из лопаток по направлению вращения диска уплотнителя.

Изменение площади, занимаемой порошком за промежуток времени А/, обозначим

А51=5о-5ь (19)

где

( л .-Л

0 4тгрг0 Äi =-arcsin

N

V

2 р

2 +ro -2Ror0 cosö

,(20)

тл- , ¿ ¿

Ro+r0l-p (21)

2 2 2 r0 + r01 - р

о = arceos--arceos

2r0 roí

Предполагается, что толщина слоя порошка в этом случае равна хорде дуги между точками пересечения поверхностей внутреннего цилиндра и двух лопаток внутри ячейки (Mi и M3).

Считается, что при вычислении объемного расхода продукта в рассматриваемой ячейке предельная граница свободной поверхности сыпучей среды практически повторяет изгиб криволинейной лопатки, к которой происходит прижатие материала.

Тогда изменение площади, занимаемой порошком за промежуток времени А /2, обозначим

A S2=S1-S2. (22)

Площадь слоя порошка в предельном случае при его максимальной степени уплотнения определяется выражением

S2=[(S2l-S,l)-((S3l-S41)], (23)

где

S21 - Si = ^{Ra2[2(y/pi -q>pi) + sm(2y/pi) - sin(2^i)] +

+ p\n + 2<ppl - sin(2<p0i) - sm[2{(pp\ - <p0i)] -~(p — 4)2[л" + 2y/pi - sin(2(//0i) + sin[2((i/fi -(//oí)]},

S3 - S4 = -^{r02[2(i/fp2 - <pp2) + sin(2^p2) - sin(2^p2)] +

+ p2[sin(2<p0il)-<pß2 -sin^C^oi1 -cpp2)]--{p-ln)2[sm{2y/0i ) -y/p2 -sin^Cy/oi1 -y/p2)]},

í

фр i = arctg

фр 2 = arctg

Ro

{p Sin Ф01 f ro

-сЩф(

01

Л

1

-T~tg<Po\

y p eos фт y

Г) 2 2 2 2 2 2

Ко + p - Г01 , 1 r0 + p - Г01

^01= arceos-—- у/oí =arccos-

2R0p if/pi = arctg

Ro

ip-l„) sin y/m

2 rüp ■ ctgy/01

(24)

(25)

(26) (27)

ц/р2 = arctg

у/ oí = arceos

' ro , Л

\P ~ In J COS I//oi J

Rq +(p-l„)2 -Г01

(29)

2Во (р-1п)

С помощью выражения (11) можно получить два уравнения для различных промежутков

времени Д^ и А/2 соответственно. Учитывая, что величина

v = -

Tr о

1 TR

т РДгМ*"

>£ J

(30)

не зависит от Л и /3 и вычитая одно полученное уравнение из другого, запишем алгебраическое уравнение относительно ¡3, где коэффициенты при /3 являются функциями от экспериментальных значений а2 и СО

ко)( а2о П5"2 1 П 5*1

Я" VR2 TR20,2„ 002 R2 TR2

где R1=(R0-r0)/2,

^ R-2 R\ J

(31)

Ri — In 12,

д„ 2 я- ч д „ 2жг0 „ . I, (i?o-r0)'AÖ2=---2arcsin

N

2го

Таким образом, получена алгебраическая зависимость коэффициента проскальзывания от конструктивных и режимных параметров устройства (радиусов внутренней цилиндрической поверхности и внешней поверхности стенки конического корпуса, радиуса криволинейной лопатки, расстояния между центрами диска и лопатки соответственно, угловой скорости вращения диска), а также характеристик уплотняемого порошка (модулей упругости, коэффициентов внутреннего и внешнего трения, средние значения начальной и конечной порозности в объеме и т.д.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Akiyama T. et al. Densification of powders by means of air, vibratory and mechanical compactions. Powder Technol. 1986. V. 46. P. 173-180.

2. Капранова А.Б., Зайцев А.И. // Теор. основы хим. тех-нол. 1996. Т. 30. № 5. С. 548-550.

3. Олройд Д.Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел. Реология / под. ред. Ф. Эйриха. М. : Изд-во ин. лит. 1962. 212 с.

4. Olroyd J.G. The interpretation of observed pressure in laminar flow of non - Newtanian liquids through tuber. J. Colloid. Sci. 1949. P. 333-342.

5. Pfanmschmidt P. Plaster u kaytschuk. 1972. Bd. 19. N 7. P. 502.

6. Нигматулин Ф.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. 1978. 336 с.

7. Капранова А.Б., Зайцев А.И., Бушмелев А.В. Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2006. Т. 49. Вып. 3. С. 78 -81.

Кафедра теоретической механики